5 三角形中的最值问题探究
基础打底
1．(2025·宁德期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＋b2=c2，则tan A的最大值为( )
A． B．
C． D．
2．(2025·湛江期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=b(C＋sin C)，且a＋c=4，则b的最小值是( )
A． B．2
C．2 D．2
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，＋cos A=2，则的值为____，cos B的取值范围为____．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若h=a，则的最大值为____．
强技提能
与正切相关
例1 (1) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，＋＋=1，则△ABC面积的最大值为( )
A．1＋ B．1＋
C．2 D．2
(2) 在斜三角形ABC中，若sin A=cos B，则3tan B＋tan C的最小值为( )
A． B．
C． D．4
三角恒等变换经常遇到“弦化切”的转换，并通过“弦化切”构造正切函数之间的方程，或和、或积、或倒数和等关系实现问题减元，进而采用基本不等式或函数单调性求最值是常用策略．
变式1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a不是最大边．若a2－b2=2bcsin A，则tan A－9tan B的最小值是____．
与边的平方相关
例2 (1) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知a=4，2S=a2－(b－c)2，则△ABC周长的最大值为____．
(2) (2025·长沙期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且外接圆半径为R=5，则的最大值为___．
余弦定理与边的平方相关，边的齐次分式可化为正弦函数比值，即在有边的平方的三角函数最值问题中，常利用余弦定理、正弦定理结合基本不等式求解．此外，借助面积公式将问题转化为三角函数最值也是常用的策略，在特定的情况下还可使用一些二级结论进行求解(如外森比克不等式)．
变式2 (1) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的三边长，若a2＋b2＋2c2=8，则△ABC面积的最大值为____．
(2) 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bcos C＋c=a，c=1，则a2＋b2的取值范围为____．
与轨迹相关
例3 (1) 满足AB=2，AC=BC的△ABC的面积的最大值是____．
(2) (2025·芜湖二模)(多选)在△ABC中，已知CA＋CB=10，AB=8，则此三角形的面积可能为( )
A．e2 B．10
C．12 D．15
当三角形的边角关系满足圆锥曲线定义时，可建立平面直角坐标系，确定三角形顶点轨迹，结合圆锥曲线的方程与性质解决三角形中的某些最值问题．
变式3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC=a=6，sin B= C，则当△ABC的面积最大时，AC的长为____．
配套热练—练习1
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin A=acos C．
(1) 求角C的大小；
(2) 若c=2，求△ABC面积的最大值．
2．(2025·黄山一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－b)(sin A＋sin B)=(c－b)sin C．
(1) 求角A的大小；
(2) 若a=1，求b－c的取值范围．
3．(2025·武汉一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=ccos B．
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC是锐角三角形，且c=4，求a的取值范围．
B组 融会贯通——提能训练
4．在△ABC中，tan A=，tan B=，若△ABC最长边的长为，则最短边的长为( )
A．1 B．
C．2 D．3
5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan C=，则的取值范围是( )
A．(－3，－2) B．(－3，－1)
C．(－3，0) D．(－3，1)
6．(多选)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且(tan A－1)(tan B－1)=4，则( )
A．C= B．a的取值范围为
C．的最大值为2 D．sin 2A－cos 2B的取值范围为
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A=c，则=____；若c=2，则当tan(A－B)取得最大值时，△ABC的面积为____．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足=，则△ABC周长的最大值为___．
9．在△ABC中，点D在边BC上，AD=，tan ∠CAB=，∠DAB=45°，则△ABC面积的最小值是____．
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan Atan B=(2tan A－tan B)tan C．若b=2，则当角B取最大值时，△ABC的面积是____．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B= ，则角A的大小是___；若BC=2，则的最大值是____．
配套热练—练习2
1．(2025·徐州2月调研)若满足条件C=，AB=，BC=a的△ABC有两个，则a的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(1，2)
2．已知锐角三角形ABC的面积为2，A=，则边AB的取值范围是( )
A．(1，2) B．(，2)
C．(2，4) D．(2，4)
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2=12，A=，则△ABC面积的最大值为( )
A． B．
C． D．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高为h，且h=，则＋＋的最大值是( )
A．2 B．2
C．4 D．6
5．(2025·萍乡二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，＋=3，则△ABC面积的最大值为( )
A．3 B．
C． D．2
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos C=2ccos A，则的最大值为( )
A． B．
C． D．3
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=6，a=2c，则△ABC面积的最大值是____．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3－cos A)sin B=sin A(1＋cos B)，a＋c=6，则△ABC面积的最大值为____．
9．记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C=－，则角B的取值范围是____．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2=2absin C，则△ABC的形状为____．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若AC边上的高为b，则的最大值为___．
12．(2025·德州下学期开学考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2－2b2，则A－B的最大值为____．
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专题二
5 三角形中的最值问题探究
三角函数与解三角形
基础打底
【解析】
C
【答案】玉
【解析】
【答案】B
【解析】
2
【解析】
4
强技提能
目标
1
与正切相关
1
【解析】
【答案】A
【解析】
1
【答案】B
三角恒等变换经常遇到“弦化切”的转换，并通过“弦化切”构造正切函数之间的方程，或和、或积、或倒数和等关系实现问题减元，进而利用基本不等式或函数单调性求最值是常用策略．
变式1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a不是最大边． 若a2－b2＝2bcsin A，则tan A－9tan B的最小值是_______．
【解析】
【答案】－2
目标
2
与边的平方相关
(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知a＝4，2S＝a2－(b－c)2，则△ABC周长的最大值为__________．
2
【解析】
【解析】
2
余弦定理与边的平方相关，边的齐次分式可化为正弦函数比值，即在有边的平方的三角函数最值问题中，常利用余弦定理、正弦定理并结合基本不等式求解．此外，借助面积公式将问题转化为三角函数最值也是常用的策略，在特定的情况下还可使用一些二级结论进行求解(如外森比克不等式)．
变式2 (1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的三边长，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为_______．
【解析】
【解析】
【答案】(1，7)
目标
3
与轨迹相关
3
【解析】
【解析】
3
【答案】 AC
当三角形的边角关系满足圆锥曲线定义时，可建立平面直角坐标系，确定三角形顶点轨迹，结合圆锥曲线的方程与性质解决三角形中的某些最值问题．
【解析】
热练
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 csin A＝acos C．
(1)求角C的大小；
【解答】
1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 csin A＝acos C．
(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【解析】
【解析】
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan Atan B＝(2tan A－tan B)tan C．若b＝2，则当角B取最大值时，△ABC的面积是_______．
【解析】
【解析】
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
C
【解析】
【答案】A
【解析】
【答案】C
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，则△ABC面积的最大值是______．
【解析】
12
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3－cos A)sin B＝sin A(1＋cos B)，a＋c＝6，则△ABC面积的最大值为_______．
【解析】
【解析】
【解析】
等边三角形
【解析】
12．(2025·德州下学期开学考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2＝2a2－2b2，则A－B的最大值为______．
【解析】
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，两式相减得2(a2－b2)＝2c(acos B－bcos A)．
因为c2＝2a2－2b2，所以c＝2(acos B－bcos A)，由正弦定理得sin C＝2(sin A·cos B－sin Bcos A)，即sin(A＋B)＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，则sin Acos B＝3cos Asin B．
因为在△ABC中，cos A，cos B不同时为0，sin A＞0，sin B＞0，所以cos A≠0，cos B≠0，从而tan A＝3tan B．5 三角形中的最值问题探究
基础打底
1．(2025·宁德期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＋b2=c2，则tan A的最大值为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：由2a2＋b2=c2，得a2=c2－b2，由余弦定理得cos A==≥=，所以0＜A≤，则tan A≤．
方法二：由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=2a2＋b2，所以a=－2bcos C，即sin A=－2sin Bcos C，又sin A=sin(B＋C)，代入可得sin(B＋C)=sin Bcos C＋cos Bsin C=－2sin Bcos C，化简得tan C=－3tan B，故tan A=－tan(B＋C)=－=．因为cos C=－＜0，所以＜C＜π，所以0＜B＜，所以tan B∈(0，＋∞)，所以tan A=，而＋3tan B≥2，当且仅当=3tan B，即tan B=时取等号，所以tan A=≤．
2．(2025·湛江期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=b(C＋sin C)，且a＋c=4，则b的最小值是( B )
A． B．2
C．2 D．2
【解析】 由a=b(C＋sin C)及正弦定理得 A= Bcos C＋sin Bsin C．因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)=sin Bcos C＋cos Bsin C，所以 A= Bcos C＋Bsin C= Bcos C＋sin Bsin C，所以Bsin C=sin Bsin C．因为sin C＞0，所以tan B=，则B=．由余弦定理得b2=a2＋c2－2accos B=(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32==4，当且仅当a=c=2时等号成立，所以b≥2，即b的最小值为2．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，＋cos A=2，则的值为__2__，cos B的取值范围为____．
【解析】 由＋cos A=2，得＋cos A=2，即sin Acos B＋cos Asin B =2sin B，即sin(A＋B)=sin C=2sin B，由正弦定理得c=2b，即=2．而cos B ====＋≥2=，当且仅当=，即b=时取等号，又B∈(0，π)，所以cos B＜1，故cos B的取值范围为．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h．若h=a，则的最大值为__4__．
【解析】 若h=a，则S△ABC=bcsin A=ah=a2，可得bc=．根据余弦定理，得a2=b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2=a2＋2bccos A，所以= =＋2cos A=＋2cos A=2 A＋2cos A=4sin ，当A＋=，即A=时，取得最大值4．
强技提能
与正切相关
例1 (1) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，＋＋=1，则△ABC面积的最大值为( A )
A．1＋ B．1＋
C．2 D．2
【解析】 由＋＋=1，可得tan A＋tan B＋1=tan Atan B，即＋＋1=，所以sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B=sin Asin B，即sin(A＋B)=－cos(A＋B)．在△ABC中，sin(A＋B)=sin C，cos(A＋B)=－cos C，则有sin C=cos C，又C∈(0，π)，所以C=．由余弦定理可得c2=b2＋a2－2ab≥2ab－ab，当且仅当a=b时取等号，而c=2，所以ab≤=2(2＋)，所以S△ABC=absin C≤×2(2＋)×=1＋．
(2) 在斜三角形ABC中，若sin A=cos B，则3tan B＋tan C的最小值为( B )
A． B．
C． D．4
【解析】 因为sin A=cos B＞0，所以B为锐角，sin 2A=cos 2B，则1－cos 2A=1－sin 2B，即cos 2A=sin 2B，所以=，即tan 2A=，所以tan Atan B=±1．当tan Atan B=1时，cos Acos B－sin A·sin B=0，即cos(A＋B)=0，所以A＋B=，不合题意；当tan Atan B=－1时，tan(A＋B)=，所以tan C =tan［π－(A＋B)］=－tan(A＋B)=－，所以3tan B＋tan C=3tan B－=tan B－tan A=tan B＋≥2=，当且仅当tan B z=，即tan B=时等号成立．
三角恒等变换经常遇到“弦化切”的转换，并通过“弦化切”构造正切函数之间的方程，或和、或积、或倒数和等关系实现问题减元，进而采用基本不等式或函数单调性求最值是常用策略．
变式1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a不是最大边．若a2－b2=2bcsin A，则tan A－9tan B的最小值是__－2__．
【解析】 由余弦定理得a2－b2=c2－2bccos A，则c2－2bccos A=2bcsin A，即c－2bcos A=2bsin A，由正弦定理得sin C－2cos Asin B=2sin Asin B，则sin Acos B－cos Asin B=2sin Asin B，所以tan A－tan B=2tan Atan B，则－=2，即tan B=．
方法一：tan A－9tan B=tan A－=(2tan A＋1)＋－5≥－2，当且仅当tan A=1时取等号．
方法二：tan A－9tan B=(tan A－9tan B)=≥－2，当且仅当tan A=1时取等号．
与边的平方相关
例2 (1) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．已知a=4，2S=a2－(b－c)2，则△ABC周长的最大值为__4＋4__．
【解析】 因为2S=a2－(b－c)2，而S=bcsin A，所以2×bcsin A=a2－(b－c)2，整理得a2=b2＋c2－bc(2－sin A)．由余弦定理a2=b2＋c2－2bccos A，可得2－sin A=2cos A．又因为sin 2A＋cos 2A=1，A∈(0，π)，所以sin A=，cos A=．又因为a=4，所以由a2=b2＋c2－bc(2－sin A)，可得16=b2＋c2－bc=(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－2，解得b＋c≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，所以△ABC的周长a＋b＋c≤4＋4，即△ABC周长的最大值为4＋4．
(2) (2025·长沙期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且外接圆半径为R=5，则的最大值为____．
【解析】 方法一(正弦定理＋余弦定理＋基本不等式＋三角最值)：设a2＋b2＋2c2=t，由余弦定理可得a2＋b2－c2=2abcos C，所以2a2＋2b2－2c2=4abcos C，所以3(a2＋b2)=t＋4abcos C．因为a2＋b2≥2ab，所以t＋4abcos C≥6ab，即ab≤，当且仅当a=b时取等号．因为外接圆半径为R=5，所以c=2Rsin C=10sin C．因为C∈(0，π)，所以∈，所以tan ＞0，所以=≤==．令=k，则5sin C＋2kcos C=3k=(C＋φ)，则3|k|≤，所以5k2≤25，所以k≤，所以的最大值为．
方法二(正弦定理＋中线长定理＋基本不等式＋面积法)：如图，取AB的中点D，连接CD，设CD=m．由S=absin C=，及2(a2＋b2)=c2＋(2m)2(平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和)，得原式==≤ ==θ≤，当且仅当θ=且c2=m2，即a=b且c2=m2时取等号，所以的最大值为．
方法三(正弦定理＋加权形式的外森比克不等式)：由S=absin C=，得=．由加权形式的外森比克不等式，得a2＋b2＋2c2≥4S=4S，所以原式=≤=，当且仅当cot A∶cot B∶cot C=1∶1∶2时取等号，所以的最大值为．
余弦定理与边的平方相关，边的齐次分式可化为正弦函数比值，即在有边的平方的三角函数最值问题中，常利用余弦定理、正弦定理结合基本不等式求解．此外，借助面积公式将问题转化为三角函数最值也是常用的策略，在特定的情况下还可使用一些二级结论进行求解(如外森比克不等式)．
变式2 (1) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的三边长，若a2＋b2＋2c2=8，则△ABC面积的最大值为____．
【解析】 方法一(余弦定理＋基本不等式＋三角最值)：由a2＋b2＋2c2=8，得a2＋b2＋2(a2＋b2－2ab·cos C)=8，即3(a2＋b2)=8＋4abcos C，又a2＋b2≥2ab，所以8＋4abcos C≥6ab，所以ab≤，所以S△ABC=absin C≤．
令=t，则2sin C＋2tcos C=3t，即2(C＋φ)=3t，所以|3t|≤2，所以5t2≤4，所以t的最大值为．
方法二(三斜求积＋整体代换＋基本不等式)：由a2＋b2＋2c2=8，得a2＋b2=8－2c2，所以S△ABC=absin C=ab=≤==≤××2=，当且仅当a2=b2且c2=4－c2，即c2=，a2=b2=时取等号．
方法三(中线长定理＋基本不等式)：由2(a2＋b2)=c2＋(2m)2(平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和)，得a2＋b2=c2＋2m2=8－2c2，所以m2＋c2=4≥mc，所以mc的最大值为，则S=mcsinθ≤mc≤．
方法四：(加权形式的外森比克不等式)a2＋b2＋2c2=8≥4S=4S，当且仅当cot A∶cot B∶cot C=1∶1∶2时取等号，所以S≤．
(2) 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bcos C＋c=a，c=1，则a2＋b2的取值范围为__(1，7)__．
【解析】 因为bcos C＋c=a，所以由正弦定理得2sin Bcos C＋sin C=2sin A=2sin(B＋C)=2sin B·cos C＋2cos Bsin C，整理得2cos Bsin C=sin C，因为B，C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos B=，所以B=．因为△ABC为锐角三角形，所以解得C∈．又因为B=，c=1，所以由正弦定理=，得a==，同理b==，所以a2＋b2=＋ =====＋＋1，因为C∈，所以tan C＞，令t=∈(0，)，所以a2＋b2=t2＋t＋1在t∈(0，)上单调递增，则1＜a2＋b2＜7，所以a2＋b2的取值范围为(1，7)．
与轨迹相关
例3 (1) 满足AB=2，AC=BC的△ABC的面积的最大值是__2__．
【解析】 方法一：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB·BCsin B=×2x，由余弦定理得cos B===，代 入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系得解得2－2＜x＜2＋2，故当x=2时，S△ABC取得最大值2．
方法二：以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)(y≠0)，则(x＋1)2＋y2=2(x－1)2＋2y2，化简得x2＋y2－6x＋1=0(y≠0)，即(x－3)2＋y2=8(y≠0)，圆周上的点到x轴的距离的最大值为2，所以(S△ABC)max=×2×2=2．
(2) (2025·芜湖二模)(多选)在△ABC中，已知CA＋CB=10，AB=8，则此三角形的面积可能为( AC )
A．e2 B．10
C．12 D．15
【解析】 方法一：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．因为CA＋CB=10，AB=8，即a＋b=10，c=8，所以cos C== ==－1．因为0＜C＜π，所以sin C== =6，故△ABC的面积S=absin C=ab×6=3．因为ab≤=25，当且仅当a=b=5时等号成立，所以S=3≤3× =12，则此三角形面积的最大值为12．因为10＞12，15＞12，e2＜12，所以A，C正确．
方法二：以AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则点C在椭圆＋=1(y≠0)上，可知当点C为椭圆的上、下顶点时，△ABC的面积最大，为×8×3=12，所以S△ABC∈(0，12］．
当三角形的边角关系满足圆锥曲线定义时，可建立平面直角坐标系，确定三角形顶点轨迹，结合圆锥曲线的方程与性质解决三角形中的某些最值问题．
变式3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC=a=6，sin B= C，则当△ABC的面积最大时，AC的长为__2__．
【解析】 因为sin B= C，由正弦定理可得b=c，即c=2b．因为BC=6，不妨令B(－3，0)，C(3，0)，设点A的坐标为A(x，y)(y≠0)，则点A的轨迹方程满足=2，整理可得(x－5)2＋y2=16(y≠0)，即点A的轨迹是以(5，0)为圆心，4为半径的圆(与x轴的两交点除外)，当点A的坐标A(5，4)或A(5，－4)时，△ABC的面积最大，其最大值为S=×6×4=12，此时AC==2．
配套热练—练习1
A组 基础必会——过关训练
1．(2025·萍乡一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin A=acos C．
(1) 求角C的大小；
【解答】 由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C．因为0＜sin A≤1，所以sin C=cos C，即tan C=1．又C∈(0，π)，所以C=．
(2) 若c=2，求△ABC面积的最大值．
【解答】 由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C，所以4=a2＋b2－ab≥2ab－ab=(2－)ab，所以ab≤=4＋2，当且仅当a=b=时等号成立．S△ABC=absin C≤×(4＋2)×sin =＋1，即△ABC面积的最大值为＋1．
2．(2025·黄山一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－b)(sin A＋sin B)=(c－b)sin C．
(1) 求角A的大小；
【解答】 由正弦定理得(a－b)(a＋b)=(c－b)c，所以a2－b2=c2－bc，则cos A===．又0＜A＜，所以A=．
(2) 若a=1，求b－c的取值范围．
【解答】 因为a=1，A=，所以===2，则b=2sin B，c=2sin C，所以b－c=2 B－2sin C=2 B－2sin =2 B－2= B－cos B=2sin ．因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜B＜，则B－∈，所以sin ∈，则2sin ∈(1，)，所以b－c的取值范围为(1，)．
3．(2025·武汉一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=ccos B．
(1) 求角B的大小；
【解答】 b=ccos B，由正弦定理可得sin Bsin C= Ccos B．因为B，C∈(0，π)，所以sin C＞0，从而sin B=B＞0，则有tan B=，故B=．
(2) 若△ABC是锐角三角形，且c=4，求a的取值范围．
【解答】 因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜C＜，所以tan C＞，则0＜＜．由正弦定理得=，所以a= ===2＋∈(2，8)，即a的取值范围是(2，8)．
B组 融会贯通——提能训练
4．在△ABC中，tan A=，tan B=，若△ABC最长边的长为，则最短边的长为( C )
A．1 B．
C．2 D．3
【解析】 由A，B∈(0，π)，且0＜tan A＜tan B，可得0＜A＜B＜，所以a＜b．根据tan(A＋B)===1，可得tan C=－tan(A＋B)=－1，结合C∈(0，π)，可知C=，所以A＜B＜C，可得a＜b＜c，则c=，且a为最短边．由tan A=，可得解得sin A=，由正弦定理得a==×=2．
5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan C=，则的取值范围是( B )
A．(－3，－2) B．(－3，－1)
C．(－3，0) D．(－3，1)
【解析】 由tan C=，可得=，所以sin Ccos A=cos C－sin Acos C，即sin Ccos A＋sin Acos C=sin(A＋C)=cos C．因为A＋C=π－B，可得sin B=cos C，所以B=－C或B=＋C．当B=－C，即B＋C=时，A=，可得tan C=0，不符合题意，舍去；当B=＋C时，A=－2C且0＜C＜，则======4sin 2C－3．又0＜C＜，所以sin 2C∈，故的取值范围为(－3，－1)．
6．(多选)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且(tan A－1)(tan B－1)=4，则( ACD )
A．C= B．a的取值范围为
C．的最大值为2 D．sin 2A－cos 2B的取值范围为
【解析】 对于A，(tan A－1)(tan B－1)=4，即3tan Atan B－(tan A＋tan B)=3，整理可得=－，即tan(A＋B)=－，在△ABC中，tan(A＋B)=－tan C，故tan C=，又△ABC为锐角三角形，所以C=，故A正确；对于B，由A可知C=，可得sin B=sin(A＋C)=sin ，由正弦定理 =，b=2，得=，则a==，又A∈，所以sin A≠0，则a=，由△ABC为锐角三角形可得所以＜A＜，从而tan A∈，则∈(0，3)，所以a∈(1，4)，故B错误；对于C，由余弦定理cos C==，可得(a＋b)2－c2=3ab，等式两边同除以c2可得2－1=3××≤2，所以2≤4，解得≤2，当且仅当=，即a=b时取得等号，故C正确；对于D，sin A=sin(B＋C)=sin = B＋B，所以sin 2A= 2B＋2B＋ 2B，从而sin 2A－cos 2B= 2B－2B＋ 2B=－2B＋ 2B=，由B可知B∈，所以2B－∈，从而sin ∈，所以∈，即sin 2A－cos 2B的取值范围为，故D正确．
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A=c，则=__3__；若c=2，则当tan(A－B)取得最大值时，△ABC的面积为____．
【解析】 在△ABC中，由acos B－bcos A=c及正弦定理，得sin Acos B－cos Asin B= C=(A＋B)=(sin Acos B＋cos Asin B)，因此sin Acos B=3cos Asin B，所以=3，且tan A=3tan B＞0，则tan(A－B)==≤=，当且仅当tan B=时取等号．因此当tan B=，tan A=，即B=30°，A=60°时，tan(A－B)取得最大值，此时C=90°．由c=2，得a=，b=1，所以△ABC的面积S=ab=．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足=，则△ABC周长的最大值为__3__．
【解析】 根据正弦定理及外接圆半径R=1，可得c=2Rsin C=2sin C，b=2Rsin B=2sin B．因为tan A=，tan C=，所以==，所以sin Acos C=2sin Bcos A－sin C·cos A，即sin Acos C＋cos Asin C=sin(A＋C)=sin B=2sin Bcos A．因为sin B≠0，所以cos A=．又A为三角形内角，所以A=．又cos A==，且a=2sin A=，所以bc=b2＋c2－a2=b2＋c2－3，故3bc=(b＋c)2－3≤3×2，所以b＋c≤2，当且仅当b=c=时取等号，故△ABC周长的最大值为3．
9．在△ABC中，点D在边BC上，AD=，tan ∠CAB=，∠DAB=45°，则△ABC面积的最小值是____．
【解析】 因为tan ∠CAB=，sin 2∠CAB＋cos 2∠CAB=1，所以sin∠CAB=．因为∠DAB=45°，所以tan ∠CAD=tan(∠CAB－∠DAB)===．又sin 2∠CAD＋cos 2∠CAD=1，所以sin∠CAD=．由S△ABC=S△CAD＋S△BAD=b·∠CAD＋c··sin∠DAB =bcsin∠CAB，整理得7b＋13c=12bc，所以7b＋13c=12bc≥2，解得bc≥，当且仅当c=，b=时等号成立，所以S△ABC=bcsin∠CAB=bc≥×=，故△ABC面积的最小值为．
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan Atan B=(2tan A－tan B)tan C．若b=2，则当角B取最大值时，△ABC的面积是____．
【解析】 由题知tan Btan C＋tan Atan B=2tan Atan C，所以=2·，即=2·，所以=2·．由sin(C＋A)=sin B，得sin 2B=2sin Asin Ccos B．由正弦定理及余弦定理得b2=2ac·=a2＋c2－b2，所以a2＋c2=2b2．又cos B ===≥=，当且仅当a=c时取等号，此时B取得最大值，△ABC为等边三角形．由b=2，得a=c=2，所以△ABC的面积为acsin B=×2×2×=．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B= ，则角A的大小是____；若BC=2，则的最大值是__2＋2__．
【解析】 因为tan A＋tan B=，所以由余弦定理得tan A＋tan B= =，再由正弦定理得tan A＋tan B=．又tan A＋tan B=＋ ===，所以=．在△ABC中，sin C＞0，cos B≠0，所以sin A=cos A，从而tan A=1．又A∈(0，π)，所以A=．由余弦定理可得a2=c2＋b2－2cbcos A=c2＋b2－cb=4，即c2＋b2=4＋cb，所以4＋bc≥2bc，即bc≤，所以=cbcos A≤×= 2＋2，当且仅当b=c时等号成立．
配套热练—练习2
1．(2025·徐州2月调研)若满足条件C=，AB=，BC=a的△ABC有两个，则a的取值范围是( C )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(1，2)
【解析】 根据正弦定理可知=，代入可求得sin A=．因为满足条件的△ABC有两个，所以A有两个值，即函数y=sin x，x∈与y=，a＞0的图象有两个交点．如图，由图可知＜＜1，所以a∈(，2)．
2．已知锐角三角形ABC的面积为2，A=，则边AB的取值范围是( C )
A．(1，2) B．(，2)
C．(2，4) D．(2，4)
【解析】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．由题意，在锐角三角形ABC中，A=，可得B＋C=，所以解得＜C＜．同理可得＜B＜．由题意可得△ABC的面积S=bcsin A=2，则bc=8．由正弦定理可得b=，所以bc==8，即c2=== =4＋．而由＜B＜，可得tan B＞，可得c2∈(4，16)，所以AB=c∈(2，4)．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2=12，A=，则△ABC面积的最大值为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 由余弦定理知a2=b2＋c2－2bccos A，又a2＋b2＋c2=12且A=，可得bccos A＋a2=6，即a2=＋6．又由a2＋b2＋c2=12，可得b2＋c2＋=6．因为b2＋c2≥2bc，所以2bc＋≤6，解得bc≤，当且仅当b=c时等号成立，即bc的最大值为，所以△ABC面积的最大值为×=．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高为h，且h=，则＋＋的最大值是( C )
A．2 B．2
C．4 D．6
【解析】 由余弦定理可得b2＋c2=a2＋2bccos A，则＋＋== =＋2cos A，而S△ABC=bcsin A=ah=a2，故a2=bcsin A，所以＋＋=＋2cos A=2 A＋2cos A=4sin ≤4，当且仅当A=时取等号．
5．(2025·萍乡二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，＋=3，则△ABC面积的最大值为( A )
A．3 B．
C． D．2
【解析】 对＋=3进行化简，通分可得= ===3，即5－4cos A=3sin A．又sin 2A＋cos 2A=1，解得sin A=，cos A=．已知a=2，由余弦定理a2=b2＋c2－2bccos A，可得4=b2＋c2－bc≥2bc－bc=bc，即bc≤10，当且仅当b=c时取等号，所以S△ABC=bcsin A=bc≤×10=3．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos C=2ccos A，则的最大值为( C )
A． B．
C． D．3
【解析】 由余弦定理可知cos C=，cos A=，由acos C=2ccos A可得a·=2c·，化简可得a2＋b2－c2=2b2＋2c2－2a2，所以3a2=b2＋3c2，即a2=，所以==≤=，当且仅当=，即b=c时等号成立，所以的最大值为．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=6，a=2c，则△ABC面积的最大值是__12__．
【解析】 以线段AC的中点O为坐标原点，以边AC所在直线为x轴，以线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3，0)，C(3，0)．设B(x，y)．由a=2c得=2，化简并整理得(x＋5)2＋y2=16，即△ABC的顶点B在圆(x＋5)2＋y2=16(y≠0)上运动．易知△ABC的面积S=×6×|yC|=3|yC|≤12，当x=－5，y=±4时取等号，所以△ABC面积的最大值为12．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3－cos A)sin B=sin A(1＋cos B)，a＋c=6，则△ABC面积的最大值为__2__．
【解析】 由题知3sin B=sin A＋sin Bcos A＋cos Bsin A=sin A＋sin(B＋A)=sin A＋sin C，由正弦定理得3b=a＋c，由于a＋c=6，所以b=2．以线段AC的中点O为坐标原点，以边AC所在直线为x轴，以线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．因为a＋c=6，由椭圆定义可知点B在以A(－1，0)，C(1，0)为焦点的椭圆＋=1(x≠±3)上，此时△ABC即为焦点三角形，所以S△ABC≤×2×=2．
9．记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C=－，则角B的取值范围是____．
【解析】 因为2cos C=－，所以2abcos C=3b2－a2，由余弦定理可得2abcos C=a2＋b2－c2，则3b2－a2=a2＋b2－c2，所以b2=a2－c2．在锐角三角形ABC中，由余弦定理可得cos B====．因为即即2a2＞c2，所以＜，从而cos B=＜×=，所以B∈．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋c2=2absin C，则△ABC的形状为__等边三角形__．
【解析】 方法一：由a2＋b2＋c2=a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)=2absin C，得a2＋b2=2absin ，由于2ab≤a2＋b2=2absin ≤2ab，故只能a=b且C=，所以△ABC的形状为等边三角形．
方法二：(外森比克不等式)2absin C=a2＋b2＋c2≥4S=4×absin C，只能取等号，当且仅当a=b=c时取等号，所以△ABC的形状为等边三角形．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若AC边上的高为b，则的最大值为__2＋__．
【解析】 由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=×b2，即b2=3acsin B．由余弦定理得b2=a2＋c2－2accos B，所以3acsin B=(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，整理可得=3sin B＋2cos B＋2=(B＋φ)＋2≤＋2，其中φ为锐角，且tan φ=．因为0＜B＜π，所以φ＜B＋φ＜π＋φ，故当B＋φ=，即B=－φ时，取最大值＋2，此时tan B=tan ====，故的最大值为2＋．
12．(2025·德州下学期开学考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2－2b2，则A－B的最大值为____．
【解析】 由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A，b2=a2＋c2－2accos B，两式相减得2(a2－b2)=2c(acos B－bcos A)．因为c2=2a2－2b2，所以c=2(acos B－bcos A)，由正弦定理得sin C=2(sin A·cos B－sin Bcos A)，即sin(A＋B)=2(sin Acos B－sin Bcos A)，所以sin Acos B＋sin Bcos A=2(sin Acos B－sin Bcos A)，则sin Acos B=3cos Asin B．因为在△ABC中，cos A，cos B不同时为0，sin A＞0，sin B＞0，所以cos A≠0，cos B≠0，从而tan A=3tan B．又c2=2a2－2b2＞0，所以a＞b，则A＞B，故0＜B＜，则tan B＞0，所以tan(A－B)== =≤=，当且仅当=3tan B，即tan B=时等号成立．又0＜A－B＜π，所以A－B≤，即A－B的最大值为．
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