专题一 不等式、平面向量
1 基本不等式处理多变量最值问题
基础打底
1．已知a＞b＞0，p：x＜，q：x＜，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
2．已知0＜a＜，则a的最大值为( )
A． B．
C．1 D．
3．若a＞0，b＞0，且a＋b=4，则下列不等式恒成立的是( )
A．0＜a＜2 B．＋≤1
C．≤2 D．a2＋b2≤8
4．已知正实数x，y满足x2＋3xy－2=0，则2x＋y的最小值为( )
A． B．
C． D．
强技提能
消元法
例1 (1) (2025·开封调研)已知正实数m，n满足mn=2，则＋＋的最小值为( )
A．2 B．3
C．3 D．4
(2) (2025·诸暨质检)已知x，y，z均为正数，且＋=2，x＋2y＋2z=xyz，则xyz的最小值为____．
消元法就是对不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．
变式1 已知5m2n2＋n4=1，则m2＋n2的最小值为( )
A． B．
C． D．
换元法
例2 (1) 已知正数a，b，c满足2a＋b＋3c=8，则＋的最小值为( )
A．2 B． C．3－1 D．
(2) (2025·常州质检)已知x＞0，y＞0，且x2＋3y2＋4xy=8，则3x＋5y的最小值为____．
使用换元法再利用基本不等式求最值，一般有两种类型：
(1) 题目是求两个分式的最值问题．分别将两个分式的分母设为两个参数，将已知多项式转化成这两个新参数之间的关系，再对待求目标式作变量代换，最后利用基本不等式求解．
(2) 针对ax2＋by2＋cxy=d(d≠0)，求关于x，y的多项式的最值问题．通过因式分解消交叉项xy，设新元w，z，转化为wz=d的简洁形式，再用新元表示原变量，代入目标式结合基本不等式求解．
变式2 (1) 若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c=2，则＋的最小值为____．
(2) 已知实数x，y满足x2＋xy－6y2=5，则x2＋4xy＋8y2的最小值是____．
多次使用基本不等式
例3 (1) (2025·承德调研)已知x＞0，y＞0，且x＋2y=1，则＋＋＋的最小值为____．
(2) 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b=1，则＋＋的最小值是___．
连续使用基本不等式求最值，变量独立是基础，等号能成立条件是关键，这样才能求出多元变量式子的最值．
变式3 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c=3，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．4
C．6 D．9
双重最值问题
例4 设a＞0，b＞0，c＞0，已知a2c＋b2c=1，则min=____．
变式4 若a＞0，b＞0，c＞0，则max=____．
配套热练
1．(多选)下列各式的最小值是4的有( )
A．＋ B．x2＋1＋
C．2x＋ D．2＋
2．已知正数m，n满足＋=2，则m＋3n的最小值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
3．已知x∈(0，＋∞)，则y=x＋＋的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．
4．已知a＞0，b＞0，且a＋2b=2，若3t2－t≤＋恒成立，则实数t的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．已知正数a，b满足(a－1)(b－2)=2，则ab的最小值为( )
A．4 B．6
C．2 D．8
6．若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
7．设实数x，y满足x2－3xy－4y2=1，则x2＋4y2的最小值为( )
A． B．
C． D．1
8．已知正数a，b，c满足＋=1，＋=1，则c的最大值为( )
A． B．
C．2 D．
9．已知a＞－1，b＜2，＋=，则a－b的最小值为____．
10．设实数x，y满足x＞，y＞1，则＋的最小值是____．
11．若x，y，z均为正实数，且x2＋y2＋z2=1，则的最小值为____．
12．记min{a，b}为a，b中的最小值．当正数x，y变化时，令t=min，则t的最大值为___．
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1 基本不等式处理多变量最值问题
基础打底
1．已知a＞b＞0，p：x＜，q：x＜，则p是q成立的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【解析】 由a＞b＞0，得＜，则当x＜时，一定有x＜，即q p；反之不一定成立，如取a=3，b=1，x=1.9，则=2，=，显然x＜成立，而x＞，因此p成立，q不一定成立．综上，p是q成立的必要不充分条件．
2．已知0＜a＜，则a的最大值为( C )
A． B．
C．1 D．
【解析】 因为0＜a＜，所以2－a2＞0，从而a=≤=1，当且仅当a2=2－a2，即a=1时取等号，所以a的最大值为1．
3．若a＞0，b＞0，且a＋b=4，则下列不等式恒成立的是( C )
A．0＜a＜2 B．＋≤1
C．≤2 D．a2＋b2≤8
【解析】 因为a＞0，b＞0，当a=3，b=1时，满足a＋b=4，而ab=3，＋=＋1=，a2＋b2=10，所以选项A，B，D错误．由基本不等式a＋b≥2，得≤=2，当且仅当a=b=2时取等号，故C正确．
4．已知正实数x，y满足x2＋3xy－2=0，则2x＋y的最小值为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 因为正实数x，y满足x2＋3xy－2=0，所以y=－，则2x＋y=2x＋－=＋≥2=，当且仅当x=，y=时等号成立，所以2x＋y的最小值为．
强技提能
消元法
例1 (1) (2025·开封调研)已知正实数m，n满足mn=2，则＋＋的最小值为( C )
A．2 B．3
C．3 D．4
【解析】 由mn=2，可得n=，则＋＋=＋m＋．设＋m=t，则t≥2，原式为t＋≥2=3，当且仅当t=时等号成立．
(2) (2025·诸暨质检)已知x，y，z均为正数，且＋=2，x＋2y＋2z=xyz，则xyz的最小值为__16__．
【解析】 由＋=2可得x＋2y=2xy，则xyz=x＋2y＋2z=2xy＋2z≥4，即得xyz≥16，当且仅当x=4－2，y=2＋，z=4或x=4＋2，y=2－，z=4时取等号．
消元法就是对不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．
变式1 已知5m2n2＋n4=1，则m2＋n2的最小值为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由5m2n2＋n4=1，可得n≠0，m2=，于是m2＋n2=≥×2=，当且仅当=4n2，即n2=时取等号，即当n2=，m2=时，m2＋n2取得最小值．
换元法
例2 (1) 已知正数a，b，c满足2a＋b＋3c=8，则＋的最小值为( D )
A．2 B．
C．3－1 D．
【解析】 正数a，b，c满足2a＋b＋3c=8，即2(a＋c)＋(b＋c)=8，令a＋c=m，b＋c=n，故2m＋n=8，m＞0，n＞0．＋=＋=＋＋1=＋＋1=＋＋1=＋＋，＋=(2m＋n)=≥ =，当且仅当=，2m＋n=8，即m=4－4，n=16－8时等号成立，故＋=＋＋≥＋=．
(2) (2025·常州质检)已知x＞0，y＞0，且x2＋3y2＋4xy=8，则3x＋5y的最小值为__8__．
【解析】 由x2＋3y2＋4xy=8，因式分解可得(x＋3y)(x＋y)=8．令a=x＋y，b=x＋3y，则a＞0，b＞0，ab=8．解方程组得此时3x＋5y=3×＋5×===2a＋b≥2=8，当且仅当2a=b，ab=8，即a=2，b=4时等号成立，此时x=y=1，所以3x＋5y的最小值为8．
使用换元法再利用基本不等式求最值，一般有两种类型：
(1) 题目是求两个分式的最值问题．分别将两个分式的分母设为两个参数，将已知多项式转化成这两个新参数之间的关系，再对待求目标式作变量代换，最后利用基本不等式求解．
(2) 针对ax2＋by2＋cxy=d(d≠0)，求关于x，y的多项式的最值问题．通过因式分解消交叉项xy，设新元w，z，转化为wz=d的简洁形式，再用新元表示原变量，代入目标式结合基本不等式求解．
变式2 (1) 若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c=2，则＋的最小值为__2＋2__．
【解析】 由题意，a＞0，b＞0，c＞0，由a＋b＋c=2，设a＋b=m，c=n(m＞0，n＞0)，则m＋n=2，故＋=＋=＋=＋－1=(m＋n)－1=3＋＋－1≥2＋2=2＋2，当且仅当m=n，m＋n=2，即m=a＋b=4－2，n=c=2－2时取等号，故＋的最小值为2＋2．
(2) 已知实数x，y满足x2＋xy－6y2=5，则x2＋4xy＋8y2的最小值是__4__．
【解析】 已知x2＋xy－6y2=5，根据十字相乘法因式分解可得(x＋3y)(x－2y)=5．设a=x＋3y，b=x－2y，则ab=5．由通过解方程组可得x=，y=．将x=，y=代入x2＋4xy＋8y2，得x2＋4xy＋8y2=2＋4××＋8×2=≥×2×2a×b=ab=4，当且仅当2a=b，ab=5，即a=，b=时等号成立．
多次使用基本不等式
例3 (1) (2025·承德调研)已知x＞0，y＞0，且x＋2y=1，则＋＋＋的最小值为__9＋6__．
【解析】 第一次使用基本不等式：因为x＋2y=1，所以＋=(x＋2y)=1＋8＋＋≥9＋2=9＋4，当且仅当=时等号成立．第二次使用基本不等式：＋≥2=2，当且仅当=时等号成立．综合结果：将两部分相加，＋＋＋≥9＋4＋2=9＋6，所以＋＋＋的最小值为9＋6．
(2) 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b=1，则＋＋的最小值是__24__．
【解析】 由于＋＋=c＋，故考虑先求出＋的最小值，＋=＋=＋＋＋2=＋＋2≥2＋2=6，则＋＋≥6c＋=6(c－2)＋＋12≥2＋12=24，当且仅当=，a＋b=1，且6(c－2)=，即a=，b=，c=3时取等号．
连续使用基本不等式求最值，变量独立是基础，等号能成立条件是关键，这样才能求出多元变量式子的最值．
变式3 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c=3，则＋＋的最小值为( A )
A．3 B．4
C．6 D．9
【解析】 第一次使用基本不等式：＋b≥2=2a，当且仅当=b，即a=b时等号成立．第二次使用基本不等式：＋c≥2b，当且仅当b=c时等号成立．第三次使用基本不等式：＋a≥2c，当且仅当c=a时等号成立．综合三个不等式：将上述三个不等式相加得＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，因为a＋b＋c=3，所以＋＋≥a＋b＋c=3，当且仅当a=b=c=1时等号成立．
双重最值问题
例4 设a＞0，b＞0，c＞0，已知a2c＋b2c=1，则min=____．
【解析】 由a2c＋b2c=1，得a2＋b2=．设max=M，则M≥，M≥，M≥=a2＋b2≥2ab．
方法一：M3≥××(a2＋b2)≥2，当且仅当a=b=2－时取等号．
方法二：3M=2＋M≥2·＋2ab=＋＋2ab≥3=3，当且仅当a=b=c=2－时取等号，所以min=．
变式4 若a＞0，b＞0，c＞0，则max=____．
【解析】 设t=min，则t≤，t≤，t≤，t≤a＋b2＋c3，故a≤，b2≤，c3≤，则t≤a＋b2＋c3≤，解得t≤，当且仅当===a＋b2＋c3，即a=b2=c3=时取等号．
配套热练
1．(多选)下列各式的最小值是4的有( BC )
A．＋ B．x2＋1＋
C．2x＋ D．2＋
【解析】 当ab＜0时，＋＜0，故A错误．因为x2＋1＞0，所以x2＋1＋≥4，当且仅当x=±1时等号成立，故B正确．因为2x＞0，所以2x＋≥4，当且仅当x=1时等号成立，故C正确．设t=≥，则2＋=2≥3＞4，故D错误．
2．已知正数m，n满足＋=2，则m＋3n的最小值为( A )
A．8 B．7
C．6 D．5
【解析】 因为＋=2，所以m＋3n=(m＋3n)=≥5＋=8，当且仅当m=n=2时取等号．
3．已知x∈(0，＋∞)，则y=x＋＋的最小值为( A )
A． B．2
C．2 D．
【解析】 由x∈(0，＋∞)，得2x＋1＞1．又y=x＋＋=＋≥2=，当且仅当=，即x=时等号成立．
4．已知a＞0，b＞0，且a＋2b=2，若3t2－t≤＋恒成立，则实数t的取值范围是( D )
A． B．
C． D．
【解析】 已知a＞0，b＞0，则＞0，＞0．因为a＋2b=2，所以＋=＋=＋＋2≥2＋2=4，当且仅当=，a＋2b=2，即a=b=时等号成立，故＋的最小值为4．因为3t2－t≤＋恒成立，所以3t2－t≤4，即(3t－4)(t＋1)≤0，解得－1≤t≤，即t∈．
5．已知正数a，b满足(a－1)(b－2)=2，则ab的最小值为( D )
A．4 B．6
C．2 D．8
【解析】 因为正数a，b满足(a－1)(b－2)=2，所以a=＋1=＞0，从而b－2＞0，所以ab====(b－2)＋＋4≥2＋4=8，当且仅当b－2=，即b=4时等号成立，所以ab的最小值为8．
6．若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为( B )
A．2 B．2
C．2 D．4
【解析】 因为a＞0，b＞0，所以＋＋b≥2＋b=＋b≥2=2，当且仅当=且=b，即a=b=时等号成立，所以＋＋b的最小值为2．
7．设实数x，y满足x2－3xy－4y2=1，则x2＋4y2的最小值为( C )
A． B．
C． D．1
【解析】 因为x2－3xy－4y2=1，所以(x－4y)(x＋y)=1．令所以因为mn=1，所以x2＋4y2=2＋42=＋==≥=，当且仅当m=2n，mn=1，即或时等号成立，所以x2＋4y2的最小值为．
8．已知正数a，b，c满足＋=1，＋=1，则c的最大值为( B )
A． B．
C．2 D．
【解析】 由题意可得=1－，a＋b=(a＋b)=＋＋2≥4，当且仅当a=b=2时取等号，则∈，进而=1－∈，即得c∈．
9．已知a＞－1，b＜2，＋=，则a－b的最小值为__9__．
【解析】 设a＋1=x＞0，2－b=y＞0，则＋=，a－b=x＋y－3=3(x＋y)－3=3－3≥9，当且仅当即x=y=6，亦即a=5，b=－4时取等号．
10．设实数x，y满足x＞，y＞1，则＋的最小值是__8__．
【解析】 因为x＞，y＞1，所以2x－1＞0，y－1＞0，从而＋4(y－1)≥8x，＋4(2x－1)≥4y，则＋≥8，当且仅当x=1，y=2时等号成立，故min=8．
11．若x，y，z均为正实数，且x2＋y2＋z2=1，则的最小值为__3＋2__．
【解析】 因为x2＋y2=1－z2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，所以≥．令t=z＋1，则t＞0，所以==≥3＋2，当且仅当z=－1时取等号．故≥≥3＋2，当且仅当x=y=，z=－1时取等号．
12．记min{a，b}为a，b中的最小值．当正数x，y变化时，令t=min，则t的最大值为____．
【解析】 因为x＞0，y＞0，所以t2≤(2x＋y)=≤==2，当且仅当x=y且2x＋y=，即x=y=时等号成立，从而t≤，所以t的最大值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
专题一
1 基本不等式处理多变量最值问题
不等式、平面向量
基础打底
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
A
强技提能
目标
1
消元法
1
【解析】
C
【解析】
1
16
消元法就是对于不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．
【解析】
C
目标
2
换元法
2
【解析】
【答案】D
(2) (2025·常州质检)已知x＞0，y＞0，且x2＋3y2＋4xy＝8，则3x＋5y的最小值为_____．
【解析】
2
8
使用换元法并利用基本不等式求最值，一般有两种类型：
(1) 题目是求两个分式的最值问题．分别将两个分式的分母设为两个参数，将已知多项式转化成这两个新参数之间的关系，再对待求目标式作变量代换，最后利用基本不等式求解．
(2) 针对ax2＋by2＋cxy＝d(d≠0)，求关于x，y的多项式的最值问题．通过因式分解消交叉项xy，设新元w，z，转化为wz＝d的简洁形式，再用新元表示原变量，代入目标式结合基本不等式求解．
【解析】
变式2 (2) 已知实数x，y满足x2＋xy－6y2＝5，则x2＋4xy＋8y2的最小值是_____．
【解析】
4
目标
3
多次使用基本不等式
3
【解析】
【解析】
3
24
连续使用基本不等式求最值，变量独立是基础，等号成立条件是关键，这样才能求出多元变量式子的最值．
【解析】
【答案】A
4
【解析】
双重最值问题
新视角
【解析】
热练
【解析】
BC
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
【答案】C
【解析】
B
【解析】
9
【解析】
8
【解析】
【解析】
