2 平面向量解题的三个切入点
基础打底
1．已知向量a，b满足a＋b=(2，3)，a－b=(－2，1)，则|a|2－|b|2=( B )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【解析】 因为向量a，b满足a＋b=(2，3)，a－b=(－2，1)，所以|a|2－|b|2=(a＋b)·(a－b)=2×(－2)＋3×1=－1．
2．在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，若=3，则=( B )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
【解析】 如图，因为D，E分别为AB，BC的中点，=3，所以==，所以=＋=＋)＋=＋．
3．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则=( D )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 如图，在正方形ABCD中，=0，||=||=1，=＋=＋，==－)，所以==2－2=－．
4．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E为中线BD上的动点，F为BC的中点，则的取值范围为__［－4，2］__．
【解析】 由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，则F(0，0)，B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2)，D(1，)，则=(2，0)，=(3，)．设=λ，其中0≤λ≤1，则可得E(3λ－2，λ)，则=(3λ－2，λ)，故=(2，0)·(3λ－2，λ)=6λ－4∈［－4，2］．
强技提能
基底法
例1 (1) (2025·如东质检)如图，在△ABC中，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，点E靠近点A，AD交CE于点P．设=a，=b，则=( B )
A．－a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】 设=λ，=μ，所以=－=λ－=λ(－)－，又=，所以=＋(1－λ)．因为=，所以=＋=＋μ=＋μ(－)=(1－μ)＋μ，所以解得所以=＋=a＋b．
(2) (2025·长沙调研)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是边BC上的动点，则·(＋)( A )
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值10 D．为变量且有最小值6
【解析】 设=λ(0≤λ≤1)，因为AB=AC=3，BC=4，所以·(＋)=(＋)·(＋)=2＋＋λ·(＋)，又λ·(＋)=λ(－)·(＋)=λ(2－2)=λ(||2－||2)=0，cos∠BAC===，所以·(＋)=2＋=||2＋||||·cos∠BAC=9＋3×3×=10．
基底法解题的两个步骤
(1) 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止，或将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
(2) 待求向量(式)用基底表示后，根据题目要求进一步求解．
变式1 (1) 如图，在△ABC中，点D在边AB上且满足=2，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则=( B )
A．＋2 B．－＋2
C．2－ D．－2＋
【解析】 由题知，A，C，F三点共线，则=λ＋(1－λ)，D，E，F三点共线，则=μ＋(1－μ)=＋，所以解得所以=－＋2．
(2) (2025·日照质检)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=1，D为AB的中点，E为CD的中点，若=，则的最大值为____．
【解析】 设=a，=b，则=＋)=＋=a＋b．设||=x，||=y，由余弦定理可得1=x2＋y2－xy，因为x2＋y2≥2xy，可得1=x2＋y2－xy≥xy，即xy≤1，当且仅当x=y时取等号．又=，所以=＋=＋=＋－)=＋=a＋b，则==(2a2＋5a·b＋2b2)==≤×=，即的最大值为．
坐标法
例2 (1) 如图，已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若=λ＋μ，则λ＋μ=( A )
A．－1 B．1－
C．＋1 D．－－1
【解析】 以C为坐标原点，DC，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得AC=，则A(0，)，B，C(0，0)，=，=(0，－)．因为CB=CD=1，∠DCB=90°＋45°=135°，所以∠BDC=22.5°．因为tan 45°==1，所以tan 22.5°=－1(负值舍去)，所以OC=DC·tan 22.5°=－1，故O(0，－1)，又D(－1，0)，所以=(1，－1)．因为=λ＋μ=，所以解得所以λ＋μ=－1．
(2) “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2，CD=1，∠A=45°．若点P在线段AB与线段BL上运动，则的取值范围为__［0，8］__．
【解析】 如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知A(－2，1)，B(0，1)，F(0，－1)，E(－1，－2)，H(1，0)，L(1，2)．当点P在线段AB上运动时，设P(x，1)，其中－2≤x≤0，所以=(2，2)，=(x，2)，则=2x＋4，因为－2≤x≤0，所以∈［0，4］；当点P在线段BL上运动时，设P(x，y)(0≤x≤1)，则=(x，y－1)，=(1，1)，且∥，则x=y－1，故P(x，x＋1)(0≤x≤1)，=(x，x＋2)，=4x＋4，因为0≤x≤1，所以∈［4，8］．综上，的取值范围为．
通过建立平面直角坐标系，使得向量的运算可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使几何问题转化为数量运算．
变式2 已知在菱形ABCD中，AB=BD=6，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为__［－18，18］__．
【解析】 AB=BC=BD，记AC，BD的交点为O，以O为原点，AC，BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，3)，C(－3，0)，=(－3，－3)，A(3，0)，D(0，－3)，故=λ=(－3λ，－3λ)，0≤λ≤1，则M(3－3λ，－3λ)，故=(3－3λ，－3λ－3)，则=36λ－18∈［－18，18］．
几何法
例3 (1) 已知A，B是圆x2＋y2=4上的两个动点，||=2，点C满足=，若M为AB的中点，则的值为( A )
A．3 B．2
C．2 D．－3
【解析】 如图，因为M为AB的中点，所以OM⊥AB，由=知，A，B，C三点共线，所以=||·||cos∠COM=||(||cos∠COM)= ||2．因为|AB|=2，所以|AM|=1，故|OM|==，从而=3．
(2) 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(2b－c)=0，则|c|的最大值是( C )
A． B．2
C． D．
【解析】 如图，设=a，=b，=2b，=c，则a－c=，2b－c=．因为(a－c)·(2b－c)=0，即=0，所以⊥，所以点C在以AE为直径的圆上．又OA⊥OE，所以|c|的最大值为该圆的直径|AE|==．
若图形中出现与所求数量积相关的条件(比如垂直)，可以联想用几何图形中的性质来处理向量问题；对于题中给出的向量条件，有时也可以用几何图形处理，主要是利用数形结合思想，分析向量式表示的轨迹来求解．
变式3 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，P是其内部一点(包括边界)，则的取值范围为__［0，3］__．
【解析】 由正六边形的性质得∠BCA=∠BAC=30°，则AC=2×1×cos 30°=，∠CAF=120°－30°=90°．=||||cos〈，〉=||cos〈，〉，而||cos〈，〉表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为［0，3］．
配套热练
1．如图，在平行四边形ABCD中，=a，=b，点E满足=，则=( A )
A．a－b B．a＋b
C．a－b D．a＋b
【解析】 由题意可得=，则=－=－=＋)－=－=a－b．
2．在△ABC中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且=λ＋μ，则λ＋μ=( A )
A．－ B．－1
C． D．1
【解析】 如图．因为D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，所以=＋=－=－)－=－＋．因为=λ＋μ，所以λ=－，μ=，从而λ＋μ=－＋=－．
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若=λ＋μ，则λ=( A )
A． B．
C．1 D．2
【解析】 如图，以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨设AB=1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以=(－2，2)，=(－2，1)，=(1，2)．因为=λ＋μ，所以(－2，2)=λ(－2，1)＋μ(1，2)，从而解得
4．已知△ABC是边长为1的正三角形，=，P是BN上一点且=m＋，则=( A )
A． B．
C． D．1
【解析】 因为=，所以=，且=m＋=m＋．而P，B，N三点共线，所以m＋=1，即m=，所以=＋，从而==＋×cos 60o=．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，=4，则=( B )
A． B．－
C．－ D．－
【解析】 以CD的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．依题意可得D，C，A，E，所以=，=，故=－×＋×=－．
6．已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若=λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2=( A )
A．－ B．
C． D．
【解析】 如图，在矩形ABCD中，=＋)．在△DAO中，=＋)，所以==＋=－，所以λ=，μ=－，所以λ2－μ2=－=－．
7．在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA=( B )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB=AC=2，BC=2，得OA==1，所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)．设P(x，0)，－≤x≤，则=(－x，1)，=(－－x，0)，所以=－x·(－－x)=x2＋x=2－，当x=－时，取得最小值，此时=，所以||==．
8．在△ABC中，E为AC的中点，=2，BE与CF交于点P，且满足=λ，则λ的值为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设=x．因为E为AC的中点，=2，所以=＋=＋x=＋x(－)=(1－x)＋x．又=＋=＋λ=＋λ(－)=(1－λ)＋λ=＋，所以即＋==1，解得λ=，所以λ的值为．
9．设平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，且·(b－c)=0，则|c|的最小值为( A )
A．－1 B．
C．＋1 D．2
【解析】 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令a==(1，0)．因为|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，所以xB=2=－1，yB=2sin =，所以b==(－1，)．设c==(x，y)，则a－c=，b－c=(－1－x，－y)．由·(b－c)=0，得·(－1－x)－y(－y)=0，即x2－x＋y2－y－2=0，即2＋2=3，即点C在以D为圆心，为半径的圆上．又||==1，所以|c|=||≥－|OD|=－1．
10．如图，在△ABC中，若=0，=2，则向量在向量上的投影向量为____．
【解析】 因为=2，所以O为线段BC的中点．因为=0，所以⊥，即∠BAC=90°，所以OA=OB=OC，从而△AOB为等腰三角形，所以向量在向量上的投影向量为===．
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，a=2，D为AB的中点，E为CD的中点，=3，则的最大值为____．
【解析】 如图，因为D为AB的中点，E为CD的中点，所以=＋)=＋．因为=3，所以－=3(－)，从而=＋，则==2＋＋2=c2＋bc·＋b2=(b2＋c2)＋bc．因为A=，a=2，所以由余弦定理得4=b2＋c2－2bc，从而b2＋c2=4＋bc≥2bc，则bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，所以=(4＋bc)＋bc=＋bc≤＋=，当且仅当b=c=2时等号成立．
12．已知点A，B，C均位于单位圆(圆心为O，半径为1)上，且||=，则的最大值为__＋1__．
【解析】 因为O为圆心，所以||=||=||=1．因为||=，所以2=(－)2=2－2＋2=2，从而=0，所以=·(－)=－=－(－)·=－＋2=||||cos〈，〉＋1=，〉＋1．因为cos〈，〉∈［－1，1］，所以()max=＋1．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2 平面向量解题的三个切入点
基础打底
1．已知向量a，b满足a＋b=(2，3)，a－b=(－2，1)，则|a|2－|b|2=( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
2．在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，若=3，则=( )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
3．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则=( )
A． B．
C．－ D．－
4．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E为中线BD上的动点，F为BC的中点，则的取值范围为____．
强技提能
基底法
例1 (1) (2025·如东质检)如图，在△ABC中，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，点E靠近点A，AD交CE于点P．设=a，=b，则=( )
A．－a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2) (2025·长沙调研)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是边BC上的动点，则·(＋) ( )
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值10 D．为变量且有最小值6
基底法解题的两个步骤
(1) 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止，或将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
(2) 待求向量(式)用基底表示后，根据题目要求进一步求解．
变式1 (1) 如图，在△ABC中，点D在边AB上且满足=2，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则=( )
A．＋2 B．－＋2
C．2－ D．－2＋
(2) (2025·日照质检)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=1，D为AB的中点，E为CD的中点，若=，则的最大值为____．
坐标法
例2 (1) 如图，已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若=λ＋μ，则λ＋μ=( )
A．－1 B．1－
C．＋1 D．－－1
(2) “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2，CD=1，∠A=45°．若点P在线段AB与线段BL上运动，则的取值范围为____．
通过建立平面直角坐标系，使得向量的运算可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使几何问题转化为数量运算．
变式2 已知在菱形ABCD中，AB=BD=6，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为____．
几何法
例3 (1) 已知A，B是圆x2＋y2=4上的两个动点，||=2，点C满足=，若M为AB的中点，则的值为( )
A．3 B．2
C．2 D．－3
(2) 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(2b－c)=0，则|c|的最大值是( )
A． B．2
C． D．
若图形中出现与所求数量积相关的条件(比如垂直)，可以联想用几何图形中的性质来处理向量问题；对于题中给出的向量条件，有时也可以用几何图形处理，主要是利用数形结合思想，分析向量式表示的轨迹来求解．
变式3 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，P是其内部一点(包括边界)，则的取值范围为____．
配套热练
1．如图，在平行四边形ABCD中，=a，=b，点E满足=，则=( )
A．a－b B．a＋b
C．a－b D．a＋b
2．在△ABC中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且=λ＋μ，则λ＋μ=( )
A．－ B．－1
C． D．1
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若=λ＋μ，则λ=( )
A． B．
C．1 D．2
4．已知△ABC是边长为1的正三角形，=，P是BN上一点且=m＋，则=( )
A． B．
C． D．1
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，=4，则=( )
A． B．－
C．－ D．－
6．已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若=λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2=( )
A．－ B．
C． D．
7．在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA=( )
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，E为AC的中点，=2，BE与CF交于点P，且满足=λ，则λ的值为( )
A． B．
C． D．
9．设平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，且·(b－c)=0，则|c|的最小值为( )
A．－1 B．
C．＋1 D．2
10．如图，在△ABC中，若=0，=2，则向量在向量上的投影向量为___．
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，a=2，D为AB的中点，E为CD的中点，=3，则的最大值为___．
12．已知点A，B，C均位于单位圆(圆心为O，半径为1)上，且||=，则的最大值为____．
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专题一
2 平面向量解题的三个切入点
不等式、平面向量
基础打底
1．已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a b＝( 2，1)，则|a|2 |b|2＝ ( )
A． 2 B． 1
C．0 D．1
【解析】
因为向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a b＝( 2，1)，所以|a|2 |b|2＝(a＋b)·(a b)＝2×( 2)＋3×1＝ 1．
B
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
［ 4，2］
强技提能
目标
1
基底法
1
【解析】
【答案】B
1
【解析】
【答案】A
基底法解题的两个步骤
(1) 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.或将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
(2) 待求向量(式)用基底表示后，根据题目要求进一步求解．
【解析】
B
【解析】
目标
2
坐标法
2
【解析】
【答案】 A
【解析】
2
【答案】 ［0，8］
通过建立平面直角坐标系，使得向量的运算可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使几何问题转化为数量运算．
【解析】
［ 18，18］
目标
3
几何法
3
【解析】
【答案】 A
【解析】
3
C
若图形中出现与所求数量积相关的条件(比如垂直)，则可以联想用几何图形中的性质来处理向量问题；对于题中给出的向量条件，有时也可以用几何图形处理，主要是利用数形结合思想，分析向量式表示的轨迹来求解．
【解析】
［0，3］
热练
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
【答案】A
【解析】
A
【解析】
【答案】B
【解析】
A
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】A
【解析】
【解析】
【解析】
