2025新高考Ⅱ卷
1．在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y=－2x＋2，则|AF|=( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=－5，则S6=( )
A．－20 B．－15
C．－10 D．－5
4．已知α∈(0，π)，cos =，则sin =( )
A． B．
C． D．
5．(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q＞0．若S3=7，a3=1，则( )
A．q= B．a5=
C．S5=8 D．an＋Sn=8
6．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=(x2－3)ex＋2，则( )
A．f(0)=0 B．当x＜0时，f(x)=－(x2－3)e－x－2
C．当且仅当x≥时有f(x)≥2 D．x=－1是f(x)的极大值点
7．已知平面向量a=(x，1)，b=(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|=____．
8．若x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)=____．
9．一个底面半径为4 cm、高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____cm．
10．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求|AB|．
11．已知函数f(x)=ln(1＋x)－x＋x2－kx3，k∈．
(1) 证明：f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的极值点和唯一的零点．
(2) 设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)上的极值点和零点．
①设函数g(t)=f(x1＋t)－f(x1－t)，证明：g(t)在区间(0，x1)上单调递减；
②比较2x1与x2的大小，并证明你的结论．
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1．在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=( A )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
【解析】 由题意得cos A===，又0°＜A＜180°，所以A=45°．
2．设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y=－2x＋2，则|AF|=( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 如图，BF：y=－2x＋2，令y=0，得x=1，所以F(1，0)，可得p=2，即抛物线C：y2=4x，故抛物线的准线方程为x=－1，易得B(－1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x得xA=4．所以|AF|=|AB|=xA＋=4＋1=5．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=－5，则S6=( B )
A．－20 B．－15
C．－10 D．－5
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，则由题可得解得所以S6=6a1＋15d=6×5＋15×(－3)=－15．
4．已知α∈(0，π)，cos =，则sin =( D )
A． B．
C． D．
【解析】 由题知cos α=2cos 2－1=2×2－1=－，因为0＜α＜π，所以＜α＜π，则sin α===，则sin =sin αcos －cos αsin =×－×=．
5．(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q＞0．若S3=7，a3=1，则( AD )
A．q= B．a5=
C．S5=8 D．an＋Sn=8
【解析】 对于A，由题意得结合q＞0，解得或(舍去)，故A正确；对于B，a5=a1q4=4×4=，故B错误；对于C，S5===，故C错误；对于D，an=4×n－1=23－n，Sn==8－23－n，则an＋Sn=23－n＋8－23－n=8，故D正确．
6．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=(x2－3)ex＋2，则( ABD )
A．f(0)=0 B．当x＜0时，f(x)=－(x2－3)e－x－2
C．当且仅当x≥时有f(x)≥2 D．x=－1是f(x)的极大值点
【解析】 对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，故A正确；对于B，当x＜0时，－x＞0，则f(x)=－f(－x)=－{［(－x)2－3］e－x＋2}=－(x2－3)e－x－2，故B正确；对于C，由于f(－1)=－(1－3)e－2=2(e－1)＞2，故C错误；对于D，当x＜0时，f(x)=(3－x2)e－x－2，则f′(x)=－(3－x2)e－x－2xe－x=(x2－2x－3)e－x，令f′(x)=0，解得x=－1或x=3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，则x=－1是f(x)的极大值点，故D正确．
7．已知平面向量a=(x，1)，b=(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|=____．
【解析】 由题知a－b=(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)=0，则x＋1－2x=0，解得x=1，则a=(1，1)，故|a|=．
8．若x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)=__－4__．
【解析】 由题意有f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)=(x2－3x＋2)(x－a)，所以f′(x)=(2x－3)(x－a)＋(x－1)(x－2)．因为2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)=2－a=0，得a=2．当a=2时，f′(x)=(2x－3)(x－2)＋(x－1)(x－2)=(x－2)(3x－4)，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意．所以f(0)=－1×(－2)×(－a)=－2a=－4．
9．一个底面半径为4 cm、高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____cm．
【解析】 如图，设铁球的半径为r，则r＜4，由圆柱与球的性质知AB=2r，BC=9－2r，AC=8－2r，则(2r)2=(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145=(2r－5)(2r－29)=0，因为r＜4，所以r= cm．
10．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 因为长轴长为4，所以a=2，由离心率为，可得c=，从而b=，故椭圆C的方程为＋=1．
(2) 过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求|AB|．
【解答】 由题知直线AB的斜率不为0，故设直线l：x=t(y＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(t2＋2)y2＋4t2y＋4t2－4=0，则Δ=16t4－4(t2＋2)(4t2－4)=4(8－4t2)＞0，即－＜t＜，且y1＋y2=－，y1y2=．如图，S△OAB=×|2t|×|y1－y2|=|t|==， 解得t=±，故|AB|=|y1－y2|=×=×=．
11．已知函数f(x)=ln(1＋x)－x＋x2－kx3，k∈．
(1) 证明：f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的极值点和唯一的零点．
【解答】 由题得f′(x)=－1＋x－3kx2=－3kx2=x2，因为x∈(0，＋∞)，所以x2＞0．设m(x)=－3k，x＞0，则m′(x)=－＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为k∈，所以m(0)=1－3k＞0．令m(x1)=0，得x1=－1，所以当x∈(0，x1)时，m(x)＞0，则f′(x)＞0；当x∈(x1，＋∞)时，m(x)＜0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减，所以x1=－1是f(x)在(0，＋∞)上唯一的极值点，是极大值点．又因为f＞f(0)=0，f=ln－＜0，所以存在x2∈，使得f(x2)=0，即x2是f(x)在(0，＋∞)上的唯一零点．
(2) 设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)上的极值点和零点．
①设函数g(t)=f(x1＋t)－f(x1－t)，证明：g(t)在区间(0，x1)上单调递减；
②比较2x1与x2的大小，并证明你的结论．
【解答】 ①由(1)知x1=－1，则x1＋1=，f′(x)=x2，则g′(t)=f′(x1＋t)＋f′(x1－t)=(x1＋t)2＋(x1－t)2=(x1＋t)2＋(x1－t)2·=＋=．因为t∈(0，x1)，所以x1－t＋1＞0，所以－=＞0，所以g′(t)＜0，所以函数g(t)在区间(0，x1)上单调递减．
②2x1＞x2，证明如下：由①知，函数g(t)在区间［0，x1)上单调递减，所以g(0)＞g(x1)，即f(2x1)＜0．又f(x2)=0，由(1)可知f(x)在(x1，＋∞)上单调递减，x2∈(x1，＋∞)，且对任意的x∈(0，x2)，f(x)＞0，所以2x1＞x2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共18张PPT)
2025新高考Ⅱ卷
【解析】
A
2．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝ 2x＋2，则|AF|＝ ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】
C
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝ 5，则S6＝ ( )
A． 20 B． 15
C． 10 D． 5
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
【答案】AD
【解析】
对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故A正确；
对于B，当x＜0时， x＞0，则f(x)＝ f( x)＝ {［( x)2 3］e x＋2}＝ (x2 3)e x 2，故B正确；
对于C，由于f( 1)＝ (1 3)e 2＝2(e 1)＞2，故C错误；
对于D，当x＜0时，f(x)＝(3 x2)e x 2，则f′(x)＝ (3 x2)e x 2xe x＝(x2 2x 3)e x，令 f′(x)＝0，解得x＝ 1或x＝3(舍去)，当x∈( ∞， 1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x∈( 1，0)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，则x＝ 1是f(x)的极大值点，故D正确．
ABD
7．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x 1，2x)，若a⊥(a b)，则|a|＝______．
【解析】
8．若x＝2是函数f(x)＝(x 1)(x 2)(x a)的极值点，则f(0)＝_______．
【解析】
－4
9．一个底面半径为4 cm、高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有
两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm．
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
