1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步训练题（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步训练题（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 102.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-20 07:21:47 | ||
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文档简介
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一、单项选择题。
1．cos45°的值等于( )
A．2 B．1 C． D．
2．计算：cos 45°＋sin 30°等于( )
A．2 B． C． D．
3．若1－cosA＝0，则锐角A等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．下列式子错误的是( )
A．cos40°＝sin50° B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
5．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1∶2，∠ADC＝45°，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为( )
A．6米 B．6米 C．8米 D．9米
6．定义一种运算：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝×＋×＝,
则sin15°的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题。
7．tan60°＝___．
8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝_____．
9．已知∠α，∠β均为锐角，且|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．
10．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是_____．
11．如图，已知△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标为__________．
12．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______m．
三、解答题。
13．计算．
(1) 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°；
(2)sin245°＋cos30°·tan60°；
(3)2cos60°＋4sin60°·tan30°－cos245°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝5,若关于x的方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．
15．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
16．如图所示的是一直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则该警示牌的高CD为多少米？
17．阅读下面的材料，按要求答题∶
①sin230°＋cos230°＝_____；
②sin245°＋cos245°＝_____；
③sin260°＋cos260°＝_____；
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝_____.
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明上述猜想；
(2)已知∠A为锐角，且sin A＝，求cosA的值.
答案：
一、
1-6 CDCDB C
二、
7.
8. 30°
9. 105°
10. 5
11. (4，)
12. 4
三、
13. 解：(1) 原式＝2×＋2×＋4×1＝6
(2) 原式＝()2＋×＝＋＝2
(3) 原式＝2×＋4××－()2＝1＋2－＝
14. 解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)＝0有两个相等的实数根，且c＝5,
∴△＝(2a)2－4(c＋b)(c－b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C＝90°．
设x1，x2是方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2＝5sinA，x1·x2＝sinA．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2xl·x2＝(5sin A)2－2×sinA=6，解得sinA=或sinA＝－ (舍去)，∴a＝csinA＝3，b=＝4，
S△ABC＝ab＝×3×4＝18.
15. 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC＝10km，∠A＝30°，
∴DC＝AC sin30°＝5km，AD＝AC cos30°＝5km.
在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5km，BC＝5km，
∵AC＋BC－(AD＋BD)＝10＋5－(5＋5)＝(5＋5－5)km.
∴汽车从A地到B地比原来少走(5＋5－5)km
16. 解：∵AM＝4m，AB＝8m，∴BM＝AM＋AB＝4 ＋8＝12(m)，
在Rt△MAD中，DM＝AM·tan ∠MAD＝4tan 45°＝4×1＝4(m)，
∴在Rt△MBC中，CM＝BM·tan ∠MBC＝12tan30°＝12×＝4(m)，
∴CD＝CM－DM＝(4－4)m，∴警示牌的高CD为(4－4)m
17. 解：1
1
1
1
(1)过点B作BH⊥AC于点H，则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝，∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1
(2)∵cos2A＝1－sin2A＝1－()2＝，∴cosA＝
一、单项选择题。
1．cos45°的值等于( )
A．2 B．1 C． D．
2．计算：cos 45°＋sin 30°等于( )
A．2 B． C． D．
3．若1－cosA＝0，则锐角A等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．下列式子错误的是( )
A．cos40°＝sin50° B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
5．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1∶2，∠ADC＝45°，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为( )
A．6米 B．6米 C．8米 D．9米
6．定义一种运算：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝×＋×＝,
则sin15°的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题。
7．tan60°＝___．
8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝_____．
9．已知∠α，∠β均为锐角，且|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．
10．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是_____．
11．如图，已知△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标为__________．
12．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______m．
三、解答题。
13．计算．
(1) 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°；
(2)sin245°＋cos30°·tan60°；
(3)2cos60°＋4sin60°·tan30°－cos245°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝5,若关于x的方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．
15．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
16．如图所示的是一直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则该警示牌的高CD为多少米？
17．阅读下面的材料，按要求答题∶
①sin230°＋cos230°＝_____；
②sin245°＋cos245°＝_____；
③sin260°＋cos260°＝_____；
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝_____.
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明上述猜想；
(2)已知∠A为锐角，且sin A＝，求cosA的值.
答案：
一、
1-6 CDCDB C
二、
7.
8. 30°
9. 105°
10. 5
11. (4，)
12. 4
三、
13. 解：(1) 原式＝2×＋2×＋4×1＝6
(2) 原式＝()2＋×＝＋＝2
(3) 原式＝2×＋4××－()2＝1＋2－＝
14. 解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)＝0有两个相等的实数根，且c＝5,
∴△＝(2a)2－4(c＋b)(c－b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C＝90°．
设x1，x2是方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2＝5sinA，x1·x2＝sinA．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2xl·x2＝(5sin A)2－2×sinA=6，解得sinA=或sinA＝－ (舍去)，∴a＝csinA＝3，b=＝4，
S△ABC＝ab＝×3×4＝18.
15. 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC＝10km，∠A＝30°，
∴DC＝AC sin30°＝5km，AD＝AC cos30°＝5km.
在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5km，BC＝5km，
∵AC＋BC－(AD＋BD)＝10＋5－(5＋5)＝(5＋5－5)km.
∴汽车从A地到B地比原来少走(5＋5－5)km
16. 解：∵AM＝4m，AB＝8m，∴BM＝AM＋AB＝4 ＋8＝12(m)，
在Rt△MAD中，DM＝AM·tan ∠MAD＝4tan 45°＝4×1＝4(m)，
∴在Rt△MBC中，CM＝BM·tan ∠MBC＝12tan30°＝12×＝4(m)，
∴CD＝CM－DM＝(4－4)m，∴警示牌的高CD为(4－4)m
17. 解：1
1
1
1
(1)过点B作BH⊥AC于点H，则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝，∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1
(2)∵cos2A＝1－sin2A＝1－()2＝，∴cosA＝