1.3 探索三角形全等的条件 课堂练习 （3课时，含答案）205-2026学年鲁教版 （五四制）七年级数学上册

第一章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时“边边边”
列清单·划重点
知识点① “边边边”
分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
注意
在运用此定理时，必须满足三条边对应相等.需要注意的是只有三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点 尺规作三角形(1)
已知三角形的三边，求作三角形，依据是
知识点 三角形的稳定性
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的 和 就完全确定了，这个性质叫作三角形的稳定性.
明考点识方法
考点① “边边边”的应用
典例1如图，已知A，D,B,E在一条直线上,且AD=BE,BC=EF,AC=DF.
求证:BC∥EF.
变式 如图，AB=CD，CB=AD，点O为 AC上任意一点，过点O作直线分别交 AB，CD的延长线于点 F，E，试说明：∠E=∠F.
考点 已知三角形的三边，求作三角形
典例2 已知：线段a，b，c，求作：△ABC，使AB=2c，AC=b，BC=a.(不写作法，保留作图痕迹)
变式 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作：△PEF，使 PE=AB，PE=PF，EF=BC.
考点 三角形的稳定性
典例3 如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的 .
变式 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是 ( )
第2课时 “角边角”和“角角边”
列清单划重点
知识点①“角边角”
两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
知识点 “角角边”
两角分别相等且 其中一组 等角的 相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”.
知识点 尺规作三角形(2)
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形，依据是 .
明考点识方法
考点① “角边角”的应用
典例1轴对称型 如图，AC=AE,∠C=∠E,∠1=∠2.求证:△ABC≌△ADE.
变式 如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,CD∥AB,DE⊥AC 于点 E,且CE=AB.求证:AE=CD-AB.
考点 “角角边”的应用
典例2 如图，若典例微课AB⊥BC 于点 B,AE⊥DE 于点E,AB = AE,∠ACB = ∠ADE,∠ACD=∠ADC = 70°,∠BAD = 60°,求∠BAE 的度数.
方法技巧
证明三角形全等时寻找角相等常用的方法：
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等；
(2)等角加(减)等角，其和(差)相等；
(3)同角或等角的余(补)角相等；
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
变式 如图,点 B,F,C,E 在同一条直线上,∠A=∠D,AB∥DE,BF=EC.求证:AC=DF.
考点 已知三角形的两角及夹边，求作三角形
典例3 已知:∠α,∠β,线段c,如图所示.求作:△ABC,使∠A=∠α,∠ABC=∠β, AB=2c.(不写作法,保留作图痕迹)
变式如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其中一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于a.(不写作法，保留作图痕迹)
第3课时 “边角边”
列清单·划重点
知识点①“边角边”
两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
注意
全等三角形对应角的平分线相等，对应中线相等，对应高相等.
知识点 尺规作三角形(3)
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形，依据是 .
明考点识方法
考点①“边角边”的应用
典例1 如图，公园里有一条 Z 字形道路ABCD,在AB,BC,CD 三段路旁各有一只小石凳E,M,F,且E,M,F恰好在一条直线上,M 为EF,BC 的中点.
(1)求证△MBE≌△MCF;
(2)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.
变式1 如图,点 E,点 F 在BC 上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE 的是 ( )
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C. AB=DC D. AF=DE
变式2 如图,点 C 在线段 AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数.
变式 3 如图,在△ABC 和△AED 中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
考点 已知三角形的两边及夹角，求作三角形
典例2 已知:线段a 和∠α.求作:△ABC,使得 AB = a, BC = 2a,∠ABC=∠α.(不写作法,保留作图痕迹)
变式 如图，已知线段a，b和∠α.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,AB=a+b,AC=b.(不写作法，保留作图痕迹)
第1课时 “边边边”
【列清单·划重点】
知识点1 三边
知识点2 SSS
知识点3 形状 大小
【明考点·识方法】
典例1 证明:因为AD=BE,
所以AD+DB=BE+DB,即AB=DE,在△ABC 和△DEF 中,
所以△ABC≌△DEF(SSS),
所以∠ABC=∠DEF,
所以BC∥EF.
变式 证明:在△ABC 和△CDA 中,
所以△ABC≌△CDA(SSS),
所以∠BAC=∠ACD,
所以AB∥CD,
所以∠E=∠F.
典例2 解：如图所示，△ABC 即为所求作.
变式 解：如图所示，△PEF 即为所求.
典例3 稳定性变式C
第2课时 “角边角”和“角角边”
【列清单·划重点】
知识点1 夹边
知识点2 对边
知识点3 ASA
【明考点·识方法】
典例1 证明:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
所以∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中,
所以△ABC≌△ADE(ASA).
变式 证明:因为 DE⊥AC,∠B=90°,
所以∠DEC=∠B=90°.
因为CD∥AB,
所以∠A=∠DCE.
在△CED 和△ABC 中,
所以△CED≌△ABC(ASA),
所以CD=AC,
所以AE=AC-CE=CD-AB.
典例2 解:因为AB⊥BC,AE⊥DE,
所以∠B=∠E=90°.
在△ABC 和△AED 中,
所以△ABC≌△AED(AAS),
所以∠BAC=∠EAD,AC=AD.
因为∠ACD=∠ADC=70°,
所以
所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-
所 以 ∠BAE = ∠BAD + ∠DAE =∠BAD+∠BAC=80°.
变式 证明:因为BF=EC,
所以BF+FC=EC+FC,
所以BC=EF.
因为AB∥DE,
所以∠B=∠E.
在△ABC 和△DEF 中,
所以△ABC≌△DEF(AAS),
所以AC=DF.
典例3 解：如图所示，△ABC 即为所求作.
变式 解：如图，△ABC 即为所求作.
第3课时 “边角边”
【列清单·划重点】
知识点1夹角
知识点2SAS
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)证明:因为 M 为 EF, BC 的中点，
所以EM=FM,BM=CM.
在△MBE 和△MCF 中,
所以△MBE≌△MCF(SAS);
(2) AB∥CD,理由:
因为△MBE≌△MCF,
所以∠B=∠C,
所以AB∥CD.
变式1 D
变式2 解:(1)证明:在△ABC 和△ADE中,
所以△ABC≌△ADE(SAS);
(2)由(1)得△ABC≌△ADE,
所以AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
所以∠AEC=∠ACE.
因为∠AEC+∠ACE =2∠ACE = 180°-∠DAE=120°,
所以∠ACE=60°.
变式3 证明:因为∠BAE=∠CAD,
所以∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD.
在△ABC 与△AED中,
所以△ABC≌△AED(SAS).
典例2 解：如图，△ABC 即为所求作.
变式 解：如图，△ABC 即为所求作.