1.1.2 幂的乘方 课件（共24张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共24张PPT)
1.1.2 幂的乘方
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解同底数幂乘法法则的推导过程。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
幂：
＝an
a·a········a
n个
n个相同的因数乘积的简便记号，叫作幂.
同底数幂的乘法法则：
am·an＝ am+n
（m，n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
an
幂
乘方
≈
求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.
乘方：
“自乘之数曰幂.”
（22）3＝___________； （a2）3＝__________;
（a2）m＝____________（m是正整数）.
观察
求幂的乘方.
（22）3＝
22·22·22
＝22×3
＝26.
（a2）3＝
a2·a2·a2
＝a2+2+2
＝a6.
（a2）m＝
（a2·a2·····a2）
＝a2+2+···+2
＝a2×m
m个a2
m个2
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？
2
a
a
a
2
3
2
3
6
2
m
底数不变，指数相乘.
26
a6
a2m
＝a2×3
＝a2m
a
2m
2
6
2
a
a
2
3
2
3
2
m
26
a6
2m
2
6
a
6
a
（22）3＝___________； （a2）3＝__________;
（a2）m＝____________（m是正整数）.
观察
求幂的乘方.
（22）3＝
22·22·22
＝22×3
＝26.
（a2）m＝
（a2·a2·····a2）
＝a2+2+···+2
＝a2×m
m个a2
m个2
＝a2m
（a2）3＝
a2·a2·a2
＝a2+2+2
＝a6.
＝a2×3
2
a
a
2
3
2
3
2
m
26
a6
a2m
a
2m
2
6
a
6
抽象
同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即
（am）n＝
猜想
amn
探究新知
（22）3＝___________； （a2）3＝__________;
（a2）m＝____________（m是正整数）.
观察
求幂的乘方.
2
a
a
2
3
2
3
2
m
26
a6
a2m
a
2m
2
6
a
6
抽象
同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即
猜想
论证
（am) n＝
am·am·····am
n个am
＝am+m+···+m
n个m
（m，n都是正整数）.
证明：
（am）n＝
amn
＝amn
amn
←乘方的意义
←同底数幂的乘法法则
（22）3＝___________； （a2）3＝__________;
（a2）m＝____________（m是正整数）.
观察
求幂的乘方.
2
a
a
2
3
2
3
2
m
26
a6
a2m
a
2m
2
6
a
6
抽象
同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即
猜想
论证
（am) n＝
am·am·····am
n个am
＝am+m+···+m
n个m
（m，n都是正整数）.
证明：
＝amn
amn
于是，我们得到：
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
“特殊”
“一般”
严格的证明
(am)n＝ amn
(m，n都是正整数).
也就是
幂的乘方乘法法则
（am）n＝ amn
（m，n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
am·an＝ am+n
（m，n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则的区别与联系.
m+n
n
m
mn
n
m
a
a
a
a
a
底数不变
底数不变
议一议
下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？
(1) (a2)5=a7
(2) (a3)2=a9
(1) (a2)5
= a2×5
= a10
(a3)2
= a2×3
= a6
×
×
[教材P5 议一议]
例 4
计算：
（1）(105)2；
（2）﹣(a3)4.
解： (105)2
＝ 105×2
＝ 1010.
解：﹣(a3)4
＝﹣a3×4
＝﹣a12.
[教材P5 例4]
探究新知
探究新知
例 5
计算：
（1）(xm)4(m是正整数)；
（2）(a4)3·a3.
解：(xm)4
＝ xm×4
＝ x4m.
解：(a4)3 ·a3
＝ a4×3 ·a3
＝ a12+3
＝ a15.
[教材P5 例5]
巩固练习
1.填空：
（1）(104)3＝_________；
（2）(a3)3＝__________;
（3）﹣(x3)5＝________；
（5）(x2)3·x2＝________.
1012
a9
﹣x15
x8
[教材P5 练习第1题]
（4）(x3)m+1＝________( m是正整数 )
x3m+3
巩固练习
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）(a5)3＝ ;
a8
（2）(a2)2＝ .
a4
×
原式＝ a5×3
√
3.自己编写两道幂的乘方运算题，并与同学交流计算过程与结果.
＝ a15
[教材P5 练习第2题]
[教材P5 练习第3题]
1. 教材P5例4（2） 的运算结果是( )
B
A. B. C. D.
2.若，则 的值为___.
2
3.[2024·岳阳期中] 已知， ，求：
（1） 的值；
【解】因为， ，
所以原式 .
（2） 的值；
因为 ，
所以原式 .
（3） 的值.
因为， ，
所以原式 .
4. 与 结果相同的是( )
C
A. B. C. D.
5. [2024·河北] 若， 是正整数，且满足
，
则与 的关系正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】由题意得 ，
所以.所以.所以 .故选A.
6. 已知，，则
的值等于( )
B
A. 或 B. 或 C. D.
【点拨】因为，，所以， .所以
.
所以原式或原式 .
故选B.
7.[2024·宝鸡期中] 如果，那么 的值是___.
2
【点拨】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，所以 ，
所以，解得 .
8. 阅读理解：规定两数， 之间的一种运算，
若，记作.例如：因为，所以 .
（1）根据上述规定，填空：
①若，则 ____；
②若，则 ____；
27
（2）若，，，请推理，，
之间的数量关系.
【解】因为，，，所以 ，
， .
所以.因为，所以 .
所以 .
同底数幂的乘法
幂的运算
幂的乘方
（am）n＝ amn
（m，n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
am·an＝ am+n
（m，n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
课堂小结
m+n
n
m
mn
n
m
a
a
a
a
a
底数不变
底数不变
谢谢观看！