1.1.5.2多项式与多项式相乘 课件（共20张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共20张PPT)
1.1.5.2多项式与多项式相乘
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解多项式与多项式相乘的运算法则，明确其运算依据是乘法分配律及单项式与多项式相乘法则。
能熟练运用法则进行多项式与多项式相乘的计算，准确处理符号、合并同类项等运算，确保计算结果的正确性。
能运用该法则解决简单的实际问题，如计算图形面积、代数式化简等。
（二）过程与方法
通过将多项式转化为单项式的和，类比乘法分配律，培养学生的知识迁移能力和转化思想。
在法则推导过程中，引导学生经历观察、分析、归纳的过程，提高逻辑思维能力和总结归纳能力。
通过解决实际问题，培养学生应用数学知识的能力，增强数学建模意识。
（三）情感态度与价值观
通过自主探究与合作交流，激发学生的学习兴趣，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
在法则的推导和应用中，培养学生严谨的数学思维习惯和认真负责的学习态度。
体会数学知识之间的内在联系，感受数学的实用性和趣味性。
二、教学重难点
（一）教学重点
多项式与多项式相乘的法则及其应用。
（二）教学难点
准确运用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘。
计算过程中符号的处理及各项的漏乘问题，确保不重不漏。
三、教学方法
讲授法、探究法、练习法、类比法。
四、教学过程
（一）导入新课
复习回顾
提问单项式与多项式相乘的法则，学生回答后，进行简单练习：计算

2x
A
^
(3x
2
5x+1)
，

3ab
A
^
(2a+b 4)
，让学生巩固旧知。
复习乘法分配律：

a(b+c)=ab+ac
，以及单项式与多项式相乘的实质是分配律的应用，为新课做铺垫。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
我们学了“幂的运算性质”有哪些？
同底数幂的乘法：
am·an = am+n
幂的乘方：
(am)n=amn
（m、n 都是正整数）
积的乘方：
(ab)n=anbn
单项式乘以多项式的法则是什么？
m (a + b + c) = ma + mb + mc
复习导入
一般地，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．
(1) 设a,b,c都是正数，计算(a+b)(a+c)的值
(2) 一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出这个长方形，并利用这个长方形解释(1)的结果。
解：
(1) (a+b)(a+c)=a2+ac+ba+bc
(2)
a
b
c
a
a2
ac
ba
bc
怎样计算多项式x-2y与多项式3x+y的乘积？
探究新知
可以运用乘法对加法的分配律.
(x-2y) ·（3x+y）
＝x·(3x+y)+ (-2y) ·(3x+y)
＝x·3x+ x·y+ (-2y)·3x + (-2y) · y
＝3x2+ xy-6xy -2y2
＝3x2-5xy -2y2
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则
(a + n)(b+m) = ab + am + nb + nm
归纳总结
例 13
计算
(1) (2x+y)(x-3y)
(2) (5x-2)(3x2-x-5)
解：
(1) (2x+y)(x-3y)
=2x·x+2x ·(-3y)+y·x +y·(-3y)
=2x2-6xy+xy-3y2
=2x2-5xy-3y2
(2) (5x-2)(3x2-x-5)
=15x3-5x2-25x-6x2+2x+10
=15x3-5x2-6x2-25x+2x+10
=15x3-11x2-23x+10
例 14
计算
(1) (x-y)(x2+xy+y2)
(2) (x+y)(x2-xy+y2)
解：
(1) (x-y)(x2+xy+y2)
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3
(2) (x+y)(x2-xy+y2)
= x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3
从同一面积的不同表达式入手，借助分配律得到多项式的乘法法则。由法则可知:
(1)多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；
(2)结果的项数应该是原两个多项式项数的积(没有合并之前)，检验项数常常作为检验解题过程的有效方法；
(3)多项式与多项式相乘的结果中，要把同类项合并。
思考：多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？
巩固练习
1.计算
(1) (x-2y)(4x+3y)
(2) (x-5y)(3x-y)
解：(x-2y)(4x+3y)
= x·4x+x·3y-2y·4x-2y·3y
= 4x2+3xy-8xy-6y2
= 4x2-5xy-6y2
(x-5y)(3x-y)
= x·3x-x·y-5y·3x-5y·(-y)
= 3x2-xy-15xy+5y2
= 3x2-16xy+5y2
[教材P13 练习第1题]
(3) (x+y)(x2+xy+y2)
(4) (3x-y)(2x2+5xy-4y2)
解：(x+y)(x2+xy+y2)
= x(x2+xy+y2)+y (x2+xy+y2)
= x3+x2y+xy2+x2y+xy2+y3
= x3+2x2y+2xy2+y3
(3x-y)(2x2+5xy-4y2)
=3x(2x2+5xy-4y2) -y(2x2+5xy-4y2)
=6x3+15x2y-12xy2 -2x2y-5xy2+4y3
=6x3+13x2y-17xy2+4y3
2.用不同的方法计算右边图形的面积，可得等式( )
[教材P13 练习第2题]
（A）(2a+b)(a+b)=2a2+b2
（B）(2a+b)(a+b)=2a2+2ab+b2
（C）(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
（D）(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+2b2
a
a
a
b
b
C
1. 若,则 的值为( )
A
A. 3 B. 2 C. D.
2. 下列计算错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
3. [2024·上海浦东新区月考] 若，分别是关于 的七次整
式与五次整式，则 ( )
A
A. 一定是关于 的十二次整式
B. 一定是关于 的三十五次整式
C. 一定是关于 的低于十二次的整式
D. 无法确定其关于 的次数
4. 已知， ，则
的值为( )
C
A. B. C. 1 D. 5
【点拨】因为， ，
所以 ，
故选C.
5.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
课堂小结
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a+n)(b+m) = ab + am + nb + nm
谢谢观看！