1.2.1 平方差公式 课件（共24张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共24张PPT)
1.2.1 平方差公式
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解平方差公式的结构特征，能正确用文字和符号表述公式。
熟练运用平方差公式进行计算，包括直接应用、变形应用及解决实际问题。
能区分平方差公式与多项式乘法的一般形式，掌握公式的正向和逆向运用。
（二）过程与方法
通过多项式乘法推导平方差公式，培养学生从特殊到一般的归纳能力。
在公式应用中，经历观察、比较、抽象、概括等思维过程，提高逻辑推理能力。
通过变式训练，培养学生灵活运用公式的能力和转化思想。
（三）情感态度与价值观
感受数学公式的简洁美和结构美，激发学习兴趣。
在探索公式的过程中，培养合作交流意识和严谨的数学态度。
体会数学与生活的联系，增强应用数学的意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的结构特征及正确运用公式进行计算。
（二）教学难点
平方差公式的推导及对公式中 “a”“b” 的广泛含义的理解。
灵活运用平方差公式解决问题，包括公式的变形应用和逆用。
三、教学方法
探究发现法、讲练结合法、情境教学法。
四、教学过程
（一）导入新课
复习回顾
计算下列多项式相乘：

(x+2)(x 2)


(3+a)(3 a)


(2x+1)(2x 1)

学生独立完成后，提问计算结果有什么共同特点，引导学生发现规律。
情境引入
展示问题：王大爷家有一块边长为

a
米的正方形菜地，现在要将菜地的一边增加

b
米，另一边减少

b
米，形成一个新的长方形菜地，你能帮王大爷计算新菜地的面积吗？
引导学生用两种方法计算：
方法一：新长方形的长为

(a+b)
米，宽为
对公式中字母含义的理解。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号表示：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn.
两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
探究新知
计算下列各式，你能发现什么规律：
(x + 2 )( x – 2) = x2 - 2x + 2x - 22= ，
(x + 1 )( x - 1) = x2 - x + x - 12= ，
(x + 3 )( x - 3) = x2 - 3x + 3x -32= ，
(x + 4 )( x - 4 ) = x2 –4x + 4x -42= .
x2- 12
x2- 22
x2- 32
x2-42
(x + y )( x - y ) = x2 - xy + xy -y2= .
x2-y2
(x + y)( x - y ) = x2 - xy + xy -y2= .
x2-y2
(x + y )( x - y) =
x2-y2
即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x2-y2
由此我们可以得到平方差公式
(a + b )( a - b) =
a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
设a,b都是正数，且a>b，将平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得
平方差公式适用条件：
括号前后有两项相同
括号前后有两项相反
(a + b )( a - b) = a2-b2
前提：两多项式相乘
结果：(同)2 - (反)2
使用条件：
① 两多项式相乘。
② 前后出现两项相同，两项相反。
(a + b )( a- b ) =
a2-b2
应用平方差公式时应注意些什么呢？
(1)注意平方差公式的适用范围;
(2)字母 a、b 可以是数，也可以是整式;
(3)注意计算过程中的符号和括号.
如图(1)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形，则剩余部分面积为多少？
将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图(2). 此时新图形的面积为多少？
(1)的剩余面积：a2-b2
(2)的面积：(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
几何背景分析
(1)
(2)
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
计算：
分析: (1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可以利用该公式进行计算。
解（1）(2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
= 4x2-1
（2） (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= x2 -4y2
与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？
(a + b )( a - b) = a2 - b2
运用平方差公式计算：
例 3
运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a)
解：由平方差公式得
(4a+b)(-b+4a)
=(4a+b)(4a-b)
=(4a)2-b2
=16a2-b2
将括号内的式子转化为平方差的形式。
计算：1002×998.
解：由平方差公式得
1 002×998
= (1 000+2)(1 000-2)
= 1 0002-22
= 1 000 000-4
= 999 996.
例 4
因此：1002×998=999 996.
运用平方差公式可以简化一些运算。
1. 运用平方差公式计算：
（1）(3x+y)(3x-y)；
（2）
解：
(3x+y)(3x-y)
= (3x)2-y2
= 9x2-y2
[教材P127 练习第1题]
（3）(-1+5x) (-1-5x) ；
（4）(-4a-b) (4a-b).
解：
(-1+5x) (-1-5x)
=(-1)2 - (5x)2
=1- 25x2
(-4a-b) (4a-b).
= (-b-4a) (-b+4a)
= (-b)2 – (4a)2
= b2 – 16a2
（1）202×198；
（2）49.8×50.2 .
2. 计算：
解: 202×198
= (200+2)(200-2)
= 40 000 – 4
= 39 996
49.8×50.2
= (50-0.2)(50+0.2)
= 2 500-0.04
= 2 499.96
[教材P17 练习第2题]
3. 下面各式的计算对不对？ 如果不对， 应怎样改正？
（1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 2 ；
（2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ 4x2－ 1 ．
解：（1） 不对，( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 4 ；
（2）不对， (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ (-1-2x)(-1+2x)＝ 1-4x2 .
1. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2024·重庆月考] 若成立，则 的
值为( )
C
A. 3 B. 6 C. 9 D.
3.已知，且，则 ____.
4. 教材P17练习 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
5.[2025·广州月考] 已知
，化简 .
【解】
.
6. 若，则 等于
( )
B
A. B. C. 6 D. 8
7. 利用平方差公式计算 ，以下
结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
课堂小结
(a + b )( a - b ) =
a2-b2
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
谢谢观看！