1.2.2 完全平方公式 课件（共27张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共27张PPT)
1.2.2 完全平方公式
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）知识与技能
理解完全平方公式的结构特征，能用文字和符号准确表述公式。
熟练运用完全平方公式进行计算，包括直接应用、变形应用及解决实际问题。
区分完全平方公式与平方差公式、多项式乘法的异同，掌握公式正逆运用。
（二）过程与方法
通过多项式乘法推导完全平方公式，培养从特殊到一般的归纳能力。
在公式应用中经历观察、比较、抽象等思维过程，提升逻辑推理能力。
通过变式训练，培养灵活运用公式的能力和转化思想。
（三）情感态度与价值观
感受数学公式的对称美与结构美，激发学习兴趣。
在探索公式过程中培养合作交流意识和严谨的数学态度。
体会数学与生活的联系，增强应用数学的意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
完全平方公式的结构特征及正确运用公式进行计算。
（二）教学难点
完全平方公式的推导及对公式中 “a”“b” 广泛含义的理解。
灵活运用公式解决问题，包括变形应用、逆用及与其他公式的综合运用。
三、教学方法
探究发现法、讲练结合法、情境教学法。
四、教学过程
（一）导入新课
复习回顾
计算下列多项式相乘：

(x+3)
2


(2a 1)
2


(y+5)
2

学生独立完成后，提问计算结果的共同特点，引导发现规律。
情境引入
展示问题：李叔叔家有一块边长为

a
米的正方形菜地，现在要将菜地的边长增加

b
米，形成新的正方形菜地，你能帮李叔叔计算新菜地的面积吗？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？
(x+3)2 = ______________________，
(x-3)2 = _______________________,
(x+3) (x+3) = x2+6x+9
(x-3) (x-3) = x2-6x+9
这些式子的左边和右边有什么规律
(2m+3n)2=________________________________,
(2m-3n)2=______________________________.
(2m+3n) (2m+3n)=4m2+12mn+9n2
(2m-3n) (2m-3n)=4m2-12mn+9n2
探究新知
计算: (x+y)2
由多项式与多项式相乘的法则可得
(x+y)2= (x+y) (x+y)
= x2+xy+yx+y2
= x2+2xy+y2
得到完全平方公式1：
(x+y)2= x2+2xy+y2
即多项式x+y的平方等于x与y的平方加上x与y的积的2倍
(x+y)2= x2+2xy+y2
若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得
(x-y)2= x2+2x·(-y) +(-y)2
= x2-2xy+y2
得到完全平方公式2：
(x-y)2= x2-2xy+y2
即多项式 x-y 的平方等于x与y的平方减去x与y的积的2倍
(x+y)2= x2+2xy+y2
设a,b都是正数，将完全平方公式1、2中的x用a代入，y用b代入可得
(a+b)2= a2+2ab+b2
(a-b)2= a2-2ab+b2
完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
4.公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式.
2.首项、末项为两数的平方和.
3.另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同.
如图，把一个边长为 a＋b 的正方形分割成 4 部分，观察图形的面积你能发现什么？
(a+b)2
a2+ab +ab+ b2
分割前的面积
分割后的面积
ab
b2
a2
ab
(a+b)2
=a2+ 2ab + b2
几何背景分析
运用完全平方公式计算
(1)
解:
将完全平方公式1中的x用a代入，y用 代入,可得
（2）(3m+n)2 ;
(3m + n)2
= ( 3m )2 + 2·3m·n + n2
= 9m2 + 6mn + n2
解:
将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得
（3）(2x-3y)2
(2x-3y)2
= ( 2x )2 - 2·2x·3y + (3y)2
= 4x2 – 12xy +9y2
解:
将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得
填表
算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果
(2a+b)2
(5a-4b)2
2a
b
4a2+4ab+b2
5a
4b
25a2-40ab+16b2
请你阅读课本“说一说”至““例5”的内容。
思考: 当底数互为相反数时，完全平方的结果有什么关系
1.算一算
(1) (a-b)2= _________ ；(b-a)2= _________
(2) (a+b)2= _________；(-a-b)2= _________
比较每一组算式中的两个等式,等号左边的底数有什么关系 结果有什么关系
2.比一比
等号左边的底数互为相反数，右边的结果相等。
a2-2ab+b2
b2-2ab+a2
a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
怎样计算
解法一：
解法二：
计算
(1) 1042
(2) 1982
解：由于1042=(100+4)2运用完全平方公式1得
1042
=(100+4)2
=1002+2×100×4+42
=10 000+800+16
=10 816
解：由于1982=(200-2)2运用完全平方公式2得
1982
= (200-2)2
= 2002-2×200×2+22
= 40 000-800+4
= 39 204
1.运用完全平方公式计算：
(1) (2x+3)2
(2)
解：
(2x+3)2
= (2x)2+2·2x·3+32
= 4x2+12x+9
[教材P19 练习第1题]
(3) (5x-2y)2
(4) (-4a-3b)2
解：
(5x-2y)2
= (5x)2-2·5x · 2y+(2y)2
= 25x2-20xy+4y2
(-4a-3b)2
= (-4a)2-2· (-4a) ·3b+(3b)2
= 16a2+24ab+9b2
2.计算：
[教材P19 练习第2题]
(1) 1032
(2) 2972
1032
=(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10 000+600+9
=10 609
解：
2972
= (300-3)2
= 3002-2×300×3+32
= 90 000-1800+9
= 88 209
3.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2
[教材P19 练习第3题]
a
b
b
a
b2
由图可知把一个边长为 a 的正方形分割成 4 部分
则 (a-b)2为图中黄色部分的面积
黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积
可得: (a-b)2=a2-2b(a-b)-b2 = a2-2ab+2b2-b2 = a2-2ab+b2
所以 (a-b)2=a2-2ab+b2
解：
1. 下列多项式是完全平方式的是( )
A
A. B.
C. D.
2. 计算 的结果为( )
C
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
4.在多项式 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方
式，则添加的单项式是__________________.（写出一个即可）
（答案不唯一）
5. 若是一个完全平方式，则 的值是
______.
因为 ，
，所以 ，
两种形式均为完全平方式,做题时容易遗漏.
6.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） ；
原式
.
（4） .
原式
.
7. [2024·上海奉贤区期中] 若 ，
，则下列判断, 的大小
关系正确的是( )
A
A. B.
C. D. 无法判断
课堂小结
完全平方公式
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
谢谢观看！