2.1.1平方根和算术平方根 课件（共33张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共33张PPT)
2.1.1平方根和算术平方根
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）知识与技能
理解平方根和算术平方根的概念，能准确区分二者。
掌握平方根和算术平方根的表示方法，会用根号表示一个非负数的平方根和算术平方根。
能够根据平方根和算术平方根的定义求简单数的平方根和算术平方根，包括整数、分数、小数。
（二）过程与方法
通过对实际问题情境的分析，抽象出平方根和算术平方根的概念，培养学生从具体到抽象的数学思维能力。
在求平方根和算术平方根的过程中，经历观察、比较、归纳等数学活动，提高运算能力和逻辑推理能力。
通过对平方根性质的探究，体会分类讨论的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观
感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强学习数学的兴趣。
在探究活动中，培养学生勇于探索、严谨认真的科学态度，提升合作交流能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
平方根和算术平方根的概念及表示方法。
求一个非负数的平方根和算术平方根。
（二）教学难点
理解平方根和算术平方根的区别与联系。
对平方根性质中，正数有两个平方根这一概念的理解及应用。
三、教学方法
情境导入法、讲授法、讨论法、练习法。
四、教学过程
（一）情境导入
展示问题
同学们，我们来看这样一个实际问题：一个正方形花坛的面积是

25m
2
，那么它的边长是多少？
设正方形边长为

x
，根据正方形面积公式

x
2
=25
，大家能求出

x
的值吗？（学生易得出

x=5
）
再看，如果一个数的平方等于

9
，这个数是多少？设这个数为

y
，则

y
2
=9
，

y
的值是多少呢？（引导学生思考，学生可能回答

y=3
，此时追问还有其他答案吗，引出

y= 3
）
引出课题
像上面这样，已知一个数的平方，求这个数的问题，在数学中引出了平方根的概念。今天我们就来深入学习平方根和算术平方根。
（二）新课讲授
1. 平方根的概念
定义讲解
一般地，如果一个数

x
的平方等于

a
，即

x
2
=a
，那么这个数

x
就叫做

a
的平方根（也叫做二次方根）。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
这是一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，你能把它剪拼成一个正方形吗？
做一做
2
1
展开铺平
剪开拼图
这个正方形的面积是多少？它的边长呢？
沿虚线对折
沿虚线对折
1
1
1
1
1
1
1
1
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。
2
1
1
1
1
由 S正方形 = 边长2
S正方形 = 2
( ？ )2 = 2
抽 象
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，
因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根.
因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根.
探 究
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根.
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，
读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
x2 = a
（x ≥ 0，a ≥ 0）
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
开平方 平方
互为逆运算
根据这种关系，可以求一个数的平方根.
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根.
4 的平方根是________，
4 的算术平方根是________，
2 的算术平方根是________.
2 的平方根是________，
思 考
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
0 有一个平方根，就是 0；
负数没有平方根.
平方根与算术平方根的区别与联系：
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 定义不同
个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系 存在条件相同 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根.
两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0.
例 1
分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
例 1
分别求下列各数的平方根：
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 .
（1）36；（2） ；（3）1.21.
例 2
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
说说你发现了什么规律？
正数越大，它的算术平方根也越大.
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
议一议
（1）|－81|； （2）(－5)2.
解：（1）|－81| = 81，由于 (±9)2 = 81，
因此 81 的平方根是 9 与－9，
即 .
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
议一议
（1）|－81|； （2）(－5)2.
（2）(－5)2 = 25，由于 (±5)2 = 25，
因此 25 的平方根是 5 与－5，
即 .
1. 分别求下列各数的平方根：
练 习
（1）64； （2） ；（3）6.25.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 分别求下列各数的算术平方根：
（1）81； （2） ；（3）0.16.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4.
解：（1）不正确， ；
（2）不正确， (－4)2 的平方根是±4.
1. [2024·南阳宛城区月考] “3的算术平方根”可用数学式子表
示为( )
A
A. B. 3 C. D.
2. 如果数没有平方根，那么 可以是( )
A
A. B. C. D.
3. 的算术平方根是( )
D
A. B. C. D. 0.64
4. [2024·长沙校级月考] 下面语句中正确的是( )
D
A. 64的平方根是 B. 的平方根是
C. 的平方根是 D. 的算术平方根是
5. [2024·广东] 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正
方形的边长是( )
B
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
6. 教材P33习题 求下列各式的值：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
7.[2024·深圳耀华实验学校月考] 求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】，, ,
解得 .
（2） .
，， ，
解得或 .
8. 如果是一个整数，那么整数 可取的值
共有( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9. 如图，一个大正方形被分割成四部分，
其面积分别为，，， ，则
大正方形的边长为( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
算术平方根： （a ≥ 0）
平方根： （a ≥ 0）
3. 平方根的表示方法
谢谢观看！