2.1.2 无理数 课件（共24张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共24张PPT)
2.1.2 无理数
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解无理数的概念，能区分有理数和无理数。
认识常见的无理数类型，如含根号且开方开不尽的数、π 相关数等。
会判断一个数是否为无理数，能在数轴上表示简单的无理数。
（二）过程与方法
通过探究√2 的无限不循环性，培养观察、分析和归纳能力。
在无理数概念形成过程中，体会从特殊到一般的数学思想。
通过尺规作图表示无理数，发展空间观念和动手操作能力。
（三）情感态度与价值观
了解无理数的发现历史，感受数学发展的曲折历程，培养严谨求知的科学态度。
体会数学与现实生活的联系，激发学习数学的兴趣。
通过小组合作探究，增强团队协作意识和交流能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
无理数的概念及常见类型。
（二）教学难点
理解无理数的无限不循环特征。
区分有理数和无理数，准确判断数的类型。
三、教学方法
探究发现法、讲授法、讨论法、直观演示法。
四、教学过程
（一）复习导入
回顾旧知
提问：什么是有理数？有理数包括哪些数？（整数和分数统称有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数）
练习：将下列分数化为小数：

2
1

，

3
1

，

4
3

。（学生计算后得出

0.5
，

0.
3
˙
，

0.75
）
情境引入
展示问题：边长为 1 的正方形，对角线长度是多少？（设对角线长为

x
，由勾股定理得

x
2
=1
2
+1
2
=2
，即

x=
2

）
追问：

2

是有理数吗？它是整数吗？是分数吗？引出本节课课题 —— 无理数。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习引入
什么叫有理数？
①整数和分数统称为有理数.
正整数
负整数
零
整数
正分数
负分数
分数
有理数
②有限小数和无限循环小数是有理数.
探 索
如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
1
1
a
2
a
2
S=a2=a
S=22=2
S=12=1
1 < a < 2
思 考
观察下列结果：
12 = 1，
1.42 = 1.96，
1.412 = 1.9881，
1.4142 = 1.999396，
1.41422 = 1.99996164，
…
22 = 4，
1.52 = 2.25，
1.422 = 2.0164，
1.4152 = 2.00225，
1.41432 = 2.00024449，
…
（1）分别根据上述结果，估计 2 的算术平方根 的大致范围；
（2）若将 写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（1）由于 12 < 2，2 < 22，所以 1 < < 2.
由于 1.42 < 2 < 1.52，所以 1.4 < < 1.5.
同理可得，1.4 < < 1.42，
1.414 < < 1.415，
1.4142 < < 1.4143.
表示 介于 1 与 2 之间
（2）若将 写成一个小数，则由（1）可以猜测
它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
= 1.414213562…
事实上，它是一个无限不循环小数，不可写成分数.
定 义
= 1.414213562…
像这样，若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
π = 3.141592653…
= 1.732050807…
= 2.236067977…
无理数
无理数
分 类
正无理数
负无理数
， ，π
－ ，－ ，－π
议一议
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1）无限小数都是有理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是带根号的小数.
无理数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
（有理数）
（有理数）
（无理数）
×
√
×
×
π = 3.1415926···
精确到小数点后面第二位 ___________.
精确到小数点后面第三位 ___________.
π ≈ 3.14
π ≈ 3.142
3.14，3.142，3.1416，··· 都是 π 的近似值，称它们为近似数.
根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例 3
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
解：（1）依次按键：
显示结果：32.
所以， .
不同型号的
计算器，操作可能不同.
例 3
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
“精确到小数点后面第三位”也可以说成“精确到0.001”或“保留三位小数”.
（2）依次按键：
显示结果：2.828427125
所以， .
成立吗？若不成立，请举例说明.
做一做
由于 ( )2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a.
当 a 为负数时不成立.
练 习
1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数：
无理数：
（1） ；
2. 用计算机分别求下列各数的近似值
（结果精确到 0.001）.
（2） .
解：（1） ；
（2） .
1. [2024·福建] 下列各数中，无理数是( )
D
A. B. 0 C. D.
2. 用计算器求3.489，结果为（精确到 ）( )
C
A. 1.867 B. C. 1.868 D.
3. 有一个无理数,且，则 可以是
__________________.
（答案不唯一）
4. 教材P34习题 把下列各数填在相应的大括号
内：，，，0，，， ，
（相邻两个1之间依次多1个 ）.
有理数：{ }；
无理数：{ }.
【解】有理数： ；
无理数：，， （相邻两个1之间
依次多1个0）， .
5. 下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②无理数是无
限不循环小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数.其中
正确的说法的个数是( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
6. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的 等于
( )
B
A. 8 B. C. D. 4
7.[2024·长沙芙蓉区期中] 已知 的整数部分是1，则小数部
分是.若的小数部分为,则 _________.
8.我们用表示不大于的最大整数，如： ，
， .
（1） ___；
（2）若，则 的取值范围是__________.
1
课堂小结
1. 无理数的定义
2. 用计算器求正数的算术平方根或它的近似数.
若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
谢谢观看！