1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共25张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件
文档属性
| 名称 | 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共25张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 33.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-22 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
第1章 整式的乘法
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）知识与技能
熟练掌握平方差公式和完 +2ab+b
2
，
(a b)
2
=a
2
2ab+b
2
展示公式结构特征对比表，强化记忆：
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
完全平方公式
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.
(a + b )( a - b) =
a2-b2
平方差公式
注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.
探究新知
运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)
(x+1)(x2+1)(x-1)
利用多项式的乘法的交换律和结合律以及平方差公式，可得
= [(x+1)(x-1)](x2+1)
= (x2-1)(x2+1)
= x4-1
运用乘法公式计算：
(1) (a+b+c)2
解:
将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得
(a+b+c)2
= (a+b)2+2·(a+b)·c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
将(a+b)看作一个整体
提示：遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.
(2) (a-b+c) (a+b-c)
解:
利用平方差公式，可得
(a-b+c) (a+b-c)
= [a-(b-c) ] [a+(b-c) ]
= a2 - (b-c)2
= a2 - (b2-2bc+c2)
= a2 - b2+2bc-c2
添括号时注意符号的变化。
将(b-c)看作一个整体
运用乘法公式注意事项：
1.要根据具体情况灵活运用乘法公式、幂的运算性质(正用与逆用)。
2.式子变形添括号时注意符号的变化。
运用乘法公式计算：
(1) (a+b)2+ (a-b)2
(a+b)2+ (a-b)2
解：
= a2+2ab+b2+a2-2ab+b2
= 2a2+2b2
(a+b)2-(a-b)2
(a+b)2- (a-b)2
= a2+2ab+b2-a2+2ab-b2
= 4ab
(2) (a+b)2-(a-b)2
(a+b)2- (a-b)2
= [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
= 2a·2b
= 4ab
还有其他方法吗？
运用乘法公式计算：(x+y)3
(x+y)3
解：
= (x+y) (x+y)2
= (x+y) (x2+2xy+y2)
= x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
= x3+3x2y+3xy2+y3
先填空：(1) 152=100×1×______+25
(2) 252=100×2×______+25
(3) 352=100×______×______+______
由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+______
2
3
3
4
25
10a+5
a
(a+1)
25
1.运用乘法公式计算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；
解: (x-2)(x+2)(x2+4)
=(x2-4)(x2+4)
= x4-16
（2）(x+1)2(x-1)2；
解: (x+1)2(x-1)2
= [(x+1)(x-1)]2
= (x2-1)2
= x4-2x2+1
[教材P21 练习第1题]
解:(a-b-c)2
= [a - (b + c)]2
= a2 - 2a(b + c) + (b + c)2
= a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc.
(3)(a-b-c)2
（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；
解：(x+2y-1)(x+2y+1)
= (x+2y)2-1
= x2+4xy+4y2-1
（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；
解：[2x+(y-1)] [2x-(y-1)]
= (2x)2- (y-1)2
= 4x2-(y2-2y+1)
=4x2-y2+2y-1
[教材P22 练习第2题]
2.运用乘法公式计算：
(3x-2)2-(2x+5)2
解：
(3x-2)2-(2x+5)2
=[ (3x-2)+(2x+5)] [ (3x-2)-(2x+5)]
=(5x+3) (x-7)
=5x2-32x-21
3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由
[教材P22 练习第3题]
解：
(n+3)2-(5n+9)
= n2+6n+9-(5n+9)
= n2+6n+9-5n-9
= n2-n
= n(n-1)
化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。
4. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 16 cm2，
求这个正方形原来的边长。
答：这个正方形原来的边长为 3 cm.
解 设正方形原来的边长为 x cm.
列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ，
解得 x = 3.
x2+4x+4 = x2+16
4x = 12
6.一个正方形花圃的边长增加到原来的 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 , 求这个正方形花圃原来的边长。
解：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系，得 (2x+1)2 = 4x2+21，
化简，得 4x2+4x +1= 4x2 +21，
即 4x = 20，
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m。
1. [2024·北京朝阳区月考] 已知 ，则代数式
的值为( )
A
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
3.[2024·长沙] 先化简，再求值：
，其中 .
【解】
.
当时，原式 .
4. 已知满足，则
的值是( )
C
A. 512 B. 516 C. 520 D. 1 032
【点拨】因为 ，
所以
.
故选C.
5.已知多项式加上一个单项式 后能成为一个完全平
方式，试写出这个单项式 __________________
（写出一种即可）.
（答案不唯一）
6.[2024·厦门第九中学期中] 已知，， ， 是从0，
1，2这三个数中取值的一列数，若
，
，则在
，， 中，取值为2的个数为_____.
506
课堂小结
完全平方公式
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.
(a + b )( a - b) =
a2-b2
平方差公式
注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.
谢谢观看！
1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
第1章 整式的乘法
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）知识与技能
熟练掌握平方差公式和完 +2ab+b
2
，
(a b)
2
=a
2
2ab+b
2
展示公式结构特征对比表，强化记忆：
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
完全平方公式
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.
(a + b )( a - b) =
a2-b2
平方差公式
注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.
探究新知
运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)
(x+1)(x2+1)(x-1)
利用多项式的乘法的交换律和结合律以及平方差公式，可得
= [(x+1)(x-1)](x2+1)
= (x2-1)(x2+1)
= x4-1
运用乘法公式计算：
(1) (a+b+c)2
解:
将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得
(a+b+c)2
= (a+b)2+2·(a+b)·c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
将(a+b)看作一个整体
提示：遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.
(2) (a-b+c) (a+b-c)
解:
利用平方差公式，可得
(a-b+c) (a+b-c)
= [a-(b-c) ] [a+(b-c) ]
= a2 - (b-c)2
= a2 - (b2-2bc+c2)
= a2 - b2+2bc-c2
添括号时注意符号的变化。
将(b-c)看作一个整体
运用乘法公式注意事项：
1.要根据具体情况灵活运用乘法公式、幂的运算性质(正用与逆用)。
2.式子变形添括号时注意符号的变化。
运用乘法公式计算：
(1) (a+b)2+ (a-b)2
(a+b)2+ (a-b)2
解：
= a2+2ab+b2+a2-2ab+b2
= 2a2+2b2
(a+b)2-(a-b)2
(a+b)2- (a-b)2
= a2+2ab+b2-a2+2ab-b2
= 4ab
(2) (a+b)2-(a-b)2
(a+b)2- (a-b)2
= [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
= 2a·2b
= 4ab
还有其他方法吗？
运用乘法公式计算：(x+y)3
(x+y)3
解：
= (x+y) (x+y)2
= (x+y) (x2+2xy+y2)
= x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
= x3+3x2y+3xy2+y3
先填空：(1) 152=100×1×______+25
(2) 252=100×2×______+25
(3) 352=100×______×______+______
由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+______
2
3
3
4
25
10a+5
a
(a+1)
25
1.运用乘法公式计算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；
解: (x-2)(x+2)(x2+4)
=(x2-4)(x2+4)
= x4-16
（2）(x+1)2(x-1)2；
解: (x+1)2(x-1)2
= [(x+1)(x-1)]2
= (x2-1)2
= x4-2x2+1
[教材P21 练习第1题]
解:(a-b-c)2
= [a - (b + c)]2
= a2 - 2a(b + c) + (b + c)2
= a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc.
(3)(a-b-c)2
（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；
解：(x+2y-1)(x+2y+1)
= (x+2y)2-1
= x2+4xy+4y2-1
（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；
解：[2x+(y-1)] [2x-(y-1)]
= (2x)2- (y-1)2
= 4x2-(y2-2y+1)
=4x2-y2+2y-1
[教材P22 练习第2题]
2.运用乘法公式计算：
(3x-2)2-(2x+5)2
解：
(3x-2)2-(2x+5)2
=[ (3x-2)+(2x+5)] [ (3x-2)-(2x+5)]
=(5x+3) (x-7)
=5x2-32x-21
3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由
[教材P22 练习第3题]
解：
(n+3)2-(5n+9)
= n2+6n+9-(5n+9)
= n2+6n+9-5n-9
= n2-n
= n(n-1)
化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。
4. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 16 cm2，
求这个正方形原来的边长。
答：这个正方形原来的边长为 3 cm.
解 设正方形原来的边长为 x cm.
列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ，
解得 x = 3.
x2+4x+4 = x2+16
4x = 12
6.一个正方形花圃的边长增加到原来的 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 , 求这个正方形花圃原来的边长。
解：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系，得 (2x+1)2 = 4x2+21，
化简，得 4x2+4x +1= 4x2 +21，
即 4x = 20，
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m。
1. [2024·北京朝阳区月考] 已知 ，则代数式
的值为( )
A
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
3.[2024·长沙] 先化简，再求值：
，其中 .
【解】
.
当时，原式 .
4. 已知满足，则
的值是( )
C
A. 512 B. 516 C. 520 D. 1 032
【点拨】因为 ，
所以
.
故选C.
5.已知多项式加上一个单项式 后能成为一个完全平
方式，试写出这个单项式 __________________
（写出一种即可）.
（答案不唯一）
6.[2024·厦门第九中学期中] 已知，， ， 是从0，
1，2这三个数中取值的一列数，若
，
，则在
，， 中，取值为2的个数为_____.
506
课堂小结
完全平方公式
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.
(a + b )( a - b) =
a2-b2
平方差公式
注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式.
谢谢观看！
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