2.2 立方根 课件（共24张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共24张PPT)
2.2 立方根
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解无理数的概
）
追问：

2

是有理数吗？它是整数吗？是分数吗？引出本节课课题 —— 无理数。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
说一说
已知一个正方体的体积为 8 cm3，如图所示，则它的棱长是多少？
由于 23 = 8，因此体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是 2 cm.
23 = 8
b3 = a
被开放数
根指数
读作“立方根号 a”或“三次根号 a”
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
23 = 8
立方
开立方
互为逆运算
分别求下列各数的立方根：
例 1
（1）1；（2） ；（3）0；（4）－0.064.
解（1）由于 13 = 1，因此 .
（2）由于 ，因此 .
分别求下列各数的立方根：
例 1
（1）1；（2） ；（3）0；（4）－0.064.
（3）由于 03 = 0，因此 .
（4）由于 (－0.4)3 = －0.064，因此 .
1. 正数有几个立方根？
2. 0 有几个立方根？
3. 负数有几个立方根？
正数有 1 个立方根.
0 的立方根是 0.
负数有 1 个立方根.
任何有理数都立方根，而且它的立方根是唯一的.
平方根与立方根的联系与区别
平方根 立方根
定义
取值范围
性 质 正数
0
负数
开方
表示
如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫 a 的平方根，也叫作二次方根.
a 是非负数
有两个平方根，互为相反数
0
没有平方根
求一个数的平方根的运算叫开平方
其中 a 是被开方数，2 是根指数（省略）
其中 a 是被开方数，3 是根指数（不能省略）
如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫 a 的立方根，也叫作三次方根.
a 是任意数
有一个立方根，也是正数
0
有一个立方根，也是负数
求一个数的立方根的运算叫开立方
用计算器求下列各数的立方根:
例 2
（1）343， （2）－1.331.
解：（1）依次按键：
显示结果：7.
所以， .
用计算器求下列各数的立方根:
例 2
（1）343， （2）－1.331.
（2）依次按键：
显示结果：－1.1.
所以， .
用计算器求 的近似值（结果精确到 0.001）.
例 3
解：依次按键：
显示结果：1.259921020.
所以， .
议一议
下列等式是否成立？与同学交流你的看法.
（1） ；（2） .
等式成立
一个数 a 先开立方，然后再立方，结果等于_____.
一个数 b 先立方，然后再求立方根，结果等于_____.
a
b
求下列各式的值.
（1）
= －0.2
（2）
= －0.2
（1）求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数.
（2）负号可以从“根号内”直接移到“根号外”.
练 习
1. 求下列各数的立方根：
（1）－1；（2） ； （3）－0.125.
解（1） .
（2） .
（3） .
2. 用计算器求下列各数的立方根：
（1）－512；（2）216； （3）－3.375.
解（1） .
（2） .
（3） .
3. 用计算器求下列各数的近似值（结果精确到 0.001）：
（1） ；（2） ； （3） .
解（1） .
（2） .
（3） .
学而时习之
1. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）±4 是 64 的立方根;
（2）－64 没有立方根;
（3）(－5)3 的立方根是 －5;
（4）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
×
×
√
√
2. 求下列各数的立方根：
（1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106.
解：（1） ；
（2） ；
2. 求下列各数的立方根：
（1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106.
（3） ；
（4） .
（1） ； （2） ；
3. 计算：
（3） ； （4） .
解：（1） ；
（2） ；
（1） ； （2） ；
3. 计算：
（3） ； （4） .
（3） ；
（4） .
4. 体积为 500 cm3 的正方体，它的棱长大约是多少
厘米（结果精确到 0.01 cm）？
a = （cm）
解：设棱长为 a cm，
a3 = 500，
课堂小结
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根（也叫作三次方根）
立方根
a 的立方根表示为 ，读作“三次根号 a”
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.
开立方：求一个数 a 的立方根运算叫作开立方.
公式：
概念
表示
性质
求法
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