2.3.2 实数的运算 课件（共26张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件
文档属性
| 名称 | 2.3.2 实数的运算 课件（共26张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 33.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-22 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
2.3.2 实数的运算
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
实数的运算
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
运算顺序：
乘方、开方
乘除
加减
同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
做一做
填空（a，b，c 是任意实数）：
（1）a + b = ____________（加法交换律）；
（2）(a + b) + c = ____________（加法结合律）；
（3）ab = ____________（乘法交换律）；
（4）(ab)c = ____________（加法交换律）；
b + a
a + (b + c)
ba
a(bc)
（5）a(b + c) = __________（乘法对加法的分配律）；
ab + ac
(b + c)a = __________（乘法对加法的分配律）；
ba + ca
（6）实数的减法运算规定为 a－b = a + _______；
(－b)
（7）实数的除法运算规定为 a÷b = a · ______（b≠0）；
（8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0；
≠
（9）若 ab = 0，则 a =_____或 b = _____.
0
0
议一议
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢？
正实数 a，有两个平方根，
负实数 a，没有平方根
0 的平方根是 0
每个实数 a 有且只有一个立方根，
比较大小
（1）9－5_____0；
>
（2） －5_____0；
<
（3） －3_____0；
=
对于实数 a，b：
如果 a－b > 0，则称 a 大于 b（或者 b 小于 a），记作 a > b（或 b < a）；
如果 a－b < 0，则称 a 小于 b（或者 b 大于 a），记作 a < b（或 b > a）；
如果 a－b = 0，则称 a 等于 b，记作 a = b .
正实数大于一切负实数；
两个负实数，绝对值大的数反而小.
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
0
1
2
3
-1
-2
-3
正实数
负实数
<
比较大小：
（1）2.5_____－2.5
（2）－1.5_____－2
（3）1_____0，0_____－3
>
>
>
>
一般地，对于两个正实数 a，b：
比较大小：
（1）7_____3
（2） _____
（3） _____
>
>
>
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
比较下列各组数的大小.
例 2
（1）2.5 与 ；（2）3 与 ；（3）－3 与 .
解（1）2.52 = 6.25， ，又6.25<7，所以 2.5< .
（2）33 = 27， ，又27 > 25，所以 3 > .
（3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ，
所以－3 < .
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 10 和 11 之间，
即 10 < < 11.
由于 102 = 100 < 115，
，112 = 121 > 115，
由于 43 = 64 < 121，
，53 = 125 > 121，
所以 应介于 4 和 5 之间，
即 4 < < 5.
用计算器计算：2× （结果精确到 0.01）.
例 3
解 依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以 2× ≈ 4.47 .
利用 和
例 4
计算 的值（结果精确到 0.001）.
解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ，
故 ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060.
，
练 习
1. 比较 与 的大小.
解 因为 ，
又 ，所以 .
2. 不用计算器，分别估计 与
在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 6 和 7 之间，
即 6 < < 7.
由于 62 = 36 < 37，
，72 = 49 > 37，
由于 33 = 27 < 36，
，43 = 64 > 36，
所以 应介于 3 和 4 之间，
即 3 < < 4.
3. 利用 和
计算 的值（结果精确到 0.001）.
解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ，
故 ≈ 1.2599 + 2.2360 = 3.4959 ≈ 3.496.
，
学而时习之
1. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）：
（1）－a 一定没有平方根； （ ）
（2） 是一个分数； （ ）
（3） 是无理数. （ ）
×
π 是无理数
×
×
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
解（1） 的相反数为 ， ；
（2） 的相反数为 ， ；
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（3） 的相反数为 ，
因为 2.82 = 7.84 < 10，所以 2.8 < ，
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（4）π－3.1415 的相反数为 3.1415－π，
因为 π = 3.1415926…，所以 π > 3.1415，
|π－3.1415| = π－3.1415.
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
解（1） ， ；
，所以 .
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
（2） ， ；
64 > 61，所以 －64 < －61， .
4. 不用计算器，分别估计 与 在哪两个
相邻整数之间.
所以 应介于 7 和 8 之间，
即 7 < < 8.
由于 72 = 49 < 50，
，82 = 64 > 50，
由于 53 = 125 < 196，
，63 = 216 > 196，
所以 应介于 5 和 6 之间，
即 5 < < 6.
课堂小结
1. 实数的运算.
2. 实数比较大小.
谢谢观看！
2.3.2 实数的运算
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
实数的运算
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
运算顺序：
乘方、开方
乘除
加减
同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
做一做
填空（a，b，c 是任意实数）：
（1）a + b = ____________（加法交换律）；
（2）(a + b) + c = ____________（加法结合律）；
（3）ab = ____________（乘法交换律）；
（4）(ab)c = ____________（加法交换律）；
b + a
a + (b + c)
ba
a(bc)
（5）a(b + c) = __________（乘法对加法的分配律）；
ab + ac
(b + c)a = __________（乘法对加法的分配律）；
ba + ca
（6）实数的减法运算规定为 a－b = a + _______；
(－b)
（7）实数的除法运算规定为 a÷b = a · ______（b≠0）；
（8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0；
≠
（9）若 ab = 0，则 a =_____或 b = _____.
0
0
议一议
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢？
正实数 a，有两个平方根，
负实数 a，没有平方根
0 的平方根是 0
每个实数 a 有且只有一个立方根，
比较大小
（1）9－5_____0；
>
（2） －5_____0；
<
（3） －3_____0；
=
对于实数 a，b：
如果 a－b > 0，则称 a 大于 b（或者 b 小于 a），记作 a > b（或 b < a）；
如果 a－b < 0，则称 a 小于 b（或者 b 大于 a），记作 a < b（或 b > a）；
如果 a－b = 0，则称 a 等于 b，记作 a = b .
正实数大于一切负实数；
两个负实数，绝对值大的数反而小.
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
0
1
2
3
-1
-2
-3
正实数
负实数
<
比较大小：
（1）2.5_____－2.5
（2）－1.5_____－2
（3）1_____0，0_____－3
>
>
>
>
一般地，对于两个正实数 a，b：
比较大小：
（1）7_____3
（2） _____
（3） _____
>
>
>
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
比较下列各组数的大小.
例 2
（1）2.5 与 ；（2）3 与 ；（3）－3 与 .
解（1）2.52 = 6.25， ，又6.25<7，所以 2.5< .
（2）33 = 27， ，又27 > 25，所以 3 > .
（3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ，
所以－3 < .
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 10 和 11 之间，
即 10 < < 11.
由于 102 = 100 < 115，
，112 = 121 > 115，
由于 43 = 64 < 121，
，53 = 125 > 121，
所以 应介于 4 和 5 之间，
即 4 < < 5.
用计算器计算：2× （结果精确到 0.01）.
例 3
解 依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以 2× ≈ 4.47 .
利用 和
例 4
计算 的值（结果精确到 0.001）.
解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ，
故 ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060.
，
练 习
1. 比较 与 的大小.
解 因为 ，
又 ，所以 .
2. 不用计算器，分别估计 与
在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 6 和 7 之间，
即 6 < < 7.
由于 62 = 36 < 37，
，72 = 49 > 37，
由于 33 = 27 < 36，
，43 = 64 > 36，
所以 应介于 3 和 4 之间，
即 3 < < 4.
3. 利用 和
计算 的值（结果精确到 0.001）.
解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ，
故 ≈ 1.2599 + 2.2360 = 3.4959 ≈ 3.496.
，
学而时习之
1. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）：
（1）－a 一定没有平方根； （ ）
（2） 是一个分数； （ ）
（3） 是无理数. （ ）
×
π 是无理数
×
×
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
解（1） 的相反数为 ， ；
（2） 的相反数为 ， ；
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（3） 的相反数为 ，
因为 2.82 = 7.84 < 10，所以 2.8 < ，
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（4）π－3.1415 的相反数为 3.1415－π，
因为 π = 3.1415926…，所以 π > 3.1415，
|π－3.1415| = π－3.1415.
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
解（1） ， ；
，所以 .
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
（2） ， ；
64 > 61，所以 －64 < －61， .
4. 不用计算器，分别估计 与 在哪两个
相邻整数之间.
所以 应介于 7 和 8 之间，
即 7 < < 8.
由于 72 = 49 < 50，
，82 = 64 > 50，
由于 53 = 125 < 196，
，63 = 216 > 196，
所以 应介于 5 和 6 之间，
即 5 < < 6.
课堂小结
1. 实数的运算.
2. 实数比较大小.
谢谢观看！
同课章节目录