3.2.1不等式的基本性质1、2 课件（共28张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共28张PPT)
3.2.1不等式的基本性质1、2
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
问题：等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示
文字语言 符号语言
性质1
性质2
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式。
等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式。
如果 a = b,
那么 a±c = b±c
如果 a = b,
那么 ac = bc ，
问题：请类比等式的基本性质，选择合适的不等号填空。
探究新知
等式
若 a = b, b = c, 则a = c
若 a = b,则a ± c = b ± c
若 a = b,则 ac = bc ，
不等式
若 a >b, b > c, 则a ___ c
若 a > b,则a ± c ___b ± c
若 a > b,则 ac____bc ，
____
>
>
>
>
探究新知
已知2<3,先用“>”或“<”填空：
再观察结果，由此可猜测出什么结论？
由于
所以
由于
所以
由此可猜测：若a,b,c都是实数，且a证明：若a,b,c都是实数，且a设a,b,c都是实数
若 a(a+c)-(b+c)
=a+c-b-c
=a-b
<0
因此
a+c所以 a+(-c)即 a-c若a>b, 同理可得: a+c>b+c,a-c>b-c
已知：若a,b,c都是实数，且a0
a
b
a+c
b+c
c
c
∴ a + c < b + c
a
a-c
b
b-c
c
c
∴ a - c < b - c
平移思想
几何画板分析
由此可得，不等式具有如下性质：
不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变.
即，如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.
用“＞”或“＜”填空：
（2）已知3＜7，则3-x_______7-x.
（2）因为3＜7，两边都减去x，由不等式基本性质1，
得 3-x＜7-x
＞
＜
（1）已知a＞b，则a+ _______b+ ;
解：（1）因为a＞b，两边都加上 ，由不等式基本性质1，
得 a+ ＞b+
等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
回顾：等式的性质2
不等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的不等式成立么？
猜想
观察结果，由此可猜测出什么结论？
问题：已知3<5,两边同时乘以(或除以)同一个不为0的数，试比较它们之间的关系。
由于
所以
解：
由此可猜测：若a,b,c都是实数，且a0,则ac证明：若a,b,c都是实数，且a0,则ac已知aa-b<0
又c>0,于是
(a-b)c<0
从而有
ac-bc<0
因此
ac你能用类似的方法证明
因为
同理可得
所以
证明：若a,b,c都是实数，且a0,则ac类似：若a,b,c都是实数，且a>b,c>0,则ac>bc,
由此可得，不等式还有如下性质：
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， .
（2）已知a>b，则 _______ .
（1）已知a用“＞”或“＜”填空：
<
>
解：（1）因为a得
（2）因为a>b，两边都乘以 ，由不等式基本性质2，
得
利用：
解：
因为 ，根据不等式的基本性质1得，
即
又因为 ，根据不等式的基本性质2得，
思考：不等式还具有哪些性质呢？
拓展:
(1)不等式的对称性: 若 a>b，则 b(2)不等式的传递性: 若a>b，b>c，则 a>c.
1.已知 用“＞”或“＜”填空：
<
<
<
<
【教材P61 练习第1题】
2.已知 用“＞”或“＜”填空：
<
<
<
<
【教材P61 练习第2题】
解：
因为 ，根据不等式的基本性质1，得
即
又因为 ，根据不等式的基本性质2，得
【教材P61 练习第3题】
1. [2024·济宁二模] 若 ,则( )
D
A. B.
C. D.
2. 若,则___ .
易忽略 这种情况.
3. 教材P61练习 利用，比较与 的大小.
【解】因为 ，所以根据不等式基本性质1得
，即 .
又因为，所以根据不等式基本性质2得 .
4.利用不等式的基本性质，把下列不等式化成“ ”或“
”的形式.
（1） ；
【解】两边同时减去，得 ,
两边同时除以4,得 .
（2） .
两边同时减去2，得 ,
两边同时乘,得 .
5. [2024·长春] 不等关系在生活中
广泛存在.如图，， 分别表示两名
同学的身高， 表示台阶的高度.图
A
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,，则
D. 若,，则
中两人的对话体现的数学原理是 ( )
课堂小结
不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变.
即，如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， .
谢谢观看！