3.2.2不等式的基本性质3 课件（共30张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共30张PPT)
3.2.2不等式的基本性质3
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变.
即，如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， .
探究新知
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， .
思考：不等式两边乘的那个数可以用负数吗？可以用0吗？
探究新知
先用“>”或“<”填空：
再观察结果，由此可猜测出什么结论？
4 ______ 3
-4 _____ -3
4 ______ 3
-4 _____ -3
解：
4 > 3,-4 < -3
由此可猜测：若a,b,c都是实数，且abc,
证明：若a,b,c都是实数，且abc,
已知aa-b<0
又c<0,于是
(a-b)c>0
从而有
ac-bc>0
因此
ac>bc
你能用类似的方法证明
证明：若a,b,c都是实数，且abc,
因为
同理可得
所以
类似：若a,b,c都是实数，且a>b,c<0,则ac不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a＞b， c＜0，那么ac＜bc， .
由此可得，不等式还有如下性质：
不等式的基本性质和等式的基本性质有什么相同点和不同点
类别 相同点 不同点
不等式
等式
(1)两边都加或减同一个数(或同一个整式)，不等式和等式仍然成立；
(2)两边都乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍然成立。
两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变。
两边都乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立。
（1）已知a（2）已知a>b，则 _______ .
用“＞”或“＜”填空：
>
<
解：（1）因为a得
（2）因为a>b，两边都乘 ，由不等式基本性质3，
得
（1）10x<3x-7；
解：根据不等式的性质1，得
10x-3x<3x-7-3x
7x<-7
把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：
合并同类项，得
两边都除以7根据不等式的性质2，得
x<-1
为什么不等式两边要减去3x？
解：两边都乘以21，根据不等式的性质2，得
即
运用乘法分配律，得
合并同类项，得
两边都除以-3，根据不等式的性质3，得
根据不等式的基本性质1，得
合并同类项，得
观察这两道题的解答过程你有什么发现
10x < 3x -7
10x -3x < -7
不等式性质1
两边都减去3x
不等式右边的项3x改变符号后移到左边
不等式性质1
两边都减去6
不等式左边的项6改变符号后移到右边
10x < 3x -7
10x -3x < -7
把不等式一边的某一项改变符号后移动到另一边的变形称为移项.
特别提醒:
(1) 通常情况下是把含有未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边。
(2) 移项与不等号的方向无关。
移项的依据是不等式的性质1
在例5(2)中，将原不等式的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而把分母去掉，这种变形叫作去分母。有时还需要运用乘法对加法的分配律，把不等式中的括号去掉，这种变形叫作去括号。
1.已知3< ,用“>”或“<”填空：
>
>
<
>
【教材P64 练习第1题】
2.把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：
(1) 5x+8>-2
解：根据不等式的性质1，得
5x+8-8>-2-8
5x >-10
合并同类项，得
两边都除以5根据不等式的性质2，得
x>-2
(2) 2x < x+6
解：根据不等式的性质1，得
2x-xx<6
合并同类项，得
【教材P64 练习第2题】
(3) -4x+7<-1
解：根据不等式的性质1，得
-4x+7-7<-1-7
-4x<-8
合并同类项，得
两边都除以-4根据不等式的性质3，得
x>2
(4) 3x+8解：根据不等式的性质1，得
3x+8-8-x2x<-6
合并同类项，得
两边都除以2根据不等式的性质2，得
x<-3
随堂练习
1.已知a＞b，用“＞”或“＜”填空:
（1）2a_______2b； （2）-3a_______-3b；
2.用“＞”或“＜”填空:
（1）如果1-x＞3，那么-x_____3-1，得x______-2；
（2）如果x+2＞3x+8 ，那么x-3x_____8-2，即-2x___6，
得x_____-3.
＞
＜
＜
＞
＜
＞
＞
＜
3.已知a＞b，用“＞”或“＜”填空:
（1）5a_______5b； （2）-3-a_______-3-b；
＞
＜
＜
＞
4.一根25cm长的蜡烛，假设点燃后每小时烧去5cm，燃烧xh后，长度已不足15 cm.请你根据上面的描述列出一个不等式，并将所列不等式化为x>a或x解： 25-5x＜15
-5x＜-10
x＞2
1. [2024·上海] 如果 ,那么下列正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 教材P65习题 以下说法正确的个数为( )
①若，，则 ；
②若，，，则 ；
③若,,,则 .
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.若,且,则 的取值范围是_______.
4. 教材P63例5 将下列不等式化为“”或“ ”的
形式.
（1） ；
【解】不等式两边都乘，得 .
（2） .
不等式两边都减,得 ，
不等式两边都减3，得 ，
不等式两边都除以，得 .
5. [2024·北京大兴区期末] 下列四个说法：①若 ,则
；②若,则；③若,且 ，
则；④若,则 .其中说法正确的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂小结
不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a＞b， c＜0，那么ac＜bc， .
把不等式一边的某一项改变符号后移动到另一边的变形称为移项.
谢谢观看！