3.3.1一元一次不等式的解法(1) 课件（共29张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共29张PPT)
3.3.1一元一次不等式的解法(1)
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
回顾问题：什么叫不等式？不等式有哪些性质？
用不等号(>，≥，<，≤，≠) 连接的数学式子叫作不等式。
性质1：若a < b，b < c，则 a < c。
性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立。
性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得到的不等式仍成立;
不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得到的不等式成立。
温故知新
新课探究
观察下列不等式：
(1) x > 4
(2) 3x > 30
(4) 1.5x +12<0.5x+1
这些不等式有哪些共同特征呢？
① 不等号两边都是整式；
② 只含有一个未知数；
③ 未知数的最高次数是1次；
像这样的不等式叫作一元一次不等式
新课探究
只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式。
一元一次方程：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
回顾：一元一次方程的定义。
新课探究
一元一次不等式与一元一次方程的比较
相同点 不同点
一元一次不等式
一元一次方程
(1)都只含有一个未知数；
(2)含未知数的项的次数都为1；
(3)不等号或等号的左右两边都是整式.
用不等号连接
用等号连接
新课探究
观察下列不等式，说一说哪些是符合条件的未知数的值。
3x > 30
x =11
2x ≤ 10
x =15
x =16
x =5
x =4
x =3
···
···
x > 10
x ≤ 5
满足一个不等式的未知数的每一个值，称为不等式的一个解.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
例如11，15，16等都是3x >10的解，这样的解有无数个.
例如用x ≤ 5表示2x ≤ 10的解集.
求一个不等式解集的过程称为解不等式.
运用不等式的性质把未知数为x的一元一次不等式化为xa,或x≤a,或x≥a)后，则可用xa,或x≤a,或x≥a)表示原不等式的解集
解下列一元一次不等式
(1) 6x<2x-4
解 移项，得
6x-2x<-4
两边都除以4，得
合并同类项，得
4x<-4
x<-1
这个不等式的解集是小于-1的一切实数
原不等式
移项
合并同类项
系数化为一
(2) -3x+2<-x+1
解 移项，得
-3x+x < 1-2
两边都除以4，得
合并同类项，得
-2x < -1
为什么要改变不等号的方向
原不等式
移项
合并同类项
系数化为一
回顾解题过程，尝试总结解一元一次不等式的步骤。
步骤 依据
1
2
3
4
去括号
单项式乘多项式法则
移项
不等式的基本性质2
合并同类项，得ax>b或ax合并同类项法则
不等式的基本性质3
系数化为1，两边同时除以a(或乘 )
考虑a的正负
如何在数轴上表示出不等式-3x+2<-x+1的解集 ？
0
-1
1
2
3
4
5
6
A
画数轴
1
定边界
2
定方向
3
首先在数轴上标出表示 的点A
由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集。
如何在数轴上表示出不等式-3x+2<-x+1的解集 ？
空心圆表示解集不包括 .
解不等式12-6x ≥ 2(1-2x),并把它的解集在数轴上表示出来
12-6x ≥ 2(1-2x)
解 去括号，得
移项，得
-6x+4x ≥ 2-12
两边都除以-2，得
合并同类项，得
x ≤ 5
12-6x≥2-4x
-2x≥ -10
0
-1
1
2
3
4
5
6
数轴表示为
解集x≤5中包括5，所以在数轴上将表示5的数画成实心圆点。
解下列不等式并把它的解集在数轴上表示出来
(1) -5x≤10
解：两边都除以-5，得
x ≥ -2
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
【教材P67练习】
(2) 10x+7< 4x+1
移项，得
10x-4x < 1-7
两边都除以6，得
合并同类项，得
x < -1
6x < -6
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
数轴表示为
(3) 3x-12 > 2(1+4x)
解 去括号得
移项，得
3x-8x > 2+12
两边都除以-5，得
合并同类项，得
3x-12 >2+8x
-5x > 14
数轴表示为
x <
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
(4) 3(5x+4) ≥ 7x+8
解 去括号得
移项，得
15x-7x ≥ 8-12
两边都除以8，得
合并同类项，得
15x+12 ≥7x+8
8x ≥ -4
数轴表示为
x ≥
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
巩固练习
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）4x-3＜2x+7；
解：移项，得4x-2x＜7+3
合并同类项，得2x＜10
两边都除以2，得 x＜5，
原不等式的解集在数轴上表示如图所示：
0
-1
1
2
3
4
5
6
（2）3x-1＞2（2-5x）；
解： 去括号，得
3x-1＞4-10x
移项，得
3x+10x＞4+1
合并同类项，得
13x＞5
两边都除以13，得
数轴表示为
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
1. 下列式子：，， ，
， 中，一元一次不等式的个数为
( )
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. [2024·陕西] 不等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
3. [2024·湖北] 不等式 的解集在数轴上表示正确的
是( )
A
A. B.
C. D.
4.若是关于的一元一次不等式，则
___.
1
5. 教材P67练习 解下列不等式，并把它们的解集在数
轴上表示出来.
（1） ；
【解】 ，
,
，
，
.
原不等式的解集 在数轴上的表示如图所示：
（2） .
，
，
，
.
原不等式的解集 在数轴上的表示如图所示：
6. 关于,的方程组的解满足 ，
则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
满足一个不等式的未知数的每一个值，称为不等式的一个解.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
例如40，35，20等都是75+25x≤1200的解，这样的解有无数个.
例如用x≤45表示75+25x≤1200的解集.
求一个不等式解集的过程称为解不等式.
只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的步骤
步骤 依据
1
2
3
4
去括号
单项式乘多项式法则
移项
不等式的基本性质2
合并同类项，得ax>b或ax合并同类项法则
不等式的基本性质3
系数化为1，两边同时除以a(或乘 )
考虑a的正负
谢谢观看！