3.3.2一元一次不等式的解法(2) 课件（共32张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共32张PPT)
3.3.2一元一次不等式的解法(2)
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
1.解下列不等式：
（1）6x-2＜8x-4
解：移项，得
6x-8x ＜-4+2
合并同类项，得
-2x＜-2
两边都除以-2，得
（2）3x-3＞2(4+5x) ；
解： 去括号，得
3x-3＞8+10x
移项，得
3x-10x＞8+3
合并同类项，得
-7x＞11
两边都除以-7，得
回顾：解一元一次不等式步骤
原不等式
去括号
移项
合并同类项
系数化为一
探究新知
仔细观察这道算式与我们上一节课学习的有什么不同
我发现这道算式题含有分数
像上面这样的不等式中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解不等式中的计算更方便些。
解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：
去分母(把不等式两边都乘各个分母的最小公倍数)
解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
得
2x<-3x+5
移项，得
2x+3x<5
合并同类项，得
5x<5
两边都除以5，得
x<1
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
与解一元一次方程类似，含有分母时，通常先去分母。
同乘各分母的最小公倍数。
解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-7，得
数轴表示为
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
回顾解题过程，尝试补充解一元一次不等式的步骤。
原不等式
去分母
合并同类项
系数化为一
去括号
移项
一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有哪些不同之处？与同学交流你的认识
类别 相同点 不同点
解一元一次不等式
解一元一次方程
步骤基本相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数.
解一元一次方程的依据是等式的性质；
解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
将x用哪些实数代入，能够使得多项式 的值大于或等于0？其中满足条件的正整数有哪些？
解
由题意可知，需先求不等式 的解集
移项，得
两边都乘以-3，得
因此，当x用小于或等于6的实数代入时，都能使得多项式 的值大于或等于0，其中满足条件的正整数有1,2,3,4,5,6.
学完了一元一不等式的解法，你能具体说一说解不等式的步骤吗？还有哪些需要注意的呢？同学之间互相交流一下。
变形名称 具体做法 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
在不等式的两边同时乘分母的最小公倍数。
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
把含有未知数的项移到不等式的一边，其他的项移到不等式的另一边。
把不等式化为ax＞b或ax＜b的形式。
根据不等式基本性质2、3，将未知数的系数化为1。
（1）不要漏乘不含分母的项；
（2）分子是一个整体，要加上括号。
（1）不要漏乘括号里的项；
（2）不要弄错符号。
（1）移项要变号；
（2）不要丢项。
系数及其指数不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。
1.解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：
去分母,得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以2，得
数轴表示为
【教材P69 练习第1题】
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-4，得
数轴表示为
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-1，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-3，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
2. 将x用哪些实数代入，能够使得多项式 的值小于或
等于5？其中满足条件的负整数有哪些？
解
由题意可知
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-11，得
因此，当x用大于或等于-4的实数代入时，都能使得多项式 的值小于或等于5，其中满足条件的负整数有-4,-3,-2,-1.
【教材P69 练习第2题】
随堂练习
1.解下列一元一次不等式
解：
去分母,得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-2，得
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-3，得
2.下面是小明同学解一元一次不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务
解：去分母，得6-5x+4＞3x-6．……第一步
移项，得-5x-3x＞-6+4-6．…………第二步
合并同类项，得-8x＞-8．………………第三步
化系数为1，得x＞1．……………………第四步
任务一：
（1）去分母的依据是______________________ ；
（2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现____ 处错误，其中最后一处错误在第_____ 步，错误的原因是____________________________________________ ；
不等式的性质2
3
四
不等式的两边同除以-8时不等号方向未改变
任务二：请写出不等式 的正确解答过程，并把解集表示在数轴上；
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-8，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
1. 不等式 的解集在数轴上表示为( )
A
A. B.
C. D.
2. 下面是解不等式 的过程：
①去分母，得 ；
②去括号，得 ；
③移项、合并同类项，得 ；
④系数化为1，得 .
其中开始出现错误的一步是( )
A
A. ① B. ② C. ③ D. ④
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程基本相
同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并
同类项；⑤化系数为1.
3.定义，若，则 的取值范围为
______.
【点拨】因为， ，
所以，所以 ，
所以，所以 .
4.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1） .
【解】 ，
，
，
，
，
.
原不等式的解集 在数轴上的表示如图所示：
（2） .
,去分母，得 ,
去括号，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 .
原不等式的解集 在数轴上的表示如图所示.
5.满足 的最大整数是___．
6.当代数式的值是非负数时， 的取值范围是
________.
1
【点拨】由题知 ，
解得 .
课堂小结
类别 相同点 不同点
解一元一次不等式 步骤基本相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数. 解一元一次方程的依据是等式的性质；
解一元一次方程 解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
变形名称 具体做法 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
在不等式的两边同时乘分母的最小公倍数。
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
把含有未知数的项移到不等式的一边，其他的项移到不等式的另一边。
把不等式化为ax＞b或ax＜b的形式。
根据不等式基本性质2、3，将未知数的系数化为1。
（1）不要漏乘不含分母的项；
（2）分子是一个整体，要加上括号。
（1）不要漏乘括号里的项；
（2）不要弄错符号。
（1）移项要变号；
（2）不要丢项。
系数及其指数不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个附属，必须改变不等号的方向。
谢谢观看！