3.4 一元一次不等式的应用 课件（共24张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共24张PPT)
3.4 一元一次不等式的应用
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
一个人坐着时，不宜提举过重的重物，以免受伤。若小明坐着时，最多只能提举4.5 kg的重物，现桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本，如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，他最多只能搬动多少本记事本
探究新知
画册的总重量+记事本的总重量 ≤ 4.5kg
想一想，从题中我们可以得到怎样的不等量关系呢
审题
设未知数
列出方程
解方程
检验解的合理性
作答
1
2
3
4
5
6
解：设小明最多能搬动x本记事本，则
解 这个不等式，得
由于记事本的数目必须是整数，
所以x的最大值为5
1.2×2+0.4x ≤ 4.5
x ≤ 5.25
答：小明最多能搬动5本记事本。
画册的总重量+记事本的总重量 ≤ 4.5kg
审题
设未知数
列出方程
解方程
检验解的合理性
作答
1
2
3
4
5
6
答:每台电子琴的标价至少是2500元。
一种电子琴的进价为每台1800元，如果商店按标价的八折出售，所得利润不低于售价的10%，那么每台电子琴的标价至少是多少元
分析：本题涉及的不等量关系是:
售价-进价≥售价的10%.
解 设每台电子琴的标价为x元，那么售出一台电子琴所得的利润不低于(80%x×10%)元。根据题意得
80%x-1800≥80%x×10%
解这个不等式，得x≥2500.
为增强自身体魄小华等几名同学只要条件允许，几乎每个星期天都去登山，一般是上午7点出发，到达山顶后休息2 h，下午不超过4点回到出发点。如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶 （图中的7 km,8km,13 km,11 km表示出发点到山顶的路程）
Ⅰ(7km)
Ⅱ(8km)
Ⅲ(13km)
Ⅳ(11km)
图3.4-1
出发点
答:要满足下午不超过4点回到出发点，小华他们最远能登上山顶Ⅳ。
分析：本题涉及的不等量关系是:
去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤限定的总时间
解这个不等式，得x≤12.
解 设从出发点到山顶的距离为x km，则他们去时所花时间为 h，回来所花时间为 h.
又他们在山顶休息了2h，上午7点到下午4点之间相隔9h
用流程图表示运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，并与同学交流结果。
实际问题
列不等式
解不等式
结合实际确定答案
找出数量关系
设未知数
1.小明家的客厅长5m，宽4 m. 现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？
解：设至少需要购买x块，则
0.36 x ≥ 20
解得 x≥55.6
地板砖数目取整数，所以x的最小值为56
答：至少需要购买56块这样的地板砖.
【教材 P73 练习第1题】
注意单位，地板面积为0.36m2.
2.某校举行“践行社会主义核心价值观”知识竞赛，共有 25 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题扣 1 分.在这次竞赛中，小明被评为优秀(85 分或 85 分
以上)，小明至少答对了几道题？
解：设小明答对了 x 道题.
根据题意，得 4x -（25 - x）≥ 85
解得 x ≥ 22
答：小明至少答对了 22 道题.
“至 多”“最多”“不高于”（“至少”
“最少”“不低于”）对应不等号中的“小于”或“等于”（“大于或等于”），如果是列不等式，那么用“≤”（“≥”）连接.如果是求最后的答案，那么是求解集的最大（小）值.
知识点睛
- - ≥900
3.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
销售额-成本-税费≥纯利润（900元）
解：设每套童装的售价是x元.
解这个不等式， 得 x≥125
答：每套童装的售价至少是125元.
40·x
90×40
40·x·10%
4.根据篮球赛的规则，于3分线外投篮命中可得3分，于3分线内投篮命中得2分.若某球队在一场球赛中共投中45个球（只有2分球和3分球），而所得总分不大于100分，问该球队最多投中多少个3分球？
解：设最多投中x个三分球，
则 3x+2（45-x）≤100
解得 x≤10
答：该球队最多投中10个三分球.
5.甲班同学的平均体重是46kg，乙班同学的平均体重42kg，甲、乙两班同学的平均体重不超过44kg.已知甲班有50人，乙班至少有多少人？
解：设乙班至少有x人.
则46×50+42x ≤（50+x）×44
解得 x≥50.
答：乙班至少有50人.
6.某厂生产某种零件，每个零件的成本为3元，售价5元，应纳税款为总销售额的10%. 要使纯利润不低于3万元，该零件至少要销售多少个？
解：设该零件至少要销售x个.
则 （5-3）x-5x·10%≥30000
解得 x≥20000
答：该零件至少要销售20000个.
【教材 P73 练习第2题】
1. 某学校组织七年级学生到劳动实践教育
基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地 ，学校
要求完成全部任务的时间不超过 .开始的半小时，由于操
作不熟练，只平整了 .若设他们在剩余时间内每小时平
整土地 ，则根据题意可列不等式为( )
A
A. B.
C. D.
2. 在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破.操作人员点燃导
火线后，要在炸药爆炸前跑到 以外的安全区域.已知导
火线的燃烧速度是,操作人员跑步的速度是 .为
了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过( )
C
A. B. C. D.
3. 沙洲红色旅游景区位于郴州市汝城县西部
文明瑶族乡，感动亿万中国人的“半条被子”故事就发生在这
里，走进“半条被子的温暖”专题陈列馆，这段军民鱼水情深
的故事展现在眼前.某校计划组织学生乘车到该景区进行研学
活动，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型
客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若学校
计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1 600元，那么最多
租用甲型客车___辆.
4
【点拨】设租用甲型客车辆，则租用乙型客车 辆，
依题意得，解得 .
又因为为整数，所以 的最大值为4.
所以最多租用甲型客车4辆.
故答案为4.
4.[2024·山西] 如图，为加强校园消防安全，
学校计划购买某种型号的水基灭火器和干
粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为
540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.
若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可
购买这种型号的水基灭火器多少个？
【解】设购买这种型号的水基灭火器 个，
则购买干粉灭火器 个，
根据题意得 ，
解得 .
因为 为整数，
所以 的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12
个.
课堂小结
利用一元一次不等式解决实际问题的步骤
审题
设未知数
列出方程
解方程
检验解的合理性
作答
1
2
3
4
5
6
谢谢观看！