4.5.1垂线的概念 课件（共28张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共28张PPT)
4.5.1垂线的概念
第4章 平面内的两条直线
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他生活中的例子吗
A
B
C
D
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
新课探究
如图，取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 是如何变化的？
其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a 与 b 是什么位置关系？
a
b
b
b
b
如图，当∠AOD=90°时，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度 为什么
由对顶角和邻补角的性质，得
当∠AOD=90°时，
∠AOC =∠BOC =∠BOD.
它们的交点叫做垂足．
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角时(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直.其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
“垂直”用符号“⊥”表示.
如图，直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)，
记作“AB⊥CD”.读做“AB 垂直于 CD”.
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为点O
数学语言：
因为∠AOD=90° （已知）
所以 AB⊥CD.
(垂直的定义)
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为点O，那么∠AOD=90°.
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见，举出教室内一些互相垂直的实例，并于同学交流.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线，
如图，直线 CD 是 AB 的斜线，同样，直线 AB 也是 CD 的斜线.
(1) 如图，在同一平面内，如果 直线a⊥l，b⊥l，那么 a // b 吗？
因为 a⊥l， b⊥l，
所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ，
所以 a∥b （同位角相等，两直线平行）．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 吗？
因为 l⊥a，
所以∠1 ＝ 90°．
因为 a∥b，
所以∠2＝∠1＝90°(两直线平行，同位角相等)，
因此 l ⊥ b．
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条.
在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数．
解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)．
如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，
求∠BEF的度数．
解: 因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90°.
又因为∠1 =∠2，
所以 DC∥EF （ ）.
所以∠BEF =∠BDC = 90° （ ）.
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
[选自教材P115 练习]
解：因为 EO⊥CD，
所以∠COE =∠DOE=90°.
因为∠BOE = 60°，
所以∠BOD = 30°，
所以 ∠AOC = ∠BOD = 30°.
1. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠AOC 的度数．
2. 如图， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数．
[选自教材P115 练习]
解：因为 DA⊥AB， CD⊥DA，
所以 CD∥AB . (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)
所以∠B +∠C=180°，
所以∠C = 180°－ 56°=124°.
1. 两条直线相交形成四个角，如果其中一个角为70°，则另外三个角的度数分别是_____________________ .
110°、70°、110°
2.下面所叙述的两条直线是否垂直？
①两条直线相交所成的四个角相等；
②两条直线相交，有一组邻补角相等；
③两条直线相交，对顶角互补.
解：①②③都是垂直的.
随堂演练
3.如图所示，AB⊥CD，垂足为 O，OE是一条射线，且∠AOE = 35°求∠BOE、∠COE 的度数.
解：因为 AB⊥CD，
所以∠AOC = 90°.
因为∠AOE = 35°，
所以∠COE = 55°.
又因为∠COB = 90°，
所以∠BOE = 145°.
4. 如图，直线 AB、CD相交于点 O，OD平分∠AOF，
OE⊥CD于点 O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF 的度数.
解：因为 OE⊥CD，
所以∠DOE = 90°，∠COE = 90°.
因为∠1 = 50°，
所以∠AOD = 40°.
所以∠COB = 40°(对顶角相等).
所以∠EOB = 130°.
因为 OD平分∠AOF，
所以∠DOF = ∠AOD = 40°.
所以∠BOF = 180°-∠COB-∠DOF = 100°.
（第1题）
1. [2024·北京] 如图，直线和 相交于
点，.若 ，则 的
大小为( )
B
A. B. C. D.
2. 设,, 为同一平面内的三条直线，下列说法中不正确的是
( )
D
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
3.如图，直线，相交于点，平分，
于点，则 _____.
（第3题）
（第3题）
【点拨】
因为平分 ，
所以 .
因为，所以 .所以
.
因为 ，
所以 .
4. 教材P115练习 如图，直线，
相交于点， .
（1）若 ，求 的度数；
【解】因为 ，
所以 .
又因为 ,
所以 .
所以 .
（2）如果，请判断与 的位置关系，并说明理由.
.理由如下：
因为 ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 ，即.
所以 .
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
课堂小结
垂线
定义
性质
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角时，则称这两条直线互相垂直.
谢谢观看！