4.6两条平行线间的距离 课件（共25张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共25张PPT)
4.6两条平行线间的距离
第4章 平面内的两条直线
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
1. 什么是点到直线的距离？
2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？
画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.
新课探究
如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D.
A
C
C
D
l1
l2
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的________.
连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的____________.
公垂线
公垂线段
如图，直线 AB 与 CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线.
再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？
线段 AB ， CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段.
比较线段 AB 与 CD 的长度，AB = CD.
公垂线段性质：
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离.
由上述结论可以进一步猜测：
证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，
从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离.
又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，
因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A
到直线l2的距离.
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
你能证明吗
如图， AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？
解：因为 AB∥DC，DE⊥AB，
所以 DE⊥DC.
又 AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB.
因而 DE∥FB .
又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段DF，EB 都是平行线DE 与FB 的公垂线段.
故 DF=EB.
又 AB=DC，
所以 AB – EB = DC - DF，即AE = CF.
设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示.已知a 与b 的距离为 5 ，b 与c 的距离为 2 ，求a 与c 的距离．
解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别
与 b，c 相交于 B，C 两点．
因为a，b，c 是三条互相平行的直线，
所以∠1 =∠2 =∠3 = 90°，
即 AB⊥b，AC⊥a .
因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.
又 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 ，
因此 a 与 c 的距离是 7 .
若将例 2 中的“如图所示”去掉，a与c 的距离会变化吗？
a与c 的距离为7
a与c 的距离为3
[选自教材P123 练习]
1. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm， 这样的直线可以画几条？
可以画 2 条
[选自教材P123 练习]
2. 如图， MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△ PAB 和△ QAB 的面积有什么关系？ 为什么？
解: 相等.理由如下:
因为△ PAB 和△ QAB 的AB 边上的高相等，都是 MN 和 AB 之间的距离，即两三角形同底等高，所以△ PAB 和△ QAB 的面积相等.
1. 如图：按要求完成以下作图：
(1) 过 P 点作一条直线 CD 平行于 AB , 像 CD 这样平行于 AB 的直线有且______一条.
(2) 过 P 点作线段 PQ⊥CD 交 AB 于 Q，
那么 PQ 就叫做平行线 AB、CD 间的
__________；
说一说 PQ 与 AB 的关系_________.
只有
公垂线段
PQ⊥AB
随堂演练
(3) 过 AB上的 E 点，作 EF⊥AB 交 CD 于 F，说一说 EF 与 CD 的关系: ________.同理，EF 也是平行线 AB、CD 间的__________；
(4) 在 AB、CD 间，像 PQ 这样的垂线段有______条.
公垂线段
EF⊥CD
无数
2. 如图，MN // AB，P，Q 为直线 MN上的任意两点， △PAB 和△ QAB 的面积有什么关系？为什么？
解：分别过 P、Q 两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为 C、D.
因为 MN // AB，PC⊥AB，QD⊥AB，
所以 PC = QD.
所以△ PAB 和△ QAB 的面积相等.
因为△PAB 的面积 = (AB·PC)，
△QAB 的面积 = (AB·QD)
3.如图，DE∥BC，AF⊥DE 于 G，DH⊥BC 于 H，且 AG=4 cm，DH= 4 cm，试求点 A 到 BC 的距离.
解：因为AF⊥DE，DE∥BC，
所以AF⊥BC.
因为DH⊥BC，
所以DH∥GF.
因为DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC，
所以DH = GF = 4cm.
所以AF = AG + GF = 4cm + 4cm = 8 cm.
即点 A 到 BC 的距离是 8 cm.
1. 下列说法中，错误的是( )
A
A. 平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线
B. 两条平行线的所有公垂线段都相等
C. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另
一条直线的距离
D. 垂线段最短
2.[2024·常德期末] 如图，直线,且，之间相距,
是直线上一定点，点在直线上运动，则在点 的运动过
程中，线段的最小长度是___ .
4
3. 教材P122例2 如图，直线,, ,
交直线于点，与的距离是,与的距离是 ,
求与 的距离.
【解】因为直线,, ,
所以,因此，线段,, 分别是平行
线与，与，与 的公垂线段.
又因为与的距离是,与 的距离是
,
所以, ,
所以 ，
即与的距离为 .
4. 如图，直线，是直线 上一个
动点，当点的位置发生变化时， 的面积( )
C
A. 向左移动变小 B. 向右移动变小
C. 始终不变 D. 无法确定
5. 在同一平面内，已知,,若直线， 之间的距离为
,直线，之间的距离为,则直线， 之间的距离为
( )
A
A. 或 B.
C. D. 不确定
课堂小结
两条平行线的距离
性质
概念
公垂线
公垂线段
平行线间的距离
两条平行线的所有公垂线段都相等.
公垂线段定理：
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作
两条平行线间的距离.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
课堂小结
谢谢观看！