4.5.2垂线段与点到直线的距离 课件（共32张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共32张PPT)
4.5.2垂线段与点到直线的距离
第4章 平面内的两条直线
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
河
问题1：如图，任画一条直线 l ，作 l 的垂线.这样的垂线能画出几条？
可以画无数条
新课探究
问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
(1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？
可以画一条
一“靠”
二“过”
三“画”
(2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？
可以画一条
b
根据以上操作，你能得出什么结论
问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
b
注意:
① “过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.
② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.
如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，
线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段．
经过点P 的其他直线分别交直线 l 于A，B，C，D ···，线段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短.
说一说
比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
② 用圆规比较垂线
段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度，可知线段 PO 最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
简单说成：垂线段最短．
如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
特别规定：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
(1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离.
做一做
(2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处，
如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
如图，垂线段最短．
做一做
(3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？
做一做
求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(1) 点 A 到直线 BC 的距离；
解： 因为∠ABC = 90°，
所以 AB⊥BC， 点B为垂足，
所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.
因为AB = 5，
所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，
所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.
等面积法
因为S△ABC = ·BC·AB = ·AC·BD ,
所以BD = .
所以点B到直线AC的距离为 .
如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(2) 点 B 到直线 AC 的距离.
[选自教材P118 练习]
1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离.
解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D .
D
所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离.
因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD ,
所以AD = .
因为∠BAC = 90°，
所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足，
所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4.
[选自教材P118 练习]
提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离.
2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离．
3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.
[选自教材P118 练习]
1.如图，
①过点 Q 作 QD⊥AB，垂足为 D，
②过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，
③过点 Q 作 QF⊥AC，垂足为 F，
④连 P、Q 两点，
⑤ P、Q 两点间的距离是线段______的长度，
⑥点 Q 到直线 AB 的距离是线段_______的长度，
⑦点 Q 到直线 AC 的距离是线段_______的长度，
⑧点 P 到直线 AB 的距离是线段________的长度.
解：①②③④ 作图如图所示
PQ
QD
QF
PE
随堂演练
2. 如图，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，BC = 3，则点 A 到直线 BC 的距离为_____，点 B 到直线 AC 的距离为______，点A、B 间的距离为______.
4
3
5
3. 如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1) 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2) 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3) 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
解：如图所示:
(1)沿AB 走，两点之间线段最短；
(2)沿 BD 走，垂线段最短；
(3)沿 AC 走，垂线段最短.
火车站
码头
河流
铁路
4.如图所示，已知∠AOB =∠COD = 90°，
(1)若∠BOC = 45°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；
(2)若∠BOC = 25°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理.
解：(1)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 45°，
所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 45°，
∠BOD =∠COD-∠BOC = 45°.
(2)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 25°，
所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 65°，
∠BOD =∠COD-∠BOC = 65°.
(3)∠AOC =∠BOD，等角的余角相等.
5. 如图，OF 平分∠AOC，OE⊥OF，AB 与 CD 相交于 O，∠BOD = 130°，求∠EOB 的度数.
解：因为∠AOC =∠BOD，∠BOD = 130°，
所以∠AOC = 130°.
因为OF 平分∠AOC，
所以∠AOF =∠FOC = 65°.
因为OE⊥OF，
所以∠EOF = 90°.
所以∠BOE = 180°-∠AOF-∠EOF = 180°-65°-90°= 25°.
1. 下列选项中，过点画的垂线 ，三角板放法正确的
是( )
C
A. B. C. D.
2. [2024·长沙校级期中] 下列说法正确的是( )
D
A. 过线段外一点不一定能作出它的垂线
B. 过直线外一点和直线上一点可画一条直线与 垂直
C. 只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D. 过任意一点均可作一条直线的垂线
3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活.下
列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A
A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条
4. 教材P117例3 如图，在直角三角形 中，
，,, .
（1）点到的距离是___，点到的距离是___ ；
4
3
（2）画出表示点到 的距离的线段，并求这个距离.
【解】如图，过点作于点，则线段 的长度就
是点到 的距离.
因为 ,
所以 .
5. 下列说法错误的个数是( )
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；
③有公共顶点且相等的角是对顶角；
④直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的距离.
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
垂线段最短．
课堂小结
垂线
垂线的画法
点到直线的距离
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
谢谢观看！