5.1.2 轴对称 课件（共30张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共30张PPT)
5.1.2 轴对称
第5章 轴对称与旋转
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
1. 下列图形中有两条对称轴的是______（填序号）
①
②
③
④
⑤
无数条
③⑤
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系 一个图形具有的特殊形状
两个图形的特殊的位置关系
1. 都是沿着某条直线折叠后能重合
2. 可以互相转化
2. 区别与联系
探索新知
探究 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 P 的对应点是 P′ ，线段 PP′ 交直线 l 于点 D. 线段 PP′ 与对称轴 l 之间有什么关系？
所以将△ABC 连同直线 l 沿对称轴 l 折叠，就得到△ A′B′C′ 连同直线 l.
因此 l ⊥ PP′ ，且 l 平分 PP′，即直线 l 垂直平分线段 PP′ .
因为△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称.
在这个轴对称下，点 P 的对应点是点 P′，点 D 的对应点是点 D 自身.
于是线段 PD 与线段 P′D 重合，∠1 与∠2 重合.
从而 PD = P′D ，∠1=∠2 = 90°.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
特别地，若点 P 与点 P′ 关于一条直线对称，则线段 PP′ 被这条直线垂直平分.
反过来，若线段 PP′ 被一条直线垂直平分，则点 P 与点 P′ 关于这条直线对称.
P
P′
l
A′B′
AB =_______，
BC =_______，
∠ABC =__________.
B′C′
∠A′B′C′
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
如图，将△ABC 沿直线 l 折叠，在这个轴对称下，点 A 的对应点是点 A′，点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′.
文字叙述 符号语言 图示
如图，△ABC和△A′B′C′
关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′分别是点 A，B，C 的对称点，AA′，BB′，CC′ 分别与 MN 交于点 E，F，G
成轴对称的两个图形中，对应
点的连线被对
称轴垂直平分
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变
AE ＝A′E，BF ＝B′F，
CG ＝C′G，MN⊥AA′，
MN⊥BB′，MN⊥CC′
AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∠ABC ＝∠A′B′C′
例 1
已知直线 l 及直线外一点 P，画一点 P′， 使它与点 P 关于直线 l 对称.
作法：
1. 过点 P 作 PQ⊥l， 交 l 于点 O.
2. 在射线 OQ 上， 截取 OP′= OP.
则点 P′ 即为所求作的点.
做一做
已知线段 AB 和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 对称的图形.
作法：
1.过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点O，延长AO至点A′，使AO = A′O，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点；
2.类似地，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
3.连接A′B′ .
例 2
已知△ABC 和直线 l，画出△ABC 关于直线 l 的对称图形.
分析 要画△ABC 关于直线 l 的对称图形，只要作出三角形的顶点 A，B，C 关于直线 l 的对称点 A′，B′ ，C′ ，
连接这些对称点即可.
解 （1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点；
（2）类似地，分别作出点 B，C 关于直线 l 的对应点 B′，C′.
（3）连接 A′B′，B′C′，C′A′ 得到的△A′B′C′ 即为△ABC关于直线 l 的对称图形.
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1. 找点（确定图形中的一些特殊点）
2. 画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）
3. 连线（连接对称点）
画好△A′B′C′ 后，若将纸沿直线 l 折叠，两个三角形会重合吗？
折叠动画
成轴对称的两个图形的形状、大小完全相同，即两个图形的对应线段相等，对应角相等，面积相等，周长相等.
议一议
先过直线 l 外一点分别画直线 l 的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流.
l
P
练 习
1. 已知直线 AB 和直线 l 相交于点 O，画出直线 AB
关于直线 l 的对称图形.
l
O
A
B
A′
B′
2. 如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角.
A′
A
B′
C′
B
C
N
M
A 和 A′
B 和 B′
C 和 C′
AB =A′B′
BC =B′C′
AC =A′C′
∠ABC =∠A′B′C′
∠BCA =∠B′C′A′
∠BAC =∠B′A′C′
巩 固
1. 如图，若△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，线段 BB′
交直线 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. AC ＝A′C′ B. BO ＝B′O
C. AA′⊥ MN D. AB∥B′C′
D
2. 下面是四位同学画△ABC 关于直线 MN 的对称图形的
方法，其中正确的是（ ）
B
1. 下列说法中，错误的是( )
B
A. 轴对称图形必有对称轴
B. 两个能完全重合的图形必成轴对称
C. 轴对称图形可能有无数条对称轴
D. 关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合
（第2题）
2. 如图，与关于直线 对称，
点,,的对应点分别为点，， ，若
，则 的长度为( )
A
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
（第3题）
3.如图，所在直线是 的对称轴，点
，是上的两点，若， ，则
图中阴影部分的面积是___.
9
【点拨】因为关于 所在直线对称，
所以和关于 所在直线对称，
，，所以 .
因为的面积是 ，
所以图中阴影部分的面积是 .
通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面
积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解.其中看出
与关于 对称，面积相等是解决本题的关键.
（第3题）
4. 教材P138例2 画出如图所示的图形关于直线 的对称
图形.
【解】如图所示.
5.如图，这两个四边形关于某条直线对称，根据图中的条件
求， .
【解】因为两个四边形关于某条直线对称，
所以 ， ，
即 ， .
6. 在平面镜里看到背后墙上正放的
电子钟示数如图所示，这时的时间应是( )
C
（第6题）
A. 01：21 B. 10：21 C. 10：51 D. 15：01
课堂小结
对应点的连线被对称轴垂直平分
轴对称变换
轴对称的性质
作图方法
（1）找特征点；
（2）作垂线；
（3）截取等长；
（4）依次连线.
谢谢观看！