第1章 整式的乘法【小结与评价】 课件（共48张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共48张PPT)
小结与评价
第1章 整式的乘法
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）知识与技能
熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能准确识别公式中的 “a” 和 “b”。
灵活运用乘法公式进行整式的化简、求值及推理，包括公式的正向运用、逆向运用和变形运用。
能够综合运用乘法公式与其他整式运算法则解决复杂的计算问题。
（二）过程与方法
通过对不同类型题目进行公式选择和应用，培养学生观察、分析和归纳的能力。
在推理过程中，经历从具体到抽象的思维过程，提升逻辑推理和数学建模能力。
通过变式训练，培养学生思维的灵活性和创造性，掌握转化与化归的数学思想。
（三）情感态度与价值观
感受乘法公式在简化计算和推理中的作用，体会数学的简洁美和实用性。
在解决问题的过程中，培养严谨的数学态度和勇于探索的精神。
通过小组合作交流，增强团队协作意识和数学表达能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练运用平方差公式和完全平方公式进行计算和推理。
掌握公式的逆向运用和变形运用，能根据题目特点选择合适的公式。
（二）教学难点
灵活运用乘法公式解决复杂的综合性问题，如公式的组合运用、与其他运算法则的结合等。
在推理过程中，准确分析题目条件，合理选择公式进行变形和推导。
三、教学方法
复习导入法、例题讲解法、小组合作法、变式训练法。
四、教学过程
（一）复习导入
回顾公式
提问平方差公式和完全平方公式的内容，学生用文字和符号表述：
平方差公式：

(a+b)(a b)=a
2
b
2

完全平方公式：

(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
，

(a b)
2
=a
2
2ab+b
2

展示公式结构特征对比表，强化记忆：
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
数与代数
数与式
方程与不等式
函数
有理数
实数
代数式
幂的运算
单项式的乘法
多项式的乘法
乘法公式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
平方差公式
完全平方公式
1. am·an,(am)n,(ab)n(m,n是正整数)应分别怎么计算
2.单项式与单项式相乘，怎么乘 单项式与多项式相乘呢 多项式与多项式相乘呢
3.叙述平方差公式，并解释几何背景。
4.叙述完全平方公式，并解释几何背景。
法则名称 文字表示 式子表示 逆用
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
am·an = am+n
(m、n为正整数)
am+n = am·an
(m、n为正整数)
(am)n = amn
(m、n为正整数)
amn = (am)n
(m、n为正整数)
(ab)n = anbn
(m、n为正整数)
anbn = (ab)n
(m、n为正整数)
知识回顾
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
1. 幂的运算性质
2.整式的乘法：
(1)单项式乘单项式：
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式.
2.整式的乘法：
(2)单项式乘多项式：
m(a + b + c) = ma + mb + mc
法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
2.整式的乘法：
(3)多项式乘多项式：
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
公式名称 平方差公式 完全平方公式
文字表示
式子表示
公式的常用变形
两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差。
(a+b)(a-b) = a - b
两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍。
(a±b)2 =a ±2ab+b
a = (a+b)(a-b) + b
b = a - (a+b)(a-b)
a + b = (a+b)2 -2ab
或a + b = (a-b)2 +2ab
(a+b)2 =(a-b)2 +4ab
3. 乘法公式：
1.同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，进行运算时要注意区分。
2.多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，注意不要漏乘。
3.平方差公式和完全平方公式都是多项式乘法的重要公式，其中的字母x，y可以用任何数或者任意多项式代入。
典例精析
1.下列运算正确的是 ( )
A. x3+x3 = x6 B. 2x·3x2 = 6x3
C. (2x)3 = 6x3 D. (2x2+x)÷x = 2x
解析：A.应为 x3 + x3 = 2x3,故本选项错误；B. 2x · 3x2 = 6x3, 正确；C.应为(2x)3 = 23x3 = 8x3,故本选项错误；D.应为 (2x2 + x)÷x = 2x + 1，故本选项错误.
B
2.已知 a=8131,b=2741,c=961,则 a,b,c 的大小关系是 ( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. ac>a
解析：因为a = 8131 = (34)31 = 3124;
b = 2741 = (33)41 = 3123;
c = 961 = (32)61 = 3122. 则 a > b > c. 故选 A.
A
3. 一个长方体的长、宽、高分别 3a-4, 2a, a, 它的体积等于（ ）
A. 3a3-4a2 B. a2
C. 6a3-8a2 D. 6a3-8a
解析：由题意知，V长方形 = (3a-4)·2a·a=6a3-8a2.
故选 C.
C
4. 已知：2x = 4y+1, 27y = 3x-1, 则 x-y =______.
解析：因为 2x = 4y+1, 所以 2x=2(2y+2)，所以 x = 2y+2 ①
又因为 27x = 3x-1,所以 33y = 3x-1,所以 3y = x-1 ②
解①②组成的方程组得
所以 x-y = 3.
x = 4
y = 1
3
5. 计算：
（1）82×42010×(-0.25)2014;
解：82×42010×(-0.25)2014
= 43×42010×(-0.25)2014
= 42013×(-0.25)2013×(-0.25)
= -0.25× (-4×0.25)2013
= 0.25
5. 计算：
（2）20142 - 2013×2015.
解：20142 - 2013×2015
= 20142 - (2014 -1)(2014 + 1)
= 20142-(20142 - 12)
= 20142 - 20142 + 1
= 1
6. 先化简，再求值：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b),其中 a = , b = -1.
解： (a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b)
= a2-2ab-b2-(a2-b2)
= a2-2ab-b2-a2+b2
= -2ab
当 a = , b = -1 时，
原式 = -2× ×(-1) = 1.
7. 若 (x+y)2 = 36 , (x-y)2 = 16 ,求 xy、x2 + y2 的值.
解：因为 (x+y)2 = 36 , (x-y)2 = 16，
所以 x2 + 2xy + y2 = 36 ①，
x2 - 2xy + y2 = 16 ②,
①-② 得 4xy = 20, 所以 xy = 5,
①+② 得 2(x2+y2) = 52,
所以 x2+y2 = 26.
巩固提高
1.已知：a+b=m，ab=-4，化简：(a-2)(b-2) 的结果是( )
A. 6 B. 2m-8
C. 2m D. -2m
解析：因为a+b = m，ab = -4，
所以 (a-2)(b-2) = ab + 4-2(a+b) = -4+4-2m = -2m. 故选D.
D
2. 某商场四月份售出某品牌衬衣 b 件，每件 c 元，营业额a 元. 五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣 3b 件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加( )
A. 1.4a 元 B. 2.4a 元 C. 3.4a 元 D. 4.4a 元
解析：5月份营业额为
4月份营业额为 a, 所以 a-a = 1.4a.
A
3. 已知 (x+a)(x+b) = x2-13x + 36，则 a + b 的值是 ( )
A. 13 B. -13 C. 36 D. -36
解：(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab，
又因为(x + a)(x + b) = x2-13x + 36，所以 a+b = -13. 故选B.
B
4. 若 (a+2)2 + | b+1| = 0，则 5ab2 –{2a2b-[3ab2-(4ab2-2a2b)]} = ______.
解析：由 (a+2)2 + | b+1 | = 0 得
a = -2, b = -1, 当 a = -2, b = -1 时，
5ab2 – {2a2b - [3ab2 - (4ab2 - 2a2b)]} = 4ab2 = -8.
-8
5. 计算：
解：根据幂的乘方与积的乘方法则可知，
原式 =
6. 已知 ，求 的值.
解：因为 = 4，
所以 + 2 = 16，
所以 = 14.
7. 先化简：(2x-1)2 - (3x+1)(3x-1) + 5x(x-1), 再选取一个你喜欢的数代替 x 求值.
解：(2x - 1)2 - (3x + 1)(3x - 1) + 5x(x - 1)
= 4x2 - 4x + 1 - (9x2 - 1) + 5x2 - 5x
= 4x2 - 4x + 1 - 9x2 + 1 + 5x2 - 5x
= -9x + 2
取x=13，原式=-9×13+2=-115.(求值答案不唯一)
1.计算：
(1) –b2·b5
(2) x2·x3·(-x)4
解：–b2·b5 = -b7
解： x2·x3·(-x)4 = x9
(3) (–3a2b3)3
(4)
解：(–3a2b3)3 = –27a6b9
解：
2.计算：
(1)
解：
(2)
解：
(3) (2x+5)(x-1)
解：(2x+5)(x-1)
= 2x·(x-1) +5 (x-1)
= 2x2-2x +5x-5
= 2x2+3x-5
(4) (x-11)(x+11)
解：(x-11)(x+11)
= x2-112
= x2-121
(5) (-7x-1)(-1+7x)
解：(-7x-1)(-1+7x)
= (-1-7x)(-1+7x)
= (-1)2- (7x)2
= 1- 49x2
(6) (-4a-5b)2
解：(-4a-5b)2
= (4a+5b)2
= (4a)2+2·4a·5b+(5b)2
= 16a2+40ab+25b2
3.计算：
(1) (x+13)(x-13)- (x+13)2
解: (x+13)(x-13)- (x+13)2
= (x+13)[(x-13)- (x+13)]
= (x+13)(x-13-x-13)
= -26(x+13)
= -26x-338
(2) (xy+z) (-xy+z)
解: (xy+z) (-xy+z)
= (z+xy) (z-xy)
= z2 -(xy)2
= z2 -x2y2
(3) 4x2-2x·(-x+2y)
解: 4x2-2x·(-x+2y)
= 4x2-[2x·(-x)+2x·2y]
= 4x2-(-2x2+4xy)
= 4x2+2x2-4xy
= 6x2-4xy
(4) (x-2y)(x+2y)- (x-2y)2
解: (x-2y)(x+2y)- (x-2y)2
= (x-2y)[(x+2y)- (x-2y)]
= (x-2y)(x+2y-x+2y)
= 4y(x-2y)
= 4xy-8y2
4.计算：
5002-499×501
解: 5002-499×501
= 5002-(500-1)×(500+1)
= 5002-(5002-1)
= 5002-5002+1
= 1
5.已知(x+y)2=4，(x-y)2=10，求x2+y2和xy的值。
解：
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x-y)2=x2-2xy+y2
(x+y)2 +(x-y)2
=2x2+2y2
=2(x2+y2)
=14
所以x2+y2=7
(x+y)2 -(x-y)2
=4xy
=-6
所以 xy =
6.已知am=4，an=5(m，n是正整数)，求a2m+n的值。
解：
a2m+n
= a2m· an
= (am)2 · an
= 42 · 5
= 80
7.
(1) 计算 2(x+y)(x-y)- (x+y)2+(x-y)2
解：2(x+y)(x-y)- (x+y)2+(x-y)2
= 2(x+y)(x-y)- [(x+y)2-(x-y)2]
= 2(x2-y2)- 4xy
= 2x2-2y2- 4xy
7.
(2) 当x取2，y取 时，求(1)中多项式的值
解：2(x+y)(x-y)- (x+y)2+(x-y)2
= 2x2-2y2- 4xy
当x取2，y取 时，
2x2-2y2- 4xy
8.已知两个正方形的边长之和是20cm，面积之差是40cm2，求这两个正方形的边长。
解：设两个正方形的边长分别为 x cm，y cm，且 x > y。
答: 这两个正方形的边长分为 11cm和9cm。
由数量关系,得
x+y=20
x2-y2=40
化简,得
x =11
y=9
9. (1)已知a-b=2，ab=1，求a2+b2的值
解：
因为 a - b = 2,
所以 (a-b)2 = 4,
则 a2 - 2ab + b2 = 4.
又因为 ab = 1，
所以 a2 - 2×1 + b2 = 4，
所以 a2 + b2 = 6.
9. (2)已知
解：因为
所以
所以
则
所以
则
10. (1) 试用图①解释(a+b)(a-b)=a2-b2
a
b
a
b
解：
边长为a的正方形的面积为a2
边长为b的正方形的面积为b2
由图可知，边长为a的正方形分成的两个梯形的面积之和为
所以 (a+b)(a-b)=a2-b2
梯形面积之和还可表示为：边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积= a2- b2
①
(2) 试用图②解释(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
解：
边长为 a + b + c 的正方形的面积为(a+b+c)2
由图可知，大正方形所分成的 9 块图形的面积之和为 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
所以 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
②
11. 小王说:“814-275-97是5的倍数”你赞成他的说法吗？为什么？
解：
814-275-97
= (34) 4-(33)5-(32)7
= 316-315-314
= 314(32-3-1)
= 5×314
我赞成他的说法， 因为化简后得5×314 结果必然为5的倍数。
12. 观察下面4个等式
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6.
(1) 写出第5个式子.
(1) 72=6+62+7
(2) 如果用n表示正整数，请用含字母n的等式表示通过观察发现的规律，并说明规律成立的理由.
解
(2) (n+2)2=(n+1)+(n+1) 2+(n+2)
(n+1)+(n+1) 2+(n+2)
= n+1+n2+2n+1+n+2
= n2+4n+4
= (n+2)2
13. 计算下列各式
(x-1)(x+1)=_______________
(x-1)(x2+x+1)=_______________
(x-1)(x3+x2 +x+1)=_______________
(1)由此可发现：
(x-1)(xn+xn-1 +···+x+1)=_________________(只要求写出结果)
x2-1
x3-1
x4-1
xn+1-1
(2)利用(1)计算 36+35+34+33+32+4
解：
36+35+34+33+32+4
= 36+35+34+33+32+3+1
14. (1)已知m，n均为常数，若(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项，则m+n的值为多少？
解：
(x+3)2(x2+mx+n)
= (x2+6x+9)(x2+mx+n)
= x4+mx3+nx2+6x3+6mx2+6nx+9x2+9mx+9n
= x4+(m+6)x3+(n+6m+9)x2+(6n+9m)x+9n
由题意得：
n+6m+9=0
6n+9m=0
m=-2
n=3
解得
所以 m+n=1
14. (2)已知a,b,c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx-3,则2a+b+c的值为多少？
解：
设：M=2x2+mx-3
(2x2+mx-3)(x2-3x+1)
= 2x4-6x3+2x2+mx3-3mx2+mx-3x2+9x-3
= 2x4(m-6)x3+(2-3m-3)x2+(m+9)x-3
由题意得：
m-6=a
2-3m-3=b
m+9=c
a=m-6
c=m+9
b=-3m-1
解得
所以 2a+b+c=2(m-6)+(-3m-1)+m+9=-4
谢谢观看！