第2章 实数【小结与评价】 课件（共49张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共49张PPT)
小结与评价
第2章 实数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
数与代数
数与式
方程与不等式
函数
知识图谱
有理数
实数
代数式
平方根、算术平方根
立方根
实数的相反数和绝对值
实数大小的比较
无理数范围的大致估计
简单的近似计算
思考回顾
1. 举例说明什么是一个数的平方根、算术平方根、
立方根.
2. 举例说明乘方与开方的关系.
3. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么？
4. 实数如何分类？
5. 实数能进行哪些运算？运算过程中遇到无理数，
如何进行近似计算？
6. 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方在底数为实数时是否也成立？
平方根
概念
性质
算术平方根
开平方
如果有一个数 r，使得________，那么 r 叫作 a 的一个平方根
求一个非负数的__________的运算，叫作开平方
一个正数有______个平方根，且它们互为________
0 的平方根就是________
负数_______平方根
正数 a 的______平方根叫作 a 的算术平方根
两个非负性
___________为非负数
___________为非负数
r2 = a
两
相反数
0 本身
没有
正
被开方数
算术平方根
平方根
立方根
概念
如果有一个数 b，使得________，那么 b 叫作 a 的一个立方根
b3 = a
性质
___________有且只有一个立方根. 一个正数有一个_____的立方根，一个负数有一个______的立方根，0 的立方根是_____
每一个数
正
负
0
开立方
求一个数的__________的运算，叫作开平方
立方根
实数
概念
_________和________统称为实数
有理数
无理数
分类
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
实数
正实数
负实数
_______
正有理数
正无理数
正整数
正分数
负有理数
负无理数
负整数
负分数
按概念
按性质符号
零
实数和数轴上的点一一对应
实数的相反数与绝对值
相反数 实数 a 的相反数记作______
绝对值
| a | =
_______，当 a > 0 时，
_______，当 a = 0 时，
_______，当 a < 0 时，
－a
a
0
－a
实数的大小比较
实数的运算
有理数的运算法则、运算顺序、运算律等，对于实数仍然成立.
注意事项
1. 把数扩充到实数后，我们现在说的“数”，通常指实数.
2. 在实数范围内，负实数没有平方根. 求一个正实数的平方根时，不要漏掉其中的负平方根.
3. 在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
4. 乘法公式也适用于系数为实数的多项式.
学而时习之
1. 把下列各数填在相应的横线上：
（1）正数：_____________________________；
（2）负数：_____________________________；
（3）有理数：___________________________；
（4）无理数：____________________________.
， ，0.7， ， ， ，0，
0.686 886 888 6…（相邻两个 6 之间 8 的个数逐次加 1）.
0.7
0.686 886 888 6…
0.7
0
0.686 886 888 6…
2. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的平方根和
立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数
无理数
3. 分别求 ，(－4)2， 的平方根.
4. 用计算器计算 ， ， 的近似值
（结果精确到 0.001）.
5. 分别求 (－4)3 ， ， 的立方根.
6. 填空：
（1） =_______.
（2） =_______.
（3） =_______.
（4） =_______.
3
±13
27
－8
7. 填空：
（1）一个数的平方根等于它本身，这个数是_______.
（2）一个数的立方根等于它本身，这个数是___________.
0
－1或0 或 1
8. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解 （1） 的相反数是 ， ；
（2） 的相反数是 ， .
8. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
（3） 的相反数是 ， .
（4）42 = 16， ，16 > 15 ， > 0 .
的相反数是 ， .
9. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
10. 比较下列各组数的大小：
（1） 和 2.4；
（2） 和 ；
（3） 和－3.
解（1） ，2.42 = 5.76，6 > 5.76， ；
（2） ， ， ， ；
（3） ，(－3)3 = －27，－28<－27， .
11. 大于 且小于 的整数有哪些？
解 ，12 = 1，22 = 4，所以 1 < < 2 ；
，42 = 16，52 = 25，所以 4 < < 5 ；
大于 且小于 的整数有：2，3，4.
（2） .
温故而知新
12. 用计算器计算（结果精确到 0.01）：
（1） ；
解 （1） ， ，
（2） =1.211， .
13. 已知 a2 = 9，b3 = 1，求 | a + b | 的值.
解 a2 = 9，a = ±3，b3 = 1，b = 1，
当 a = 3，b = 1 时，| a + b | = 4，
当 a = －3，b = 1 时，| a + b | = 2.
14. 某地欲建一个面积为 100 m2 用栏杆围住的花坛，从节省材料的角度考虑，应该建成正方形还是圆形？
① 建成正方形，设边长为 a，a2 = 100，a = 10，
周长 4a = 40（m）.
② 建成圆形，设半径为 r，πr2 = 100，
周长 2πr = ，
应该建成圆形.
15.（1）请你按照下述规律写出 16 个数：第 1，2 个数都是 1，从第 3 个数起，每个数都是与它相邻的前面两个数的和；
上下而求索
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987.
（2）对于上述 16 个数，求每一个数与跟它相邻的后面一个数的比值（结果精确到 0.001）；
（3）用计算器计算 （结果精确到 0.001）；
（4）观察（2）（3）的结果，你能作出什么猜测？
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987.
从 21 开始，一个数与跟它相邻的后面一个数的比值近似等于
考点1 三个概念
概念1 平方根与算术平方根
1.[2024·上海] 已知，则 ___.
2. 的平方根是____.
1
概念2 立方根
3. 下列结论正确的是( )
D
A. 27的立方根是 B. 没有立方根
C. 立方根等于本身的数是0 D.
概念3 实数
4.将下列各数填入相应的大括号内.
，，，，0，，，， ，
.
①有理数： ；
【解】有理数：，，0，，， ，
， ；
②无理数： ；
无理数：{，，， ；
③负实数： .
负实数： .
考点2 一个关系——实数与数轴的关系
5. [2024·长沙期中] 如图，数轴上表示实数 的点可能是
( )
B
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
考点3 三个性质
性质1 平方根的性质
6.一个正数的两个平方根分别是和7，则 ____.
性质2 算术平方根的性质
7.已知，则 的值为
____.
12
性质3 立方根的性质
8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，， ，小
数点的变化规律是____________________________________
____________________________________；
被开方数的小数点向右（左）移动三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位
（2）已知，，则 _______.
考点4 两种运算
运算1 估算
9. [2024·绍兴期中] 为正整数，且，则 的
值为( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.[2024·南通崇川区期中] 【阅读材料】
因为，所以 ，
所以，所以 的整数部分是1，小数部分
是 .
【解决问题】
（1） 的整数部分是___，小数部分是_________；
8
（2）已知是的整数部分，是 的小数部分，
求代数式 的值；
【解】因为 ，
所以 .
因为是的整数部分，是 的小数部分，所以
， .
所以 .
（3）已知,其中是整数，且 ，求
的值.
因为 ，
所以 .
因为,其中是整数，且 ，
所以， .
所以 .
运算2 实数的运算
11.[2024·重庆九龙坡区期末] 计算：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
考点5 一个技巧——比较实数大小的技巧
12.课堂上，老师出了一道题：比较与 的大小.
小明的解法如下：
解： .
因为，所以，所以 ，所以
，所以 .我们把这种比较大小的方法称为作
差法.
请利用上述方法比较实数与 的大小.
【解】 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
思想1 数形结合思想
13.如图，从一个大正方形中截去面积为和 的两
个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为_______ .
思想2 归纳思想
14.下列各个图形中，“ ”的个
数用表示，“ ”的个数用
表示，如时， ，
；时， ，
4 051
；….根据图形的变化规律，当时，
的值为_______.
【点拨】 时，
, ,
时， ,
,
时，, ,
，
所以， ,
所以当时，, ,
所以 .
思想3 分类讨论思想
15.比较,, 的大小.
【解】易知 ,分情况讨论：
当时， ；
当时， ；
当时， .
谢谢观看！