第3章 一元一次不等式(组)【小结与评价】 课件（共41张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共41张PPT)
小结与评价
第3章 一元一次不等式(组)
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
数与代数
数与式
方程与不等式
函数
方程与方程组
不等式与不等式组
不等式的基本性质
一元一次不等式
一元一次不等式组
解法
概念
解法
应用
概念
1.不等式的基本性质有哪些
2.举例说明什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解集.
3.举例说明如何解一元一次不等式.
4.举例说明如何在数轴上表示出一元一次不等式的解集.
5.举例说明什么是一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集.
知识回顾
不等式的基本性质
不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变.
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
满足一个不等式的未知数的每一个值，称为不等式的一个解.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
例如40，35，20等都是75+25x≤1200的解，这样的解有无数个.
例如用x ≤ 45表示75+25x ≤ 1200的解集.
求一个不等式解集的过程称为解不等式.
只含有______未知数，且含未知数的项的次数是___的不等式，称为一元一次不等式。
例如 4x+6>7, 75+25x≤1200 都是一元一次不等式.
一个
1
变形名称 具体做法 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
在不等式的两边同时乘分母的最小公倍数。
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
把含有未知数的项移到不等式的一边，其他的项移到不等式的另一边。
把不等式化为ax＞b或ax＜b的形式。
根据不等式基本性质2、3，将未知数的系数化为1。
（1）不要漏乘不含分母的项；
（2）分子是一个整体，要加上括号。
（1）不要漏乘括号里的项；
（2）不要弄错符号。
（1）移项要变号；
（2）不要丢项。
系数及其指数不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。
一元一次不等式解法
0
-1
1
2
3
4
5
6
A
画数轴
1
定边界
2
定方向
3
首先在数轴上标出表示 的点A
由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集。
如何在数轴上表示不等式-3x<-x+1的解集 ？
空心圆表示解集不包括 .
解：
去分母(把不等式两边都乘各个分母的最小公倍数)
例1.解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
得
2x<-3x+5
移项，得
2x+3x<5
合并同类项，得
5x<5
两边都除以5，得
x<1
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
例2.解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：
去分母,得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以2，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-4，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，叫作这个不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
一元一次不等式组
不等式组 （a＜b） 不等式组的解集 不等式组的解集在数轴上的表示 巧记口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小找不到
x＞a
x＞b
x＜a
x＜b
x＞a
x＜b
x＜a
x＞b
x＞b
x＜a
a＜x＜b
无解
a
b
a
b
a
b
a
b
一元一次不等式组的解集的四种情况
解：解不等式①，得：
x≤3
解不等式②，得：
x＜-3
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，
-3
0
3
所以这个不等式组的解集是x＜-3
x＜-3
求分解
1
画共解
2
写组解
3
例3.解不等式组：
3-x≥0
3（1-x）＞2（x+9）
①
②
例4.解下列不等式组：
（1）
2x-4＜x+1
2x-4＞-（x+1）
①
②
解：解不等式①，得：
x＜5
解不等式②，得：
x＞1
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，
0
1
5
所以这个不等式组的解集是1＜x＜5.
【教材P76 练习 第2题】
（2）
2x＜x+2
x+6＜4x-3
①
②
解：解不等式①，得：
x＜2
解不等式②，得：
x＞3
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，
所以这个不等式组无解.
2
3
0
1.不等式的基本性质与等式的基本性质的不同之处:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
2.解一元一次不等式时，应与解一元一次方程进行类比.
3.一元一次不等式的解集x ≤ a(或 x ≥ a)包含数a, xa ) 不包含数a，在数轴上表示这两个解集时，分别用实心圆点和空心圆圈来区分.
4.求一元一次不等式组的解集时，要特别注意利用数轴(数形结合)来求解.
典例精析
1.用不等式表示下列数量关系：
（1）x的4倍小于7；
（2）a的2倍与1的差小于或等于-3；
（3）y的一半与6的和不大于3.
4x＜7
2a-1≤-3
2.用“＞”“＜”填空：
（1）由a＜b，可得3a_______3b;
（2）由x＞y，可得 x_______ y;
（3）由m ≤ n，可得 m_______ n;
（4）由a ≥ b，那么a+7________b+7.
＜
＞
≥
≥
3.指出下列各题中的错误：
（1）因为-3x＜2，所以两边都除以-3，得x＜
（2）因为 ＜1，所以两边都乘 x，得x＞1.
根据不等式基本性质3，除以负数，要变号
不确定x是正还是负，所以无法确定不等号的方向.
4. 把下列不等式化为x>a,或x解：根据不等式的性质1，得
3x+1-1>-5-1
3x >-6
合并同类项，得
两边都除以2根据不等式的性质2，得
x>-2
(1) 3x+1>-5
解：根据不等式的性质1，得
5x-8+8<0+8
5x <8
合并同类项，得
两边都除以6根据不等式的性质2，得
(2) 5x-8<0
解：根据不等式的性质1，得
-2x+4-4>8-4
-2x >4
合并同类项，得
两边都除以-3根据不等式的性质3，
得
(3) -2x+4>8
解：根据不等式的性质1，得
合并同类项，得
两边都乘以 根据不等式的性质2，
得
5.解下列不等式，并把它们的解在数轴上表示出来
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
1
0
2
3
4
5
6
7
数轴表示为
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以11，得
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
数轴表示为
解：
去分母,得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-2，得
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
数轴表示为
考点1 四个概念
概念1 不等式
1.下列各式中，是不等式的有（填序号）__________.
；；； ；
；； .
④⑤⑥⑦
不等号有， ， ， ， ，根据不等式的定
义逐个判断即可.
概念2 一元一次不等式
2. 下列式子中，一元一次不等式有( )
；； ；
；； .
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
概念3 一元一次不等式组
3. 下列不等式组中，一元一次不等式组有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
概念4 不等式（组）的解或解集
4.下列说法中，正确的是__________（填序号）.
是不等式的解；②不等式的解集是 ；
③不等式组的解集是 ；④不等式组
的解集是；⑤不等式组 无解.
①②④⑤
考点2 一个性质——不等式的基本性质
5. 若 ,则下列式子不一定成立的是( )
C
A. B.
C. D.
考点3 四个解法
解法1 一元一次不等式的解法
6.[2024·连云港] 解不等式： ，并把解集在数轴上
表示出来.
【解】 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边都除以，得 .
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
解法2 一元一次不等式组的解法
7.解不等式组：
【解】
由①得 .
由②得 .
所以 .
解法3 一元一次不等式（组）整数解的解法
8.对于实数,定义运算“”为 ,例如
，若关于的不等式 有且只
有一个正整数解时， 的取值范围是_ _________.
解法4 含字母的一元一次不等式（组）的解法
9.当在什么范围内取值时，关于 的方程
的解满足下列情况：
【解】 ,
,
,
,
.
（1）解是正数；
因为方程的解是正数，
所以 .
所以 .
（2）解不大于2．
因为方程的解不大于2，
所以 .
所以 .
10.若整数使得关于的不等式组 有且仅有4个
整数解，且使关于的一元一次方程 的解满足
.求整数 所有可能的值.
【解】
解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
所以该不等式组的解集为 .
因为该不等式组有且仅有4个整数解，
所以 ，
解得 .
解方程 ，
得 .
因为该方程的解满足 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以整数所有可能的值为，，，， .
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