综合与实践长方体包装盒的设计与制作 课件（共23张PPT）★2025-2026学年2024湘教版七年级数学下册教学同步课件

(共23张PPT)
综合与实践 长方体包装盒
的设计与制作
第4章 平面内的两条直线
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）知识与技能
理解实数的概念，明确实数与数轴上的点一一对应关系。
掌握实数的分类方法，能
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
为了节约材料，怎样在耗材相同的情况下，使包装盒的容量更大
探索研究长方体包装盒的结构特征
长方体一共有_____个顶点；
长方体一共有_____条棱；
长方体一共有_____个面；
同一方向的棱_____且_____；
相对的面形状_____且互相_____；
相邻的面互相_____.
12
8
6
平行
相等
相同
平行
垂直
长方体的多种展开图
请判断下列的四个图形中，哪一个可看作是一个长方体包装盒的表面展开图．
√
1.如图，在一张 A4 纸（A4纸：21厘米×29.7厘米）的四个角剪去大小相同的正方形，然后折成一个长方体(无盖)容器. 观察这个长方体容器的棱(长方体相邻两个面的交线)与棱之间有哪些位置关系.
垂直、平行
2. 设被剪去的正方形的边长为 x cm，则长方体容器的长、宽、高各是多少 用含 x 的代数式表示这个容器的容量.
V = (29.7-2x)·(21-2x)·x
试代入不同的 x 值计算这个容器的容量，并把结果列成表格. 通过小组比较，你们所做的长方体容器的最大容量是多少
切去小正方形的边长x/cm 1 2 3 4 5 6 7
容量V/cm3
V= (29.7-2x)·(21-2x)·x
526.3
873.8
1066.5
1128.4
1083.5
955.8
769.3
3. 用一张长方形纸，设计一个长方体包装盒的盒套，运用平移、轴对称、旋转等变换设计包装盒的外观，并将设计过程中的最精彩之处写进总结报告，与同学分享.
1. 成立探索研究小组，3 ～ 4 人为一组，选出组长，分好工.
操作步骤：
2. 制定探索研究计划，明确研究目标，确定研究步骤，提出有效措施.
(1) 搜集包装盒样品， 查找并记录相关资料.
(2) 对搜集的包装盒进行分类， 探索研究长方体包装盒的结构特征，明确设计与制作长方体包装盒的思路和步骤，用文字记录研究成果.
(3) 在笔记本上草拟一个设计方案，与小组同学交流方案的可行性.
(4) 讨论设计方案中的长方体包装盒是否在耗材相同的情况下容量最大.
3. 设计、制作长方体包装盒.
4. 撰写探索研究工作的总结报告.
5. 向同班同学展示你们组所设计的包装盒， 并参与全班交流、评比．
(1) 准备一张长 16 cm、宽 12 cm 的长方形纸板， 设计制作一个底面为正方形的长方体包装盒，可以有多种设计制作方案， 比一比哪种设计方案可以包装盒的容积最大.
解：设剪下的小正方形的边长 = a，则底面正方形的边长=12-2a，纸盒的高= a，所以 V= (12-2a)2 × a.
当纸盒为正方体时，V最大，即 12-2a = a，a = 4 时，V有最大值，此时 V= 4×4×4 = 64 cm3 .
(2) 选择几个你认为最浪费材料的包装盒，重新设计，说明你做了哪些改进，并指明改进的理由.结合你的改进方案，以“轻包装、重品质”为题，写一封致社区居民的公开信.
活动过程
1.长方体包装盒的容积研究
（1）如图,在一张 纸板的四个角
沿虚线剪去大小相同的正方形，然
后折成一个长方体（无盖）容器.观
平行或垂直
察这个长方体容器的棱（长方体相邻两个面的交线）与棱之
间的位置关系为____________.
（2）纸板长,宽 ，设被剪去的正方形的边长
为,则长方体容器的长为___________ ，宽为________
___，高为___ ，这个容器的容量为_________________
_____，试代入不同的 值计算这个容器的容量，并把结
果列成表格.通过小组比较，你们所做的长方体容器的最大容
量是多少
解：列表如下：
的值/ 1 2 3 4 5 6
长方体容量 / _____ _____ ______ __ ______ __ ______ __ _____
通过比较可以看出：所做的长方体容器的最大容量是______
___ .
526.3
873.8
955.8
（3）如下图是用长为，宽
为 的长方形纸板制作的一个
无盖长方体纸盒.三位同学分别以下
列方式在长方形纸板上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖
的长方体纸盒.
甲：如图①，盒子底面的四边形 是正方形；
乙：如图②，盒子底面的四边形 是正方形；
丙：如图③，盒子底面的四边形 是长方形， .
将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正
确的是( )
A. 甲 乙 丙 B. 甲 丙 乙
C. 丙 甲 乙 D. 丙 乙 甲
C
2.长方体展开图
（1）如图所示的四个图形中，( )可以看作是一个长方
体包装盒的表面展开图.
C
A. B. C. D.
（2）下列四张正方形硬纸板，分别将阴影部分剪去后，再
沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是
( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获
谢谢观看！