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规范练6 “21～22题”24分练
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y＝k(x＋1)(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，过A，B作直线l：x＝－2的垂线，垂足分别为M，N，点G为线段MN的中点，F为椭圆C的左焦点，求证：四边形AGNF为梯形.
(1)解 由已知得解得
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得，椭圆C的左焦点F(－1，0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M(－2，y1)，N(－2，y2)，G.
直线AG的斜率kAG＝＝，
直线FN的斜率kFN＝＝－y2.
∵直线y＝k(x＋1)(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，
∴y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)，
∵直线y＝k(x＋1)(k≠0)与直线l：x＝－2不平行，
∴四边形AGNF为梯形的充分必要条件是AG∥FN，即＝－y2，
即y1＋3y2＋2x1y2＝0，
即k(x1＋1)＋3k(x2＋1)＋2x1k(x2＋1)＝0，
∵k≠0，∴x1＋1＋3(x2＋1)＋2x1(x2＋1)＝0，
即3(x1＋x2)＋2x1x2＋4＝0(*).
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴3(x1＋x2)＋2x1x2＋4＝3×＋2×＋4
＝＝0，
∴(*)成立，∴四边形AGNF为梯形.
2.已知函数f(x)＝2xln x－x2－mx＋1.
(1)若m＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若m<0，0
(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由于m＝0，则f(x)＝2xln x－x2＋1，
f′(x)＝2ln x＋2－2x，
令h(x)＝f′(x)＝2ln x＋2－2x，
则h′(x)＝－2＝，
当00，f′(x)在区间(0，1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)＝<0，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递减.
则f′(x)≤f′(1)＝2ln 1＋2－2＝0.
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.
(2)证明 法一 由(1)得f′(x)＝2ln x＋2－2x－m在区间(0，1)上单调递增，
当m<0时，f′(1)＝－m>0，0f′＝2＋2－2e－1－m＝－2e－1<0，
则 x0∈(0，1)，使f′(x0)＝0，
即f′(x0)＝2ln x0＋2－2x0－m＝0，
得m＝2ln x0＋2－2x0.
当0当x00，f(x)在区间(x0，1)上单调递增.
则当00，
所以2xln x－x2－mx＋1>0.
令＝t，由于0则ln －－＋1>0，
整理得2ln <－m.
法二 欲证2ln <－m，
只需证2ln <－m，
即证2ln <－－m.
令t＝，由于a>b>0，则t>1.
故只要证2ln t1)，
即证2tln t－t2＋1＋mt<0(t>1).
由(1)可知，函数φ(x)＝2xln x－x2＋1在区间(0，＋∞)上单调递减，
故x>1时，φ(x)<φ(1)＝0，
即2xln x－x2＋1<0，故2tln t－t2＋1<0，
由于m<0，t>1，则mt<0，
所以2tln t－t2＋1＋mt<0成立.
所以2ln <－m.
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规范练4 “17～20题”46分练
1.公差为2的等差数列{an}中，a1，a2，a4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝求{bn}的前20项和.
解 (1)因为等差数列{an}的公差为2，
所以a2＝a1＋2，a4＝a1＋6，
因为a1，a2，a4成等比数列，
所以(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)因为bn＝
所以b16＋…＋b20＝b11＋…＋b15＝b6＋…＋b10，
所以{bn}的前20项和
T20＝(b1＋b2＋…＋b5)＋(b6＋…＋b10)＋(b11＋…＋b15)＋(b16＋…＋b20)
＝(b1＋b2＋…＋b5)＋3(b6＋…＋b10)
＝(a1＋a2＋…＋a5)＋3(a6＋…＋a10)
＝＋3×
＝＋3×＝270.
2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC的中点，平面AB1C⊥平面ABC.
(1)求证：B1D⊥平面ABC；
(2)求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值.
(1)证明 因为AB1＝B1C，D为AC的中点，所以B1D⊥AC.
又平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D 平面AB1C，
所以B1D⊥平面ABC.
(2)解 在平面ABC内，过点D作BC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交BC于点F，连接BD.
由(1)知B1D⊥平面ABC，所以B1D⊥BD.
因为AB⊥BC，所以DE⊥DF，
故以{，，}为基底建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
因为AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，
所以AC＝＝10，BD＝AC＝5.
又AA1＝BB1＝13，
所以B1D＝＝12.
易得D(0，0，0)，A(3，－4, 0)，B(3，4，0)，
C(－3，4，0)，B1(0，0，12)，
则＝(－6，8，0)，＝(－6，0，0)，
＝(－3，4，－12).
设点C1(x，y，z)，则＝(x，y，z－12)，
由＝，得(－6，0，0)＝(x，y，z－12)，
所以即C1(－6，0，12)，
所以＝(6，0，－12).
设平面AB1C的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
得3x1＝4y1，z1＝0.
不妨取x1＝4，则y1＝3，得平面AB1C的一个法向量为n＝(4，3，0).
设直线C1D与平面AB1C所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c－b＝a(sin C－cos C).
(1)求角A；
(2)若a＝2，l，S分别表示△ABC的周长和面积，求的最大值.
解 (1)由已知及正弦定理得
2sin C－sin B＝sin Asin C－sin Acos C，
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以2sin C＝sin Asin C＋cos Asin C，
在△ABC中，sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝2，
即sin＝1，
因为0(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得b2＋c2－bc＝4，所以(b＋c)2－4＝3bc.(*)
l＝a＋b＋c＝2＋b＋c，S＝bcsin A＝bc，
所以＝，将(*)式代入，
可得＝＝(b＋c－2).
因为bc≤，所以由(*)式可得(b＋c)2－4≤，即b＋c≤4(等号当且仅当b＝c＝2时成立)，
故的最大值为×(4－2)＝.
4.为了调动大家学习党的二十大精神的积极性，某市举办了党史知识竞赛，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行.假设这两个小组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率.若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率.
解 (1)由题意可知，甲组获得决赛资格的概率
p1＝×＝，乙组获得决赛资格的概率p2＝×＝.
X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝(1－p1)(1－p2)＝×＝，
P(X＝1)＝(1－p1)·p2＋p1·(1－p2)
＝×＋×＝，
P(X＝2)＝p1·p2＝×＝，
可得X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)设B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，
A1表示事件“甲小组抢到最后一道题”，
A2表示事件“乙小组抢到最后一道题”，
则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
根据全概率公式，可得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝，
从而P(A1|B)＝＝
＝＝，
即该题是甲小组答对的概率为.
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规范练1 “17～20题”46分练
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcos C＝2a－c.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝6，D为边AC的中点，且BD＝，求△ABC的面积.
解 (1)由2bcos C＝2a－c结合余弦定理，
得2b·＝2a－c，
即a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由BD＝，则||＝，
则|＋|＝9，
则2＋2＋2·＝81，
即a2＋c2＋ac＝81，①
又b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2－ac＝36，②
由①②可得ac＝，
则S△ABC＝acsin B＝××＝，
所以△ABC的面积为.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{}是等差数列，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝，求数列的前20项和T20.
解 (1)因为{an}是等差数列，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3，
又{}是等差数列，
所以2＝＋，
即2＝＋3，
整理，得(－1)2＝0，所以a1＝1，
所以{an}的公差d＝a2－a1＝2，
此时，＝＝n，
则有－＝1，符合题意，
故数列{an}的通项公式为
an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)知，＝＝
＝－，
所以T20＝＋＋＋…＋＝1－＝.
3.某校组织了一次党史知识竞赛.已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：(ⅰ)学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；(ⅱ)每答对一个问题可以获得本题所对应的荣誉积分，并继续回答下一个问题，答错则不可获得本题所对应的荣誉积分，且停止答题.已知学生A答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.
问题 甲 乙 丙
答对的概率 0.8 0.5 p
答对获得的荣誉积分 100 200 300
(1)若p＝0.3，求学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率.
(2)针对以下两种答题顺序①丙、乙、甲，②乙、丙、甲，当p满足什么条件时，学生A按顺序①答题最后获得的荣誉积分的期望较高？
解 (1)设“学生A按‘甲、乙、丙’的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分”为事件B，
则P(B)＝0.8×0.5×(1－0.3)＝0.28.
故学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率为0.28.
(2)记按顺序①答题最后获得的荣誉积分为X，按顺序②答题最后获得的荣誉积分为Y，则X的所有可能取值为0，300，500，600，Y的所有可能取值为0，200，500，600.
P(X＝0)＝1－p，
P(X＝300)＝p×(1－0.5)＝0.5p，
P(X＝500)＝p×0.5×(1－0.8)＝0.1p，
P(X＝600)＝p×0.5×0.8＝0.4p，
所以E(X)＝0×(1－p)＋300×0.5p＋500×0.1p＋600×0.4p＝440p.
P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5，
P(Y＝200)＝0.5×(1－p)，
P(Y＝500)＝0.5×p×(1－0.8)＝0.1p，
P(Y＝600)＝0.5×p×0.8＝0.4p，
所以E(Y)＝0×0.5＋200×0.5×(1－p)＋500×0.1p＋600×0.4p＝100＋190p.
由E(X)>E(Y)，得p>0.4，
故当0.44.如图，在四面体ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝.
(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；
(2)若E为AD的中点，求二面角C－BE－D的余弦值.
(1)证明 如图，取BD的中点为O，连接AO，CO，在△ABD中，由AB＝AD＝BD＝2可知，AO⊥BD，
在△BCD中，由BC＝CD＝可知，CO⊥BD，
所以∠AOC是二面角A－BD－C的平面角.
在△BCD中，BC2＋CD2＝2＋2＝4＝BD2，
所以△BCD是直角三角形，所以OC＝1.
在△AOC中，AO＝，AC＝2，OC＝1，
所以AC2＝AO2＋OC2，
所以∠AOC＝90°，
故平面ABD⊥平面BCD.
(2)解 由(1)可知，OA，OC，BD两两垂直，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz如图所示，
则O(0，0，0)，B(0，－1，0)，C(1，0，0)，
A(0，0，)，D(0，1，0)，E，
所以＝(1，1，0)，＝.
设平面CBE的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝，
所以平面CBE的一个法向量为m＝(1，－1，).
易得平面DBE的一个法向量为＝(1，0，0).
所以cos〈m，〉＝
＝＝.
由图可知，二面角C－BE－D为锐二面角，
所以二面角C－BE－D的余弦值为.
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限时练2 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.若复数z满足·i＝2＋i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A.1＋2i B.1－2i
C.－1＋2i D.－1－2i
答案 A
解析 由题意知＝＝＝1－2i，所以z＝1＋2i.
2.记集合A＝{x|log2(x－1)<2}，A∩N＝B，则B的元素个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 B
解析 由A＝{x|log2(x－1)<2}，
得0即A＝{x|1又A∩N＝B，所以B＝{2，3，4}，
即集合B中的元素个数为3.
3.已知cos θ＝，则sin＝( )
A.－ B.
C. D.－
答案 A
解析 sin＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
4.设a，b为非零向量，则“存在负数λ，使得a＝λb”是“a·b<0”的( )
A.充分必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设a与b的夹角为θ.若a，b为非零向量，当“存在负数λ，使得a＝λb”时，a，b为方向相反的向量，其夹角θ＝π，a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|<0；当“a·b<0”时，a·b＝|a||b|cos θ<0，cos θ<0，则<θ≤π.
所以“存在负数λ，使得a＝λb”是“a·b<0”的充分而不必要条件，故选C.
5.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有( )
A.72种 B.36种
C.24种 D.12种
答案 D
解析 先将另外两名教师与另外两名学生搭配成1名教师和1名学生的小组，共有2种组合方式，然后将3个小组安排到3个不同的地方，共有A种排列方式，所以不同的安排方案共有2A＝12(种).
6.国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%至45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量).该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤( )
A.6小时 B.3小时
C.1.5小时 D.小时
答案 B
解析 由题意知(1－90%)P0＝P0·e－3k，
则k＝－ln 0.1，
又1%P0＝P0·e－kt，
则t＝－ln 0.01＝＝6，6－3＝3，
所以至少还需要过滤3小时，故选B.
7.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是直线x＝上一点，∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设直线MF1，MF2的倾斜角分别为α，β，
M，t>0.
则tan α＝，tan β＝，
因为∠F1MF2＝β－α，
所以tan ∠F1MF2＝tan(β－α)＝
＝＝
＝≤
＝＝＝＝tan 60°＝，
所以c4＝3(a4－c4)，则＝，
解得e＝＝，故选A.
8.已知a＝sin ，b＝，c＝，则( )
A.cC.a答案 D
解析 当x>0时，x>sin x恒成立，
∴>sin ，即b>a.
当x∈时，sin x>x.
证明如下，设g(x)＝sin x－x，x∈，
则g′(x)＝cos x－，g′(x)在上单调递减，
∵g′(0)＝1－>0，g′＝－<0，
∴存在x0∈，使得g′(x0)＝0.
当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减.
又g(0)＝0，g＝－×＝0，
∴g(x)>0在上恒成立，
即sin x>x在上恒成立.
∵∈，
∴sin >×，即sin >，∴a>c.
综上，c二、多选题
9.甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
在这次射击测试中，下列说法正确的是( )
A.甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B.甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C.甲的成绩没有乙的成绩稳定
D.甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
答案 AC
解析 甲和乙成绩的极差分别是6和4，A正确；
甲和乙成绩的众数均是7，B错误；
甲成绩的平均数为(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，
乙成绩的平均数为(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7)÷10＝7，
所以甲成绩的方差s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝4，
乙成绩的方差s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2，
s>s，C正确；
甲和乙成绩的中位数都是7，D错误.
10.已知f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x3，则( )
A.f(0)＝0
B.对任意的正实数a，都有f≥f(4)
C.f(1＋x)为偶函数
D.不等式f(x＋1)答案 BC
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称.
因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x3，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减.
f(0)＝f(2)＝8，A错误；
a>0，a＋≥2＝4，当且仅当a＝2时等号成立，
所以f≥f(4)，B正确；
当f(1＋x)为偶函数时，f(1－x)＝f(1＋x)，符合条件，C正确；
因为f(x＋1)为偶函数，且当x>0时，
f(x＋1)单调递增，
所以由f(x＋1)即不等式f(x＋1)D错误.
11.在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|＝|PB|，则( )
A.点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B.△PAB面积最大时，|PA|＝2
C.∠PAB最大时，|PA|＝2
D.点P到直线AC的距离的最小值为
答案 ABD
解析 设P(x，y)，由|PA|＝|PB|得，
|PA|2＝2|PB|2，
所以[x－(－1)]2＋(y－0)2＝2[(x－1)2＋(y－0)2]，
化简得(x－3)2＋y2＝8，A正确；
由对A的分析知y∈[－2，2]，
所以△PAB的面积S＝|AB|·|y|∈(0，2]，
当△ABP面积最大时，P点坐标为(3，2)或(3，－2)，
此时|PA|＝＝2，B正确；
记圆(x－3)2＋y2＝8的圆心为D，
则D(3，0)，当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则|PA|2＝|AD|2－|PD|2＝42－(2)2＝8，故此时|PA|＝2，C错误；
直线AC的方程为7x－y＋7＝0，
所以圆心D(3，0)到直线AC的距离为＝，
所以点P到直线AC的距离的最小值为－2＝，D正确.
12.在底面边长为2、侧棱长为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E为AC1的中点，＝λ(0≤λ≤1)，则以下结论正确的是( )
A.当λ＝时，＝＋－
B.当λ＝时，AB1∥平面A1C1D
C.存在λ使得DE⊥平面A1B1C
D.四面体EABC外接球的半径为
答案 AD
解析 对于A，当λ＝时，＝＋＝－＋＋＝＋－，故A正确；
对于B，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，有AC∥A1C1，又AC 平面A1C1D，A1C1 平面A1C1D，
所以AC∥平面A1C1D，
若AB1∥平面A1C1D，
则可得平面AB1C∥平面A1C1D，显然不成立，故B错误；
对于C，因为点D在线段BC上运动，
所以∠DEC的最大值为∠BEC，如图，
取AC的中点为M，连接EM，BM，则EM⊥平面ABC，EM⊥BM，在Rt△BEM中，BM＝，EM＝，所以BE＝，又CE＝2，BC＝2，
所以cos ∠BEC＝>0，
所以∠BEC<90°，又CE 平面A1B1C，
所以不存在点D使得DE⊥平面A1B1C，C错误；
对于D，设△ABC外接圆的圆心为O1，其半径为r，四面体EABC的外接球的球心为O，其半径为R，则O1在BM上，2r＝，
得r＝，连接OO1，BO，设OO1＝h，
易知OO1⊥平面ABC，所以OO1⊥BO1，
在Rt△BOO1中，R2＝h2＋r2，①
过点O作ON∥O1M，交EM于点N，
则四边形ONMO1为矩形，
所以MN＝OO1＝h＝ON＝O1M＝r＝，连接OE，在Rt△EON中，
R2＝(－h)2＋，②
由①②解得R＝，D正确.
三、填空题
13.已知(x＋ay)3的展开式中含x2y项的系数为6，则实数a的值为________.
答案 2
解析 展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx3－r(ay)r，
因为展开式中含x2y项的系数为6，
所以所以Ca＝6，解得a＝2.
14.双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为正方形OABC(O为坐标原点)的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为4，则a＝________.
答案 4
解析 双曲线的一条渐近线的斜率为
＝tan ∠BOC＝tan 45°＝1，
所以a＝b，因为正方形OABC的边长为4，点B为双曲线的焦点，
所以双曲线的半焦距c＝|OB|＝4，
则a2＋b2＝2a2＝c2＝32，解得a＝4.
15.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an＝________.
答案 2n＋1
解析 设{an}的公差为d，
由题意得a2所以a1＋d又a1，d为正整数，所以可取a1＝3，d＝2，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(tan A＋tan B)＝＋，则＝________；若c＝4，D为AB的中点且CD＝，则△ABC的面积为________.(第一空2分，第二空3分)
答案 3 4
解析 由3(tan A＋tan B)＝＋，得3＝＋，
化简得3(sin Acos B＋cos Asin B)＝sin A＋sin B，
即3sin(A＋B)＝sin A＋sin B＝3sin C，
由正弦定理得a＋b＝3c，所以＝3.
在△ABC中，·＝(＋)·(＋)＝·
＝2－2＝33－×42＝29，
且·＝||·||·cos ∠ACB＝b·a·cos ∠ACB＝29，
所以由余弦定理可知a2＋b2－c2＝a2＋b2－16＝2a·b·cos ∠ACB＝58，
即(a＋b)2－2ab＝74，
又a＋b＝3c＝3×4＝12，所以ab＝35，
则cos ∠ACB＝，
所以sin ∠ACB＝＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝a·b·sin ∠ACB
＝×35×＝4.
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限时练5 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.已知集合M＝{x|2x－a≤0}，N＝{x|log2x≤1}.若M∩N≠ ，则实数a的取值集合为( )
A.(－∞，0] B.(0，4]
C.(0，＋∞) D.[4，＋∞)
答案 C
解析 因为M＝{x|2x－a≤0}＝，N＝{x|log2x≤1}＝{x|0M∩N≠ ，所以>0，所以a>0，故选C.
2.已知复数z的共轭复数是，且＝|z|－1＋5i，则复数z＝( )
A.5－12i B.12－5i
C.5＋12i D.12＋5i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝， ＝a－bi，
则由题意，得a－bi＝－1＋5i，
所以解得
所以z＝12－5i.
3.已知等差数列{an}是递增数列，其前n项的和为Sn，且a4·S7＝567，a2＝5，则S11＝( )
A.143 B.86
C.256 D.125
答案 A
解析 设{an}的公差为d，
由题意得
解得
所以S11＝11×3＋55×2＝143.
4.随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在自由空间中的传输损耗公式为L＝32.4＋20(lg D＋lg F)，其中D为传输距离(单位：km)，F为载波频率(单位：MHz)，L为传输损耗(单位：dB).若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的( )
A.100倍 B.50倍
C.10倍 D.5倍
答案 C
解析 设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则L′＝L＋60，F′＝100F，
所以60＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D－20lg F＝20lg ＋20lg ，
则20lg ＝60－20lg ＝60－40＝20，
即lg ＝1，则D′＝10D，故传输距离变为原来10倍，故选C.
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若m α，n β，α⊥β，则m⊥n
B.若m α，n β，α∥β，则m∥n
C.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D.若m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
答案 C
解析 对于A，α⊥β，设α∩β＝a，
当m∥a且a∥n时，m∥n，故A不正确；
对于B，m α，n β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故B不正确；
对于C，若n α，由m⊥α，m⊥n，得存在b α，n∥b，
由n⊥β，得b⊥β，则α⊥β；若n α，
由n⊥β，得α⊥β，故C正确；
对于D，若m α，n β，m∥β，n∥α，
则α与β相交或平行，故D不正确.
6.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是( )
A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600
B.这一星期内乙的日步数的30%分位数是7 030
C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙
D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙
答案 B
解析 对于A，甲的日步数从小到大排列为：
2 435，7 965，9 500，11 600，12 700，16 000，16 800.
中位数是11 600.故A正确；
对于B，因为7×30%＝2.1，所以乙的日步数的30%分位数是从小到大的第3个数，为10 060.故B不正确；
对于C，甲＝(16 000＋7 965＋12 700＋2 435＋16 800＋9 500＋11 600)＝11 000，
乙＝(14 200＋12 300＋7 030＋12 970＋5 340＋11 600＋10 060)＝10 500.
所以甲＞乙.故C正确；
对于D，甲的极端值，对方差的影响大，所以甲的日步数的方差大于乙.故D正确.
7.甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：
(1)累计负两场者被淘汰；
(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
(4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据赛制，最少比赛4场，最多比赛5场，比赛结束.
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为＝.
若比赛5场，丙最终获胜，则从第2场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，则比赛5场，丙最终获胜的概率为
×××＋××＋××＝.
综上，丙最终获胜的概率为＋＝.
8.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为48π，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积的最大值为( )
A.12 B.15
C.24 D.48
答案 C
解析 如图，设正三棱柱ABC－A1B1C1上，下底面的中心分别为H，H1，连接HH1.
根据对称性可知，线段HH1的中点O即该正三棱柱外接球的球心.连接OA，则线段OA即该外接球的半径，由题意，得4π×OA2＝48π，
所以OA＝2.
设正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为x，
连接AH，则AH＝×x＝x.
在Rt△AOH中，OH＝＝，
所以HH1＝2，
所以正三棱柱ABC－A1B1C1的体积
V＝x2·2＝x2(0令t＝，则0令f(t)＝(36－3t2)t，则f′(t)＝(4－t2).
当00，f(t)单调递增；
当2所以f(t)max＝f(2)＝24，
即正三棱柱ABC－A1B1C1的体积的最大值为24.
二、多选题
9.已知函数f(x)＝2sin＋b(ω>0)的最小正周期T满足A.ω＝2
B.f(x)的值域是[－2，2]
C.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
D.f是偶函数
答案 AC
解析 对于A，因为P是f(x)图象的一个对称中心，
所以－ω＋＝kπ(k∈Z)，且b＝1，得ω＝2－8k(k∈Z).
又0，
即<<，所以<ω<4，
所以ω＝2，故A正确；
对于B，由对A的分析得
f(x)＝2sin＋1，
因为－1≤sin≤1，
所以f(x)∈[－1，3]，故B 不正确；
对于C，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，
所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，
因为f＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos＋1，
显然该函数不是偶函数，故D不正确.
10.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝1，则( )
A.2a＋2b≥2
B.a2＋b2≥1
C.log2>－1
D.ln(a＋1)≥a的充要条件是b＝1
答案 AD
解析 对于A，2a＋2b≥2＝2，当且仅当2a＝2b，即a＝b＝时取等号，故A正确；
对于B，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab
≥1－2×＝，
当且仅当a＝b＝时取等号，故B不正确；
对于C，因为a＋b＝1，
所以a－b＝a－(1－a)＝2a－1≥－1，
所以log2≥log2 ＝－1，
当a＝0，b＝1时取等号，故C不正确；
对于D，令g(x)＝ln(x＋1)－x(x≥0)，
则g′(x)＝－1＝＝，
当x≥0时，g′(x)≤0，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(0)＝0，所以ln(1＋x)≤x，
当且仅当x＝0时取等号，
所以若ln(a＋1)≥a，则a＝0，此时b＝1，反之也成立，故D正确.
11.已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1>2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α，β，则( )
A.sin α>tan β B.∠AEF＝∠BEF
C.∠AEB>90° D.α<2β
答案 BD
解析 如图，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，M，
则D(x1，0)，M(x2，0).
抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，
则E(－1，0).
因为y1>2，所以x1＝>1，所以0°<α<90°，
所以直线l的斜率存在，设为k，可得直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去y并整理，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1.
对于A，sin α＝＝，
tan β＝＝，
所以sin α＝tan β，故A不正确；
对于B，因为kAE＝，kBE＝，
所以kBE＋kAE＝＋
＝
＝＝0，
所以直线AE与BE的倾斜角互补，
所以∠AEF＝∠BEF，故B正确；
对于C ，因为x1>1，
所以tan β＝＝<＝1，
所以0°<β＝∠AEF<45°，
又∠AEF＝∠BEF，所以0°<∠AEB<90°，
故C不正确；
对于D，因为0°<∠AEB<90°，
所以0°<2β<90°，因为tan β＝，
所以tan 2β＝＝
＝，
所以tan α－tan 2β＝－＝＝<0，
所以tan α12.已知定义在R上的f(x)满足f(x)＝f(8－x)＋f(4)，f(x＋π)的图象关于(－π，0)对称，且f(1)＝2 022，则( )
A.函数f(x)的一个周期为16
B.f(2 023)＝－2 022
C.f(x)的图象关于直线x＝12对称
D.y＝f(2x－1)＋π的图象关于点对称
答案 ACD
解析 在f(x)＝f(8－x)＋f(4)中令x＝4，得f(4)＝f(8－4)＋f(4)，所以f(4)＝0.
所以f(x)＝f(8－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称.
因为f(x＋π)的图象关于点(－π，0)对称，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是奇函数.
对于A，
因为函数f(x)是奇函数，且f(x)＝f(8－x)，
所以－f(－x)＝f(8－x)，
所以f(x)＝－f(8＋x)，
所以f(x＋8)＝－f(16＋x)，
所以f(x)＝f(x＋16)，
所以f(x)是周期为16的周期函数，故A正确；
对于B，f(2 023)＝f(126×16＋7)＝f(7)＝f(8－7)＝f(1)＝2 022，故B不正确.
对于C，因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(x)的图象关于直线x＝－4对称 ，
又f(x)是周期为16的周期函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－4＋16k(k∈Z)对称，
令k＝1，得f(x)的图象关于直线x＝12对称，故C正确.
对于D，易得f(x)的图象关于点(8k，0)(k∈Z)对称，
所以f(2x－1)的图象关于点(k∈Z)对称，所以y＝f(2x－1)＋π的图象关于点(k∈Z)对称，
令k＝0，得y＝f(2x－1)＋π的图象关于点对称，故D正确.
三、填空题
13.已知向量a＝(－3，1)，b＝(m，2)，且a⊥(a＋2b)，则|a＋b|＝________.
答案
解析 因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝0，
即|a|2＋2a·b＝0，
所以10＋2(－3m＋2)＝0，解得m＝，
则a＋b＝，所以|a＋b|＝.
14.9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________.(写出一个满足条件的m的值即可)
答案 7(8，9，10也可)
解析 原数据去掉m后，剩余数据从小到大依次为6，7，7，8，8，9，10，
因为7×0.25＝1.75，所以这7个数的第25百分位数为7，
所以数据7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，
又8×0.25＝2，所以7为这8个数据从小到大排序后的第2个数与第3个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.
15.如图1是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知某模型(如图2)左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10 cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且AB＝30 cm，AD＝20 cm，则该双曲线的离心率是________.
答案 2
解析 如图，以双曲线的对称中心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝＝5.
易得A(10，15)，所以－＝1，解得b＝5，
所以c2＝a2＋b2＝25＋75＝100，
所以c＝10，所以双曲线的离心率e＝＝2.
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝exf(－x)，且f(1)＝，f′(x)是f(x)的导函
数，当x∈[0，＋∞)时，f′(x)答案 (－∞，0)∪(2，＋∞)
解析 令g(x)＝，
由f(x)＝exf(－x)，得f(－x)＝，
则g(－x)＝＝＝g(x)，
所以g(x)为偶函数.
因为当x∈[0，＋∞)时，f′(x)所以当x∈[0，＋∞)时，
g′(x)＝
＝<0，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减.
因为g(x)为R上的偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增.
因为f(1)＝，所以g(1)＝＝＝1.
因为f(x－1)所以g(x－1)所以|x－1|>1，解得x<0或x>2，
所以不等式f(x－1)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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高考必刷22题
限时练1 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.已知全集U＝{2，4，6，8，10，12}，集合M＝{4，6，8}，N＝{8，10}，则集合{2，12}＝( )
A.M∪N B.M∩N
C. U(M∪N) D. U(M∩N)
答案 C
解析 因为M＝{4，6，8}，N＝{8，10}，
所以M∪N＝{4，6，8，10}，
又全集U＝{2，4，6，8，10，12}，
所以{2，12}＝ U(M∪N)，故选C.
2.已知i是虚数单位，若z＝为纯虚数，则实数a＝( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
答案 B
解析 z＝＝＝
＝＋i，
因为z为纯虚数，所以解得a＝－1.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a4＋a5＝16，则S10＝( )
A.60 B.80
C.90 D.100
答案 D
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
解得所以S10＝10a1＋d＝10×1＋×2＝100.
4.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )
A.若m⊥n，n α，则m⊥α
B.若m∥n，n α，则m∥α
C.若m⊥n，n⊥α，则m∥α
D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α
答案 D
解析 对于A，若m⊥n，n α，则m α，或m∥α，或m与α斜交，或m⊥α，A错误；
对于B，若m∥n，n α，则m α或m∥α，B错误；
对于C，若m⊥n，n⊥α，则m∥α或m α，C错误；
对于D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，D正确.
5.已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则(1＋2x)n的展开式的各项系数之和为( )
A.38 B.310
C.28 D.210
答案 A
解析 因为(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，
所以C＝C，由组合数性质得n＝8 ，
令x＝1得，(1＋2x)8的展开式的各项系数之和为38，故选A.
6.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A.sin B.sin
C.cos D.cos
答案 D
解析 法一 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得y＝f的图象，所以f＝sin，
令2x－＝t，则x＝＋，
所以f(t)＝sin＝sin，
则f(x)＝sin＝cos
＝cos，故选D.
法二 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，得y＝sin的图象，
再将y＝sin的图象向左平移个单位长度，得函数f(x)的图象，
所以f(x)＝sin＝sin，
又sin＝cos
＝cos，
所以f(x)＝cos，故选D.
7.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝，x＝与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则＋＝( )
A. B.1
C. D.2
答案 B
解析 由题意可知A，B，C，D，
结合题图可知|AB|＝－，|CD|＝－.
因为|AB|＝|CD|，
所以－＝－，
又－＝－＝，
所以＝－.
由题图可知b>1>a>0，则－≠0，
所以＋＝1，故选B.
8.若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为( )
A.2 B.2
C. D.4
答案 A
解析 因为方程x2＋y2＝|x|＋|y|中的x换成－x；y换成－y；x，y同时换成－x，－y，方程都不变，所以曲线x2＋y2＝|x|＋|y|关于y轴，x轴，原点都对称.
x>0，y>0时，方程可化为x2＋y2＝x＋y，
即＋＝，表示以为圆心，r＝为半径的圆在第一象限的部分，作出此时的图形，然后根据对称性作出其他象限的图形，如图所示，再作出直线x＋y＋2＝0.
因为在第三象限的曲线是以为圆心，r＝为半径的圆在第三象限的部分，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离
d＝＝＝r，
所以直线x＋y＋2＝0与曲线在第三象限相切.
根据对称性，直线－x－y＋2＝0，即直线x＋y－2＝0在第一象限与曲线相切，由图可知，直线x＋y－2＝0在第一象限与曲线相切的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最大，最大距离为x＋y＋2＝0与x＋y－2＝0这两条平行线间的距离，所以最大距离为＝2，故选A.
二、多选题
9.已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝20，2a6＋a5－a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则( )
A.数列{an}单调递增 B.数列{an}单调递减
C.Tn的最大值为T5 D.Tn的最小值为T5
答案 BC
解析 设等比数列{an}的公比为q，
因为2a6＋a5－a4＝0，
所以2a4q2＋a4q－a4＝0.
因为a4>0，所以2q2＋q－1＝0，
解得q＝或q＝－1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以q>0，则q＝.
所以数列{an}单调递减，A错误，B正确；
因为数列{an}单调递减，且各项均为正数，所以数列{an}的前n项积Tn有最大值，没有最小值，所以D错误；
若Tn取最大值，则即
又n∈N*，所以n＝5，即Tn的最大值为T5，
所以C正确.
10.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2013年9月和10月由中国国家主席习近平分别提出建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的合作倡议.依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台，积极发展与沿线国家的经济合作伙伴关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体.2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果.
中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额(亿美元)
注：贸易总额＝贸易进口额＋贸易出口额，贸易顺差额＝贸易出口额－贸易进口额.
由数据分析可知，在2011到2016这六年中( )
A.中国与沿线国家贸易总额逐年递增
B.2014年中国与沿线国家贸易出口额最大
C.中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增
D.2016年中国与沿线国家贸易顺差额首次下降
答案 BD
解析 2014年中国与沿线国家贸易总额为6 370.4＋4 833.6＝11 204(亿美元)，
2015年中国与沿线国家贸易总额为6 145.8＋3 883.4＝10 029.2(亿美元) ，低于2014年，所以A错误；
由题图可知，2014年中国与沿线国家贸易出口额最大，所以B正确；
2011到2016这六年中国与沿线国家贸易顺差额依次为142.9亿美元，428.6亿美元，976.8亿美元，1 536.8亿美元，2 262.4亿美元，2 213.7亿美元，
所以2011到2015这五年中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增，2015年到2016年下降，所以C错误，D正确.
11.已知函数f(x)＝ln 是偶函数，则( )
A.a＝－1
B.f(x)在(0，＋∞)上是单调函数
C.f(x)的最小值为1
D.方程f(x)＝2有两个不相等的实数根
答案 BD
解析 f(x)＝ln ＝ln[e(2－a)x＋e－ax]，
若f(x)为偶函数，则y＝e(2－a)x＋e－ax为偶函数，
又y＝ex＋e－x为偶函数，
所以不妨令
则a＝1，所以A错误；
对于B，因为f(x)＝ln，
所以f′(x)＝×(ex－e－x)，
当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以B正确；
对于C，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以当x＝0时，f(x)取最小值，最小值为f(0)＝ln 2，所以C错误；
对于D，因为2>ln 2，f(x)为偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞，f(x)→＋∞，所以方程f(x)＝2有两个不相等的实数根，所以D正确.
12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，M，N为底面A1B1C1D1内两点，＝＋λ＋λ(λ∈[0，1])，异面直线BN与CC1所成的角为30°，则下列说法正确的是( )
A.CM⊥BD
B.直线MN与DD1为异面直线
C.线面MN长度的最小值为3－2
D.三棱锥B－A1MN的体积可能为12
答案 ACD
解析 连接A1C1，因为点M在底面A1B1C1D1内，且＝＋λ＋λ，
所以＝λ(＋)＝λ，λ∈[0，1]，
所以点M在线段A1C1上.
因为点N在底面A1B1C1D1内，异面直线BN与CC1所成的角为30°，BB1∥CC1，所以∠B1BN＝30°.
连接B1N，因为正方体的棱长为6，
所以B1N＝6×＝2，
所以点N在以B1为圆心，2为半径的圆在正方形A1B1C1D1内的部分上，即弧EF上，如图所示，其中B1F＝B1E＝2.
对于A，连接AC，因为BD⊥AC，BD⊥AA1，
AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为点M在线段A1C1上，所以CM 平面ACC1A1，所以CM⊥BD，所以A正确；
对于B，当点M为线段A1C1的中点，点N为弧EF的中点时，直线MN与DD1相交于点D1，所以B错误；
对于C，因为点M在线段A1C1上，点N在上，点B1到直线A1C1的距离为3，所以线段MN长度的最小值为3－2，所以C正确；
对于D，若VB－A1MN＝S△A1MN ·BB1＝2S△A1MN＝12，则S△A1MN＝6.
记点N到直线A1C1的距离为d，
则3－2≤d≤＝3－.
当点M与点C1重合时，
S△A1MN＝×6×d＝6，得d＝，
又3－2<<3－，
所以存在点M，N使三棱锥B－A1MN的体积为12，所以D正确.
三、填空题
13.已知抛物线C：y2＝ax的准线方程为x＝－1，则a＝________.
答案 4
解析 抛物线方程为y2＝ax，
所以其准线方程为x＝－，
所以－＝－1，所以a＝4.
14.已知等腰三角形ABC的顶角A＝120°，BC＝，＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
答案 －
解析 △ABC是等腰三角形，顶角A＝120°，所以B＝C＝30°，a与c的夹角为120°，
所以a与b的夹角为150°，b与c的夹角为30°.
因为BC＝，即|b|＝，所以AB＝AC＝1，
即|a|＝|c|＝1，则a·b＋b·c＋a·c
＝|a||b|cos 150°＋|b||c|cos 30°＋|a||c|cos 120°＝－.
15.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcos C＝a＋2ccos B，b＝c，则cos C＝________.
答案
解析 因为2bcos C＝a＋2ccos B，
所以由余弦定理得
2b×＝a＋2c×，
整理得a2＋2c2－2b2＝0，
又b＝c，所以a2＝2c2，即a＝c，
所以cos C＝＝＝.
16.已知函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0的解集为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为________.
答案
解析 因为f(x)≥0的解集为[－1，＋∞)，
①当x≤0 时，f(x)＝－x2＋(a－1)x＋a≥0在[－1，0]上恒成立，且－x2＋(a－1)x＋a<0在(－∞，－1)上恒成立，显然f(－1)＝0，
所以f(0)＝a≥0.
②当x>0时，f(x)＝ex－asin x≥0恒成立.
当x∈时，f(x)＝ex－asin x≥0恒成立，
即a≤恒成立，
令g(x)＝，0则g′(x)＝.
当0当0，
所以g(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以当x＝时，g(x)min＝g＝e，
所以a≤e.
当x∈时，f′(x)＝ex－acos x，
因为当x≥时，ex≥e，acos x≤a≤e，所以f′(x)≥e－e＝e>0，
所以f(x)在上单调递增，
所以当x∈时，
f(x)min＝f＝e－a≥0，
所以a≤e.
综上，a的取值范围为[0，e].
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限时练4 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.已知全集U＝{x|－2≤x≤3，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则 UA中元素的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 U＝{x|－2≤x≤3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2，3}，
由x2－2x－3<0，得－1所以A＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{0，1，2}，
所以 UA＝{－2，－1，3}， UA中有3个元素.
2.复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 z＝＝
＝＝－i，
所以|z|＝＝.
3.已知|a|＝2，|b|＝3，则“a·b＝6”是“a与b共线”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 依题意，|a|＝2，|b|＝3.
若a·b＝6，则cos〈a，b〉＝＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，即向量a与b的夹角为0，
所以a与b共线；
当向量a与b的夹角为π时，满足a与b共线，但此时a·b＝|a|·|b|·cos π＝－6.
所以“a·b＝6”是“a与b共线”的充分不必要条件，故选B.
4.已知抛物线C：y2＝4x上一点到y轴的距离是5，则该点到抛物线C焦点的距离是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 B
解析 因为抛物线C：y2＝4x上一点到y轴的距离是5，所以该点到抛物线C的准线x＝－1的距离是6，
结合抛物线的定义可得该点到抛物线C焦点的距离是6，故选B.
5.已知tan＝－，则sin 2α＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 C
解析 tan＝
＝＝－，
解得tan α＝7，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝
＝＝＝.
6.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的，是目前中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)＋圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作了一个整流罩模型，近似为一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高的比为1∶3，则该模型的体积的最大值为( )
A.40π B.80π
C.160π D.180π
答案 C
解析 设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，圆锥(圆柱)的底面圆半径r＝，
所以该模型的体积V＝πr2h＋πr2·(3h)＝πr2h＝π(36－h2)h＝π(－h3＋36h)，0令f(h)＝π(－h3＋36h)，0则f′(h)＝π(－3h2＋36)＝－10π(h＋2)(h－2)，
令f′(h)＝0，得h＝2，
当00，
当2所以函数f(h)在(0，2)上单调递增，
在(2，6)上单调递减，当h＝2时，f(h)取得最大值，且最大值为160π，所以该模型的体积的最大值为160π，故选C.
7.现有7个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字1，2，2，3，4，5，6.从这7个小球中随机取出3个，则取出的小球上数字的最小值为2的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设事件A＝“取出的小球上数字的最小值为2”，
事件B＝“取出的小球上数字的最小值为2，且只有一个小球上标有数字2”，
事件C＝“取出的小球上数字的最小值为2，且有两个小球上标有数字2”，
则P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故选C.
8.已知x1，x2是函数f(x)＝ex－ax2的两个极值点，且x2＝2x1，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为f(x)＝ex－ax2，所以f′(x)＝ex－ax.
因为x1，x2是f(x)＝ex－ax2的两个极值点，
所以ex1－ax1＝0，ex2－ax2＝0，
显然x1≠0，x2≠0，所以a＝＝.
因为x2＝2x1，所以＝，
即2ex1＝e2x1，得ex1＝2，
所以x1＝ln 2，a＝＝＝.
二、多选题
9.已知数列{an}为等差数列，Sn表示其前n项和，则下列数列一定为等差数列的是( )
A.{an＋n} B.{a}
C. D.{S4n}
答案 AC
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则an＋1－an＝d，an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝na1＋d，
所以an＋1＋(n＋1)－(an＋n)＝(an＋1－an)＋(n＋1)－n＝d＋1(常数)，
所以数列{an＋n}一定是等差数列，所以A正确；
若an＝n，则a－a＝3，a－a＝5，
所以a－a≠a－a，
所以数列{a}不一定是等差数列，所以B错误；
＝a1＋d，则－＝a1＋d－＝(常数)，
所以数列一定是等差数列，所以C正确；
S4n＝4na1＋d，S4＝4a1＋6d，
S8＝8a1＋28d，S12＝12a1＋66d.
当d≠0时，2S8≠S4＋S12，
所以数列{S4n}不一定是等差数列，所以D错误.
10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则( )
A.直线AD1与直线EF共面
B.A1E⊥AF
C.直线A1E与直线BF所成的角为60°
D.三棱锥C1－ADF的体积为
答案 BD
解析 对于A，如图，连接D1F，假设直线AD1与直线EF共面，则A，E，F，D1四点共面，又平面AEFD1∩平面CDD1C1＝D1F，平面AEFD1∩平面ABB1A1＝AE，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥D1F，又AE∥CD，所以CD∥D1F，显然不成立，所以直线AD1与直线EF不共面，所以A错误；
对于B，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，E，A(1，0，0)，F，
所以＝，＝，
所以·＝0×(－1)＋×1＋(－1)×＝0，
所以⊥，即A1E⊥AF，所以B正确；
对于C，B(1，1，0)，＝，设直线A1E与直线BF所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝≠，所以C错误.
对于D，VC1－ADF＝VA－C1FD＝×S△C1FD×AD＝×××1×1＝，所以D正确.
11.已知a>0，b>0，且＋＝1，则( )
A.a＋2b≥3＋2 B.＋≥2
C.＋≤ D.＋≥2
答案 ABD
解析 对于A，因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋2b＝(a＋2b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝且＋＝1，
即a＝1＋，b＝1＋时等号成立，所以A正确；
对于B，由＋＝1，得b＝，
因为a>0，b>0，所以a>1，
所以＋＝＋
＝＋＝＋2(a－1)
≥2＝2，
当且仅当a＝1＋时等号成立，
此时b＝＋1，所以B正确；
对于C，＋＝1两边平方，得＋＋＝1，
所以＋＝1－2··
≥1－2＝1－2×＝，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以C错误；
对于D，由＋＝1，得ab＝a＋b，
所以ab＝a＋b≥2，得≥2，
因为(＋)2＝a＋b＋2≥4≥8，
当且仅当a＝b＝2时等号同时成立，
所以＋≥2，所以D正确.
12.已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双曲线右支上一点，过点P的直线l与双曲线右支交于另一点Q，且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，则( )
A.点P到两条渐近线的距离之积为定值
B.·为定值
C.|PF1|·|PF2|<|PO|2
D.|PA|＝|BQ|
答案 ACD
解析 设P(x0，y0)，易知双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝x，y＝－x，
即x－y＝0，x＋y＝0，
所以点P到两条渐近线的距离之积为
·＝，
因为点P(x0，y0)在双曲线的右支上，
所以－y＝1，即x－2y＝2，
所以点P到两条渐近线的距离之积为，
所以A正确；
不妨设直线AB的方程为x＝my＋n，
A，B.
由得x1＝，
由得x2＝，
所以·＝x1x2－x1x2＝x1x2
＝×＝，
所以·不是定值，所以B错误；
因为点P(x0，y0)在双曲线C上，
所以y＝－1，且x0≥，
易得F1(－，0)，F2(，0)，
所以|PF1|＝
＝＝
＝＝x0＋，
同理可得|PF2|＝x0－，
所以|PF1|·|PF2|＝·＝x－2，
|PO|2＝x＋y＝x＋－1＝x－1，
所以|PF1|·|PF2|－|PO|2＝－1<0，
即|PF1|·|PF2|<|PO|2，所以C正确.
设线段AB的中点为M，
则xM＝＝，
所以yM＝＝，
即M.
由得(my＋n)2－2y2＝2，
即(m2－2)y2＋2nmy＋n2－2＝0，
设Q(x3，y3)，因为直线PQ与双曲线的右支有两个交点，所以m2－2≠0，且Δ＝4n2m2－4(m2－2)(n2－2)＝8(m2＋n2－2)>0，
则y0＋y3＝.
设线段PQ的中点为N，
则yN＝＝，
则xN＝myN＋n＝＋n＝，
即N，
所以点M与点N重合，即线段AB和PQ的中点重合，所以|PA|＝|BQ|，所以D正确.
三、填空题
13.若(x－1)n的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含x3的项的系数为 ________.
答案 －20
解析 因为(x－1)n的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，
所以C＝C，得n＝6，则(x－1)6展开式的通项Tk＋1＝(－1)kCx6－k，
令6－k＝3，得k＝3，所以展开式中含x3的项的系数为(－1)3C＝－20.
14.写出一个半径为3且与y轴和圆(x－4)2＋y2＝4都相切的圆的标准方程为________.
答案 (x－3)2＋(y－2)2＝9或(x－3)2＋(y＋2)2＝9或(x－3)2＋y2＝9(只需填写一个)
解析 因为所求圆的半径为3，且与y轴相切，所以可设所求圆的圆心为M(3，b)，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－b)2＝9.
记圆(x－4)2＋y2＝4的圆心为C，则C(4，0)，圆C的半径为2.
若圆M和圆C相外切，则|MC|＝3＋2，
即＝5，解得b＝±2，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2
＝9或(x－3)2＋(y＋2)2＝9；
若圆M和圆C相内切，则|MC|＝3－2，
即＝1，解得b＝0，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.
综上，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9或(x－3)2＋(y＋2)2＝9或(x－3)2＋y2＝9.
15.将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个最小正周期后，所得图象恰有3个对称中心在区间(0，π)内，则ω的取值范围为________.
答案
解析 函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期T＝，将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期，即向右平移个单位长度，平移后图象所对应的函数解析式为g(x)＝2sin＝2sin.
当x∈(0，π)时，ωx－∈，因为函数g(x)＝2sin的图象在区间(0，π)内恰有3个对称中心，
所以2π<ωπ－≤3π，
解得<ω≤，即ω的取值范围为.
16.已知函数f(x)＝axex－－在 (0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________.
答案
解析 因为函数f(x)＝axex－－在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
所以关于x的方程axex－－＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根，
即关于x的方程a＝e－x在(0，＋∞)上有两个不同的根.
令g(x)＝e－x，
则g′(x)＝－e－x＋e－x
＝－e－x＋e－x
＝(－2xln x－x2＋2－4ln x－x)
＝[－2(x＋2)ln x－(x2＋x－2)]
＝[－2(x＋2)ln x－(x＋2)(x－1)]
＝(2ln x＋x－1).
令h(x)＝2ln x＋x－1，显然函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝0，所以当0当x>1时，h(x)>0.
因为x>0，所以<0，
所以当00，
当x>1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，且g(x)max＝g(1)＝.
易得当x→0时，g(x)→－∞，
当x>1时，g(x)>0，且当x→＋∞时，g(x)→0，可作出函数g(x)的大致图象，如图所示.
直线y＝a和函数g(x)＝e－x的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
由图可知，0所以实数a的取值范围是.
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规范练2 “17～20题”46分练
1.等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝14，b2b4＝a6，且bn>0.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)已知：①bn<1 000；② m∈N*，使am＝bn.设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有项的和，求S的值.
解 (1)设{an}的公差为d，则a2＋a4＝2a1＋4d＝14，得d＝3，
则a6＝a1＋5d＝16.
设{bn}的公比为q，且q>0，
则b2b4＝bq4＝q4＝16，得q＝2，
则bn＝b1qn－1＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝2n－1，且条件①bn<1 000，
则n≤10，
an＝a1＋(n－1)d＝3n－2，若满足条件② m∈N*，am＝bn，
则必有bn＝2n－1＝am＝3m－2，
即bn需是被3除余1的正整数，
b1＝a1＝1，符合，且bn＋1＝2bn＝2am＝6m－4＝3(2m－1)－1，不符合，
bn＋2＝4bn＝4am＝12m－8＝3(4m－2)－2，符合，故{bn}所有的奇数项均符合条件②，
所以S＝b1＋b3＋b5＋b7＋b9＝1＋4＋16＋64＋256＝341.
2.在①b＝a(sin C＋cos C)，②asin C＝csin ，③acos C＋c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知________.
(1)求角A；
(2)若b＝1，c＝3，求BC边上的中线AD的长.
注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.
解 (1)若选①，则由正弦定理，
得sin B＝sin A(sin C＋cos C).
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Asin C＋sin Acos C，
又sin C≠0，所以tan A＝.
由A∈(0，π)，得A＝.
若选②，由正弦定理可得
sin Asin C＝sin Csin ，
因为sin C≠0，B＋C＝π－A，
所以sin A＝sin ＝cos ，
所以2sin cos ＝cos ，
又cos ≠0，所以sin ＝，
由∈，得＝，即A＝.
若选③，由正弦定理得
sin Acos C＋sin C＝sin B，
所以sin Acos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
又sin C≠0，所以cos A＝，
由A∈(0，π)，得A＝.
(2)法一 由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，得a＝，
所以cos B＝＝.
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝，故AD＝.
法二 因为AD为BC边上的中线，
所以＝(＋)，
则2＝(＋)2
＝(c2＋b2＋2cbcos ∠BAC)＝，
故AD＝.
3.随着生活节奏的加快、生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2018—2022年全国居民每百户家用汽车拥有量y(单位：辆)与全国居民人均可支配收入x(单位：万元)绘制的散点图.
(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；(结果保留两位小数)
(2)已知2022年全国居民人均可支配收入为32 189元，若从2022年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
参考数据：
(xi－)2 (xi－)(yi－)
2.82 32.56 0.46 5.27
(1＋0.06)5≈1.34，(1＋0.06)6≈1.42，(1＋0.06)7≈1.50.
参考公式：回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
＝，＝－.
解 (1)＝＝≈11.46，
＝－≈32.56－11.46×2.82≈0.24，
所以y关于x的经验回归方程为＝11.46x＋0.24.
(2)由50＝11.46x＋0.24，得x≈4.34.
因为2022年全国居民人均可支配收入为3.218 9万元，
且3.218 9×(1＋0.06)5≈3.218 9×1.34≈4.31<4.34，
3.218 9×(1＋0.06)6≈3.218 9×1.42≈4.57>4.34，
所以预计2028年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
4.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
(1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.
又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA 平面PAB，PB 平面PAB，所以PD⊥平面PAB.
(2)解 如图，取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
又PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
因为CO 平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD.
以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意得，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，
P(0，0，1)，
所以＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1).
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝2，则x＝1，y＝－2，则n＝(1，－2，2).
又＝(1，1，－1)，
所以cos〈n, 〉＝＝－，
所以，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
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规范练3 “17～20题”46分练
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，b＝8，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由.
①cos C＝；②cos B＝.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 若选①，
在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3.
因为c在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得cos B＝＝＝－<0，
所以B是钝角，
所以△ABC是钝角三角形.
若选②，
在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得82＝72＋c2－2×7c×，
化简，得(c－5)(c＋3)＝0，
解得c＝5或c＝－3(舍去)，
所以c所以B是△ABC的最大角.
因为cos B＝>0，所以B是锐角，
所以△ABC不是钝角三角形.
2.2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会成功举办.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]中的学生中抽取6人，若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数为X，求X的分布列和数学期望.
解 (1)由题意，40×(0.000 5＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.006 5)＝1，
解得a＝0.004.
由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下的样本所占比例为
40×(0.000 5＋0.002＋0.004＋0.006＋0.006 5)＝0.76.
观看时长在240分钟以下的样本所占比例为
0.76＋40×0.004＝0.92.
所以85%分位数位于[200，240)内，
估计样本数据的85%分位数为
200＋40×＝222.5.
(2)由题意，观看时长在[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.
于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
3.已知等比数列{an}的首项为－2，前n项和为Sn，且Sn＋2，Sn，Sn＋1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{anbn}的前10项和T10.([x]表示不超过x的最大整数)
解 (1)因为Sn＋2，Sn，Sn＋1成等差数列，
所以Sn－Sn＋2＝Sn＋1－Sn，
所以－an＋2－an＋1＝an＋1，
即an＋2＝－2an＋1，
设{an}的公比为q，则q＝－2，
所以an＝－2×(－2)n－1＝(－2)n.
(2)依题意，b2k－1＝＝k(k∈N*)，
b2k＝＝k(k∈N*).
所以T10＝(a1b1＋a3b3＋…＋a9b9)＋(a2b2＋a4b4＋…＋a10b10)
＝(a1＋2a3＋…＋5a9)＋(a2＋2a4＋…＋5a10)
＝(a1＋2a3＋…＋5a9)－2(a1＋2a3＋…＋5a9)
＝－(a1＋2a3＋…＋5a9)
＝1×2＋2×23＋…＋5×29，
所以4T10＝1×23＋2×25＋…＋5×211，
两式相减得－3T10＝2＋23＋25＋…＋29－5×211＝－5×211＝－×211－，
所以T10＝×211＋＝3 186.
4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点(不含端点).
(1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置.
(1)证明 因为PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PA⊥BC，
又在正方形ABCD中，BC⊥AB，
且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
因为PA＝AB，E为PB的中点，
所以AE⊥PB，
又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，
又AE 平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PBC.
(2)解 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1).
所以＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1).
由(1)可知n1＝为平面PBC的一个法向量.
由BE＝BF，PB＝AB＝BC，
可知EF∥PC，
设＝λ(0<λ<1)，则＝λ，
所以＝λ(0，1，0)，＝λ(－1，0，1)，
可得＝＋＝(1，λ，0)，
＝＋＝(1－λ，0，λ).
设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)，
则即
取y＝1，则x＝－λ，z＝1－λ，
所以n2＝(－λ，1，1－λ).
由|cos〈n1，n2〉|＝
＝＝，
解得λ＝或λ＝，
所以F为BC的三等分点.
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限时练3 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.若复数z满足z(1＋2i)＝5，则z＝( )
A.1－2i B.5－10i
C.2－i D.1＋2i
答案 A
解析 由已知得z＝＝＝1－2i.故选A.
2.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A.{－2} B.{－2，2}
C.{2} D.
答案 B
解析 因为B＝{x|y＝}＝{x|x≥2，或x≤－2}，A＝{－2，－1，0，1，2}，
所以A∩B＝{－2，2}.
3.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝( )
A. B.
C.－ D.－
答案 D
解析 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°
＝cos(50°＋160°)＝cos 210°
＝－cos 30°＝－.
4.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋2y＝0，则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
答案 A
解析 由双曲线方程知渐近线方程为y＝±x，
又已知一条渐近线方程为y＝－x，
所以＝，
所以C的离心率e＝＝＝＝＝＝，故选A.
5.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种
C.9种 D.6种
答案 B
解析 1号球和2号球都不放入1号盒子，则3号球和4号球必有一个放入1号盒子，剩下的三个球全排列，所以不同的方法共有C·A＝2×6＝12(种)，故选B.
6.已知数列{an}满足a＝anan＋2(n∈N*)，若a3＝1，a7＝4，则a5＝( )
A.±2 B.－2
C.2 D.8
答案 C
解析 由a＝an·an＋2可知，数列{an}为等比数列，
则a＝a3·a7＝4，设{an}的公比为q，
因为a5＝a3·q2，且a3＝1>0，
所以a5>0，所以a5＝2.
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别为(0，0，1)，(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)，则该四面体的外接球的表面积为( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案 C
解析 如图，在空间直角坐标系中标记题目所给顶点后，可发现四面体ABCD可补形成棱长为1的正方体，则四面体的外接球就是正方体的外接球，
故外接球的半径R＝＝，表面积为4πR2＝3π，故选C.
8.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D.函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
答案 D
解析 结合题目所给图象进行分段分析，
当x<－3时，(x－1)3<0，得f′(x)<0；
当－30；
当10，得f′(x)>0；
当x>3时，(x－1)3>0，得f′(x)<0.
根据极值点的定义可知，当x＝－3时，f(x)取得极小值f(－3)，
当x＝3时，f(x)取得极大值f(3)，故选D.
二、多选题
9.投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示.
表1 股票甲收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表2 股票乙收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是( )
A.投资股票甲的期望收益较小
B.投资股票乙的期望收益较小
C.投资股票甲比投资股票乙的风险高
D.投资股票乙比投资股票甲的风险高
答案 BC
解析 E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
则投资股票甲的期望收益较大，B正确；
由于投资股票甲有0.1的概率发生亏损，而乙在任何情况下都没有亏损，
所以投资股票甲的风险高，C正确.
10.已知曲线C：－＝1(mn≠0)，则下列说法正确的是( )
A.若m＋n＝0，则C是圆
B.若m>0，n<0，且m＋n≠0，则C是椭圆
C.若mn>0，则C是双曲线，且渐近线方程为y＝±x
D.若0答案 BCD
解析 对于A，当m＋n＝0，
即m＝－n时，x2＋y2＝m，
当m>0时，曲线C是圆，当m<0时，曲线C不存在，故A不正确；
对于B，若m>0，n<0，且m＋n≠0，
则m≠－n，所以曲线C是椭圆，故B正确；
对于C，若mn>0，则m，n同号，当m>0，n>0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
当m<0，n<0时，曲线C为焦点在y轴上的双曲线，它们的渐近线的统一求法为令－＝0，解得y＝±x，故C正确；
对于D，若01>m>0，可知曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
令a2＝－n，b2＝m，
则c2＝a2－b2＝－n－m，
所以e＝＝＝，故D正确.
11.已知a>0，b>0，且a－b＝1，则( )
A.a3>b3 B.sin a>sin b
C.2a＋2－b>2 D.ab>ba
答案 AC
解析 对于A，构造函数y＝x3，易知y＝x3在R上单调递增，由a－b＝1可知a>b，
所以a3>b3，故A正确；
对于B，令b＝，则a＝＋1，
显然sin＝cos 1对于C, 2a＋2－b>2＝2＝2，故C正确；
对于D，构造函数y＝，
求导得y′＝，
当00，y＝单调递增，
当x>e时，y′<0，y＝单调递减，
令b＝e，则a＝e＋1，显然<，
即bln a12.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是( )
A.翻折到某个位置，使得DA1⊥EC
B.翻折到某个位置，使得A1C⊥平面A1DE
C.四棱锥A1－DCBE体积的最大值为
D.点M在某个球面上运动
答案 ACD
解析 由题意，可计算得AD＝AE＝A1D＝A1E＝1，DE＝EC＝，
所以DE2＋EC2＝CD2＝4，即DE⊥EC.
对于A，若DA1⊥EC，因为DA1∩DE＝D，DA1，DE 平面A1DE，
所以EC⊥平面A1DE，
又EC 平面ABCD，
所以平面A1DE⊥平面ABCD，
即将△ADE翻折到垂直于平面ABCD时，可使得DA1⊥EC，故A正确；
对于B，取DE的中点为F，连接A1F，CF，
易得A1F＝，CF＝.
若A1C⊥平面A1DE，则A1C⊥A1E，A1C⊥A1F，
因为A1C2＝CF2－A1F2＝－＝2，A1C2＝EC2－A1E2＝()2－12＝1，
显然2≠1，
所以A1C⊥平面A1DE不成立，故B不正确；
对于C，设h为点A1到平面ABCD的距离，
则VA1－DCBE＝S四边形DCBE·h，
因为S四边形DCBE＝＝，为定值，
所以当h取得最大值时，四棱锥A1－DCBE的体积最大，显然将△ADE翻折到垂直于平面ABCD时，h取得最大值，
此时VA1－DCBE＝××＝，故C正确；
对于D，取CD的中点为N，连接MN，
则MN是△A1CD的中位线，
所以MN＝A1D＝，为定值，
所以点M在以N为球心，MN为半径的球面上(点M所在的球不唯一，存在即可)，故D正确.
三、填空题
13.已知向量m＝(2，－3)，n＝，若m∥n，则b的值为________.
答案 2
解析 由m∥n，可知2×＝－3×1，
解得b＝2.
14.若圆台的上、下底面半径分别为2，4，高为2，则该圆台的侧面积为________.
答案 12π
解析 已知圆台的上底面半径r＝2，
下底面半径R＝4，高h＝2，得母线长l＝＝2，则该圆台的侧面积S＝πl(r＋R)＝π×2×(2＋4)＝12π.
15. 如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，x∈[－4，0]的图象，图象的最高点为B(－1，2)，曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为________千米.
答案
解析 设函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，
由题图可知A＝2，＝－1－(－4)＝3，
所以T＝＝12，
所以ω＝.
当x＝－1时，2sin＝2，
所以sin＝1.
因为0<φ<π，所以－<φ－<，
所以φ－＝，解得φ＝，
则解析式为y＝2sin，x∈[－4，0].
因为D到TO的距离为千米，所以设D(x，).
将D(x，)代入解析式得2sin＝，
由图可知－4所以x＋＝，解得x＝－2，
所以|DO|＝＝(千米).
16.已知函数f(x)＝|ln(x＋1)－1|，若a>b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________.
答案 (2e－2，＋∞)
解析 将y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得y＝ln(x＋1)的图象，再将y＝ln(x＋1)的图象向下平移一个单位长度得y＝ln(x＋1)－1的图象，将x轴以下的部分翻折上去可得f(x)＝|ln(x＋1)－1|的图象.如图所示，
作一水平直线与f(x)的图象交于A，B两点.
由a>b可得a>e－1>b>－1.
由f(a)＝f(b)，得ln(a＋1)－1＝1－ln(b＋1)，
故(a＋1)(b＋1)＝e2.
下面用两种方法求a＋b的取值范围.
法一 将b＝－1代入a＋b
得a＋b＝a＋1＋－2>2－2＝2e－2，
故a＋b的取值范围为(2e－2，＋∞).
法二 (a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝e2<＋a＋b＋1，
令t＝a＋b，则＋t＋1>e2，
配方得(t＋2)2>4e2，
由a＋1>e，b＋1>0得t＋2＝a＋1＋b＋1>0，
所以t＋2>2e，即t>2e－2，故a＋b的取值范围为(2e－2，＋∞).
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限时练6 “8单选＋4多选＋4填空”80分练
一、单选题
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 ＝＝＝1＋i，其在复平面内对应点(1，1)，位于第一象限.
2.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0，x∈N}，B＝{x|2x>}，则A∩B＝( )
A.{x|－2C.{0，1} D.{－1，0，1}
答案 C
解析 由x2＋2x－3≤0，得－3≤x≤1，
因为x∈N，所以集合A＝{0，1}；
由2x>＝2－2，得x>－2，
所以集合B＝{x|x>－2}.
所以A∩B＝{0，1}.
3.的展开式中的常数项为( )
A.15 B.60
C.80 D.160
答案 B
解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝C()6－k＝2kCx，
令＝0，得k＝2，
所以常数项为22×C＝60.
4.在气象观测中，降水量是指一定时间内，从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水，未经蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的深度.降水量以mm为单位，气象观测中一般取一位小数.现某地正在下雨，10分钟的降水量为13.1 mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5 cm的圆柱形量筒收集雨水，则这10分钟收集的雨水体积约为(其中π≈3.14)( )
A.1.02×103 mm3 B.1.03×103 mm3
C.1.02×105 mm3 D.1.03×105 mm3
答案 D
解析 圆柱形量筒的底面半径r＝5 cm＝50 mm，
因为10分钟的降水量是13.1 mm，
所以在此地此时间段内圆柱形量筒收集的雨水体积
V＝πr2h≈3.14×502×13.1＝102 835≈1.03×105(mm3).
5.已知公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，则( )
A.a6＝0 B.a7＝0
C.S12＝0 D.S13＝0
答案 C
解析 ∵a＋a＝a＋a，
∴a－a＋a－a＝0，
∴2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，
又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，
∴2(a7＋a6)＝0，
∴S12＝＝＝0.
6.若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝4，则|a＋b＋c|＝( )
A.3 B.或
C.3或6 D.或6
答案 C
解析 因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以其中任意两个向量的夹角为0°或120°.
|a|＝|b|＝1，|c|＝4，所以当其中任意两个向量的夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋4＝6；
当其中任意两个向量的夹角为120°时，|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝1＋1＋16－1－4－4＝9，
则|a＋b＋c|＝3.
综上，|a＋b＋c|＝6或|a＋b＋c|＝3.
7.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝2，A(m，0)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则实数m的取值范围为( )
A.[3－，3＋] B.[2，4]
C.[－4，－2] D.[2，4]
答案 D
解析 因为·＝0，所以PA⊥PB，
所以点P在以AB为直径的圆上，
又A(m，0)，B(0，m)，所以以AB为直径的圆的方程为(x－m)x＋y(y－m)＝0，
化简得x2＋y2－mx－my＝0，即＋＝，记D，
则点P在以D为圆心，为半径的圆上.
因为点P在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝2上，
所以圆D和圆C有公共点，
所以≤|CD|≤＋，
即≤≤＋，
即＋2－2|m|≤－6m＋18≤＋2＋2|m|，
即
当m≥0时，
解得2≤m≤4；
当m<0时，无解.
故实数m的取值范围是[2，4].
8.已知a＝e0.2，b＝log78，c＝log67，则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
答案 C
解析 因为b＝log78>log77＝1，c＝log67>log66＝1，所以＝＝log78·log76<＝<＝1，所以c>b.
令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1>0在x>0时恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即当x>0时，ex>1＋x，所以a＝e0.2>0.2＋1＝1.2.
因为1.2＝log661.2＝log66，75＝16 807，
66＝46 656，即75<66，所以7<6，所以log67即c＝log67<＝1.2，所以a>c.
综上，a>c>b.
二、多选题
9.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则( )
A.|AB|的最小值为2
B.以AB为直径的圆与直线x＝－1相切
C.·＝－3
D.＋＝2
答案 BC
解析 因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x，所以准线方程为x＝－1.
设直线l的倾斜角为α，则|AB|＝＝，所以当α＝90°，|AB|取得最小值，最小值为4，所以A错误；
＋＝＝1，所以D错误；
由抛物线的定义可知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，
则AB的中点到抛物线C的准线的距离
d＝＝，
所以以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，所以B正确；
设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程
y2＝4x联立，得y2＝4(my＋1)，
即y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，
则x1x2＝·＝＝＝1，
又＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3，所以C正确.
10.已知函数f(x)＝2sin ωx＋cos(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A.ω＝2
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)在区间上单调递增
D.将f(x)的图象向左平移个单位长度所得函数的图象关于y轴对称
答案 ACD
解析 f(x)＝2sin ωx＋cos
＝2sin ωx＋cos ωxcos －sin ωxsin
＝sin ωx＋cos ωx＝
＝sin，
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
所以＝π，所以ω＝2，所以A正确；
f(x)＝sin，所以f(x)的最大值为，所以B错误；
当x∈时，2x＋∈ ，
所以f(x)在上单调递增，所以C正确；
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，因为g(x)为偶函数，所以g(x)的图象关于y轴对称，所以D正确.
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A.曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝ex(x－2)
B.不等式f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪(0，2]
C.若关于x的方程|f(x)|＝a有6个实根，则a∈(2，e)
D. x1，x2∈(－2，2)，都有|f(x1)－f(x2)|<2e
答案 AC
解析 当x<0时，f(x)＝，
f′(x)＝＝，
因为f(x)是奇函数，所以f′(x)是偶函数，
所以f(2)＝－f(－2)＝0，f′(2)＝f′(－2)＝e2，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝e2(x－2)，所以A正确；
当x<0时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝－1，
当x<－1时，f′(x)>0，
当－1所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，当x＝－1时，f(x)取得极大值，且f(－1)＝e，f(－2)＝0，
当x→0时，f(x)→2，
当x→－∞时，f(x)→－∞，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，可作出y＝f(x)的大致图象如图1所示.
由图可知，f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[0，2]，所以B错误.
将f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴及x轴上方的图象不变，得到y＝|f(x)|的图象如图2所示，作出直线y＝a，由图可知，当2由图1可知，当x∈(－2，2)时，f(x)max＝e，
f(x)min＝－e，
所以 x1，x2∈(－2，2)，都有|f(x1)－f(x2)|≤|e－(－e)|＝2e，
当x1＝－1，x2＝1，或x1＝1，x2＝－1时等号成立，所以D错误.
12.截角四面体是一种半正八面体，可由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥得到.如图，将棱长为3的正四面体在各棱的三等分点处截去四面体的四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长均为1的截角四面体，则( )
A.DE⊥平面ABC
B.直线DE与GH所成的角为60°
C.该截角四面体的表面积为7
D.该截角四面体的外接球半径为
答案 BCD
解析 将截角四面体还原成棱长为3的正四面体MNPS，如图所示.
因为D，E分别为MN，NS的三等分点，所以DE∥MS，易知平面ABC∥平面NPS，因为四面体MNPS为正四面体，所以MS与平面NPS不垂直，所以DE与平面ABC不垂直，所以A错误；
因为DE∥MS，GH∥MN，所以∠NMS是异面直线DE与GH所成的角，因为四面体MNPS为正四面体，所以△MNS为正三角形，所以∠NMS＝60°，所以异面直线DE与GH所成的角为60°，所以B正确；
因为截角四面体有4个面均是边长为1的正三角形，有4个面均是边长为1的正六边形，每个正六边形可以分割成6个边长为1的正三角形，所以该截角四面体的表面积为×12×4＋×12×6×4＝7，所以C正确；
设O1为△NPS的中心，连接MO1，则O1是正六边形EFHILK的中心，MO1⊥平面ABC，MO1⊥平面EFHILK，且MO1过正三角形ABC的中心，所以MO1上任意一点到点A，B，C的距离都相等，MO1上任意一点到点E，F，H，I，L，K的距离都相等，所以截角四面体外接球的球心一定在MO1上.设O2为△MPS的中心，连接NO2，同理可得截角四面体外接球的球心一定在NO2上.设MO1∩NO2＝O，则点O为截角四面体外接球的球心.取线段SP的中点为T，连接NT，MT，则点O1在NT上，点O2在MT上，连接O1O2.
因为＝＝2，所以O1O2∥MN，
所以△MON∽△O1OO2，又＝，
所以＝，所以O1O＝MO1.
因为四面体MNPS是棱长为3的正四面体，所以NO1＝3××＝，
所以MO1＝＝，
所以O1O＝.
连接O1F，OF，则O1F＝FH＝1，所以截角四面体外接球的半径R＝OF＝＝＝，所以D正确.
三、填空题
13.已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.8，则P(－2<ξ<1)＝________.
答案 0.3
解析 因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，
所以P(ξ≤1)＝0.5，又P(ξ<4)＝0.8，
所以P(1<ξ<4)＝0.8－0.5＝0.3，
所以P(－2<ξ<1)＝P(1<ξ<4)＝0.3.
14.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且满足∠PF2F1＝90°，|PF1|＝2|PF2|，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 因为点P是椭圆C：＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.
因为∠PF2F1＝90°，即PF2⊥F1F2，
所以|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
即a2＋4c2＝a2，即c2＝a2，
所以离心率e＝＝.
15.已知cos＝，答案
解析 法一 因为cos＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，
即cos＝－，
又cos ＝－sin 2x，所以sin 2x＝.
因为所以cos 2x＝－＝－，
所以sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋1－cos 2x
＝＋1＋＝.
法二 因为cos＝，
所以cos x－sin x＝，所以cos x－sin x＝，
两边平方得1－2sin xcos x＝，
所以sin 2x＝2sin xcos x＝.
因为sin xcos x>0，且所以sin x<0，cos x<0，所以sin x＋cos x<0，
又(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，
所以sin x＋cos x＝－，
又cos x－sin x＝，
所以sin x＝－，
所以sin 2x＋2sin2x＝＋2×＝.
16.剪纸是一种镂空艺术，是中国最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开得到.若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边长EF＝________ cm.
答案
解析 如图，连接EG，FH，记EG与FH的交点为O，则O为圆形纸片的圆心.
设EF＝CF＝t cm，0则OF＝(10－t)cm，
因为OE⊥OF，所以10－t又0易得OE＝＝＝(cm)，
所以菱形EFGH的面积S＝OE×OF×4＝2·(10－t)(cm2)，5令g(t)＝S2＝4(20t－100)(10－t)2
＝80(t－5)(10－t)2，5则g′(t)＝80(10－t)2－80(t－5)×2(10－t)＝80(10－t)(20－3t)，
令g′(t)＝0，得t＝，
当50，
当所以函数g(t)在上单调递增，
在上单调递减，
所以当t＝时，g(t)取得最大值，
即当EF＝ cm时，菱形EFGH的面积最大.
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规范练5 “21～22题”24分练
1.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸，如图，
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸.
(1)以点F，E所在的直线为x轴，建立适当的平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)直线l过椭圆的右焦点，交该椭圆于A，B两点，AB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点)交椭圆于点P，若＝3，求直线l的方程.
解 (1)以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy(图略).
设M(x，y)为椭圆上一点，由题意可知
|MF|＋|ME|＝|NE|＝4，|FE|＝2<4，
所以椭圆的左、右焦点分别为F，E，2c＝2，长轴长2a＝4.所以c＝1，a＝2，则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为＝3，所以＝4.
当直线l的斜率为0时，Q，E两点重合，不符合题意.
故可设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，Q(x3，y3)，
联立直线l与椭圆方程，得
消去x，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
Δ＝144(t2＋1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以y3＝＝，
x3＝ty3＋1＝，
所以P(4x3，4y3)，即P，
将点P坐标代入方程＋＝1，
化简可得3t4－8t2－16＝0，
即(t2－4)(3t2＋4)＝0，解得t＝±2.
所以直线l的方程为x＝±2y＋1，
即x＋2y－1＝0或x－2y－1＝0.
2.已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝ax2－2x(a>0).
(1)若直线y＝2ex＋m(e为自然对数的底数)与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象均相切，求实数a的值；
(2)设函数h(x)＝f(x)＋g(x)－(a＋2)x＋3.
①证明：函数h(x)有两个极值点x1，x2；
②对①中的两个极值点x1，x2，若h(x1)＋h(x2)≤－a－3恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)由已知，得f′(x)＝，
令f′(x)＝2e，得x＝，所以直线y＝2ex＋m与函数y＝f(x)的图象相切于点，将切点坐标代入y＝2ex＋m，得m＝－4，即切线方程为y＝2ex－4.
法一 将切线方程y＝2ex－4代入y＝g(x)中，得ax2－(2e＋2)x＋4＝0.
令判别式Δ1＝0，得a＝.
法二 由已知，得g′(x)＝ax－2，
令g′(x)＝2e，得x＝，
此时，g(x)＝，
则直线y＝2ex－4与函数y＝g(x)的图象相切于点，
将切点坐标代入y＝2ex－4可得a＝.
(2)①证明 h(x)＝2ln x＋ax2－(a＋4)x＋3，
则h′(x)＝＋ax－(a＋4)＝.
考虑到ax2－(a＋4)x＋2＝0的判别式Δ2＝(a＋4)2－8a＝a2＋16>0，以及a>0，
所以h′(x)＝0有两个不相等实根x1，x2(设x10，x1x2＝>0.
所以当x∈(0，x1)时，h′(x)>0；
当x∈(x1，x2)时，h′(x)<0；
当x∈(x2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，故函数h(x)有两个极值点x1，x2.
②h(x1)＋h(x2)＝2(ln x1＋ln x2)＋
a(x＋x)－(a＋4)(x1＋x2)＋6
＝2ln ＋－＋6
＝2ln －－≤－a－3，
即2ln ＋－＋3≤0恒成立.
记φ(a)＝2ln ＋－＋3，
则φ′(a)＝－＋＋＝>0，
所以φ(a)在(0，＋∞)上单调递增，
又φ(2)＝0，所以0即实数a的取值范围是(0，2].
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