21.2.2 平行四边形的判定 教学设计（2课时） 2025-2026学年度人教版数学八年级下册

21.2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定（1）
素养目标
1.运用类比的方法，探索平行四边形的判定方法.
2.理解平行四边形的判定方法，并会简单地运用.
教学重难点
重点：平行四边形的判定方法的探究、运用.
难点：对平行四边形的判定方法的证明.
教学过程
新课导入
如图，将两根木条AC，BD的中点（点O）重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD.想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你能得到什么结论？
探究新知
探究点　平行四边形的判定方法
类型一　利用两组对边分别平行证明
【例1】如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F.求证：四边形BFDE是平行四边形.
【解析】首先证明∠CDE＝∠ABF，再证明ED∥BF，然后再由平行四边形的性质可得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFDE是平行四边形.
【解】如图.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，DC∥AB，AD∥BC.
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADC.
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC，
∴∠CDE＝∠ABF.
∵DC∥AB，
∴∠1＝∠CDE，
∴∠1＝∠ABF，
∴ED∥BF.
又∵AF∥CE，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【方法总结】平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础.当题目中出现平行的线段时，往往可以借助两组对边分别平行来帮助我们对四边形加以判断.
类型二　利用两组对边分别相等证明
【例2】如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形.
【解析】由题意可证∠MON＝90°＝∠PMO，根据勾股定理列方程求出x的值，可得PM＝ON，OP＝MN，即可得出结论.
【解】在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，
∴OM2＋ON2＝42＋32＝25，MN2＝52＝25，
即OM2＋ON2＝MN2，
∴△MON是直角三角形，
∴∠MON＝∠PMO＝90°.
在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x.
由勾股定理，得OM2＋MP2＝OP2，
即42＋（11－x）2＝（x－3）2，
解得x＝8，
∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3，
∴OP＝MN，MP＝ON，
∴四边形OPMN是平行四边形.
【方法总结】先利用勾股定理的逆定理证明∠MON＝90°，再利用勾股定理求出平行四边形的边长，然后再证明.
类型三　利用两组对角分别相等证明
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【解析】由平行线的性质与等量代换得出∠B＝∠D.根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论.
【解】∵AB∥CD，
∴∠D＋∠A＝180°，∠C＋∠B＝180°.
又∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
【方法总结】根据已知条件，利用两组对角相等证明平行四边形，常与内角和或平行线的性质定理相联系.
类型四　利用对角线互相平分证明
【例4】如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
【解析】连接AC，交BD于点O.由平行四边形对角线的性质得出OA＝OC，OB＝OD，再结合已知条件证得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
【解】连接AC，交BD于点O，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【方法总结】此题也可以用证三角形全等的方法来证明四边形AECF中有两组对边分别相等，或者有两组对角分别相等，或者有两组对边分别平行，但都不及原证法简便.因此，在解题时要学会合理地选择方法.
课堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.∠ABD＝∠BDC，OA＝OC　
B.∠ABC＝∠ADC，AB＝CD　　
C.∠ABC＝∠ADC，AD∥BC　　
D.∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
2.已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC＝10，BD＝8，则当AO＝　　　　，DO＝　　　　时，四边形ABCD是平行四边形.
板书设计
第1课时　平行四边形的判定（1）
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结
本节课我们学行四边形的判定定理，学生会根据已知条件合适地选择用哪种判定方法证明.一般常用的是两组对边分别平行、两组对边分别相等.
教学反思
　　平行四边形在实际生活中具有广泛的应用，因此它的性质和判定是本章的重点内容.性质和判定的学习是一个互逆的过程，性质是学习判定的基础.
利用性质与判定的互逆，可以更好地加强学生对四个判定的掌握，并使学生熟悉平行四边形的性质和判定.最后再要求学生对每一个判定都进行数学语言和符号语言的书写练习，提高学生的书写能力.
　　答案
课堂训练
1.B　
2.5　4
第2课时　平行四边形的判定（2）
素养目标
1.会用不同的判定方法证明四边形是平行四边形.
2.探究并证明平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3.能够综合运用平行四边形的性质和判定解答问题.
教学重难点
重点：平行四边形的判定的运用.
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解答问题.
教学过程
新课导入
如图，将线段AB沿BC向右平移后得到线段CD，AB＝CD吗？AB∥CD吗？连接AD，由此你能得出什么结论？
探究新知
探究点一　平行四边形的判定方法
【例1】如图，点B，C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF.
（1）求证：△ABE≌△DCF.
（2）连接AC，BD，求证：四边形ACDB是平行四边形.
【解析】（1）根据SAS即可证明；（2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题.
【解】（1）∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC.
又∵AE＝DF，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS）.
（2）连接AC，BD，如图.
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ACDB是平行四边形.
【方法总结】连接辅助线，利用三角形全等证明AB＝CD，再利用内错角相等证明AB∥CD，从而证明四边形ACDB是平行四边形.
探究点二　平行四边形的性质与判定的综合运用
类型一　求角的度数
【例2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠D＝120°，则∠C的度数为（　　）
A.60° 　　　　B.70°
C.80° 　　　　D.90°
【解析】由AB＝CD，BC＝AD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行四边形.根据平行四边形的对边平行，易得∠C＋∠D＝180°，由∠D＝120°，即可求得∠C的度数为60°.
【答案】A
【方法总结】利用平行四边形的性质与判定可以解决以下问题：①求线段的长、证明线段相等或平行；②求角的度数、证明角相等或互补等.一般是先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质解答问题.
类型二　平行四边形的性质和判定的综合题
【例3】如图，已知在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形.
（2）若DE＝8，FN＝6，求BN的长.
【解析】（1）由平行四边形的性质可知，CM∥AN，所以欲证明四边形CMAN是平行四边形，只要证明AM∥CN即可；（2）首先证明△ADE≌△CBF，推出DE＝BF＝8，然后在Rt△NBF中，根据勾股定理即可解决问题.
【解】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN，
∴四边形CMAN是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF＝8.
∵FN＝6，
∴BN＝＝10.
【方法总结】平行四边形的性质和判定的综合运用，可以先根据平行四边形的性质得出能证明三角形全等的条件，再由三角形全等的性质求得直角三角形的斜边长.
课堂训练
1.已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠BAD＝∠BCD.从中任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（　　）
A.5种 B.4种
C.3种 D.2种
2.如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF，DE与AF交于点H.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形.
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.
板书设计
第2课时　平行四边形的判定（2）
1.平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课我们学行四边形的最后一个判定定理，这个定理在证明题中用得较多，只需要一组对边平行且相等即可证明.如果运用三角形全等证明，那么只需证一次全等就可以得到结论.
教学反思
　　本节课学习的是平行四边形的最后一个判定定理，课堂上主要通过教师引导和学生自主交流探究得出结论.本节课的学习重在练习证明过程和平行四边形的性质和判定的综合运用，教师通过例题讲解和课堂练习，加深学生对知识的理解程度，锻炼学生运用平行四边形的性质与判定解决问题的能力.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF.
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF.
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，AB＝AE＋BE＝3＋5＝8.
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2＋DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4.