考点六 圆（含解析）—2026年中考数学二轮复习高频考点突破试卷

考点六 圆—2026年中考数学二轮复习高频考点突破
一、选择题（30分）
1.如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是( )
A.4 B.2 C. D.
2.如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，点A，B，C在上，，连接，，若的半径为6，则扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
4.如图,点A,B,C,D在上,若,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
5.如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图.已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为( )
A. B. C. D.
6.如图,正六边形内接于,正六边形的周长是12,则的半径是( )
A.1 B. C.2 D.
7.如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，等边内接于，点E是弧上的一点，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图,在平面直角坐标系中,已知点、点、,点P在以为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足,则t的最大值是( )
A.6 B.5 C.4 D.10
10.如图，在扇形中，，点是的中点．过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题（15分）
11.若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为______cm.
12.如图,四边形是的内接四边形,,则______°.
13.如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为_______.
14.如图,C,D是以为直径的半圆周的三等分点,.则阴影部分的面积等于______.
15.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为______.
三、解答题（55分）
16．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
17．如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线．
(1)求的度数；
(2)过点作，垂足为，若，求．
18．如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求．
19．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：…
任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
20．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③
，你认为哪个正确？请说明理由．
21．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积．
22．圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
(1)如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
(2)如图2，若，，求的最大值
23．（1）如图1，在中，，D为上一点，于点 E，若，则 ．
（2）如图2，在锐角中为边上的高，若 ，求的长．
（3）如图3，为的外接圆，已知的半径为5，弦于点H， 且，为的一条直径．M、N分别为上一点，连接．若，，求面积的最大值．
24定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”．
(1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”．
(2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长．
(3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
答案以及解析
1.答案：B
解析：扇形的弧长，圆锥的底面半径为.
故选：B.
2.答案：B
解析：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
；
故选B.
3.答案：B
解析：∵，
∴，
∵的半径为6，
∴扇形的弧长为，
故选：B.
4.答案：C
解析：A、,,该选项正确,但不符合题意；
B、,,,,该选项正确,但不符合题意；
C、由已知条件无法判断,故无法判断,故该选项错误,但符合题意；
D、由B选项得,,该选项正确,但不符合题意.
故选：C.
5.答案：A
解析：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A.
6.答案：C
解析：连接,,
∵多边形是正六边形,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵正六边形的周长是12,
∴,
∴的半径是2
故选：C
7.答案：C
解析：连接，如图，
∵边与相切，切点为B，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
8.答案：C
解析：连接，，
∵，，
∴，
则，
∵是等边三角形，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C.
9.答案：A
解析：∵、,
∴中点坐标为,即,
∴点A即为的中点,
∵,
∴点P在以A为圆心,半径为的圆上,
又∵点P在以D为圆心,半径为1的圆上,
∴当A、P、D三点共线时且P在D点上方时,有最大值,即t有最大值,
∴,
∴t的最大值为6,
故选A.
10.答案：B
解析：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
11.答案：
解析：设圆锥底面半径为rcm,
则圆锥底面周长为：,
∴侧面展开图的弧长为：,
∴,
解得：,
故答案为：.
12.答案：
解析：∵四边形是的内接四边形,,
∴,,
∴,
∴；
故答案为：130.
13.答案：
解析：是的内接正三角形；
，
过O作于D，连接，则长为边心距，如下图，
在直角中，，，
，
，
，
故答案为.
14.答案：/
解析：连接,,
∵C,D是以为直径的半圆周的三等分点,是的直径,
、、的度数都是,
,
,
是等边三角形,
,
,
和的面积相等,
即阴影部分的面积=扇形的面积,
,,
,
故答案为：.
15.答案：
解析：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，
根据轴对称的性质可知，，
，
两点之间线段最短，
此时最小，即最小，
∴的最小值为的长，
A是半圆上一个三等分点，
，
又点B是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值是.
故答案为：.
16、【答案】的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得 ，由线段和差得 ，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
17、【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，设，，则，，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，以及三角形内角和定理推导出，根据垂直平分线的性质可得，进而可得是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）延长交于点，根据（1）可得是等腰直角三角形，进而得出是的中位线，得出，，延长至使得，连接，证明，得出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
设，，则，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
又∵是直径，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，则，
∴是的中点，
∴，
∴，，
∵，，则，
∴，
如图所示，延长至使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
18、【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明；
（2）连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
是直径，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，
是直径，
，
又平分，，
，，
在等腰直角中，，
，
，
，，
，
，则，
，
，
，即，
，
，
．
19、【答案】(1)240
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．
（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
（2）解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
（3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二：．
20、【答案】(1)见解析
(2)②正确，理由见解析
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质．
（1）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论；
（2）证明，得到，，则，进而求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：②正确，理由如下：
过点B作交延长线于点G，如图2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，
∴．
21、【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答；
（3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．

在和中，
∴，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．

当时，四边形为矩形．
又∵，
∴四边形为正方形．
∵，
∴，即
∴，
∴．
（3）解：如图3，连接，设，则，

∵四边形是菱形，
∴．则，
∵是的切线，即．
∴，即．
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
22、【答案】(1)①当时，交点个数为1；当时，交点个数为2；②
(2)6
【分析】（1）①过点作且，连接、、，利用平行线的性质得出，得到，得到，则有点在以为直径的圆上；设中点为，以为直径的圆记为，由可知与直线至少有1个交点，再设与直线相切，利用正方形的性质和判定求出此时的长，即可得出结论；②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，设的中点为，则，再利用勾股定理求出的长，根据即可求出的最大值；
（2）在平面上取点使得且，作于点，连接、，先利用平行线的性质得出，利用三角形面积公式和三角函数的知识求出；作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，利用外接圆的性质和三角函数的知识求出的半径，再根据即可求出的最大值．
【详解】（1）解：①如图，过点作且，连接、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上；
设中点为，以为直径的圆记为，
，
点在上，
又点在直线上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，则，
，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为．
（2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、，
，
，，
，
，，
于点，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，，，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
23、【答案】（1）（2）；（3）
【分析】（1）利用正切定义得到求解即可；
（2）先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，设，则，利用三角形的面积和勾股定理求得，，然后利用完全平方公式求得即可；
（3）连接，，，先根据弧、弦、圆周角的关系得到，根据圆周角定理可等腰三角形的判定得到，，进而由勾股定理求得
仿照（2）中方法，求得；连接，则，，，
证明得到，，设，利用三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，
∴，
∵于点E，，
∴
即；
（2）∵，为边上的高，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，由得，
则，
∴（负值已舍去），
∴；
（3）连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵的半径为5，即，
∴，
仿照（2）中方法，设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
则，
∴（负值已舍去），
∴；
连接，
∵为的一条直径，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为．