考点十 二次函数与几何压轴题（含答案）—2026年中考数学二轮复习高频考点突破试卷

考点十 二次函数与几何压轴题—中考二轮复习高频考点突破
1．（2025 盐城一模）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，请说明理由．
2．（2025 龙马潭区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
3．（2025 灌南县一模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知：A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积的比；
（3）在对称轴是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
4．（2025 市北区校级一模）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜锅时的水位高度是1dm，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
5．（2025 肇东市一模）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
6．（2025 惠州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．
7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值；
(3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；
(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．
13．如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
(3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标．
14．如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到的图象，直线与的图象交于O、B、C三点．
(1)求a、b的值；
(2)新定义：点与点的“折线距离”为．已知．
①求k的值；
②以点B为圆心、长为半径的交的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求的值．
15．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”．
【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为．
(1)若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；
(2)在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)设抛物线C的函数表达式为，若，，且点P在点Q的下方，求a的值．
17．如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
(1)求点，的坐标；
(2)随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
18．如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为

(1)请直接写出点P的坐标．
(2)若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q．
①求a、c的值与点Q的坐标；
②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
参考答案
1．（1）解：由A（﹣4，0），5）在抛物线y＝ax2+bx图象上，
得：（2分）
解之得：a＝﹣，b＝﹣2，
∴该函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x．（5分）
（2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C
∵y＝﹣x6﹣2x＝﹣（x+2）2+7，
∴线段CO、CA，
∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形，
∴AB＝OB
且∠ABO＝∠ABC+∠OBC＝90°
∴△OAB是等腰直角三角形（8分）
（3）解：如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°
其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴．
又∵OB′和A′B′的长度为2，
A′B′中点P的坐标为（，﹣2），
∴点P不在此抛物线上（10分）
（4）解：存在（11分）
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y＝x
联立抛物线解析式得：
解之得点M（﹣6，﹣7），
显然，点M（﹣6，﹣6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（﹣4，﹣6）
∴sABOM＝S△ABO+s△AOM＝×4×2+．（12分）
（注：此题方法较多，只要合理均可给分）
2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣8，0），0），
，
解得，b＝﹣7．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（﹣1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，
因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，
连接BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，
即最小为：DH+CH＝DH+HB＝BD＝；
而；
∴△CDH的周长最小值为CD+DH+CH＝；
设直线BD的解析式为y＝k1x+b6，则
解得：；
所以直线BD的解析式为y＝x+3；
由于BC＝2，CE＝，Rt△CEG∽Rt△COB，
得CE：CO＝CG：CB，
所以CG＝2.5，GO＝3.5，1.5）；
同理可求得直线EF的解析式为y＝x+；
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）；
（3）设K（t，），﹣6＜t＜2；
则KN＝yK﹣yN＝﹣（）＝﹣；
所以S△EFK＝S△KFN+S△KNE＝KN（t+3）+2﹣3t+3＝﹣（t+）4+；
即当t＝﹣时，△EFK的面积最大，此时K（﹣，）．
3．解：（1）∵A，B两点关于x＝1对称，
∴B点坐标为（3，5），
根据题意得：，
解得a＝2，b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣3．
（2）△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC＝|OA| |OC|，S△BOC＝|OB| |OC|，
而|OA|＝3，|OB|＝3，
∴S△AOC：S△BOC＝|OA|：|OB|＝1：3．
（3）存在一个点P．C点关于x＝1对称点坐标C'为（2，
令直线AC'的解析式为y＝kx+b
∴，
∴k＝﹣5，b＝﹣1．
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P点坐标为（1，﹣2）．
4．解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣6，0），0）；
抛物线C2还经过D（0，﹣3），
则有：﹣2＝a（0﹣3）（7+3），解得：a＝
即：抛物线C1：y＝x2﹣3（﹣8≤x≤3）；
抛物线C2还经过C（2，1），
则有：1＝a（4﹣3）（0+5），解得：a＝﹣
即：抛物线C8：y＝﹣x7+1（﹣3≤x≤8）．
（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即x2﹣5＝﹣2，
解得：x＝±，
∴此时水面的直径为3dm．
（3）锅盖能正常盖上，理由如下：
当x＝时，抛物线C1：y＝×（）3﹣3＝﹣，抛物线C2：y＝﹣×（）4+1＝，
而﹣（﹣，
∴锅盖能正常盖上．
5．解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣3，﹣5），
当y＝0时，x﹣3＝0，则B（5，
把B（7，0），﹣5）代入y＝ax5+6x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x4+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x6+6x﹣5＝3得x1＝1，x8＝5，则A（1，
∵B（6，0），﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
∴PD＝PQ＝＝4，
设P（m，﹣m7+6m﹣5），则D（m，
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m6+6m﹣5﹣（m﹣6）＝﹣m2+5m＝6，解得m1＝1（舍去），m7＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m4+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m8＝，m7＝，
综上所述，P点的横坐标为3或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H1，交AC于E，如图7，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM2＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝3∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣6），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），
设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣，解得b＝﹣，
∴直线EM7的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组得，则M1（，﹣）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图7，则∠AM2C＝∠AM1B＝6∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3＝，
∴x＝，
∴M2（，﹣），
综上所述，点M的坐标为（，﹣，﹣）．
6．解：（1）把A（﹣4，0），5），2）代入y＝ax2+bx+c得，，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2，
对称轴为：直线x＝﹣；
（2）存在，
1）当点E位于AC边时，
∵AD＝5t，
∴DF＝AD＝2t，
∴OF＝|4﹣8t|，
∴D（2t﹣4，2），
∵直线AC的解析式为：y＝x+4，
∴E（2t﹣4，t），
∵△EFC为直角三角形，
①当∠EFC＝90°，则△DEF∽△OFC，
∴，即＝，
解得：t＝，
②当∠FEC＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE＝AF，
∴t＝0，（舍去），
③当∠ACF＝90°，
则AC3+CF2＝AF2，即（32+24）+[22+（3t﹣4）2]＝（8t）2，
解得：t＝，
2）当点E位于BC边时，直角△EFC不存在，
综上，存在某一时刻t，此时或；
（3）∵B（8，0），2），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+2，
当D在y轴的左侧时，S＝（t+2） （4﹣2t）＝﹣t2+4 （0＜t＜5），
当D在y轴的右侧时，如图2，
∵OD＝2t﹣8，DE＝﹣4t+10，
S＝（DE+OC） OD＝6+20t﹣24 （2＜t＜）．
7．(1)
(2)1
(3)
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，过点D作轴，交于E，
设，则，
∴；
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
∴点F的横坐标的最大值为．
8．(1)
(2)当时，面积有最大值，为
(3)、或
（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
（3）解：由（1）知，当时，，解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
9．（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，
则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，
∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），
∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，
∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（6，-7）；
（3）设直线AP交y轴于点G，如图，
∵PH∥y轴，
∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），
∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，
∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），
∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
综上，PH=或1.5或．
10．(1)
(2)
(3)存在，的横坐标为或或或
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，
∵抛物线的解析式为，，
当时，得，
∴，
∴轴，即轴，
过点作于点，过点作轴于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，轴，
∴，
在中，， ，
∴
，
∴当时，的最小值为；
（3）∵抛物线交轴于、两点，
当时，得，
解得：或，
∴，，
设，则
，
，
∵、、、构成的四边形是矩形，
∴是直角三角形，
①若是斜边，则，
∴，
解得：，，（舍去），（舍去），
此时点的横坐标为或；
②若是斜边，则，
∴，
解得：或（舍去），
此时点的横坐标是；
③若是斜边，则，
∴，
解得：或（舍去），
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或或或．
11．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，
∵，，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
∴；
（3）解：设，
设直线的解析式为：，
∴，即，
∴直线的解析式为：，
设，
由，得，即：，
∴，
∴
=
∵线段的中点是，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即时，是定值，
∴．
12．(1)
(2)
(3)或
（1）解：∵点A的坐标为，且，C为抛物线与y轴的交点，
∴，则，
将、代入中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过P作于H，过B作于，
∵，，
∴，则，
∴，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长，
令得，，则，
∴，
在中，，，，
∴，
即的最小值为；
（3）解：在上截取，连接，
则，
∴，
设，则，
在中，由得，
解得，
∴，
∴，
设，
当点M在x轴的上方时，如图，过M作轴于点N，
则，，
由得，
解得或（舍去），
∴，
∴；
当点M在x轴的下方时，如图，过M作轴于点N，
则，，
由得，
解得或，
∴，
∴，
综上，满足条件的点M的坐标为或．
13．(1)
(2)或
(3)或或
（1）解：把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，
解得，．
抛物线的解析式为；
（2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，
抛物线的解析式为，令，得，
解得：或，
，
设点，则，
当时，
∴，即，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
得，
∴，
解得，
∴点D坐标为或时，；
（3）解：存在，理由：
由题意得，点，
由点A、B、C、D的坐标得，，，
，
，
在中，则，，
当点P在y轴时，
∵以A、C、P为顶点的三角形与相似，
当时， 则，
则，
，
，
则点；
当时， 此时，点P、O重合，
，
，
，
故点；
当点在x轴上时，
只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似，
则，
则点，
综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似．
14．(1)
(2)为定值，证明见解析
(3)或
（1）解：如图，由题意得：
解得：或
而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时
抛物线的顶点
（2）解：如图，抛物线的顶点P平移到，而
设为： 则 所以
所以为：
由在上，设
平移后的抛物线为：
则
设 则两点坐标为：的解，
整理方程组得：
又
为定值.
（3）解： ，，
如图，由点P在点Q的下方，则
由抛物线可得：
过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为：
由（2）同理可得：
即
平移后的抛物线的顶点为 解析式为：
整理得：
解得：或
15．(1)，；
(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为
（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，

∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②设，则，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴当时，有最大值为．
16．(1)
(2)，
(3)是定值，该定值为，理由见解析
（1）解：抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）①当点D在直线的上方时，如下图所示：
∵，
∴轴，
∵点A与点B对应函数值都是3，即轴，
∴此时点A与点D重合，即；
②当点D在直线的下方时，设与x轴交于点M，如下图所示：
∵，
∴，
∵垂直x轴于点C，，
∴，，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、M代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：
将直线的解析式与抛物线解析式联立得：，
解得：，或(舍去)，
∴；
综上所述：点D的坐标是：，；
（3）是定值，该定值为，理由如下．
令，
解得，即抛物线与x轴的交点是：和，
设点P的坐标是，则，
设直线的解析式是：，
将点A、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，，
∴．
∴是定值，该定值为．
17．(1)
(2)①，；②或
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∴点P的横坐标为，
∵直线的表达式为，
当时，，
；
（2）①由抛物线的对称性可知，，
∴是等腰直角三角形，

设抛物线的对称轴与x轴交于点E，则轴，
，
,,
把代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，
解得或，
当时，，
；
②由题意可知，，
当为直角三角形时，分三种情况：
当为直角时，，即，解得；
当为直角时，，即解得；
当为直角时，，即，解得或，
∴当为锐角三角形时，t的取值范围为或．
18．(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
(2)
(3)
（1）当时，．
解方程，得，．
∵点A在点B的左侧，且，
∴，．
当时，．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．
∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴解方程，得．
方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
∵，
∴解方程，得．
（3）．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，
∴．
，
，
∴．
解得，
又，
∴．