人教版初中数学八年级下册（2024）20.1.1 勾股定理 教学设计（表格式）

《20.1 勾股定理》教学设计
内容分析 本节课的教学内容是义务教育数学课程标准（2011年版）八年级下册第20章《勾股定理》第1节.勾股定理是学生在学习了三角形有关性质的基础上来继续学习的，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，起到对前面的知识完善，延伸的作用.学过勾股定理后，可引导学生用“SSS”定理证明.也为后面学习勾股定理的逆定理作铺垫，更为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础.勾股定理的证明蕴含了丰富的数学思想和科学研究方法，可以充分培养学生良好的思维品质，此外勾股定理体现了数与形的优美结合，丰富深刻的内涵刻画了自然界的和谐统一.
学情分析 1、学生的知识技能基础：学生已学过三角形的有关性质，以及三角形全等的判定方法；学生了解了直角三角形和等腰三角形的基本特征.学过了轴对称、平移等变换知识以及图形的割补方法等，有一定操作经验. 2、学生的心理特点：八年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望，乐于探索及表现自我. 3、学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生有一定的合作学习经验，具有一定的合作学习意识和数学思考，具备一定讨论交流的能力. 但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握，缺乏严谨的逻辑推理能力和探究能力.
目标与目标分析 1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。 2、让学生经历“观察—操作—归纳—猜想—验证”的探索过程，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．（会运用数格子、分割、拼补等办法体验勾股定理的探索过程，理解直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．） 3、在探索勾股定理的过程中，体验成功的乐趣；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生对祖国悠久文化的热爱，激励学生努力学习．
教学重点：探索和验证勾股定理.
教学难点: 勾股定理的证明.
教学策略分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节课意图让学生自己经过观察、操作、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以在探究过程中尽量发挥学生的主动性.如设计方格纸计算面积，用拼图的方法验证等.以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的. 整体思路：用特殊到一般的方法，由等腰直角三角形到一般直角三角形，通过学生观察，操作，猜想和验证得出勾股定理. 难点解决方法：采用拼图的方法，使学生利用面积相等的概念对勾股定理进行证明.（图形经过割补拼接后，面积不会改变.）
教学环节及素材 师生对话 设计意图
一、复习旧知，导入新课 （等腰直角三角形） 师：请同学们回顾一下等腰直角三角形角的关系？ 生：三角形内角和等于180度.（两个锐角相等且互余，都等于45度） 师：那么它的边有什么关系？ 生1：两条直角边相等. 生2：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 师：除了两腰相等，它的三条边之间还有其它数量关系吗？今天我们一起来探究一下. 通过复习回顾等腰直角三角形角、边的性质，加深学生对相关知识的理解，为后面继续探究直角三角形三边的关系奠定基础.
二、观察思考，推理转化 （等腰直角三角形三边关系的探究） 三、实践交流 提出猜想 （一般直角三角形三边关系的探究） 四、拼图计算 验证猜想 五、科普知识 激发兴趣 六、练习巩固 运用定理 1、求出下面直角三角形中未知边的长度. 2、 在Rt△ABC中∠C=90° ⑴ 若 a=4,b=3,则 c=____ ⑵ 若 c=13,b=5,则 a=____ ⑶ 若 c=17,a=8,则 b=____ 七、回顾知识 交流总结 八、因材施教 分层作业 必做题：P28 习题17.1第1、2题 选做题： 1如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 2、课后每个同学制作一张勾股定理的数学小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的知识，证明方法和应用等，然后小组交流、展示. 师：相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察下图中的地面，图中三个正方形的面积有什么关系？ 生：两个小正方形的面积加起来等于大正方形的面积. 师：你是怎么看出来的？ 生：正方形P和正方形Q都是由2个相等的三角形组成，正方形Q由4个相等的三角形组成.因为所有的三角形都是全等的，所以把两个小正方形面积加起来就等于大正方形的面积. 师：我们知道正方形的面积可以用边长的平方来表示，假设正方形P和正方形Q的边长为a，那么它们的面积怎么表示？ 生：都为a2 师：如果正方形R的边长为c,那么它的面积怎么表示？ 生：c2 师:那么你能得到一个怎样的数量关系？ 生：a2＋a2 =c2 师：我们再来看一看中间这个三角形是一个什么样的三角形？你是怎么知道的？ 生：等腰直角三角形。因为它有一个直角，还有两条直角边是相等的. 师：很好，那这样我就可以找到关于等腰直角三角形三边之间的关系,谁想好了来说一说. 生：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 师：那么一般的直角三角形是不是也有这种关系呢？请同学们拿出方格纸，任意画一个顶点在格点上的直角三角形，探究一下三边的关系. 师：我发现有的同学画的斜边长度不是整数，所以求它的平方时遇到困难，现在老师也画了一个直角三角形，然后以斜边为边长，向外作出一个正方形，如果我们能求出它的面积，那么斜边的平方你知道了吗？ 生：知道. 师：好，现在请同学们分成8个小组，各显神通求出它的面积？（师适时指点） （3分钟后） 师：请各小组汇报一下你们的成果. 生1：我们通过数格子的方法求的，大于半格算一格，小于半格的不算，最后数出来是25个单位面积. 生2：我们是把它分割成4个直角三角形和中间一个小正方形来计算的，得到的是25. 生3：我们组是把它拼补成一个边长在整数格线上的大正方形，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，求出面积是25. 师：同学们说的都很好.在计算不规则图形的面积时，数学中常用分割或者拼补的方法来求，这种方法叫割补法.现在请你们上台来展示自己的成果. 生1：我画的直角边分别是2和3，正方形用割补法求得的面积是13，两直角边的平方和为22＋32 =13，而斜边的平方刚好也等于13，说明一般的直角三角形三边也符合这种关系. 生2：…… 师：通过同学们的探究，我们发现在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们猜想： 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么a2＋b2 =c2 师：这个猜想怎么证明呢？现在请同学们用手中的4个全等直角三角形拼成这个图形，想一想这个图形有什么特征？生：外面是一个大正方形，它由4个直角三角形和1个小正方形组成. 师：假设大正方形的边长为c，那么大正方形的面积是多少？ 生：c2 师：假设这4个直角三角形长直角边为a,短的直角边为b,那么你能用另一种方法来表示大正方形的面积吗？ 生：可以，用4个全等直角三角形的面积加中间小正方形的面积. 师：很好，请大家用式子表示出来. 生： ab×4+(a-b)2 师：请同学们进行化简，说出你的结果.（板书过程） 生：得到a2＋b2 师：前面我们知道大正方形的面积也可以用c2 来表示，既然都能表示大正方形的面积，那么这两个式子是相等的.因此可以得到什么结论？ 生：a2＋b2 =c2. 师：说明我们刚才的猜想是正确的，其实我国汉代的数学家赵爽也用拼图的方法验证了这个结论.我们来看一看他是怎么验证的.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.因此，当 2002年第24届国际数学家大会在北京召开时， “赵爽弦图”被选作大会的会徽. 师：我们把这个与直角三角形有关的命题称为“勾股定理”（板书）. 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 a2＋b2 =c2 师：为什么把它叫做勾股定理呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.国外又叫毕达哥拉斯定理.勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有400多种. 师：下面我来考一考大家。例1,说说你是怎么求的，运用了什么方法？ 学生口述解题过程 师：谁能说一说例2这道题怎么做？ （提示：已知直角三角形任意两边长，利用勾股定理可以求出第三边的长度） 师：同学们，请回顾一下今天所学的内容，这节课你学习了哪些内容？掌握了哪些知识？ 生1：勾股定理. 生2：知道了直角三角形任意两边长，可以求出第三边的长. 生3：用拼图法验证勾股定理. 生4：求不规则图形的面积可以用割补法 …… 师：解题时我们要注意些什么？ 生1：在直角三角形中才能使用勾股定理. 生2：解题时要看清求的是那条边，不能弄混淆. 师：本节课的作业有必做题和选做题，必做题完成教材P28 习题17.1第1、2题.有兴趣的同学挑战一下选做题1，如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？看看你们算出的结果一样吗？选做题第2题，同学们课后去查阅相关材料，我们后面来展示交流. 利用实例的引入激发学生探究的欲望，通过观察得知两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，培养学生善于观察、总结的能力. 通过正方形面积的关系过渡到等腰直角三角形三边的关系，即等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.旨在培养学生合理的推理能力. 让学生动手实践、小组合作交流，得出一般直角三角形的三边也具有同样的性质。使学生体会数学探究过程的乐趣，培养学生动手操作和大胆探究的意识. 探究过程中涉及到观察、操作、猜想、归纳等多种学习方法，旨在提高学生分析和解决问题的能力.体会从特殊到一般的数学方法. 学生通过拼图、列式计算，验证猜想，通过观察“赵爽弦图”的演示进一步验证猜想，最终证明了勾股定理。此环节大胆开发学生的思维，在不断探究新知的过程中形成完整的知识链. 介绍勾股定理的相关历史知识，使学生对科学文化知识有更多的了解，增强学生对探求数学知识的热爱，培养学生爱国的意识. 通过练习巩固，加深对知识理解，培养学生对知识的迁移与运用能力. 通过归纳总结本节课的知识内容，一方面锻炼学生的语言表达能力；另一方面考查学生对整个知识点掌握理解程度.建立学生学好数学的自信心. 根据不同层次的学生，设置有梯度的练习题，一方面巩固所学内容，另一方面激励有余力的学生不断探究学习.
教学反思：本节课在设计上重点体现学生在课堂中的主体地位，充分发挥学生的主观能动性.首先通过复习回顾等腰直角三角形相关性质，加深学生对知识的理解，为继续探究直角三角形三边的关系奠定基础.然后引出古代数学家发现直角三角形三边关系的实例，引发学生进行思考探究，从而得出三个正方形的面积关系，进而得出等腰直角三角形三边的关系，接着让学生继续探究一般直角三角形是否也存在这样的关系，让学生通过作图、拼图、计算，猜想结论.为激发学生探究的欲望，接下来让学生观察、拼图、交流来验证勾股定理。接着通过练习巩固，加深学生对知识的理解与运用，最后通过畅谈收获，让学生体验成功的乐趣，建立学好数学的信心. 本节课是一节探究新知课，体现了数形结合的思想，充分锻炼学生的动手操作能力以及探究创新的能力。因为勾股定理有着不一般的历史研究背景，因而学生有强烈的学习欲望，学习热情较高.