【考试时间：2026年1月13日10:00~12:00】
绵阳南山中学实验学校高2023级1月月考试题
数 学
命题： 审题：
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．已知实数a，b满足，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
3．已知直线a，b异面，下列判断正确的是
A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直
C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则
A．16 B． C．9 D．
6．在矩形中，，分别为的中点（如图（1）），将矩形绕直线逆时针旋转，点分别位于处（如图（2），则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．已知P是所在平面内一点，满足0，若，，则
A．12 B． C．18 D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．为等比数列的前项和，为的公比（），，，则
A． B．是和的等差中项
C． D．
10．已知是R上的以2为周期的奇函数，且当时，，则
A．
B．曲线的对称中心为
C．当时，
D．当时，函数在区间上仅有三个零点
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有
A．若，则有或
B．若的周长为20，则的面积为
C．的最大值为5
D．设，的斜率分别为、，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为 .
13．若圆与直线交于A，B两点，则 .
14．在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，数列满足.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（本小题满分15分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．（本小题满分15分）
如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.
（1）求A；
（2）若，，设.
（i）请用含的式子表示和AE；
（ii）求面积的最大值.
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，AC与交于点,与不垂直，，的面积是面积的2倍．
（1）证明：；
（2）设．
（i）求；
（ii）若点平面，且点平面，求平面与平面夹角余弦值的最小值．
（本小题满分17分）
已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知，，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，.
（ⅰ）若四边形面积为，求直线的方程；
（ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离.
二诊模拟试题 第3页 共4页 二诊模拟试题 第4页 共4页绵阳南山中学实验学校高2023级1月月考
数学参考答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C D D B A D ABD AC ABC
2 13. 14.
11.ABC【解析】由双曲线：，可得，所以，所以，
所以双曲线：的左、右焦点分别为、，
所以，若，则，
所以或，又在右支时，，所以或，故A对；
若的周长为20，则，又，
由对称性，不妨设，所以，
由余弦定理可得，
所以，
所以的面积为，故B正确；
设，则，
所以，
当且仅当时，取等号，故C正确；
设，由，可得，
所以，则可得，
所以，当且仅当取等号，
又时，三点共线，由题意，三点不能共线，故D错误.
故选：ABC.
（1）由，得，由得，，
故， …………………………3分
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为， …………………………5分
∴，∴； …………………………7分
；
所以， …………………………8分
两式相减得： …………………………9分
∴﹒ …………………………13分
16．（1），. …………2分
当时，，在上是单调增函数； ……………………4分
当时，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减. …………………………8分
综上，当时，在上是单调增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减. …………………………9分
（2）由（1）可得，当时，. ………11分
由不等式恒成立，得成立，
即在时恒成立. …………………………12分
令，，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. ………14分
所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是. ………………15分
17.（1）由，由正弦定理得， ………………………2分
又因为，所以，
因为，所以，
故，解得（舍）或， …………………4分
因为，所以，得， ………………………5分
（i）设，
在中，由正弦定理得，得， ………………………7分
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，得， ………………10分
（ii）因为，所以当取得最大值时，的面积取得最大值，
， ………………13分
其中，所以当时，取得最大值，
所以面积的最大值为. …………………15分
18.（1）因为与不垂直，过点做，交于， ……………………1分
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面， ………………3分
因为平面，所以，
因为底面是正方形，与交于点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以 ……………………5分
（2）（i）因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，则，所以
由于，所以， ………………8分
因为的面积是面积的2倍，所以，解得：，
即； ………………9分
（ii ）因为，平面，平面，
所以平面，
因为点平面，且点平面，所以平面平面，
所以，
因为,所以平面，
则以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则， 设，
，，不妨设，
所以，即， ………………11分
，，设平面的法向量为，
所以，令，则， ………………12分
，，设平面的法向量为，
所以，令，则， …………………13分
设平面与平面夹角为，
则， …………………15分
因为，令，则，
所以，
因为，所以，则，
当时，，即平面与平面夹角余弦值的最小值为. ……………17分
19.（1）由得. 所以椭圆的方程为. ………………4分
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，
所以，. ……………………6分
（ⅰ）四边形的面积
整理得：即，
解得：， ……………………8分
所以直线的方程为，即. ……………………9分
（ⅱ）由，，得，
所以
， …………………………12分
由题知，又，
得，与联立得，， …………………………15分
所以直线，的方程分别为，，
两式联立得，直线与联立得，
代入，求得直线的方程为，
所以点到直线的距离为. …………………………17分
试卷第1页，共3页
