15.4角的平分线 课件
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课件25张PPT。15.4 角的平分线创设情境
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路探索 角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB什么叫做角平分线？c 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）折叠法你有哪些方法可以找到角平分线？度量法
可以用量角器来画一个角的平分线一、探索作已知角的平分线的方法 如图 有一个简易平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD，工人师傅常用它来画角的平分线. 将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线. 你能说明它的道理吗?ADBCE探索作已知角的平分线的方法
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
探索作已知角的平分线的方法 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器，尺规作图法）O探究新知NOMCE角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线OC，
则射线OC即为所要求
的∠AOB的角平分线.
你也来试一试！
AB
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOBAB
探索作已知角的平分线的方法1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。实践应用(1)探究角平分线的性质 (1)操作：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质 (1)操作：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE验证猜想:探究角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质：选择题
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
图1图1图2
判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.
4.实践与应用
如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE. 乘胜追击例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.AFCDBE
解决问题
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路解：夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求。o 如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。
学以致用回味无穷性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
课后作业 课本P144页第2题
P146页1、 2题谢 谢！高士中学
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路探索 角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB什么叫做角平分线？c 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）折叠法你有哪些方法可以找到角平分线？度量法
可以用量角器来画一个角的平分线一、探索作已知角的平分线的方法 如图 有一个简易平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD，工人师傅常用它来画角的平分线. 将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线. 你能说明它的道理吗?ADBCE探索作已知角的平分线的方法
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
探索作已知角的平分线的方法 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器，尺规作图法）O探究新知NOMCE角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线OC，
则射线OC即为所要求
的∠AOB的角平分线.
你也来试一试！
AB
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOBAB
探索作已知角的平分线的方法1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。实践应用(1)探究角平分线的性质 (1)操作：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质 (1)操作：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE验证猜想:探究角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质：选择题
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
图1图1图2
判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.
4.实践与应用
如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE. 乘胜追击例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.AFCDBE
解决问题
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）ＳＯ公路铁路解：夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求。o 如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。
学以致用回味无穷性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
课后作业 课本P144页第2题
P146页1、 2题谢 谢！高士中学