7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
专题七　立体几何与空间向量
7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
天津专练
1.(2020天津,5,5分,易)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　)
A.12π　　　　B.24π　　　　C.36π　　　　D.144π
2.(2023天津,8,5分,易)在三棱锥P-ABC中,点M,N分别在棱PB和PC上,且PM=PB,PN=PC,则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 (　　)
A.
3.(2021天津,6,5分,中)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上.若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为 (　　)
A.3π　　　　B.4π　　　　C.9π　　　　D.12π
4.(2024天津,9,5分,中)在如图所示的五面体中,棱AD,BE,CF互相平行,且两两之间的距离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　)
A.
5.(2022天津,8,5分,中)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3,∠BEC=120°,则该几何体的体积为 (　　)
A.
全真全练
考点一　空间几何体的结构特征
1.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为 (　　)
A.102 m　　　　B.112 m　　　　C.117 m　　　　D.125 m
2.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　 　个公共点.
3.(2025全国二卷,14,5分,中)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　 　cm.
考点二　空间几何体的表面积和体积
1.(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　　)
A.2π
2.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 (　　)
A.π　　　　B.π
3.(2023全国甲文,10,5分,中)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为 (　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
4.(2023全国甲理,11,5分,中)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为 (　　)
A.2
C.4
5.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 　.
三年模拟
练基础
1.(题型三)(2023河北二模,3)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2,高为6,则球O的表面积为 (　C　)
A.32π　　　　B.48π　　　　C.64π　　　　D.80π
2.(题型三)(2024红桥一模,6)已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为 (　　)
A.16π　　　　B.20π　　　　C.8π　　　　D.5π
3.(题型一)(2025天津部分区一模,8)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为8π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 (　　)
A.36π　　　　B.64π
C.128π　　　　D.256π
4.(题型三)(2025河东一模,8)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 (　　)
A.8π
5.(题型二)(2025南开一模,8)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段A1D上一点,且AP=PD,则三棱锥B1-ACP的体积与平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为 (　　)
A.2∶5　　　　B.1∶2
C.1∶3　　　　D.1∶6
6.(题型二)(2024天津八校二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为36π,点E为棱AB的中点,则三棱锥C1-AED的体积为 (　　)
A.
7.(题型三)(2023河西二模,7)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=4,AB=AC=4,
∠CAB=90°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 (　　)
A.32π　　　　B.48π　　　　C.64π　　　　D.128π
8.(题型二)(2025南开二模,9)如图,体积为8π的半圆柱的轴截面为平面ABB1A1,AB是圆柱底面的直径,O为底面的圆心,BB1为一条母线,点D为BB1的中点,且AB=4,,则三棱锥O-CDE的体积为 (　　)
A.8
9.(题型二)(2025天津八校联考二模,9)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,ED=AB=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,有如下结论,其中正确的个数是 (　　)
①V1=V3　　　　②V2=V3
③2V3=3V1　　　　④V3=3V2
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
10.(题型二)(2024红桥二模,7)如图,圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋,某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍,则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为 (　　)
A.
11.(题型二)(2024河西二模,6)如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水.当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm.如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)
A. cm3
C. cm3
12.(题型二)(2024天津十二区一模,6)如图,实心正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,其中上、下底面的中心分别为Q,R.若从该正方体中挖去两个圆锥,且其中一个圆锥以R为顶点,以正方形A1B1C1D1的内切圆为底面,另一个圆锥以Q为顶点,以正方形ABCD的内切圆为底面,则该正方体剩余部分的体积为 (　　)
A.8-
C.8-
练综合
1.(题型二)(2025天津十二区重点校一模,8)风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,是人类最早的风筝起源.下图是某中学学生制作的一个风筝模型多面体ABCEF,D为边AB的中点,四边形EFDC为矩形,且DF⊥AB,AC=BC=3,∠ACB=120°,当AE⊥BE时,多面体ABCEF的体积为 (　　)
A.
2.(题型三)(2025红桥一模,9)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面ABCD内一动点Q满足QA=2QB,当三棱锥Q-DD1A体积取最大值时,该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A.24π　　　　B.27π　　　　C.54π　　　　D.56π
3.(题型三)(2025和平一模,8)已知正四面体ABCD(四个面都是正三角形),其内切球(与四面体各个面都相切的球)表面积为,设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为V1,正四面体ABCD的外接球(四面体各顶点都在球的表面上)体积为V2,则V1·V2= (　　)
A.π
4.(题型二)(2025河北一模,8)在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BB1,B1C1的中点,过A,D,E三点的截面将三棱柱分成两部分,记体积较小部分的体积为V1,另一部分的体积为V2,则的值为 (　　)
A.
5.(题型二)(2025河西一模,9)如图,在体积为V的正四棱锥P-ABCD中,,,设平面AEF与直线PC交于点G,记四棱锥P-AEGF的体积为V1,则V1∶V= (　　)
A.
6.(2025天津部分区二模,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论:①D1O⊥AC;②三棱锥A1-ADP的体积为定值;③存在一点P,使D1O∥B1P;④若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为.其中正确结论的个数为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.(题型三)(2025天津十二区重点校二模,9)图①是底面边长为2的正三棱柱,直线l经过上、下底面的中心,将图①中三棱柱的上底面绕直线l逆时针旋转60°得到图②,若△ABC为正三角形,则图②所示几何体的外接球的表面积为 (　　)
　　
A.12π　　　　B.8π
C.24π　　　　D.24π
8.(题型二)(2024南开二模,8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,M,N分别为A1D1,B1C1的中点,E,F分别为棱AB,CD上的动点,则三棱锥M-NEF的体积 (　　)
A.不确定,与E,F的位置有关
B.为定值
C.存在最小值,最小值为
D.存在最大值,最大值为
9.(题型二)(2024河东二模,8)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小的一部分的体积为 (　　)
A.V
10.(题型一)(2024和平一模,8)若三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面均是正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上,AB=2A1B1=8,则三棱台ABC-A1B1C1的高为 (　　)
A.2　　　　B.8
C.6或8　　　　D.2或6
11.(题型二)(2024和平二模,6)如图,一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下去,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器(连接处忽略不计),则这个正四棱锥的内切球(球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点)的体积为 (　　)
A.π
12.(题型二)(2024天津十二区二模,6)天津包子是一道古老的传统面食小吃,在中国北方,在全国,乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国,决定走少而精的售卖方式,争取让天津包子走上高端路线,于是订制了如图所示由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球缺(球的一部分)组成的单独包装盒,球缺的体积V=(R为球缺所在球的半径,h为球缺的高).若h=2 cm,球心与圆柱下底面圆心重合,则包装盒的体积为 (　　)
A.66π cm3　　　 　B. cm3
C. cm3
专题七　立体几何与空间向量
7.1　空间几何体的结构特征、表面积和体积
五年高考
天津专练
1.(2020天津,5,5分,易)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　C　)
A.12π　　　　B.24π　　　　C.36π　　　　D.144π
2.(2023天津,8,5分,易)在三棱锥P-ABC中,点M,N分别在棱PB和PC上,且PM=PB,PN=PC,则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 (　B　)
A.
3.(2021天津,6,5分,中)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上.若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为 (　B　)
A.3π　　　　B.4π　　　　C.9π　　　　D.12π
4.(2024天津,9,5分,中)在如图所示的五面体中,棱AD,BE,CF互相平行,且两两之间的距离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　C　)
A.
5.(2022天津,8,5分,中)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3,∠BEC=120°,则该几何体的体积为 (　C　)
A.
全真全练
考点一　空间几何体的结构特征
1.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为 (　C　)
A.102 m　　　　B.112 m　　　　C.117 m　　　　D.125 m
2.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　12　个公共点.
3.(2025全国二卷,14,5分,中)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　2.5　cm.
考点二　空间几何体的表面积和体积
1.(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　B　)
A.2π
2.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 (　B　)
A.π　　　　B.π
3.(2023全国甲文,10,5分,中)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为 (　A　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
4.(2023全国甲理,11,5分,中)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为 (　C　)
A.2
C.4
5.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 　.
三年模拟
练基础
1.(题型三)(2023河北二模,3)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2,高为6,则球O的表面积为 (　C　)
A.32π　　　　B.48π　　　　C.64π　　　　D.80π
2.(题型三)(2024红桥一模,6)已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为 (　B　)
A.16π　　　　B.20π　　　　C.8π　　　　D.5π
3.(题型一)(2025天津部分区一模,8)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为8π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 (　C　)
A.36π　　　　B.64π
C.128π　　　　D.256π
4.(题型三)(2025河东一模,8)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 (　D　)
A.8π
5.(题型二)(2025南开一模,8)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段A1D上一点,且AP=PD,则三棱锥B1-ACP的体积与平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为 (　D　)
A.2∶5　　　　B.1∶2
C.1∶3　　　　D.1∶6
6.(题型二)(2024天津八校二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为36π,点E为棱AB的中点,则三棱锥C1-AED的体积为 (　B　)
A.
7.(题型三)(2023河西二模,7)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=4,AB=AC=4,
∠CAB=90°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 (　C　)
A.32π　　　　B.48π　　　　C.64π　　　　D.128π
8.(题型二)(2025南开二模,9)如图,体积为8π的半圆柱的轴截面为平面ABB1A1,AB是圆柱底面的直径,O为底面的圆心,BB1为一条母线,点D为BB1的中点,且AB=4,,则三棱锥O-CDE的体积为 (　C　)
A.8
9.(题型二)(2025天津八校联考二模,9)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,ED=AB=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,有如下结论,其中正确的个数是 (　B　)
①V1=V3　　　　②V2=V3
③2V3=3V1　　　　④V3=3V2
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
10.(题型二)(2024红桥二模,7)如图,圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋,某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍,则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为 (　B　)
A.
11.(题型二)(2024河西二模,6)如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水.当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm.如果不计容器的厚度,则球的体积为(　A　)
A. cm3
C. cm3
12.(题型二)(2024天津十二区一模,6)如图,实心正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,其中上、下底面的中心分别为Q,R.若从该正方体中挖去两个圆锥,且其中一个圆锥以R为顶点,以正方形A1B1C1D1的内切圆为底面,另一个圆锥以Q为顶点,以正方形ABCD的内切圆为底面,则该正方体剩余部分的体积为 (　D　)
A.8-
C.8-
练综合
1.(题型二)(2025天津十二区重点校一模,8)风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,是人类最早的风筝起源.下图是某中学学生制作的一个风筝模型多面体ABCEF,D为边AB的中点,四边形EFDC为矩形,且DF⊥AB,AC=BC=3,∠ACB=120°,当AE⊥BE时,多面体ABCEF的体积为 (　A　)
A.
2.(题型三)(2025红桥一模,9)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面ABCD内一动点Q满足QA=2QB,当三棱锥Q-DD1A体积取最大值时,该三棱锥外接球的表面积为(　C　)
A.24π　　　　B.27π　　　　C.54π　　　　D.56π
3.(题型三)(2025和平一模,8)已知正四面体ABCD(四个面都是正三角形),其内切球(与四面体各个面都相切的球)表面积为,设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为V1,正四面体ABCD的外接球(四面体各顶点都在球的表面上)体积为V2,则V1·V2= (　A　)
A.π
4.(题型二)(2025河北一模,8)在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BB1,B1C1的中点,过A,D,E三点的截面将三棱柱分成两部分,记体积较小部分的体积为V1,另一部分的体积为V2,则的值为 (　B　)
A.
5.(题型二)(2025河西一模,9)如图,在体积为V的正四棱锥P-ABCD中,,,设平面AEF与直线PC交于点G,记四棱锥P-AEGF的体积为V1,则V1∶V= (　D　)
A.
6.(2025天津部分区二模,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论:①D1O⊥AC;②三棱锥A1-ADP的体积为定值;③存在一点P,使D1O∥B1P;④若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为.其中正确结论的个数为 (　C　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.(题型三)(2025天津十二区重点校二模,9)图①是底面边长为2的正三棱柱,直线l经过上、下底面的中心,将图①中三棱柱的上底面绕直线l逆时针旋转60°得到图②,若△ABC为正三角形,则图②所示几何体的外接球的表面积为 (　C　)
　　
A.12π　　　　B.8π
C.24π　　　　D.24π
8.(题型二)(2024南开二模,8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,M,N分别为A1D1,B1C1的中点,E,F分别为棱AB,CD上的动点,则三棱锥M-NEF的体积 (　B　)
A.不确定,与E,F的位置有关
B.为定值
C.存在最小值,最小值为
D.存在最大值,最大值为
9.(题型二)(2024河东二模,8)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小的一部分的体积为 (　C　)
A.V
10.(题型一)(2024和平一模,8)若三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面均是正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上,AB=2A1B1=8,则三棱台ABC-A1B1C1的高为 (　C　)
A.2　　　　B.8
C.6或8　　　　D.2或6
11.(题型二)(2024和平二模,6)如图,一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下去,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器(连接处忽略不计),则这个正四棱锥的内切球(球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点)的体积为 (　B　)
A.π
12.(题型二)(2024天津十二区二模,6)天津包子是一道古老的传统面食小吃,在中国北方,在全国,乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国,决定走少而精的售卖方式,争取让天津包子走上高端路线,于是订制了如图所示由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球缺(球的一部分)组成的单独包装盒,球缺的体积V=(R为球缺所在球的半径,h为球缺的高).若h=2 cm,球心与圆柱下底面圆心重合,则包装盒的体积为 (　B　)
A.66π cm3　　　 　B. cm3
C. cm3
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