8.2 椭圆--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）
文档属性
| 名称 | 8.2 椭圆--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 576.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026天津版高考数学第二轮专题
8.2 椭圆
五年高考
天津专练
1.(2021天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且|BF|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N.过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF,求直线l的方程.
2.(2018天津理,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
3.(2023天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)点P在椭圆上(点P异于椭圆的顶点),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2PF面积的2倍,求直线A2P的方程.
4.(2022天津,19,15分,中)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F、右顶点A和上顶点B满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N(N异于M),记O为原点,若|OM|=|ON|,且△MON的面积为,求椭圆的方程.
5.(2020天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
6.(2019天津文,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
7.(2019天津理,18,13分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
8.(2024天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A,下顶点为B,点C为线段OB的中点(O为原点),△ABC的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得≤0恒成立 若存在,求出点T纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
9.(2025天津,18,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(B异于A),求证:FP平分∠AFB.
全真全练
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
2.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( )
A.
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 ( )
A.=1
C.+y2=1
4.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12 C.9 D.6
5.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= ( )
A.
C.
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( )
A.
C.-
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( )
A.
C.
4.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
5.(2025全国二卷,16,15分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
6.(2025全国一卷,18,17分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
三年模拟
练基础
1.(2025天津十二校一模,18)椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,点E的坐标为(0,1),过点F的直线l与椭圆C在第一象限交于点P,l与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍(O为坐标原点),求直线l的方程.
2.(2025河东一模,18)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于M,N两点,且点M在第二象限,l与AB延长线交于点P,若△BNP的面积是△BMN面积的3倍,求k的值.
3.(2025南开一模,18)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过(0,-1),两点.
(1)求E的方程;
(2)过点(-4,0),斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,点C(-1,1),直线AC与x轴交于P,与y轴交于M,直线BC与x轴交于Q,与y轴交于N.若3S△CMN=S△CPQ,求直线l的斜率.
4.(2024河东一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M(0,3)到椭圆右焦点的距离等于焦距.
(1)求椭圆方程;
(2)过点M斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点,且与x轴交于点N,线段AB的垂直平分线与x轴,y轴分别交于点P,点Q,S△POQ=S△MON,O为坐标原点,求k的值.
练综合
1.(2025河西二模,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点和两个顶点四点共圆,且与直线x-y=4相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点(0,1)作斜率为k的直线交椭圆E于C,D两点,线段CD的垂直平分线交y轴于点为Q,点Q关于直线CD的对称点为点P,若四边形PCQD为正方形,求k的值.
2.(2025河东二模,19)已知椭圆C:=1(0(1)求椭圆方程及e;
(2)证明:|PF|=ed;
(3)点D(0,-1),当2|DP|-d取最大值时,求椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离.
3.(2025天津部分区二模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围.
4.(2025红桥二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,过右焦点F的动直线l与C交于A,B两点,点A,B在x轴上的投影分别为A',B'(A'在B'的左侧).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB'与直线A'B交于点M,△MAB的面积为,求直线l的方程.
5.(2025河西一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点为A,B,左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线l交椭圆C于P,Q两点(其中点P在x轴上方),求△AQF与△BPF的面积之比的取值范围.
6.(2025天津部分区一模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点在抛物线y2=4x的准线上,且椭圆的短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M,N两点,若直线l2:x-2y+4=0上存在点Q,使得△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,求直线l1的方程.
7.(2025河北一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且右顶点和上顶点都在直线=0上.
(1)求C的方程;
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A,B两点,求△A2AB面积的最大值;
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M,N两点,点G是线段MN上异于M,N的一点,且|GA1|=|GP|,证明:|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
8.(2024天津部分区二模,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且|A1A2|=8,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A1的直线l与椭圆交于点M,与y轴交于点N,且满足|A1M|<|A1N|.若三角形OMF1(O为坐标原点)的面积是三角形A1F2N的面积的,求直线l的方程.
9.(2024河北二模,18)设椭圆E:=1(a>b>0)经过点,长轴长是短轴长的2倍,上顶点为B.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于另一点P,过点B作与BP垂直的直线,交直线x=a于点Q,过点B作直线x=a的垂线,垂足为M,若∠BQP=∠BQM,求k的值.
10.(2024和平一模,18)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为点F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的中点为T,直线OT与椭圆C交于两点M,N,证明:|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
11.(2024河西二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+2(k>0)交椭圆C于M,N两点,当直线l过点F1时,△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P为x轴上一点,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程及点P的坐标.
8.2 椭圆
五年高考
天津专练
1.(2021天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且|BF|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N.过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF,求直线l的方程.
解析 (1)易知F(c,0),B(0,b),故|BF|=,
因为椭圆的离心率e=,
所以c=2,所以b==1,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)解法一:(由点出发分析)
第一步:利用切点表示切线方程.
设点M(x0,y0),由题意知直线l与椭圆相切于点M,故切线l的方程为+y0y=1(证明过程如下:
联立
消去y,y0得x2-2x0x+=0,
Δ=4=0,
因此切线l的方程为+y0y=1).
第二步:求出N,P的坐标.
在直线l的方程中,令x=0,可得y=,即点N,由题意可知y0>0,
因为直线BF的斜率kBF=-,PN⊥BF,所以kPN·kBF=-1,即kPN=2,可得直线PN的方程为y=2x+,
在直线PN的方程中,令y=0,可得x=-,即点P.
第三步:利用MP∥BF建立等式,与椭圆方程联立解出M点的坐标.
因为MP∥BF,所以kMP=kBF,即,整理得2x0y0+4+1=0①,
又=1,即-5=0②,
所以5×①+②可得(x0+5y0)2=0,
所以x0=-5y0,又因为=1,y0>0,
所以x0=-,y0=.
第四步:求出直线方程.
故直线l的方程为-y=1,即x-y+=0.
解法二:(由线出发分析)
第一步:联立直线与椭圆的方程求M的坐标.
显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(m>0),
联立消去y可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,依题意知Δ=0,化简后得m2=1+5k2①,
此时xM=-,
则yM=m-,即M.
第二步:利用两条直线垂直求PN的方程,从而求P的坐标.
易知N(0,m),因为直线BF的斜率kBF=-,PN⊥BF,所以kPN·kBF=-1,即kPN=2,可得直线PN的方程为y=2x+m,
在直线PN的方程中,令y=0,可得x=-,即点P.
第三步:利用直线平行得到k、m关系,并解出k、m的值,得到直线l的方程.
因为MP∥BF,所以kMP=kBF,即,结合①,整理可得k2-2k+1=0,解得k1=k2=1,
则m2=6,又m>0,所以m=.
所以直线l的方程为x-y+=0.
方法总结 若M(x0,y0)在椭圆=1(a>0,b>0)上,则过M的切线方程为=1.
2.(2018天津理,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,
故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.
由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=.
所以,k的值为.
3.(2023天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)点P在椭圆上(点P异于椭圆的顶点),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2PF面积的2倍,求直线A2P的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c(c>0),
则
故b2=a2-c2=3,
所以椭圆的方程为=1,离心率e=.
(2)由(1)可得,|A2F|=|A1A2|,所以,又,所以,所以|PQ|=|PA2|.
设P(x0,y0),当x0<0时,,此时点P与A1重合,不合题意;
当x0>0时,可得,
故x0=,代入椭圆方程,得P,
又A2(2,0),所以,
所以直线A2P的方程为y=±(x-2).
4.(2022天津,19,15分,中)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F、右顶点A和上顶点B满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N(N异于M),记O为原点,若|OM|=|ON|,且△MON的面积为,求椭圆的方程.
解析 (1)∵|BF|==a,
|AB|=,
∴,解得a=b,
∴c=b,∴离心率e=.
(2)解法一:由(1)知椭圆方程为=1.
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,如图.
则有|OM|=|ON|=m.
第一步:联立直线与椭圆的方程求出M的坐标.
联立得
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0 3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-,代入直线l的方程,有yM=.
第二步:利用|OM|=|ON|求k.
∴|OM|==m,解得k=-.
第三步:利用k及图形中的角度关系求解∠MON,进而利用S△OMN=求出椭圆方程.
设直线OM的倾斜角为θ,
∴kOM=tan θ=,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
∴S△OMN=,解得m=2(舍负),
∴3b2×+b2-4=0,可得b2=2,
∴椭圆的标准方程为=1.
解法二:由切点M出发,设出直线l的表达式,利用|OM|=|ON|,S△MON=,M在椭圆上建立三个方程,解方程组求椭圆方程.
第一步:利用|OM|=|ON|,得到方程①.
由(1)知椭圆方程为=1,
不妨设M(x0,y0)(x0>0,0则l:=1,∴N,
∵|OM|=|ON|,∴.①
第二步:利用S△MON=,得到方程②.
∵S△MON=,
∴,②
第三步:利用M在椭圆上,得到方程③.
将M的坐标代入椭圆方程可得=3b2.③
第四步:联立①②③,求得b,a,从而得椭圆方程.
联立①②③可得b=,从而a=,
∴椭圆的标准方程为=1.
解后反思 (1)利用速算公式求Δ.整理后方程的Δ=0 a2A2+b2B2-C2=0.
(2)常用的三角形面积的三种表达方式:①S=底×高,②S=水平宽×铅垂高,③S△ABC=absin C,根据已知条件选择合适的面积公式求解.
(3)椭圆上切线方程的相关结论:点M在椭圆=1上,过M(x0,y0)的切线方程为=1.
证明如下:
①切线斜率存在时,设切线l:y=kx+m.
联立整理可得(b2+a2k2)·x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.
∴Δ=0 a2k2+b2-m2=0①.
由于M在切线l上,
故y0=kx0+m,即m=y0-kx0.
代入①,整理可得(a2-)k2+2x0y0k+b2-=0②.(消元,消去m)
由于M在椭圆上,故=1,
∴a2-,b2-,
代入②,整理可得=0,∴k=-.
∴l:y-y0=-(x-x0),即b2x0x+a2y0y=b2=a2b2,∴过M(x0,y0)的切线方程为=1.
②切线斜率不存在时,M(-a,0)或M(a,0),此时过M的切线方程为x=-a或x=a,经检验,满足=1.
综上,点M在椭圆=1上,过M(x0,y0)的切线方程为=1.
5.(2020天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.
又a2=b2+c2,所以a2=18.
所以,椭圆的方程为=1. (4分)
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=.依题意,可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为(中点坐标公式). (9分)
由3,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为,即.又因为AB⊥CP,所以k·=-1(两直线垂直,斜率之积为-1),整理得2k2-3k+1=0,解得k=或k=1. (14分)
所以,直线AB的方程为y=x-3或y=x-3. (15分)
6.(2019天津文,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,
因为|OA|=2|OB|,所以a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得.
所以,椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为=1.由题意知,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).
点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,
解得x1=c,x2=-.
代入l的方程,解得y1=c,y2=-c.
因为点P在x轴上方,所以P.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),
故,解得t=2.则C(4,2).
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.
所以,椭圆的方程为=1.
7.(2019天津理,18,13分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,由a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)第一步,设出直线PB的方程,解出P点坐标.
由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2.
联立
整理得(4+5k2)x2+20kx=0.
所以xP+0=-,即xP=-,代入y=kx+2得yP=.
第二步,求解M、N坐标.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-,
由题意得N(0,-1).
第三步,求直线OP,MN的斜率,通过垂直关系求k.
直线OP的斜率为,直线MN的斜率为-,
由OP⊥MN,得=-1,
解得k=±,
所以,直线PB的斜率为.
8.(2024天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A,下顶点为B,点C为线段OB的中点(O为原点),△ABC的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得≤0恒成立 若存在,求出点T纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由椭圆的离心率为,其中c为半焦距,故a=2c,则b=c,则A(-2c,0),B(0,-c),C,故S△ABC=,解得c=(舍负),所以a=2,b=3,
所以椭圆的方程为=1.
(2)若过点C的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为y=kx-.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(0,t),
由消去y可得(3+4k2)x2-12kx-27=0,
故Δ=144k2+108(3+4k2)>0,
且x1+x2=,x1x2=-,
而=(x1,y1-t),=(x2,y2-t),
故=x1x2+(y1-t)(y2-t)
=x1x2+
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·
=
=,
因为≤0恒成立,
所以
解得-3≤t≤.
若过点C的动直线的斜率不存在,则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3),此时需-3≤t≤3.
综上,存在T(0,t),使得≤0恒成立.
9.(2025天津,18,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(B异于A),求证:FP平分∠AFB.
解析 (1)设椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c,
则左焦点F(-c,0).由右顶点A(a,0),离心率e=,得a=2c,
因为P为x=a上一点,所以设P(a,m),
又直线PF的斜率为,则,即,
所以,解得m=c,则P(a,c),即P(2c,c),
因为△PFA的面积为,|AF|=a-(-c)=a+c=3c,AF边上的高为|m|=c,
所以S△PFA=,解得c=1,
则a=2c=2,b2=a2-c2=3,
所以椭圆的方程为=1.
(2)证明:由(1)可知P(2,1),F(-1,0),A(2,0),
易知直线PB的斜率存在,设其方程为y=kx+n,则1=2k+n,即n=1-2k,
联立消去y,得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0,
因为直线与椭圆有唯一交点,
所以Δ=(8kn)2-4(3+4k2)·(4n2-12)=0,
即4k2-n2+3=0,则4k2-(1-2k)2+3=0,解得k=-,则n=2,
所以直线PB的方程为y=-x+2,
联立
则B,
以下分别用四种方法证明结论:
证法一:则,=(3,1),=(3,0),
所以cos∠BFP=,
cos∠PFA=,
则cos∠BFP=cos∠PFA,
又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法二:所以kFB=,又kPF=,kAF=0,
所以由两直线的夹角公式,得tan∠BFP=,tan∠PFA=,
则tan∠BFP=tan∠PFA,又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法三:则tan∠PFA=kPF=,tan∠BFA=kFB=,
故tan 2∠PFA==tan∠BFA,
又∠BFA,∠PFA∈,
所以∠BFA=2∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法四:则kFB=,
所以直线FB的方程为y=(x+1),即3x-4y+3=0,
则点P到直线FB的距离d==1,
又点P到直线FA的距离也为1,
所以FP平分∠AFB.
全真全练
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= ( B )
A.1 B.2 C.4 D.5
2.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( B )
A.
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 ( B )
A.=1
C.+y2=1
4.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( C )
A.13 B.12 C.9 D.6
5.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
解析 (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,
∴c=1,,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=,
∴C的方程为=1.
(2)证明:当直线AB与x轴重合时,显然符合题意.
当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,
由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
由根与系数的关系得
y1+y2=,y1y2=,
∵N为FP的中点,∴N,
∴直线NB的方程为y=,
令x=1,解得yQ=-,
∴y1-yQ=y1+
=,
∵2ty1y2+3(y1+y2)=2t·=0,∴y1=yQ,即AQ⊥y轴.
综上,AQ⊥y轴.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= ( A )
A.
C.
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( C )
A.
C.-
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( A )
A.
C.
4.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
5.(2025全国二卷,16,15分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
解析 (1)由题意,得
所以b=.
故C的方程为=1.
(2)由题意知,直线l的斜率必存在.
设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由 消去y,得(1+2k2)x2-8kx+4=0,①
由Δ=(-8k)2-4×4(1+2k2)>0,得k2>,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
所以|AB|=
=.
又原点O到直线l的距离d=,且△OAB的面积为,
所以,解得k2=,满足Δ>0,
所以|AB|=.
6.(2025全国一卷,18,17分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
解析 (1)由题意得e=,
且|AB|=,a2=b2+c2,
解得a=3,b=1,c=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)(i)∵点R在射线AP上,A(0,-1),
∴设=λ(m,n+1),
则||2=λ[m2+(n+1)2]=3,
∴λ=,
∴,,
∴R.
(ii)由(i),知kOR==3kOP,
化简得n2+m2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18.
∴P(m,n)在以D(0,-4)为圆心,3为半径的圆上.
则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3.
设Q(x,y),其中-1≤y≤1.
则|DQ|2=x2+(y+4)2
=9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消x)
=-8y2+8y+25
=-8+27,
当y=时,|DQ|max=3.
则|PQ|max=3.
三年模拟
练基础
1.(2025天津十二校一模,18)椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,点E的坐标为(0,1),过点F的直线l与椭圆C在第一象限交于点P,l与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍(O为坐标原点),求直线l的方程.
解析 (1)由题意得c=1,,
又a2=b2+c2,∴a=2,b=, (3分)
∴椭圆方程为=1. (4分)
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且为正,
直线DE的方程为y=-x+1, (5分)
∵△FDP的面积是△FOQ面积的5倍,
∴=5, (6分)
∵=3,∴. (7分)
又由题意可知P、Q均在y轴右侧,x轴上方,∴yP=yQ. (8分)
设直线l的方程为x=my-1,由 (10分)
∴yP=, (11分)
∴xP=myP-1=. (12分)
∵点P在椭圆上,故将P点坐标代入椭圆方程,整理得:
9m2-24m+16=(3m-4)2=0, (13分)
∴m=. (14分)
∴直线l的方程为x=y-1,即3x-4y+3=0.(15分)
2.(2025河东一模,18)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于M,N两点,且点M在第二象限,l与AB延长线交于点P,若△BNP的面积是△BMN面积的3倍,求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知得,a2+b2=13,
由a2=b2+c2,解得a=3,b=2,
∴椭圆的方程为=1.
(2)设点P(x0,y0),M(x1,y1)(x0∵△BNP的面积是△BMN面积的3倍,
∴|PN|=3|MN|,即,
从而-x1-x0=3(-x1-x1),∴x0=5x1,
易知直线AB的方程为2x+3y=6.
由消去y,可得x0=,
由方程组消去y,可得x1=.
由x0=5x1,可得,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-.
当k=-时,x0=-9<0,符合题意;
当k=-时,x0=12>0,不符合题意,舍去.
所以,k的值为-.
3.(2025南开一模,18)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过(0,-1),两点.
(1)求E的方程;
(2)过点(-4,0),斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,点C(-1,1),直线AC与x轴交于P,与y轴交于M,直线BC与x轴交于Q,与y轴交于N.若3S△CMN=S△CPQ,求直线l的斜率.
解析 (1)设E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n),将(0,-1),,n=1,
故E的方程为+y2=1. (4分)
(2)依题意,设直线l:x=ty-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x整理得(t2+4)y2-8ty+12=0, (5分)
则Δ=(-8t)2-48(t2+4)>0,即t2>12, (6分)
且y1+y2=,y1y2=. (7分)
直线AC:y-1=(x+1),
直线BC:y-1=(x+1),
令x=0,
得M,N,
令y=0,得P,Q--1,0,
由3S△CMN=S△CPQ得3|yM-yN|=|xP-xQ|,
即3, (11分)
整理得3
=,
因为t2>12,所以3t2-36=3(t2-8t+16),
解得t=,
所以直线l的斜率为. (15分)
4.(2024河东一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M(0,3)到椭圆右焦点的距离等于焦距.
(1)求椭圆方程;
(2)过点M斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点,且与x轴交于点N,线段AB的垂直平分线与x轴,y轴分别交于点P,点Q,S△POQ=S△MON,O为坐标原点,求k的值.
解析 (1)由已知得=2c,解得c=,
又∵e=,∴a=2,
由b2=a2-c2可得b2=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的方程为y=kx+3(k≠0),
令y=0,可得N,
联立
消去y得(4k2+1)x2+24kx+32=0,
则x1+x2=,
∵Δ=(24k)2-4×32(4k2+1)>0,∴k2>2,
设线段AB的中点为D,则可得D,
∴线段AB的垂直平分线方程为y-,
令y=0,可得P,
令x=0,可得Q,
∴S△POQ=,
∵S△MON=,S△POQ=S△MON,
∴,
整理得112k4-394k2+7=0,
即(2k2-7)(56k2-1)=0,
解得k2=(舍),∴k=±.
练综合
1.(2025河西二模,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点和两个顶点四点共圆,且与直线x-y=4相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点(0,1)作斜率为k的直线交椭圆E于C,D两点,线段CD的垂直平分线交y轴于点为Q,点Q关于直线CD的对称点为点P,若四边形PCQD为正方形,求k的值.
解析 (1)因为椭圆E的两个焦点和两个顶点四点共圆,所以b=c,则a=b,
所以椭圆E的方程为=1,
由消去x,得8y2+8y+16-2b2=0,
因为椭圆E与直线x-y=4相切,
所以Δ=(8)2-4×8(16-2b2)=0,解得b2=2,所以a2=4,
所以椭圆E的标准方程为=1. (6分)
(2)由题意易知直线CD的方程为y=kx+1(k≠0),设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为M,
联立消去y,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,
则x1+x2=,x1x2=, (8分)
所以xM=,代入y=kx+1,得yM=,故M,
所以线段CD的垂直平分线的方程为y-,
令x=0,解得yQ=-,
即Q, (10分)
因为线段PQ和线段CD互相垂直平分,所以四边形PCQD为菱形,
要使四边形PCQD为正方形,需满足QC⊥QD,
所以
=
=x1x2+=(k2+1)x1x2+·(x1+x2)+
==0,
即(k2+1)(4k2-1)=0,解得k=±,
则k的值为±. (15分)
2.(2025河东二模,19)已知椭圆C:=1(0(1)求椭圆方程及e;
(2)证明:|PF|=ed;
(3)点D(0,-1),当2|DP|-d取最大值时,求椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离.
解析 (1)由已知得c=1,P,
则左焦点为F1(-1,0),则|PF1|+|PF|==4=2a,a=2,
又b2=a2-c2,∴b2=3,
则椭圆方程为=1,e=. (6分)
(2)证明:设P(x0,y0),则,
|PF|=
=
=(4-x0)=ed. (10分)
(3)2|DP|-d=2=2(|DP|-|PF|),当D,F,P三点共线时,2|DP|-d取最大值,此时lDP:x-y-1=0,
设直线:y=x+m,
联立整理得7x2+8mx+4m2-12=0,
令Δ=64m2-4×7×(4m2-12)=0,
∴m2=7,m=±,
故椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离为. (15分)
3.(2025天津部分区二模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,根据题意知,e=,2c=2,及a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)易知直线AB的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,得k2>,则x1+x2=-,x1x2=,
因为点O在以线段AB为直径的圆外,所以∠AOB为锐角,A,O,B不共线,
所以cos∠AOB>0,
所以>0,即x1x2+y1y2>0,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=>0,
解得k2<4,
因为k2>,
所以-2所以实数k的取值范围为.
4.(2025红桥二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,过右焦点F的动直线l与C交于A,B两点,点A,B在x轴上的投影分别为A',B'(A'在B'的左侧).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB'与直线A'B交于点M,△MAB的面积为,求直线l的方程.
解析 (1)依题意得b=2,,
且a2=b2+c2,所以a=2,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设直线l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(x1,0),B'(x2,0),
联立化简得(m2+2)y2+4my-4=0,
则整理得my1y2=y1+y2.
直线AB'的方程为y=(x-x2)①,
直线A'B的方程为y=(x-x1)②,
联立①②,解得x=4,
即点M在直线x=4上,
所以S△MAB=|BB'|·|xM-x1|
=|2y2-(y1+y2)|
=
=,解得m=±1,
所以直线l的方程为x±y-2=0.
5.(2025河西一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点为A,B,左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线l交椭圆C于P,Q两点(其中点P在x轴上方),求△AQF与△BPF的面积之比的取值范围.
解析 (1)由题意得,,b=c=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (5分)
(2)由(1)可知F(-1,0),A(-,0),B(,0),
由题意,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0),
由消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,y1+y2=,y1y2=, (8分)
∵S△AQF=·(-y2),S△BPF=·y1,
∴=(2-3), (10分)
∵,又m2+2≥2,∴0<≤4,
∴-4<-4+≤0,即-4<≤0,
又+2,
∴-4<+2≤0,
设=λ,则λ<0,
∴-4<+λ+2≤0,
解得-3-2, (13分)
∴=(2-3)∈(17-12,1),
即△AQF与△BPF的面积之比的取值范围为(17-12,1). (15分)
6.(2025天津部分区一模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点在抛物线y2=4x的准线上,且椭圆的短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M,N两点,若直线l2:x-2y+4=0上存在点Q,使得△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,求直线l1的方程.
解析 (1)依题意,得c=,2b=2,a2=b2+c2,
解得a=2,b=, (3分)
所以椭圆的方程为=1. (4分)
(2)当l1的斜率不存在时,|MN|=2,
直线l2:x-2y+4=0与x轴交于点(-4,0),不符合题意,舍去. (5分)
当l1的斜率k=0时,|MN|=4,
直线l2:x-2y+4=0与y轴交于点(0,2),满足题意,
此时直线l1的方程为y=0; (7分)
当l1的斜率k≠0时,设直线l1:y=kx,
联立得
得(1+4k2)x2=8,x2=, (8分)
设M(x0,y0),则N(-x0,-y0),
∴,,
∴|MO|=, (10分)
又MN的垂直平分线的方程为y=-x,由
∴Q, (11分)
∴|OQ|=, (12分)
∵△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,∴|MO|=|OQ|,
即, (13分)
解得k1=0(舍去),k2=,
∴直线l1的方程为y=x. (14分)
综上,直线l1的方程为y=0或y=x. (15分)
7.(2025河北一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且右顶点和上顶点都在直线=0上.
(1)求C的方程;
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A,B两点,求△A2AB面积的最大值;
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M,N两点,点G是线段MN上异于M,N的一点,且|GA1|=|GP|,证明:|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
解析 (1)在=0中,令x=0,得y=,即上顶点为(0,),则b=, (1分)
令y=0,得x=2,即A2(2,0),则a=2, (2分)
所以C的方程为=1. (3分)
(2)若直线l与x轴重合,则不能构成△A2AB,不合题意,
设直线l的方程为x=ny-1,
由得(3n2+4)y2-6ny-9=0,
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则yA+yB=,yAyB=-, (5分)
所以|yA-yB|=, (6分)
. (7分)
令t=(t≥1), f(t)=3t+(t≥1),由对勾函数的单调性可知,函数f(t)=3t+在[1,+∞)上为增函数,
当t=1,即n=0时, f(t)=3t+取最小值4,
此时,△A2AB的面积取最大值,且最大值为. (9分)
(3)证明:当直线MN的斜率为0时,不妨记M(-2,0),N(2,0),
而A1(-2,0),由|GA1|=|GP|,得G(1,0),则|PM|·|GN|=6×1=6,|PN|·|MG|=2×3=6,
因此,|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
设直线MN的方程为x=my+4,联立得
得(3m2+4)y2+24my+36=0,
则Δ=(24m)2-144(3m2+4)=144(m2-4)>0,∴m2>4, (11分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),
则y1+y2=,y1y2=, (12分)
如图,由|GA1|=|GP|,得点G在线段A1P的垂直平分线x=1上,即x0=1,
由点G(1,y0)在直线MN上,得1=my0+4,y0=-, (13分)
显然,,
因为,所以=y0,
整理得y2y0-y1y2=y1y2-y1y0,
即y2(y0-y1)=y1(y2-y0),
所以,所以,
所以|PM|·|GN|=|PN|·|MG|. (15分)
8.(2024天津部分区二模,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且|A1A2|=8,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A1的直线l与椭圆交于点M,与y轴交于点N,且满足|A1M|<|A1N|.若三角形OMF1(O为坐标原点)的面积是三角形A1F2N的面积的,求直线l的方程.
解析 (1)由题意知2a=8,所以a=4,又因为e=,所以c=2,所以b2=a2-c2=12,
所以椭圆的方程为=1.
(2)由题可知,直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为y=k(x+4),由xN=0可得yN=4k,
联立消去y整理得
(3+4k2)x2+32k2x+64k2-48=0,
则(-4)·xM=,即xM=,所以yM=,
由题意得,|OF1|=c=2,|A1F2|=a+c=6,
因为,
所以
=,
则,解得k=±,
所以直线l的方程为y=±(x+4).
9.(2024河北二模,18)设椭圆E:=1(a>b>0)经过点,长轴长是短轴长的2倍,上顶点为B.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于另一点P,过点B作与BP垂直的直线,交直线x=a于点Q,过点B作直线x=a的垂线,垂足为M,若∠BQP=∠BQM,求k的值.
解析 (1)由题意得2a=4b,即a=2b,
又∵椭圆,
∴=1,解得b2=1,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)∵B(0,1),
∴直线BP的方程为y=kx+1.
联立消去y,得(1+4k2)x2+8kx=0,解得x=0或x=,
∵点P与点B不同,∴xP=.
∵BQ⊥BP,∴kBQ=-,直线BQ的方程为y=-x+1.
∵a=2,∴直线x=a=2.
联立+1,
∴Q.
∵BM垂直于直线x=2,∴M(2,1).
∵在直角△BQP和直角△BQM中,∠BQP=∠BQM,
∴tan∠BQP=tan∠BQM,即.
∵|BP|=,
|BQ|=,
|MB|=2,|MQ|=|yQ-yM|=,
代入,得,
化简得4k2-4|k|+1=0,解得|k|=,k=±,∵k>0,∴k的值为.
10.(2024和平一模,18)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为点F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的中点为T,直线OT与椭圆C交于两点M,N,证明:|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
解析 (1)依题意得
所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),点P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立mx+2m2-6=0.
Δ=(2m)2-4×3×(2m2-6)=12(6-m2)>0,即-且m≠0.
x1+x2=-,x1x2=,所以PQ的中点T的横坐标为,纵坐标为(x1+x2)+m=,即T,
所以直线OT的方程为y=-x,
不妨设点N在第二象限,
联立
求得M,N,
所以|TM|·|TN|=(6-m2),
|TP|·|TQ|=|PQ|2
=
=(6-m2),
所以|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
11.(2024河西二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+2(k>0)交椭圆C于M,N两点,当直线l过点F1时,△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P为x轴上一点,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程及点P的坐标.
解析 (1)△MNF2的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,所以a=2.
椭圆C的离心率为,所以e=,所以c=,所以b=,
故椭圆C的标准方程为=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0),P(m,0)
联立
消去y得(2k2+1)x2+8kx+4=0,
因为直线l与椭圆C交于M,N两点,
所以Δ=64k2-16(2k2+1)>0,解得k2>,
x1+x2=①,x1x2=②.
则x0=,代入y=kx+2,得y0=,
故Q,
由题意知,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,∴PQ⊥MN,
故kPQ·kMN=-1,即·k=-1,
解得m=③,故P,
由PM⊥PN,得kPM·kPN=-1,即=-1,整理得(k2+1)x1x2+(2k-m)(x1+x2)+m2+4=0,
将①②③代入上式,
化简得+1=0,
解得k2=1,因为k>0,所以k=1,
故直线l的方程为y=x+2,点P的坐标为.
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2026天津版高考数学第二轮专题
8.2 椭圆
五年高考
天津专练
1.(2021天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且|BF|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N.过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF,求直线l的方程.
2.(2018天津理,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
3.(2023天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)点P在椭圆上(点P异于椭圆的顶点),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2PF面积的2倍,求直线A2P的方程.
4.(2022天津,19,15分,中)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F、右顶点A和上顶点B满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N(N异于M),记O为原点,若|OM|=|ON|,且△MON的面积为,求椭圆的方程.
5.(2020天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
6.(2019天津文,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
7.(2019天津理,18,13分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
8.(2024天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A,下顶点为B,点C为线段OB的中点(O为原点),△ABC的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得≤0恒成立 若存在,求出点T纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
9.(2025天津,18,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(B异于A),求证:FP平分∠AFB.
全真全练
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
2.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( )
A.
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 ( )
A.=1
C.+y2=1
4.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12 C.9 D.6
5.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= ( )
A.
C.
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( )
A.
C.-
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( )
A.
C.
4.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
5.(2025全国二卷,16,15分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
6.(2025全国一卷,18,17分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
三年模拟
练基础
1.(2025天津十二校一模,18)椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,点E的坐标为(0,1),过点F的直线l与椭圆C在第一象限交于点P,l与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍(O为坐标原点),求直线l的方程.
2.(2025河东一模,18)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于M,N两点,且点M在第二象限,l与AB延长线交于点P,若△BNP的面积是△BMN面积的3倍,求k的值.
3.(2025南开一模,18)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过(0,-1),两点.
(1)求E的方程;
(2)过点(-4,0),斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,点C(-1,1),直线AC与x轴交于P,与y轴交于M,直线BC与x轴交于Q,与y轴交于N.若3S△CMN=S△CPQ,求直线l的斜率.
4.(2024河东一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M(0,3)到椭圆右焦点的距离等于焦距.
(1)求椭圆方程;
(2)过点M斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点,且与x轴交于点N,线段AB的垂直平分线与x轴,y轴分别交于点P,点Q,S△POQ=S△MON,O为坐标原点,求k的值.
练综合
1.(2025河西二模,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点和两个顶点四点共圆,且与直线x-y=4相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点(0,1)作斜率为k的直线交椭圆E于C,D两点,线段CD的垂直平分线交y轴于点为Q,点Q关于直线CD的对称点为点P,若四边形PCQD为正方形,求k的值.
2.(2025河东二模,19)已知椭圆C:=1(0
(2)证明:|PF|=ed;
(3)点D(0,-1),当2|DP|-d取最大值时,求椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离.
3.(2025天津部分区二模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围.
4.(2025红桥二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,过右焦点F的动直线l与C交于A,B两点,点A,B在x轴上的投影分别为A',B'(A'在B'的左侧).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB'与直线A'B交于点M,△MAB的面积为,求直线l的方程.
5.(2025河西一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点为A,B,左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线l交椭圆C于P,Q两点(其中点P在x轴上方),求△AQF与△BPF的面积之比的取值范围.
6.(2025天津部分区一模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点在抛物线y2=4x的准线上,且椭圆的短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M,N两点,若直线l2:x-2y+4=0上存在点Q,使得△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,求直线l1的方程.
7.(2025河北一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且右顶点和上顶点都在直线=0上.
(1)求C的方程;
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A,B两点,求△A2AB面积的最大值;
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M,N两点,点G是线段MN上异于M,N的一点,且|GA1|=|GP|,证明:|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
8.(2024天津部分区二模,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且|A1A2|=8,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A1的直线l与椭圆交于点M,与y轴交于点N,且满足|A1M|<|A1N|.若三角形OMF1(O为坐标原点)的面积是三角形A1F2N的面积的,求直线l的方程.
9.(2024河北二模,18)设椭圆E:=1(a>b>0)经过点,长轴长是短轴长的2倍,上顶点为B.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于另一点P,过点B作与BP垂直的直线,交直线x=a于点Q,过点B作直线x=a的垂线,垂足为M,若∠BQP=∠BQM,求k的值.
10.(2024和平一模,18)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为点F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的中点为T,直线OT与椭圆C交于两点M,N,证明:|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
11.(2024河西二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+2(k>0)交椭圆C于M,N两点,当直线l过点F1时,△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P为x轴上一点,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程及点P的坐标.
8.2 椭圆
五年高考
天津专练
1.(2021天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且|BF|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N.过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF,求直线l的方程.
解析 (1)易知F(c,0),B(0,b),故|BF|=,
因为椭圆的离心率e=,
所以c=2,所以b==1,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)解法一:(由点出发分析)
第一步:利用切点表示切线方程.
设点M(x0,y0),由题意知直线l与椭圆相切于点M,故切线l的方程为+y0y=1(证明过程如下:
联立
消去y,y0得x2-2x0x+=0,
Δ=4=0,
因此切线l的方程为+y0y=1).
第二步:求出N,P的坐标.
在直线l的方程中,令x=0,可得y=,即点N,由题意可知y0>0,
因为直线BF的斜率kBF=-,PN⊥BF,所以kPN·kBF=-1,即kPN=2,可得直线PN的方程为y=2x+,
在直线PN的方程中,令y=0,可得x=-,即点P.
第三步:利用MP∥BF建立等式,与椭圆方程联立解出M点的坐标.
因为MP∥BF,所以kMP=kBF,即,整理得2x0y0+4+1=0①,
又=1,即-5=0②,
所以5×①+②可得(x0+5y0)2=0,
所以x0=-5y0,又因为=1,y0>0,
所以x0=-,y0=.
第四步:求出直线方程.
故直线l的方程为-y=1,即x-y+=0.
解法二:(由线出发分析)
第一步:联立直线与椭圆的方程求M的坐标.
显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(m>0),
联立消去y可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,依题意知Δ=0,化简后得m2=1+5k2①,
此时xM=-,
则yM=m-,即M.
第二步:利用两条直线垂直求PN的方程,从而求P的坐标.
易知N(0,m),因为直线BF的斜率kBF=-,PN⊥BF,所以kPN·kBF=-1,即kPN=2,可得直线PN的方程为y=2x+m,
在直线PN的方程中,令y=0,可得x=-,即点P.
第三步:利用直线平行得到k、m关系,并解出k、m的值,得到直线l的方程.
因为MP∥BF,所以kMP=kBF,即,结合①,整理可得k2-2k+1=0,解得k1=k2=1,
则m2=6,又m>0,所以m=.
所以直线l的方程为x-y+=0.
方法总结 若M(x0,y0)在椭圆=1(a>0,b>0)上,则过M的切线方程为=1.
2.(2018天津理,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,
故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.
由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=.
所以,k的值为.
3.(2023天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)点P在椭圆上(点P异于椭圆的顶点),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2PF面积的2倍,求直线A2P的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c(c>0),
则
故b2=a2-c2=3,
所以椭圆的方程为=1,离心率e=.
(2)由(1)可得,|A2F|=|A1A2|,所以,又,所以,所以|PQ|=|PA2|.
设P(x0,y0),当x0<0时,,此时点P与A1重合,不合题意;
当x0>0时,可得,
故x0=,代入椭圆方程,得P,
又A2(2,0),所以,
所以直线A2P的方程为y=±(x-2).
4.(2022天津,19,15分,中)椭圆=1(a>b>0)的右焦点F、右顶点A和上顶点B满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N(N异于M),记O为原点,若|OM|=|ON|,且△MON的面积为,求椭圆的方程.
解析 (1)∵|BF|==a,
|AB|=,
∴,解得a=b,
∴c=b,∴离心率e=.
(2)解法一:由(1)知椭圆方程为=1.
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,如图.
则有|OM|=|ON|=m.
第一步:联立直线与椭圆的方程求出M的坐标.
联立得
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0 3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-,代入直线l的方程,有yM=.
第二步:利用|OM|=|ON|求k.
∴|OM|==m,解得k=-.
第三步:利用k及图形中的角度关系求解∠MON,进而利用S△OMN=求出椭圆方程.
设直线OM的倾斜角为θ,
∴kOM=tan θ=,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
∴S△OMN=,解得m=2(舍负),
∴3b2×+b2-4=0,可得b2=2,
∴椭圆的标准方程为=1.
解法二:由切点M出发,设出直线l的表达式,利用|OM|=|ON|,S△MON=,M在椭圆上建立三个方程,解方程组求椭圆方程.
第一步:利用|OM|=|ON|,得到方程①.
由(1)知椭圆方程为=1,
不妨设M(x0,y0)(x0>0,0
∵|OM|=|ON|,∴.①
第二步:利用S△MON=,得到方程②.
∵S△MON=,
∴,②
第三步:利用M在椭圆上,得到方程③.
将M的坐标代入椭圆方程可得=3b2.③
第四步:联立①②③,求得b,a,从而得椭圆方程.
联立①②③可得b=,从而a=,
∴椭圆的标准方程为=1.
解后反思 (1)利用速算公式求Δ.整理后方程的Δ=0 a2A2+b2B2-C2=0.
(2)常用的三角形面积的三种表达方式:①S=底×高,②S=水平宽×铅垂高,③S△ABC=absin C,根据已知条件选择合适的面积公式求解.
(3)椭圆上切线方程的相关结论:点M在椭圆=1上,过M(x0,y0)的切线方程为=1.
证明如下:
①切线斜率存在时,设切线l:y=kx+m.
联立整理可得(b2+a2k2)·x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.
∴Δ=0 a2k2+b2-m2=0①.
由于M在切线l上,
故y0=kx0+m,即m=y0-kx0.
代入①,整理可得(a2-)k2+2x0y0k+b2-=0②.(消元,消去m)
由于M在椭圆上,故=1,
∴a2-,b2-,
代入②,整理可得=0,∴k=-.
∴l:y-y0=-(x-x0),即b2x0x+a2y0y=b2=a2b2,∴过M(x0,y0)的切线方程为=1.
②切线斜率不存在时,M(-a,0)或M(a,0),此时过M的切线方程为x=-a或x=a,经检验,满足=1.
综上,点M在椭圆=1上,过M(x0,y0)的切线方程为=1.
5.(2020天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.
又a2=b2+c2,所以a2=18.
所以,椭圆的方程为=1. (4分)
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=.依题意,可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为(中点坐标公式). (9分)
由3,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为,即.又因为AB⊥CP,所以k·=-1(两直线垂直,斜率之积为-1),整理得2k2-3k+1=0,解得k=或k=1. (14分)
所以,直线AB的方程为y=x-3或y=x-3. (15分)
6.(2019天津文,19,14分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,
因为|OA|=2|OB|,所以a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得.
所以,椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为=1.由题意知,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).
点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,
解得x1=c,x2=-.
代入l的方程,解得y1=c,y2=-c.
因为点P在x轴上方,所以P.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),
故,解得t=2.则C(4,2).
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.
所以,椭圆的方程为=1.
7.(2019天津理,18,13分,中)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,由a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)第一步,设出直线PB的方程,解出P点坐标.
由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2.
联立
整理得(4+5k2)x2+20kx=0.
所以xP+0=-,即xP=-,代入y=kx+2得yP=.
第二步,求解M、N坐标.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-,
由题意得N(0,-1).
第三步,求直线OP,MN的斜率,通过垂直关系求k.
直线OP的斜率为,直线MN的斜率为-,
由OP⊥MN,得=-1,
解得k=±,
所以,直线PB的斜率为.
8.(2024天津,18,15分,中)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A,下顶点为B,点C为线段OB的中点(O为原点),△ABC的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得≤0恒成立 若存在,求出点T纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由椭圆的离心率为,其中c为半焦距,故a=2c,则b=c,则A(-2c,0),B(0,-c),C,故S△ABC=,解得c=(舍负),所以a=2,b=3,
所以椭圆的方程为=1.
(2)若过点C的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为y=kx-.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(0,t),
由消去y可得(3+4k2)x2-12kx-27=0,
故Δ=144k2+108(3+4k2)>0,
且x1+x2=,x1x2=-,
而=(x1,y1-t),=(x2,y2-t),
故=x1x2+(y1-t)(y2-t)
=x1x2+
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·
=
=,
因为≤0恒成立,
所以
解得-3≤t≤.
若过点C的动直线的斜率不存在,则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3),此时需-3≤t≤3.
综上,存在T(0,t),使得≤0恒成立.
9.(2025天津,18,15分,难)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(B异于A),求证:FP平分∠AFB.
解析 (1)设椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c,
则左焦点F(-c,0).由右顶点A(a,0),离心率e=,得a=2c,
因为P为x=a上一点,所以设P(a,m),
又直线PF的斜率为,则,即,
所以,解得m=c,则P(a,c),即P(2c,c),
因为△PFA的面积为,|AF|=a-(-c)=a+c=3c,AF边上的高为|m|=c,
所以S△PFA=,解得c=1,
则a=2c=2,b2=a2-c2=3,
所以椭圆的方程为=1.
(2)证明:由(1)可知P(2,1),F(-1,0),A(2,0),
易知直线PB的斜率存在,设其方程为y=kx+n,则1=2k+n,即n=1-2k,
联立消去y,得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0,
因为直线与椭圆有唯一交点,
所以Δ=(8kn)2-4(3+4k2)·(4n2-12)=0,
即4k2-n2+3=0,则4k2-(1-2k)2+3=0,解得k=-,则n=2,
所以直线PB的方程为y=-x+2,
联立
则B,
以下分别用四种方法证明结论:
证法一:则,=(3,1),=(3,0),
所以cos∠BFP=,
cos∠PFA=,
则cos∠BFP=cos∠PFA,
又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法二:所以kFB=,又kPF=,kAF=0,
所以由两直线的夹角公式,得tan∠BFP=,tan∠PFA=,
则tan∠BFP=tan∠PFA,又∠BFP,∠PFA∈,
所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法三:则tan∠PFA=kPF=,tan∠BFA=kFB=,
故tan 2∠PFA==tan∠BFA,
又∠BFA,∠PFA∈,
所以∠BFA=2∠PFA,即FP平分∠AFB.
证法四:则kFB=,
所以直线FB的方程为y=(x+1),即3x-4y+3=0,
则点P到直线FB的距离d==1,
又点P到直线FA的距离也为1,
所以FP平分∠AFB.
全真全练
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= ( B )
A.1 B.2 C.4 D.5
2.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( B )
A.
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 ( B )
A.=1
C.+y2=1
4.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( C )
A.13 B.12 C.9 D.6
5.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
解析 (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,
∴c=1,,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=,
∴C的方程为=1.
(2)证明:当直线AB与x轴重合时,显然符合题意.
当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,
由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
由根与系数的关系得
y1+y2=,y1y2=,
∵N为FP的中点,∴N,
∴直线NB的方程为y=,
令x=1,解得yQ=-,
∴y1-yQ=y1+
=,
∵2ty1y2+3(y1+y2)=2t·=0,∴y1=yQ,即AQ⊥y轴.
综上,AQ⊥y轴.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= ( A )
A.
C.
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( C )
A.
C.-
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( A )
A.
C.
4.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
5.(2025全国二卷,16,15分,中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
解析 (1)由题意,得
所以b=.
故C的方程为=1.
(2)由题意知,直线l的斜率必存在.
设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由 消去y,得(1+2k2)x2-8kx+4=0,①
由Δ=(-8k)2-4×4(1+2k2)>0,得k2>,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
所以|AB|=
=.
又原点O到直线l的距离d=,且△OAB的面积为,
所以,解得k2=,满足Δ>0,
所以|AB|=.
6.(2025全国一卷,18,17分,难)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
解析 (1)由题意得e=,
且|AB|=,a2=b2+c2,
解得a=3,b=1,c=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)(i)∵点R在射线AP上,A(0,-1),
∴设=λ(m,n+1),
则||2=λ[m2+(n+1)2]=3,
∴λ=,
∴,,
∴R.
(ii)由(i),知kOR==3kOP,
化简得n2+m2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18.
∴P(m,n)在以D(0,-4)为圆心,3为半径的圆上.
则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3.
设Q(x,y),其中-1≤y≤1.
则|DQ|2=x2+(y+4)2
=9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消x)
=-8y2+8y+25
=-8+27,
当y=时,|DQ|max=3.
则|PQ|max=3.
三年模拟
练基础
1.(2025天津十二校一模,18)椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,点E的坐标为(0,1),过点F的直线l与椭圆C在第一象限交于点P,l与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍(O为坐标原点),求直线l的方程.
解析 (1)由题意得c=1,,
又a2=b2+c2,∴a=2,b=, (3分)
∴椭圆方程为=1. (4分)
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且为正,
直线DE的方程为y=-x+1, (5分)
∵△FDP的面积是△FOQ面积的5倍,
∴=5, (6分)
∵=3,∴. (7分)
又由题意可知P、Q均在y轴右侧,x轴上方,∴yP=yQ. (8分)
设直线l的方程为x=my-1,由 (10分)
∴yP=, (11分)
∴xP=myP-1=. (12分)
∵点P在椭圆上,故将P点坐标代入椭圆方程,整理得:
9m2-24m+16=(3m-4)2=0, (13分)
∴m=. (14分)
∴直线l的方程为x=y-1,即3x-4y+3=0.(15分)
2.(2025河东一模,18)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,|AB|=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于M,N两点,且点M在第二象限,l与AB延长线交于点P,若△BNP的面积是△BMN面积的3倍,求k的值.
解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知得,a2+b2=13,
由a2=b2+c2,解得a=3,b=2,
∴椭圆的方程为=1.
(2)设点P(x0,y0),M(x1,y1)(x0
∴|PN|=3|MN|,即,
从而-x1-x0=3(-x1-x1),∴x0=5x1,
易知直线AB的方程为2x+3y=6.
由消去y,可得x0=,
由方程组消去y,可得x1=.
由x0=5x1,可得,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-.
当k=-时,x0=-9<0,符合题意;
当k=-时,x0=12>0,不符合题意,舍去.
所以,k的值为-.
3.(2025南开一模,18)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过(0,-1),两点.
(1)求E的方程;
(2)过点(-4,0),斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,点C(-1,1),直线AC与x轴交于P,与y轴交于M,直线BC与x轴交于Q,与y轴交于N.若3S△CMN=S△CPQ,求直线l的斜率.
解析 (1)设E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n),将(0,-1),,n=1,
故E的方程为+y2=1. (4分)
(2)依题意,设直线l:x=ty-4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x整理得(t2+4)y2-8ty+12=0, (5分)
则Δ=(-8t)2-48(t2+4)>0,即t2>12, (6分)
且y1+y2=,y1y2=. (7分)
直线AC:y-1=(x+1),
直线BC:y-1=(x+1),
令x=0,
得M,N,
令y=0,得P,Q--1,0,
由3S△CMN=S△CPQ得3|yM-yN|=|xP-xQ|,
即3, (11分)
整理得3
=,
因为t2>12,所以3t2-36=3(t2-8t+16),
解得t=,
所以直线l的斜率为. (15分)
4.(2024河东一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M(0,3)到椭圆右焦点的距离等于焦距.
(1)求椭圆方程;
(2)过点M斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点,且与x轴交于点N,线段AB的垂直平分线与x轴,y轴分别交于点P,点Q,S△POQ=S△MON,O为坐标原点,求k的值.
解析 (1)由已知得=2c,解得c=,
又∵e=,∴a=2,
由b2=a2-c2可得b2=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的方程为y=kx+3(k≠0),
令y=0,可得N,
联立
消去y得(4k2+1)x2+24kx+32=0,
则x1+x2=,
∵Δ=(24k)2-4×32(4k2+1)>0,∴k2>2,
设线段AB的中点为D,则可得D,
∴线段AB的垂直平分线方程为y-,
令y=0,可得P,
令x=0,可得Q,
∴S△POQ=,
∵S△MON=,S△POQ=S△MON,
∴,
整理得112k4-394k2+7=0,
即(2k2-7)(56k2-1)=0,
解得k2=(舍),∴k=±.
练综合
1.(2025河西二模,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点和两个顶点四点共圆,且与直线x-y=4相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点(0,1)作斜率为k的直线交椭圆E于C,D两点,线段CD的垂直平分线交y轴于点为Q,点Q关于直线CD的对称点为点P,若四边形PCQD为正方形,求k的值.
解析 (1)因为椭圆E的两个焦点和两个顶点四点共圆,所以b=c,则a=b,
所以椭圆E的方程为=1,
由消去x,得8y2+8y+16-2b2=0,
因为椭圆E与直线x-y=4相切,
所以Δ=(8)2-4×8(16-2b2)=0,解得b2=2,所以a2=4,
所以椭圆E的标准方程为=1. (6分)
(2)由题意易知直线CD的方程为y=kx+1(k≠0),设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为M,
联立消去y,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,
则x1+x2=,x1x2=, (8分)
所以xM=,代入y=kx+1,得yM=,故M,
所以线段CD的垂直平分线的方程为y-,
令x=0,解得yQ=-,
即Q, (10分)
因为线段PQ和线段CD互相垂直平分,所以四边形PCQD为菱形,
要使四边形PCQD为正方形,需满足QC⊥QD,
所以
=
=x1x2+=(k2+1)x1x2+·(x1+x2)+
==0,
即(k2+1)(4k2-1)=0,解得k=±,
则k的值为±. (15分)
2.(2025河东二模,19)已知椭圆C:=1(0
(2)证明:|PF|=ed;
(3)点D(0,-1),当2|DP|-d取最大值时,求椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离.
解析 (1)由已知得c=1,P,
则左焦点为F1(-1,0),则|PF1|+|PF|==4=2a,a=2,
又b2=a2-c2,∴b2=3,
则椭圆方程为=1,e=. (6分)
(2)证明:设P(x0,y0),则,
|PF|=
=
=(4-x0)=ed. (10分)
(3)2|DP|-d=2=2(|DP|-|PF|),当D,F,P三点共线时,2|DP|-d取最大值,此时lDP:x-y-1=0,
设直线:y=x+m,
联立整理得7x2+8mx+4m2-12=0,
令Δ=64m2-4×7×(4m2-12)=0,
∴m2=7,m=±,
故椭圆上任意点Q到直线DP的最大距离为. (15分)
3.(2025天津部分区二模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,根据题意知,e=,2c=2,及a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)易知直线AB的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,得k2>,则x1+x2=-,x1x2=,
因为点O在以线段AB为直径的圆外,所以∠AOB为锐角,A,O,B不共线,
所以cos∠AOB>0,
所以>0,即x1x2+y1y2>0,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=>0,
解得k2<4,
因为k2>,
所以-2
4.(2025红桥二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,过右焦点F的动直线l与C交于A,B两点,点A,B在x轴上的投影分别为A',B'(A'在B'的左侧).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AB'与直线A'B交于点M,△MAB的面积为,求直线l的方程.
解析 (1)依题意得b=2,,
且a2=b2+c2,所以a=2,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设直线l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(x1,0),B'(x2,0),
联立化简得(m2+2)y2+4my-4=0,
则整理得my1y2=y1+y2.
直线AB'的方程为y=(x-x2)①,
直线A'B的方程为y=(x-x1)②,
联立①②,解得x=4,
即点M在直线x=4上,
所以S△MAB=|BB'|·|xM-x1|
=|2y2-(y1+y2)|
=
=,解得m=±1,
所以直线l的方程为x±y-2=0.
5.(2025河西一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点为A,B,左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线l交椭圆C于P,Q两点(其中点P在x轴上方),求△AQF与△BPF的面积之比的取值范围.
解析 (1)由题意得,,b=c=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (5分)
(2)由(1)可知F(-1,0),A(-,0),B(,0),
由题意,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0),
由消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,y1+y2=,y1y2=, (8分)
∵S△AQF=·(-y2),S△BPF=·y1,
∴=(2-3), (10分)
∵,又m2+2≥2,∴0<≤4,
∴-4<-4+≤0,即-4<≤0,
又+2,
∴-4<+2≤0,
设=λ,则λ<0,
∴-4<+λ+2≤0,
解得-3-2, (13分)
∴=(2-3)∈(17-12,1),
即△AQF与△BPF的面积之比的取值范围为(17-12,1). (15分)
6.(2025天津部分区一模,18)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点在抛物线y2=4x的准线上,且椭圆的短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M,N两点,若直线l2:x-2y+4=0上存在点Q,使得△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,求直线l1的方程.
解析 (1)依题意,得c=,2b=2,a2=b2+c2,
解得a=2,b=, (3分)
所以椭圆的方程为=1. (4分)
(2)当l1的斜率不存在时,|MN|=2,
直线l2:x-2y+4=0与x轴交于点(-4,0),不符合题意,舍去. (5分)
当l1的斜率k=0时,|MN|=4,
直线l2:x-2y+4=0与y轴交于点(0,2),满足题意,
此时直线l1的方程为y=0; (7分)
当l1的斜率k≠0时,设直线l1:y=kx,
联立得
得(1+4k2)x2=8,x2=, (8分)
设M(x0,y0),则N(-x0,-y0),
∴,,
∴|MO|=, (10分)
又MN的垂直平分线的方程为y=-x,由
∴Q, (11分)
∴|OQ|=, (12分)
∵△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,∴|MO|=|OQ|,
即, (13分)
解得k1=0(舍去),k2=,
∴直线l1的方程为y=x. (14分)
综上,直线l1的方程为y=0或y=x. (15分)
7.(2025河北一模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且右顶点和上顶点都在直线=0上.
(1)求C的方程;
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A,B两点,求△A2AB面积的最大值;
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M,N两点,点G是线段MN上异于M,N的一点,且|GA1|=|GP|,证明:|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
解析 (1)在=0中,令x=0,得y=,即上顶点为(0,),则b=, (1分)
令y=0,得x=2,即A2(2,0),则a=2, (2分)
所以C的方程为=1. (3分)
(2)若直线l与x轴重合,则不能构成△A2AB,不合题意,
设直线l的方程为x=ny-1,
由得(3n2+4)y2-6ny-9=0,
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则yA+yB=,yAyB=-, (5分)
所以|yA-yB|=, (6分)
. (7分)
令t=(t≥1), f(t)=3t+(t≥1),由对勾函数的单调性可知,函数f(t)=3t+在[1,+∞)上为增函数,
当t=1,即n=0时, f(t)=3t+取最小值4,
此时,△A2AB的面积取最大值,且最大值为. (9分)
(3)证明:当直线MN的斜率为0时,不妨记M(-2,0),N(2,0),
而A1(-2,0),由|GA1|=|GP|,得G(1,0),则|PM|·|GN|=6×1=6,|PN|·|MG|=2×3=6,
因此,|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
设直线MN的方程为x=my+4,联立得
得(3m2+4)y2+24my+36=0,
则Δ=(24m)2-144(3m2+4)=144(m2-4)>0,∴m2>4, (11分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),
则y1+y2=,y1y2=, (12分)
如图,由|GA1|=|GP|,得点G在线段A1P的垂直平分线x=1上,即x0=1,
由点G(1,y0)在直线MN上,得1=my0+4,y0=-, (13分)
显然,,
因为,所以=y0,
整理得y2y0-y1y2=y1y2-y1y0,
即y2(y0-y1)=y1(y2-y0),
所以,所以,
所以|PM|·|GN|=|PN|·|MG|. (15分)
8.(2024天津部分区二模,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且|A1A2|=8,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A1的直线l与椭圆交于点M,与y轴交于点N,且满足|A1M|<|A1N|.若三角形OMF1(O为坐标原点)的面积是三角形A1F2N的面积的,求直线l的方程.
解析 (1)由题意知2a=8,所以a=4,又因为e=,所以c=2,所以b2=a2-c2=12,
所以椭圆的方程为=1.
(2)由题可知,直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为y=k(x+4),由xN=0可得yN=4k,
联立消去y整理得
(3+4k2)x2+32k2x+64k2-48=0,
则(-4)·xM=,即xM=,所以yM=,
由题意得,|OF1|=c=2,|A1F2|=a+c=6,
因为,
所以
=,
则,解得k=±,
所以直线l的方程为y=±(x+4).
9.(2024河北二模,18)设椭圆E:=1(a>b>0)经过点,长轴长是短轴长的2倍,上顶点为B.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于另一点P,过点B作与BP垂直的直线,交直线x=a于点Q,过点B作直线x=a的垂线,垂足为M,若∠BQP=∠BQM,求k的值.
解析 (1)由题意得2a=4b,即a=2b,
又∵椭圆,
∴=1,解得b2=1,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)∵B(0,1),
∴直线BP的方程为y=kx+1.
联立消去y,得(1+4k2)x2+8kx=0,解得x=0或x=,
∵点P与点B不同,∴xP=.
∵BQ⊥BP,∴kBQ=-,直线BQ的方程为y=-x+1.
∵a=2,∴直线x=a=2.
联立+1,
∴Q.
∵BM垂直于直线x=2,∴M(2,1).
∵在直角△BQP和直角△BQM中,∠BQP=∠BQM,
∴tan∠BQP=tan∠BQM,即.
∵|BP|=,
|BQ|=,
|MB|=2,|MQ|=|yQ-yM|=,
代入,得,
化简得4k2-4|k|+1=0,解得|k|=,k=±,∵k>0,∴k的值为.
10.(2024和平一模,18)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为点F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的中点为T,直线OT与椭圆C交于两点M,N,证明:|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
解析 (1)依题意得
所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),点P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立mx+2m2-6=0.
Δ=(2m)2-4×3×(2m2-6)=12(6-m2)>0,即-且m≠0.
x1+x2=-,x1x2=,所以PQ的中点T的横坐标为,纵坐标为(x1+x2)+m=,即T,
所以直线OT的方程为y=-x,
不妨设点N在第二象限,
联立
求得M,N,
所以|TM|·|TN|=(6-m2),
|TP|·|TQ|=|PQ|2
=
=(6-m2),
所以|TP|·|TQ|=|TM|·|TN|.
11.(2024河西二模,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+2(k>0)交椭圆C于M,N两点,当直线l过点F1时,△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P为x轴上一点,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程及点P的坐标.
解析 (1)△MNF2的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,所以a=2.
椭圆C的离心率为,所以e=,所以c=,所以b=,
故椭圆C的标准方程为=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0),P(m,0)
联立
消去y得(2k2+1)x2+8kx+4=0,
因为直线l与椭圆C交于M,N两点,
所以Δ=64k2-16(2k2+1)>0,解得k2>,
x1+x2=①,x1x2=②.
则x0=,代入y=kx+2,得y0=,
故Q,
由题意知,△PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,∴PQ⊥MN,
故kPQ·kMN=-1,即·k=-1,
解得m=③,故P,
由PM⊥PN,得kPM·kPN=-1,即=-1,整理得(k2+1)x1x2+(2k-m)(x1+x2)+m2+4=0,
将①②③代入上式,
化简得+1=0,
解得k2=1,因为k>0,所以k=1,
故直线l的方程为y=x+2,点P的坐标为.
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