9.1　计数原理--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
专题九　计数原理、概率与统计
9.1　计数原理
五年高考
天津专练
1.(2025天津,11,5分,易)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为　 　.
2.(2024天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项为　 　.
3.(2023天津,11,5分,易)在的展开式中,x2的系数为　 　.
4.(2022天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项是　 　.
5.(2021天津,11,5分,易)在的展开式中,x6的系数是　 　.
6.(2020天津,11,5分,易)在的展开式中,x2的系数是　 　.
7.(2019天津理,10,5分,易)的展开式中的常数项为　 　.
8.(2017天津理,14,5分,易)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　 　个.(用数字作答)
全真全练
考点一　排列、组合
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 (　　)
A.种
C.种
2.(2023全国甲理,9,5分,易)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　　)
A.120种　　　　B.60种
C.30种　　　 　D.20种
3.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　　)
A.12种　　　　B.24种
C.36种　　　　D.48种
4.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　　)
A.120种　　　　B.90种
C.60种　　　　 D.30种
5.(2024全国甲文,4,5分,易)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是 (　　)
A.
6.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种　　　 　B.120种
C.240种　　　　D.480种
7.(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　 　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　 　.
考点二　二项式定理
1.(2024北京,4,4分,易)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 (　　)
A.6　　　　B.-6　　　　C.12　　　　D.-12
2.(2023北京,5,4分,易)在的展开式中,x的系数为 (　　)
A.-40　　　　B.40
C.-80　　　　D.80
3.(2020北京,3,4分,易)在(-2)5的展开式中,x2的系数为 (　　)
A.-5　　　　B.5
C.-10　　　　D.10
4.(2022北京,8,4分,易)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4= (　　)
A.40　　　　B.41
C.-40　　　　D.-41
5.(2024全国甲理,13,5分,中)的展开式中,各项系数中的最大值为　 　.
6.(2022新高考Ⅰ,13,5分,中)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　 　(用数字作答).
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2024和平二模,3)为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召,某学校开展读书活动,组织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A.30种　　　　B.60种　　　　C.120种　　　　D.240种
2.(题型二)(2025天津十二校二模,7)将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有 (　　)
A.3种　　　　B.4种　　　　C.10种　　　　D.25种
3.(题型三)(2025天津耀华中学一模,7)将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为 (　　)
A.96　　　　B.114　　　　C.128　　　　D.136
4.(题型四)(2025和平一模,11)在的展开式中,x7的系数为　 　.(用数字作答)
5.(题型五)(2025南开一模,11)若的展开式的二项式系数和为32,则x-2的系数为
　 　.
6.(题型四)(2025天津一中统练4,11)(1+x)6-(1+x)5的展开式中,x3的系数是　10　.(用数字作答)
7.(题型四)(2025河北二模,11)已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为　 　.(用数字作答)
8.(题型四)(2025河西二模,12)在的展开式中,偶数项的二项式系数和为128,则常数项为　 　.
9.(题型四)(2025天津南开中学月考五,11)在的展开式中,所有项系数的和为64,其展开式中x2项的系数是　 　.(用数字填写答案)
10.(题型三)(2025天津一中统练4,13)某校举行科技文化艺术节活动,学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动,要求每个社团至少安排一人,则不同的安排方案数为　 　,如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人,乙、丙至少安排一人,则不同的安排方案数为　 　.
11.(题型四)(2025天津四中统练3,12)在(x2-2x-3)4的展开式中,含x6的项的系数是　 　.
12.(题型四)(2024天津一中滨海学校第四次质量检测,10)在的展开式中只有第4项二项式系数最大,则展开式中的常数项为 　.
13.(2025红桥期末,13)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有　 　(用数字作答).
14.(题型三)(2025天津耀华中学月考三,13)在杭州亚运会比赛中,6名志愿者被安排到安检,引导运动员入场,赛场记录这三项工作,若每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则合适的安排方案共有　 　种.(用数字作答)
15.(题型五)(2025河北期末,11)已知(2x+1)n的展开式中,各项系数之和为81,则二项式系数之和为　 　.
专题九　计数原理、概率与统计
9.1　计数原理
五年高考
天津专练
1.(2025天津,11,5分,易)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为　-20　.
2.(2024天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项为　20　.
3.(2023天津,11,5分,易)在的展开式中,x2的系数为　60　.
4.(2022天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项是　15　.
5.(2021天津,11,5分,易)在的展开式中,x6的系数是　160　.
6.(2020天津,11,5分,易)在的展开式中,x2的系数是　10　.
7.(2019天津理,10,5分,易)的展开式中的常数项为　28　.
8.(2017天津理,14,5分,易)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　1 080　个.(用数字作答)
全真全练
考点一　排列、组合
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 (　D　)
A.种
C.种
2.(2023全国甲理,9,5分,易)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　B　)
A.120种　　　　B.60种
C.30种　　　 　D.20种
3.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　B　)
A.12种　　　　B.24种
C.36种　　　　D.48种
4.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　C　)
A.120种　　　　B.90种
C.60种　　　　 D.30种
5.(2024全国甲文,4,5分,易)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是 (　C　)
A.
6.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　C　)
A.60种　　　 　B.120种
C.240种　　　　D.480种
7.(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　24　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　112　.
考点二　二项式定理
1.(2024北京,4,4分,易)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 (　A　)
A.6　　　　B.-6　　　　C.12　　　　D.-12
2.(2023北京,5,4分,易)在的展开式中,x的系数为 (　D　)
A.-40　　　　B.40
C.-80　　　　D.80
3.(2020北京,3,4分,易)在(-2)5的展开式中,x2的系数为 (　C　)
A.-5　　　　B.5
C.-10　　　　D.10
4.(2022北京,8,4分,易)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4= (　B　)
A.40　　　　B.41
C.-40　　　　D.-41
5.(2024全国甲理,13,5分,中)的展开式中,各项系数中的最大值为　5　.
6.(2022新高考Ⅰ,13,5分,中)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　-28　(用数字作答).
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2024和平二模,3)为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召,某学校开展读书活动,组织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　B　)
A.30种　　　　B.60种　　　　C.120种　　　　D.240种
2.(题型二)(2025天津十二校二模,7)将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有 (　D　)
A.3种　　　　B.4种　　　　C.10种　　　　D.25种
3.(题型三)(2025天津耀华中学一模,7)将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为 (　B　)
A.96　　　　B.114　　　　C.128　　　　D.136
4.(题型四)(2025和平一模,11)在的展开式中,x7的系数为　280　.(用数字作答)
5.(题型五)(2025南开一模,11)若的展开式的二项式系数和为32,则x-2的系数为
　-80　.
6.(题型四)(2025天津一中统练4,11)(1+x)6-(1+x)5的展开式中,x3的系数是　10　.(用数字作答)
7.(题型四)(2025河北二模,11)已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为　7　.(用数字作答)
8.(题型四)(2025河西二模,12)在的展开式中,偶数项的二项式系数和为128,则常数项为　252　.
9.(题型四)(2025天津南开中学月考五,11)在的展开式中,所有项系数的和为64,其展开式中x2项的系数是　-540　.(用数字填写答案)
10.(题型三)(2025天津一中统练4,13)某校举行科技文化艺术节活动,学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动,要求每个社团至少安排一人,则不同的安排方案数为　150　,如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人,乙、丙至少安排一人,则不同的安排方案数为　120　.
11.(题型四)(2025天津四中统练3,12)在(x2-2x-3)4的展开式中,含x6的项的系数是　12　.
12.(题型四)(2024天津一中滨海学校第四次质量检测,10)在的展开式中只有第4项二项式系数最大,则展开式中的常数项为 　.
13.(2025红桥期末,13)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有　9　(用数字作答).
14.(题型三)(2025天津耀华中学月考三,13)在杭州亚运会比赛中,6名志愿者被安排到安检,引导运动员入场,赛场记录这三项工作,若每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则合适的安排方案共有　540　种.(用数字作答)
15.(题型五)(2025河北期末,11)已知(2x+1)n的展开式中,各项系数之和为81,则二项式系数之和为　16　.
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