9.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
9.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
全真全练
考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2025全国一卷,14,5分,中)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)= 　.
2.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大 (结论不要求证明)
3.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
所以小明应选择先回答B类问题.
4.(2024新课标Ⅱ,18,17分,难)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
5.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
三年模拟
练基础
1.(2025天津四中统练3,6)下列命题中不正确的是(　　)
A.中位数就是第50百分位数
B.已知随机变量X~B,若D(2X+1)=8,则n=10
C.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),且函数f(x)=P(x<ξD.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为132.25
2.(2025和平一模,12)袋子中装有8个球,其中6个黑球,2个白球,若依次随机取出2个球,则在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的概率为 　;若随机取出3个球,记取出的球中白球的个数为X,则X的数学期望E(X)= 　.
3.(2025天津部分区二模,13)将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1,2,3,4,并在桌面上连续独立地抛掷n次(n为正整数).当n=5时,设X为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数,则E(X)= 　;当n=2时,记正四面体与桌面接触面上的数字分别为x,y,记事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则P(B|A)= 　.
4.(2025红桥二模,14)已知甲袋内有大小相同的1个红球和3个白球,乙袋内有大小相同的2个红球和4个白球,现从甲、乙两个袋内各任取2个球,则恰好有1个红球的概率为 　;记取出的4个球中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望为 　.
5.(2024天津耀华中学期末,13)已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球,B袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从A、B两个袋内各任取1个球,则恰好有1个红球的概率为 　;记取出的2个球中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望为 　.
6.(2024河西一模,13)举重比赛的规则是:挑战某一个重量,每位选手可以试举三次,若三次均未成功则挑战失败;若有一次举起该重量,则无需再举,视为挑战成功.已知甲选手每次能举起该重量的概率是,且每次试举相互独立,互不影响.设甲试举的次数为随机变量X,则X的数学期望E(X)= 　;已知甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率是 　.
7.(2023天津五校联考,13)口袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用ξ表示得分数,则P(ξ=2)= 　,E(ξ)= 　.
8.(2023河东二模,13)现有7张卡片,分别写有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= 　,E(ξ)= 　.
9.(2025天津部分区期末,13)某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书,不再参加以后的考试;否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小王决定参加考试,若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立,则小王在一年内领到资格证书的概率为　　;他在一年内参加考试次数的数学期望为　　.
9.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
全真全练
考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2025全国一卷,14,5分,中)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)= 　.
2.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大 (结论不要求证明)
解析　(1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲获得优秀奖的概率P=.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,,,相互独立,且P(A)=,P(B)=P(C)=,P()=1-P(A)=1-,P()=P()=,
则P(X=0)=P()=P()P()·P()=;
P(X=1)=P(A)+P()+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=;
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=;
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
故X的数学期望E(X)=0×.
(3)丙.
详解:乙夺冠的概率为P(乙)=,
丙夺冠的概率为P(丙)=,
甲夺冠的概率为P(甲)=1-,
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
3.(2021新高考Ⅰ,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
解析　(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)>E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
4.(2024新课标Ⅱ,18,17分,难)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
解析　(1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件.
因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为
[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3][1-(1-0.5)3]=0.686.
(2)(i)设由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P1,乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P2,
则P1=[1-(1-p)3]q3,
P2=[1-(1-q)3]p3.
则P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]·p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又00,p+q-pq=p(1-q)+q>0,∴P1>P2,则应由甲参加第一阶段,这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大.
(ii)设甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]·q(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]·q2(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
所以由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1-(1-p)3]·q(1-q)2+10[1-(1-p)3]·q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3=15q(3p-3p2+p3).
设乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为Y,同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3).
E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q),
因为00,3-p-q>0,
所以E(X)>E(Y).
则由甲参加第一阶段比赛时,该队比赛成绩的数学期望最大.
5.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解析　(1)设“第2次投篮的人是乙”为事件A,
则P(A)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi,
则第(i-1)次投篮的人是甲的概率为Pi-1,第(i-1)次投篮的人是乙的概率为1-Pi-1,
则Pi=0.6·Pi-1+(1-Pi-1)×0.2(i≥2),
即Pi=Pi-1(i≥2),
则Pi-,
又P1=,∴P1-≠0,
∴数列为首项,为公比的等比数列.
∴Pi-,
即Pi=,
∴第i次投篮的人是甲的概率为.
(3)由题意知E(Y)
=.
三年模拟
练基础
1.(2025天津四中统练3,6)下列命题中不正确的是(　B　)
A.中位数就是第50百分位数
B.已知随机变量X~B,若D(2X+1)=8,则n=10
C.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),且函数f(x)=P(x<ξD.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为132.25
2.(2025和平一模,12)袋子中装有8个球,其中6个黑球,2个白球,若依次随机取出2个球,则在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的概率为 　;若随机取出3个球,记取出的球中白球的个数为X,则X的数学期望E(X)= 　.
3.(2025天津部分区二模,13)将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1,2,3,4,并在桌面上连续独立地抛掷n次(n为正整数).当n=5时,设X为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数,则E(X)= 　;当n=2时,记正四面体与桌面接触面上的数字分别为x,y,记事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则P(B|A)= 　.
4.(2025红桥二模,14)已知甲袋内有大小相同的1个红球和3个白球,乙袋内有大小相同的2个红球和4个白球,现从甲、乙两个袋内各任取2个球,则恰好有1个红球的概率为 　;记取出的4个球中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望为 　.
5.(2024天津耀华中学期末,13)已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球,B袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从A、B两个袋内各任取1个球,则恰好有1个红球的概率为 　;记取出的2个球中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望为 　.
6.(2024河西一模,13)举重比赛的规则是:挑战某一个重量,每位选手可以试举三次,若三次均未成功则挑战失败;若有一次举起该重量,则无需再举,视为挑战成功.已知甲选手每次能举起该重量的概率是,且每次试举相互独立,互不影响.设甲试举的次数为随机变量X,则X的数学期望E(X)= 　;已知甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率是 　.
7.(2023天津五校联考,13)口袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用ξ表示得分数,则P(ξ=2)= 　,E(ξ)= 　.
8.(2023河东二模,13)现有7张卡片,分别写有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= 　,E(ξ)= 　.
9.(2025天津部分区期末,13)某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书,不再参加以后的考试;否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小王决定参加考试,若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立,则小王在一年内领到资格证书的概率为　0.94　;他在一年内参加考试次数的数学期望为　1.7　.
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