9.2　随机事件与概率--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
9.2　随机事件与概率
五年高考
天津专练
1.(2022天津,13,5分,易)现有52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,每次抽一张,则两次都抽到A的概率为 　;已知第一次抽到的是A,则第二次也抽到A的概率为 　.
2.(2021天津,14,5分,易)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为 　;3次活动中,甲至少获胜2次的概率为 　.
3.(2020天津,13,5分,易)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 　.
4.(2024天津,13,5分,中)某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 　;已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 　.
5.(2023天津,13,5分,中)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 　;若把所有球放在一起,然后随机摸出一球,则该球是白球的概率为 　.
全真全练
考点一　随机事件的概率
(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
考点二　古典概型
1.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　)
A.
2.(2018课标Ⅱ文,5,5分,易)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为　 (　　)
A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3
3.(2023全国乙文,9,5分,易)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 (　　)
A.
4.(2022全国甲文,6,5分,易)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 (　　)
A.
5.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 (　　)
A.
6.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 　.
7.(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 　.
8.(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于　.
考点三　相互独立事件、条件概率与全概率
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 (　　)
A.0.8　　　　B.0.6　　　　C.0.5　　　　D.0.4
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 (　　)
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
3.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　)
A.甲与丙相互独立　　　　B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立　　　　D.丙与丁相互独立
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
5.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
三年模拟
练基础
1.(题型三)(2024天津耀华中学期末,6)某医疗仪器上有A、B两个易耗元件,每次使用后,需要更换A元件的概率为0.3,需要更换B元件的概率为0.5,则在第一次使用后就要更换元件的条件下,A、B两个元件都要更换的概率是 (　　)
A.0.15　　　　B.0.65　　　　C.
2.(题型三)(2025红桥一模,13)假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡,则恰有一个是合格品的概率为　 　;若在该市场中随机购买一个灯泡,则这个灯泡是合格品的概率为　 　.
3.(题型三)(2025天津十二校一模,13)某大学开设了“九章算术”“数学原理”“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课,每人只能等可能地选择一门课程,每门课程至少一个人选择,甲和乙选择的课程不同,则四人选课的不同方案一共有　 　种;若定义事件A为甲和乙选择的课程不同,事件B为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”,则P(B|A)= 　.
4.(题型二)(2025南开一模,13)有编号分别为1,2,3的3个盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子,则从第1个盒子中取到白球的概率是 　;从第3个盒子中取到白球的概率是 　.
5.(题型三)(2025河东一模,14)假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有4个小孩的家庭,随机选择一个家庭,则当已知该家庭4个小孩中有女孩的条件下,4个小孩中至少有2个男孩的概率为 　.
6.(题型二)(2024天津渤海油田一中第三次质检,13)甲、乙、丙三人参加一次面试,他们通过面试的概率分别为,,,所有面试是否通过互不影响.那么三人中恰有两人通过面试的概率是 　.
7.(题型一)(2024红桥一模,13)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为 　,本次比赛甲获胜的概率为 　.
练综合
1.(题型二)(2025天津十二校二模,12)甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率是,三人都做错的概率是,则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 　.
2.(题型三)(2025南开二模,13)甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球,其中甲袋中有7个红球,3个黄球,乙袋中有8个红球,2个黄球.若从两个袋子中各任取1个球,则都取到红球的概率为 　;若从两个袋子中各任取1个球,两球颜色不同的条件下,从乙袋中取出黄球的概率为 　.
3.(题型二)(2025河西一模,13)某体育器材商店经营A,B,C三种型号的组合器械,三种型号组合器械的优质率分别为0.9,0.8,0.7,市场占有比例为4∶4∶2,某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械,则买到的组合器械是优质产品的概率为　 　;若该健身中心A,B,C三种型号的组合器械各买一件,则恰好买到两件优质产品的概率为　 　.
4.(题型一)(2025天津部分区一模,13)某中学组建了A,B,C,D,E五个不同的社团,旨在培养学生的兴趣爱好,要求每名学生必须且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的,且结果互不影响.记事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”,则P(M)= 　;若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率为 　.
5.(题型三)(2025河北二模,13)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,采用3局2胜制.假设每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛的结果相互独立,则甲以2∶1的比分获胜的概率为 　;在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 　.
6.(题型三)(2025和平二模,13)已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片,卡片除颜色外均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片,乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片,且2张卡片中有红色的卡片,则也有白色卡片的概率为 　;若从两盒中随机选择一个盒子,然后从中取出一张卡片,则取到一张红色卡片的概率为 　.
7.(题型二、三)(2025天津宝坻一中一模,13)在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戏中,第一次由甲踢出,并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人,若第二次踢出后恰好踢给丙,则此毽子是由乙踢出的概率为 　;第n次踢出后,毽子恰好踢给乙的概率为 　.
8.(题型三)(2024天津一中滨海学校第四次质量检测,12)某学习小组设计了如下问题进行研究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球,从甲箱中随机抽出2个球,则在已知抽到红球的条件下,2个球都是红球的概率为 　;掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于或等于4,从甲箱子中随机抽出1个球;如果点数大于或等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球,则它来自乙箱的概率是 　.
9.(2025河西二模,13)已知甲袋中装有3个红球,2个白球;乙袋中装有2个红球,4个白球,两个袋子均不透明,其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球,若两个球同色,则将取出的两个球全部放入甲袋中;若两个球不同色,则将取出的两个球全部放入乙袋中,每次取球互不影响.按上述方法操作一次.在甲袋中恰有6个小球的条件下,当时从甲袋中取出的是红球的概率是 　;按上述方法重复操作两次后,乙袋中恰有4个小球的概率是 　.
10.(题型三)(2024天津耀华中学一模,12)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 　;设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A|B)= 　.
11.(题型二)(2024天津十二区二模,13)为缓解高三学习压力,某高中举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛.比赛约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛;若猜拳4局仍未分出胜负,则比赛结束.在一局猜拳比赛中,已知每位同学胜、负、平局的概率均为,每局比赛的结果相互独立.现甲、乙两位同学对战,则甲同学比赛三局获胜的概率为 　;已知比赛进行了四局的前提下,两位选手未分出胜负的概率为 　.
9.2　随机事件与概率
五年高考
天津专练
1.(2022天津,13,5分,易)现有52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,每次抽一张,则两次都抽到A的概率为 　;已知第一次抽到的是A,则第二次也抽到A的概率为 　.
2.(2021天津,14,5分,易)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为 　;3次活动中,甲至少获胜2次的概率为 　.
3.(2020天津,13,5分,易)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 　.
4.(2024天津,13,5分,中)某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 　;已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 　.
5.(2023天津,13,5分,中)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为 　;若把所有球放在一起,然后随机摸出一球,则该球是白球的概率为 　.
全真全练
考点一　随机事件的概率
(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
解析　(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)=.
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为;“该校女生支持方案一”的概率估计值为.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为P(C)=.
(3)p1解法一:由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p0=.
该校一年级男生中支持方案二的约有×500≈292人,该校一年级女生中支持方案二的约有×300≈113人,设一年级学生中支持方案二的概率为p2,则p2=(292+113)÷(500+300)=,,
则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1解法二:由题表可知,男生支持方案二的概率明显大于女生支持方案二的概率.样本中男、女生比例为3∶2,此时p0=.而一年级的男、女生比例为5∶3,因为,所以该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1考点二　古典概型
1.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 (　D　)
A.
2.(2018课标Ⅱ文,5,5分,易)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为　 (　D　)
A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3
3.(2023全国乙文,9,5分,易)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 (　A　)
A.
4.(2022全国甲文,6,5分,易)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 (　C　)
A.
5.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 (　D　)
A.
6.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 　.
7.(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 　.
8.(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于　.
考点三　相互独立事件、条件概率与全概率
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 (　A　)
A.0.8　　　　B.0.6　　　　C.0.5　　　　D.0.4
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 (　D　)
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
3.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　B　)
A.甲与丙相互独立　　　　B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立　　　　D.丙与丁相互独立
4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析　(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.
则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=.
∴甲学校获得冠军的概率为.
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).
X的所有可能取值为0,10,20,30.
则P(X=0)=P()=,
P(X=10)=P(B1)+P()+P(B3)
=,
P(X=20)=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3)
=,
P(X=30)=P(B1B2B3)=.
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
P
∴E(X)=0×=13.
5.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
解析　(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).
(2)设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设事件B为“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C为“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得
P(C|B)==0.001 437 5≈0.001 4.
三年模拟
练基础
1.(题型三)(2024天津耀华中学期末,6)某医疗仪器上有A、B两个易耗元件,每次使用后,需要更换A元件的概率为0.3,需要更换B元件的概率为0.5,则在第一次使用后就要更换元件的条件下,A、B两个元件都要更换的概率是 (　C　)
A.0.15　　　　B.0.65　　　　C.
2.(题型三)(2025红桥一模,13)假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡,则恰有一个是合格品的概率为　0.18　;若在该市场中随机购买一个灯泡,则这个灯泡是合格品的概率为　0.86　.
3.(题型三)(2025天津十二校一模,13)某大学开设了“九章算术”“数学原理”“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课,每人只能等可能地选择一门课程,每门课程至少一个人选择,甲和乙选择的课程不同,则四人选课的不同方案一共有　30　种;若定义事件A为甲和乙选择的课程不同,事件B为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”,则P(B|A)= 　.
4.(题型二)(2025南开一模,13)有编号分别为1,2,3的3个盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子,则从第1个盒子中取到白球的概率是 　;从第3个盒子中取到白球的概率是 　.
5.(题型三)(2025河东一模,14)假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有4个小孩的家庭,随机选择一个家庭,则当已知该家庭4个小孩中有女孩的条件下,4个小孩中至少有2个男孩的概率为 　.
6.(题型二)(2024天津渤海油田一中第三次质检,13)甲、乙、丙三人参加一次面试,他们通过面试的概率分别为,,,所有面试是否通过互不影响.那么三人中恰有两人通过面试的概率是 　.
7.(题型一)(2024红桥一模,13)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为 　,本次比赛甲获胜的概率为 　.
练综合
1.(题型二)(2025天津十二校二模,12)甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率是,三人都做错的概率是,则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 　.
2.(题型三)(2025南开二模,13)甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球,其中甲袋中有7个红球,3个黄球,乙袋中有8个红球,2个黄球.若从两个袋子中各任取1个球,则都取到红球的概率为 　;若从两个袋子中各任取1个球,两球颜色不同的条件下,从乙袋中取出黄球的概率为 　.
3.(题型二)(2025河西一模,13)某体育器材商店经营A,B,C三种型号的组合器械,三种型号组合器械的优质率分别为0.9,0.8,0.7,市场占有比例为4∶4∶2,某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械,则买到的组合器械是优质产品的概率为　0.82　;若该健身中心A,B,C三种型号的组合器械各买一件,则恰好买到两件优质产品的概率为　0.398　.
4.(题型一)(2025天津部分区一模,13)某中学组建了A,B,C,D,E五个不同的社团,旨在培养学生的兴趣爱好,要求每名学生必须且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的,且结果互不影响.记事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”,则P(M)= 　;若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率为 　.
5.(题型三)(2025河北二模,13)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,采用3局2胜制.假设每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛的结果相互独立,则甲以2∶1的比分获胜的概率为 　;在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 　.
6.(题型三)(2025和平二模,13)已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片,卡片除颜色外均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片,乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片,且2张卡片中有红色的卡片,则也有白色卡片的概率为 　;若从两盒中随机选择一个盒子,然后从中取出一张卡片,则取到一张红色卡片的概率为 　.
7.(题型二、三)(2025天津宝坻一中一模,13)在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戏中,第一次由甲踢出,并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人,若第二次踢出后恰好踢给丙,则此毽子是由乙踢出的概率为 　;第n次踢出后,毽子恰好踢给乙的概率为 　.
8.(题型三)(2024天津一中滨海学校第四次质量检测,12)某学习小组设计了如下问题进行研究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球,从甲箱中随机抽出2个球,则在已知抽到红球的条件下,2个球都是红球的概率为 　;掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于或等于4,从甲箱子中随机抽出1个球;如果点数大于或等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球,则它来自乙箱的概率是 　.
9.(2025河西二模,13)已知甲袋中装有3个红球,2个白球;乙袋中装有2个红球,4个白球,两个袋子均不透明,其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球,若两个球同色,则将取出的两个球全部放入甲袋中;若两个球不同色,则将取出的两个球全部放入乙袋中,每次取球互不影响.按上述方法操作一次.在甲袋中恰有6个小球的条件下,当时从甲袋中取出的是红球的概率是 　;按上述方法重复操作两次后,乙袋中恰有4个小球的概率是 　.
10.(题型三)(2024天津耀华中学一模,12)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 　;设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A|B)= 　.
11.(题型二)(2024天津十二区二模,13)为缓解高三学习压力,某高中举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛.比赛约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛;若猜拳4局仍未分出胜负,则比赛结束.在一局猜拳比赛中,已知每位同学胜、负、平局的概率均为,每局比赛的结果相互独立.现甲、乙两位同学对战,则甲同学比赛三局获胜的概率为 　;已知比赛进行了四局的前提下,两位选手未分出胜负的概率为 　.
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