9.4 超几何分布、二项分布与正态分布--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）
文档属性
| 名称 | 9.4 超几何分布、二项分布与正态分布--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 330.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026天津版高考数学第二轮专题
9.4 超几何分布、二项分布与正态分布
五年高考
天津专练
1.(2025天津,5,5分,易)下列说法错误的是 ( )
A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)C.已知r为相关系数,若|r|越趋近于1,则线性相关程度越强
D.已知r为相关系数,若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱
2.(2025天津,13,5分,中)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.
(1)该同学一周跑11圈的概率为 ;
(2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)= .
3.(2019天津理,16,13分,中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
4.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
全真全练
考点一 超几何分布
(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
考点二 二项分布
(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
考点三 正态分布
1.(2015山东,8,5分,易)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= .
三年模拟
练基础
1.(2025和平一模,4)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是 ( )
A.该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B.该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C.该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大
2.(2025红桥期末,7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)= ( )
A.0.158 8 B.0.158 7
C.0.158 6 D.0.158 5
3.(2024南开一模,6)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≥4)=,E(X)=E(Y),则p= ( )
A.
4.(2023天津五校一模,3)下列命题错误的是 ( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1
B.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(1<ξ<2)=0.2
C.经验回归直线一定经过样本点的中心(,)
D.随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=30,D(ξ)=20,则n=90
5.(2025红桥一模,12)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布:N(80,σ2),且成绩在[80,90]上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为 .
6.(2025天津一中月考四,12)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为,该篮球运动员某次练习中共罚球3次,若三次练习结果互不影响,记三次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)= ;若已知该运动员没有全部命中,则他恰好命中两次的概率为 .
7.(2025天津耀华中学一模,14)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛,根据二人以往比赛资料统计,在一局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛,则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ,用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数,则ξ的数学期望是 .
8.(2025天津新华中学统练5,13)对某实验项目进行测试,测试方法:
①共进行3轮测试;
②每轮测试2次,若至少合格1次,则本轮通过,否则不通过.
已知测试1次合格的概率为,如果各次测试合格与否互不影响,则在一轮测试中,通过的概率为 ;在3轮测试中,通过的轮数X的期望是 .
9.(2024天津宝坻一中期末,13)一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球,其中白色球3个,黑色球2个.若从中任取1个球,每次取球后都放回袋中,则事件“连续取球3次,恰好取到两次白球”的概率为 ;若从中任取2个球,记所取球中白球可能被取到的个数为ξ,则随机变量ξ的期望为 .
9.4 超几何分布、二项分布与正态分布
五年高考
天津专练
1.(2025天津,5,5分,易)下列说法错误的是 ( B )
A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)C.已知r为相关系数,若|r|越趋近于1,则线性相关程度越强
D.已知r为相关系数,若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱
2.(2025天津,13,5分,中)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.
(1)该同学一周跑11圈的概率为 0.6 ;
(2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)= 3.2 .
3.(2019天津理,16,13分,中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X~B,从而P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=.
4.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
解析 (1)由题意,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2),
P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
全真全练
考点一 超几何分布
(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=×2=1.
(2)(i)依题意可得m==23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点二 二项分布
(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
考点三 正态分布
1.(2015山东,8,5分,易)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( B )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( C )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= 0.14 .
三年模拟
练基础
1.(2025和平一模,4)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是 ( C )
A.该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B.该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C.该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大
2.(2025红桥期末,7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)= ( B )
A.0.158 8 B.0.158 7
C.0.158 6 D.0.158 5
3.(2024南开一模,6)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≥4)=,E(X)=E(Y),则p= ( D )
A.
4.(2023天津五校一模,3)下列命题错误的是 ( B )
A.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1
B.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(1<ξ<2)=0.2
C.经验回归直线一定经过样本点的中心(,)
D.随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=30,D(ξ)=20,则n=90
5.(2025红桥一模,12)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布:N(80,σ2),且成绩在[80,90]上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为 8 .
6.(2025天津一中月考四,12)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为,该篮球运动员某次练习中共罚球3次,若三次练习结果互不影响,记三次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)= ;若已知该运动员没有全部命中,则他恰好命中两次的概率为 .
7.(2025天津耀华中学一模,14)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛,根据二人以往比赛资料统计,在一局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛,则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ,用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数,则ξ的数学期望是 .
8.(2025天津新华中学统练5,13)对某实验项目进行测试,测试方法:
①共进行3轮测试;
②每轮测试2次,若至少合格1次,则本轮通过,否则不通过.
已知测试1次合格的概率为,如果各次测试合格与否互不影响,则在一轮测试中,通过的概率为 ;在3轮测试中,通过的轮数X的期望是 .
9.(2024天津宝坻一中期末,13)一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球,其中白色球3个,黑色球2个.若从中任取1个球,每次取球后都放回袋中,则事件“连续取球3次,恰好取到两次白球”的概率为 ;若从中任取2个球,记所取球中白球可能被取到的个数为ξ,则随机变量ξ的期望为 .
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2026天津版高考数学第二轮专题
9.4 超几何分布、二项分布与正态分布
五年高考
天津专练
1.(2025天津,5,5分,易)下列说法错误的是 ( )
A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)
D.已知r为相关系数,若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱
2.(2025天津,13,5分,中)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.
(1)该同学一周跑11圈的概率为 ;
(2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)= .
3.(2019天津理,16,13分,中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
4.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
全真全练
考点一 超几何分布
(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
考点二 二项分布
(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
C.0.4 D.0.3
考点三 正态分布
1.(2015山东,8,5分,易)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2
三年模拟
练基础
1.(2025和平一模,4)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是 ( )
A.该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B.该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C.该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大
2.(2025红桥期末,7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)= ( )
A.0.158 8 B.0.158 7
C.0.158 6 D.0.158 5
3.(2024南开一模,6)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≥4)=,E(X)=E(Y),则p= ( )
A.
4.(2023天津五校一模,3)下列命题错误的是 ( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1
B.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(1<ξ<2)=0.2
C.经验回归直线一定经过样本点的中心(,)
D.随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=30,D(ξ)=20,则n=90
5.(2025红桥一模,12)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布:N(80,σ2),且成绩在[80,90]上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为 .
6.(2025天津一中月考四,12)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为,该篮球运动员某次练习中共罚球3次,若三次练习结果互不影响,记三次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)= ;若已知该运动员没有全部命中,则他恰好命中两次的概率为 .
7.(2025天津耀华中学一模,14)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛,根据二人以往比赛资料统计,在一局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛,则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ,用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数,则ξ的数学期望是 .
8.(2025天津新华中学统练5,13)对某实验项目进行测试,测试方法:
①共进行3轮测试;
②每轮测试2次,若至少合格1次,则本轮通过,否则不通过.
已知测试1次合格的概率为,如果各次测试合格与否互不影响,则在一轮测试中,通过的概率为 ;在3轮测试中,通过的轮数X的期望是 .
9.(2024天津宝坻一中期末,13)一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球,其中白色球3个,黑色球2个.若从中任取1个球,每次取球后都放回袋中,则事件“连续取球3次,恰好取到两次白球”的概率为 ;若从中任取2个球,记所取球中白球可能被取到的个数为ξ,则随机变量ξ的期望为 .
9.4 超几何分布、二项分布与正态分布
五年高考
天津专练
1.(2025天津,5,5分,易)下列说法错误的是 ( B )
A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)
D.已知r为相关系数,若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱
2.(2025天津,13,5分,中)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.
(1)该同学一周跑11圈的概率为 0.6 ;
(2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)= 3.2 .
3.(2019天津理,16,13分,中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X~B,从而P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=.
4.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
解析 (1)由题意,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2),
P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
全真全练
考点一 超几何分布
(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=×2=1.
(2)(i)依题意可得m==23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点二 二项分布
(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
C.0.4 D.0.3
考点三 正态分布
1.(2015山东,8,5分,易)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( B )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( C )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2
三年模拟
练基础
1.(2025和平一模,4)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是 ( C )
A.该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B.该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C.该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大
2.(2025红桥期末,7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)= ( B )
A.0.158 8 B.0.158 7
C.0.158 6 D.0.158 5
3.(2024南开一模,6)已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≥4)=,E(X)=E(Y),则p= ( D )
A.
4.(2023天津五校一模,3)下列命题错误的是 ( B )
A.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1
B.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(1<ξ<2)=0.2
C.经验回归直线一定经过样本点的中心(,)
D.随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=30,D(ξ)=20,则n=90
5.(2025红桥一模,12)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布:N(80,σ2),且成绩在[80,90]上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为 8 .
6.(2025天津一中月考四,12)已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为,该篮球运动员某次练习中共罚球3次,若三次练习结果互不影响,记三次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)= ;若已知该运动员没有全部命中,则他恰好命中两次的概率为 .
7.(2025天津耀华中学一模,14)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛,根据二人以往比赛资料统计,在一局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛,则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ,用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数,则ξ的数学期望是 .
8.(2025天津新华中学统练5,13)对某实验项目进行测试,测试方法:
①共进行3轮测试;
②每轮测试2次,若至少合格1次,则本轮通过,否则不通过.
已知测试1次合格的概率为,如果各次测试合格与否互不影响,则在一轮测试中,通过的概率为 ;在3轮测试中,通过的轮数X的期望是 .
9.(2024天津宝坻一中期末,13)一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球,其中白色球3个,黑色球2个.若从中任取1个球,每次取球后都放回袋中,则事件“连续取球3次,恰好取到两次白球”的概率为 ;若从中任取2个球,记所取球中白球可能被取到的个数为ξ,则随机变量ξ的期望为 .
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