微专题4 万有引力定律的应用
1. 开普勒三定律
(1) 椭圆定律：太阳位于所有行星的椭圆轨道的公共焦点上．
(2) 面积定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
(3) 周期定律：＝k，其中k与中心天体有关．
2. 万有引力定律及其应用
(1) 重力：①南、北极处：F万＝mg＝；②赤道处：F万－FN＝F向，故mg＝FN＝F万－F向；③在一定纬度时重力方向不指向地心．
(2) 黄金代换式：Gm地＝gR2(R为地球半径)．
(3) 测地球质量：①重力法m地＝(地球表面)；②环绕法：m地＝.
(4) 测地球密度：①重力法ρ＝；②环绕法：ρ＝.
3. 人造卫星
(1) 人造卫星：万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr＝ma.高轨低速(v、ω、an)大周期，低轨反之．
(2) 第一宇宙速度v1＝＝＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s.
(3) 地表附近的人造卫星：r＝R＝6.4×106 m，v运＝v1，T＝2π＝84.6 min.
(4) 同步卫星：T＝24 h，h＝5.6R＝36 000 km.
考情一 万有引力定律及其应用
1. (2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是(C)
A. 质量
B. 向心力大小
C. 向心加速度大小
D. 受到地球的万有引力大小
【解析】根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同，故C正确．
2. (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍．关于该小行星，下列说法中正确的是(D)
A. 公转周期约为6年
B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【解析】根据题意，设地球到太阳的距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为a＝＝6R，由开普勒第三定律有＝，解得T＝＝6年，故A错误；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律F＝可知，小行星受太阳引力增大，故B错误；由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误；由牛顿第二定律有＝ma，解得a＝，可知＝＝，即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的 ，故D正确．
考情二 人造卫星和宇宙速度
3. (2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹．“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步．该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角．该卫星(B)
A. 运动速度大于第一宇宙速度
B. 运动速度小于第一宇宙速度
C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
【解析】第一宇宙速度是指绕地球表面做匀速圆周运动的速度，是环绕地球做匀速圆周运动的所有卫星的最大环绕速度．题中卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，A错误，B正确；根据G＝mr可知，r＝.因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，C、D错误．
考情三 卫星的变轨和对接
4. (2025·北京卷)2024年6月，“嫦娥六号”探测器首次实现月球背面采样返回．如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B点为远月点．关于“嫦娥六号”探测器，下列说法中正确的是(A)
A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
【解析】在轨道2上从A点向B点运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器受到万有引力，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A点向B点运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误.
考向1 开普勒定律与万有引力定律的应用
(2025·苏州三模)如图所示为地球和哈雷彗星绕太阳运行的示意图，若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，下列说法中正确的是(C)
A. v1B. a2＝
C. a1∶a2＝
D. 地球与太阳连线和哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等
【解析】根据开普勒第二定律，设Δt→0，扫过的面积可认为是直角三角形，在近日点和远日点有＝，可得＝，因r2>r1，故v1>v2，故A错误；在近日点，由万有引力定律和牛顿第二定律可得＝ma1，a1＝，在远日点，由万有引力定律和牛顿第二定律可得＝ma2，a2＝，故a1∶a2＝，哈雷彗星在远日点做近心运动，则有>m，所以a2>，故B错误，C正确；哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过相等的面积，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积不相等，故D错误．
对开普勒定律的理解
1. 根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2.
2. 根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴；若为圆轨道，则r＝R.
3. 运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
(2025·南京、盐城期末调研)木星有四颗卫星是伽利略发现的．小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，除已知引力常量外，他利用下列哪一组数据就能实现(D)
A. 木星的质量、半径及自转周期
B. 木卫二的质量及绕木星运动的半径
C. 木卫二的质量、木星的半径和质量
D. 木星的质量及木卫二绕木星运动的半径
【解析】设木星质量为M，木卫二质量为m，木卫二绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力有G＝mr，可得木卫二绕木星运动的周期为T＝ 2π，可知需要测量木星的质量和木卫二绕木星做匀速圆周运动的轨道半径，D正确．
考向2 人造卫星和宇宙速度
(2025·南京、盐城一模)如图所示，在空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，且微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线．忽略空间站和微型卫星的尺寸及它们之间的万有引力，则(D)
A. 微型卫星的线速度比空间站的线速度小
B. 微型卫星的加速度比空间站的加速度小
C. 机械臂对微型卫星的作用力大小为0
D. 机械臂对微型卫星的作用力大小不为0，方向指向地心
【解析】微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线，所以微型卫星和空间站具有相同的角速度，根据v＝ωr，可知微型卫星的线速度比空间站的大，根据 a＝ω2r，可知微型卫星的加速度比空间站的大，故A、B错误；因为微型卫星的角速度与空间站的角速度相等，大于在该轨道上仅受万有引力时运动的角速度，所以地球对微型卫星的万有引力不足以提供微型卫星的向心力，则机械臂对微型卫星的作用力不为0，方向指向地心，故C错误，D正确．
卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
(2025·南通统考)如图所示，a、b、c为三颗人造地球卫星，其中a为地球静止卫星，b、c在同一轨道上，三颗卫星的轨道均可视为圆轨道．下列说法中正确的是(A)
A. 卫星a的运行周期大于卫星b的运行周期
B. 卫星b的运行速度可能大于7.9 km/s
C. 卫星b加速即可追上前面的卫星c
D. 卫星a在运行时有可能经过南通市的正上方
【解析】根据万有引力提供向心力，则有＝，轨道半径越大，周期越大，可知卫星a的运行周期大于卫星b的运行周期，故A正确；根据＝，轨道半径越小，速度越大，当轨道半径等于地球半径时，速度最大等于第一宇宙速度，故卫星b的速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，故B错误；卫星b加速后需要的向心力增大，大于万有引力，所以卫星将做离心运动，不能追上前面的卫星c，故C错误；卫星a为地球静止卫星，在赤道的正上方，不可能经过南通市的正上方，故D错误．
考向3 卫星的变轨和对接 双星和多星问题
(2025·镇江调研)2024年4月25日，“神舟十八号”飞船与“天宫”空间站顺利对接，如图所示，飞船与空间站对接前在各自预定的圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运动，Ⅱ为对接转移轨道．下列说法中正确的是(C)
A. 飞船在轨道Ⅰ上的运行速度小于在轨道Ⅲ上的运行速度
B. 飞船在三个轨道上的运行周期TⅠ>TⅡ>TⅢ
C. 飞船在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能
D. 飞船在三个轨道上运行时与地球连线在单位时间内扫过的面积相等
【解析】根据万有引力等于向心力G＝m，可得v＝，可知飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于在轨道Ⅲ上的运行速度，故A错误；根据开普勒第三定律＝k，因为rⅠ两类观点分析变轨问题
1. 力学的观点
(1) 点火加速，v突然增大，G(2) 点火减速，v突然减小，G>m，卫星将做近心运动．
2. 能量的观点
(1) 同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(2) 卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则(C)
A. 恒星A、B运动的周期为T
B. 恒星A的质量小于B的质量
C. 恒星A、B的总质量为
D. 恒星A的线速度大于B的线速度
【解析】每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两颗恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力等于向心力G＝mArA＝mBrB，因为rAmB，故B错误；两颗恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C正确；根据v＝ωr，两颗恒星角速度相等，则vA常见的多星模型及其规律
常见的三星模型 ＋＝man
×cos 30°×2＝man
常见的四星模型 ×cos 45°×2＋＝man
×cos 30°×2＋＝man
(2025·扬州高邮调研)“天舟”货运飞船被人们称为太空快递，它定期向“天宫号”空间站运送物资，其示意图如图所示．下列说法中正确的是(B)
A. “天舟”飞船与“天宫号”空间站在B点受到地球的引力大小相等
B. “天舟”飞船运动的周期比“天宫号”空间站运动的周期小
C. “天舟”与地球的连线和“天宫号”空间站与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
D. “天宫号”空间站所在轨道高，线速度小，所以“天舟”飞船在B点变轨时需减速
【解析】由于二者的质量关系未知，无法比较万有引力大小，A错误；根据开普勒第三定律可知＝k，“天舟”飞船轨道半长轴小于“天宫号”空间站运动半径，则“天舟”飞船绕地球运动的周期比“天宫号”空间站绕地球运动的周期小，B正确；“天舟”飞船与“天宫号”空间站是不同轨道的卫星，不符合开普勒第二定律，C错误；“天宫号”空间站所在轨道高，线速度小，所以“天舟”飞船在B点变轨时需加速做离心运动，方可到达更高的轨道上，D错误．
配套热练
1. (2025·苏锡常镇调研)我国太阳探测卫星“羲和号”在离地球表面高度517 km的圆轨道上运行，则该卫星与地球同步卫星相比，具有相同的(D)
A. 发射速度 B. 向心加速度
C. 周期 D. 轨道圆心
【解析】 卫星发射高度越高，克服地球引力做功越多，发射速度越大，“羲和号”卫星轨道高度低于地球同步卫星轨道高度，所以发射速度不同，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得向心加速度a＝G，“羲和号”卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以向心加速度不同，故B错误；由万有引力提供向心力有G＝mr，可得周期T＝，“羲和号”卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以周期不同，故C错误；地球卫星的轨道圆心都是地心，“羲和号”卫星和地球同步卫星都是地球卫星，所以轨道圆心相同，故D正确．
2. (2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法中正确的是(A)
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
【解析】根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，因r甲v乙，角速度关系ω甲>ω乙，向心加速度关系a甲>a乙，故A正确．
3. (2025·南通第三次调研)山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前，陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙观测日月星辰，划分了节气．地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时(D)
A. 加速度与立夏时的相同
B. 动能与立夏时的相同
C. 角速度与立夏时的相同
D. 与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同
【解析】 根据万有引力提供向心力，G＝ma，地球在夏至时的加速度小于立夏时的加速度，故A错误；根据开普勒第二定律可知，地球在夏至时的速度小于立夏时的速度，地球在夏至时的动能小于立夏时的动能，故B错误；根据G＝mω2r可知，地球在夏至时的角速度小于立夏时的角速度，故C错误；根据开普勒第二定律可知，地球在夏至时与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同，故D正确．
4. (2025·南通四模)已知地球的质量约是月球的81倍，地球的半径约是月球的4倍，则“嫦娥六号”探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速率约为地球第一宇宙速度的(A)
A. B.
C. D.
【解析】第一宇宙速度等于卫星绕中心天体表面做匀速圆周运动的线速度，则由G＝m，解得v＝，故v月＝v地＝v地，故A正确．
5. (2025·镇江质监)“天问一号”火星探测器成功实施制动捕获后，进入环绕火星的轨道，成为中国第一颗人造火星卫星．此任务中，探测器经历了如图所示变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，轨道Ⅱ、轨道Ⅲ为椭圆轨道，其周期分别为T1、T2、T3，机械能分别为E1、E2、E3.关于该探测器，下列说法中正确的是(D)
A. T1＝T2＝T3 B. T1>T2>T3
C. E1＝E2＝E3 D. E1【解析】根据开普勒第三定律可知，轨道的半长轴越长，周期越大，故在轨道Ⅰ上的周期小于在轨道Ⅱ上的周期，在轨道Ⅱ上的周期小于在轨道Ⅲ上的周期，故A、B错误；根据卫星的发射规律知，同一卫星在高轨道的机械能大于在低轨道的机械能，故在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故C错误，D正确．
6. (2025·泰州四模)一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，若每天上午同一时刻经过南京市(东经118°，北纬32°)正上方，则该卫星(A)
A. 运行周期可能是12 h
B. 一定是地球的静止轨道卫星
C. 运行的速度大于第一宇宙速度
D. 轨道平面与北纬32°平面共面
【解析】每天上午同一时刻经过南京市(东经118°，北纬32°)正上方，该卫星的周期T＝(n＝1,2,3，…)，即可能是12 h，故A正确；地球的静止轨道卫星只能在赤道的正上方，故B错误；第一宇宙速度是卫星环绕的最大速度，则该卫星运行的速度小于第一宇宙速度，故C错误；轨道平面必过地球的球心，故D错误．
7. (2025·徐州调研)如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点L2上时，会和月球、地球两个大天体保持相对静止的状态．设地球的质量为M，“鹊桥”中继星的质量为m，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响．则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列说法中正确的是(A)
A. 月球与地球质量之比为 －
B. “鹊桥”中继星与月球的线速度之比为∶
C. “鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比为L∶(L＋d)
D. 地球对月球的引力和“鹊桥”中继星对月球的引力之比为1∶1
【解析】对月球，地球对它的万有引力提供向心力，则G＝M月ω2L，对“鹊桥”中继星，地球引力和月球引力的合力提供向心力，故G＋G＝mω2(L＋d)，联立解得＝－，故A正确；“鹊桥”中继星与月球绕地球运动的角速度相等，根据v＝ωr可知，“鹊桥”中继星与月球的线速度之比为(L＋d)∶L，故B错误；根据a＝ω2r可知，“鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比为(L＋d)∶L，故C错误；月球所受的合外力方向指向地球，故地球对月球的引力大于“鹊桥”中继星对月球的引力，故D错误．
8. (2025·浙江1月)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星(C)
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b运行到c的过程中动能先增大，后减小
C. 从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
【解析】地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据S1>S2可知，从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；万有引力提供加速度有G＝ma，可得a＝，则哈雷彗星在近日点的加速度a1与地球的加速度a2比值为 ＝＝，D错误．
9. (2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器．从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0.质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0R(r≥R0)．要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(B)
A. B.
C. D.
【解析】飞行器在轨道半径r＝2R0处的总机械能包括动能和势能，引力势能为Ep＝mg0R0，根据万有引力提供向心力＝m，在地球表面有＝mg0，解得轨道速度满足v2＝，对应动能Ek＝mv2＝mg0R0，则总机械能E总＝mg0R0，根据机械能守恒，初始动能mv＝E总，解得v0＝，B正确．
10. (2025·南通如皋第二次适应性考试)如图所示，Ⅰ为“北斗”卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角θ＝60°，其绕行周期为T1，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星(轨道半径近似等于地球半径)．求卫星Ⅱ的绕行周期T2.
答案：T1
【解析】 设地球半径为R，由几何关系可得卫星Ⅰ的轨道半径
R′＝2R
由开普勒第三定律 ＝
解得T2＝T1.
11. (2025·南京二模)2024年6月25日，“嫦娥六号”返回器实现了世界首次月球背面采样并顺利返回，为后续载人探月工程打下了坚实基础．设想载人飞船先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ(可认为轨道半径等于月球半径)，最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，通过观测发现载人飞船在轨道Ⅱ的周期为轨道Ⅲ的周期的2倍．求：
(1) 载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω.
(2) 轨道Ⅰ的半径r.
答案：(1) (2) 3R
【解析】 (1) 载人飞船在轨道Ⅲ做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝mω2R
在月球表面有 ＝mg0
解得ω＝
(2) 根据开普勒第三定律有 ＝
且T2＝2T3
解得r＝3R.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题4 万有引力定律的应用
1. 开普勒三定律
(1) 椭圆定律：太阳位于所有行星的椭圆轨道的公共焦点上．
(2) 面积定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
(3) 周期定律：＝k，其中k与中心天体有关．
2. 万有引力定律及其应用
(1) 重力：①南、北极处：F万＝mg＝；②赤道处：F万－FN＝F向，故mg＝FN＝F万－F向；③在一定纬度时重力方向不指向地心．
(2) 黄金代换式：Gm地＝gR2(R为地球半径)．
(3) 测地球质量：①重力法m地＝(地球表面)；②环绕法：m地＝.
(4) 测地球密度：①重力法ρ＝；②环绕法：ρ＝.
3. 人造卫星
(1) 人造卫星：万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr＝ma.高轨低速(v、ω、an)大周期，低轨反之．
(2) 第一宇宙速度v1＝＝＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s.
(3) 地表附近的人造卫星：r＝R＝6.4×106 m，v运＝v1，T＝2π＝84.6 min.
(4) 同步卫星：T＝24 h，h＝5.6R＝36 000 km.
考情一 万有引力定律及其应用
1. (2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A. 质量
B. 向心力大小
C. 向心加速度大小
D. 受到地球的万有引力大小
2. (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍．关于该小行星，下列说法中正确的是( )
A. 公转周期约为6年
B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
考情二 人造卫星和宇宙速度
3. (2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹．“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步．该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角．该卫星( )
A. 运动速度大于第一宇宙速度
B. 运动速度小于第一宇宙速度
C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
考情三 卫星的变轨和对接
4. (2025·北京卷)2024年6月，“嫦娥六号”探测器首次实现月球背面采样返回．如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B点为远月点．关于“嫦娥六号”探测器，下列说法中正确的是( )
A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
考向1 开普勒定律与万有引力定律的应用
(2025·苏州三模)如图所示为地球和哈雷彗星绕太阳运行的示意图，若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，下列说法中正确的是( )
A. v1B. a2＝
C. a1∶a2＝
D. 地球与太阳连线和哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等
对开普勒定律的理解
1. 根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2.
2. 根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴；若为圆轨道，则r＝R.
3. 运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
(2025·南京、盐城期末调研)木星有四颗卫星是伽利略发现的．小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，除已知引力常量外，他利用下列哪一组数据就能实现( )
A. 木星的质量、半径及自转周期
B. 木卫二的质量及绕木星运动的半径
C. 木卫二的质量、木星的半径和质量
D. 木星的质量及木卫二绕木星运动的半径
考向2 人造卫星和宇宙速度
(2025·南京、盐城一模)如图所示，在空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，且微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线．忽略空间站和微型卫星的尺寸及它们之间的万有引力，则( )
A. 微型卫星的线速度比空间站的线速度小
B. 微型卫星的加速度比空间站的加速度小
C. 机械臂对微型卫星的作用力大小为0
D. 机械臂对微型卫星的作用力大小不为0，方向指向地心
卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
(2025·南通统考)如图所示，a、b、c为三颗人造地球卫星，其中a为地球静止卫星，b、c在同一轨道上，三颗卫星的轨道均可视为圆轨道．下列说法中正确的是( )
A. 卫星a的运行周期大于卫星b的运行周期
B. 卫星b的运行速度可能大于7.9 km/s
C. 卫星b加速即可追上前面的卫星c
D. 卫星a在运行时有可能经过南通市的正上方
考向3 卫星的变轨和对接 双星和多星问题
(2025·镇江调研)2024年4月25日，“神舟十八号”飞船与“天宫”空间站顺利对接，如图所示，飞船与空间站对接前在各自预定的圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运动，Ⅱ为对接转移轨道．下列说法中正确的是( )
A. 飞船在轨道Ⅰ上的运行速度小于在轨道Ⅲ上的运行速度
B. 飞船在三个轨道上的运行周期TⅠ>TⅡ>TⅢ
C. 飞船在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能
D. 飞船在三个轨道上运行时与地球连线在单位时间内扫过的面积相等
两类观点分析变轨问题
1. 力学的观点
(1) 点火加速，v突然增大，G(2) 点火减速，v突然减小，G>m，卫星将做近心运动．
2. 能量的观点
(1) 同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(2) 卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则( )
A. 恒星A、B运动的周期为T
B. 恒星A的质量小于B的质量
C. 恒星A、B的总质量为
D. 恒星A的线速度大于B的线速度
常见的多星模型及其规律
常见的三星模型 ＋＝man
×cos 30°×2＝man
常见的四星模型 ×cos 45°×2＋＝man
×cos 30°×2＋＝man
(2025·扬州高邮调研)“天舟”货运飞船被人们称为太空快递，它定期向“天宫号”空间站运送物资，其示意图如图所示．下列说法中正确的是( )
A. “天舟”飞船与“天宫号”空间站在B点受到地球的引力大小相等
B. “天舟”飞船运动的周期比“天宫号”空间站运动的周期小
C. “天舟”与地球的连线和“天宫号”空间站与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
D. “天宫号”空间站所在轨道高，线速度小，所以“天舟”飞船在B点变轨时需减速
配套热练
1. (2025·苏锡常镇调研)我国太阳探测卫星“羲和号”在离地球表面高度517 km的圆轨道上运行，则该卫星与地球同步卫星相比，具有相同的( )
A. 发射速度 B. 向心加速度
C. 周期 D. 轨道圆心
2. (2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法中正确的是( )
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
3. (2025·南通第三次调研)山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前，陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙观测日月星辰，划分了节气．地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时( )
A. 加速度与立夏时的相同
B. 动能与立夏时的相同
C. 角速度与立夏时的相同
D. 与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同
4. (2025·南通四模)已知地球的质量约是月球的81倍，地球的半径约是月球的4倍，则“嫦娥六号”探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速率约为地球第一宇宙速度的( )
A. B.
C. D.
5. (2025·镇江质监)“天问一号”火星探测器成功实施制动捕获后，进入环绕火星的轨道，成为中国第一颗人造火星卫星．此任务中，探测器经历了如图所示变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，轨道Ⅱ、轨道Ⅲ为椭圆轨道，其周期分别为T1、T2、T3，机械能分别为E1、E2、E3.关于该探测器，下列说法中正确的是( )
A. T1＝T2＝T3 B. T1>T2>T3
C. E1＝E2＝E3 D. E16. (2025·泰州四模)一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，若每天上午同一时刻经过南京市(东经118°，北纬32°)正上方，则该卫星( )
A. 运行周期可能是12 h
B. 一定是地球的静止轨道卫星
C. 运行的速度大于第一宇宙速度
D. 轨道平面与北纬32°平面共面
7. (2025·徐州调研)如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点L2上时，会和月球、地球两个大天体保持相对静止的状态．设地球的质量为M，“鹊桥”中继星的质量为m，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响．则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列说法中正确的是( )
A. 月球与地球质量之比为 －
B. “鹊桥”中继星与月球的线速度之比为∶
C. “鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比为L∶(L＋d)
D. 地球对月球的引力和“鹊桥”中继星对月球的引力之比为1∶1
8. (2025·浙江1月)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星( )
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b运行到c的过程中动能先增大，后减小
C. 从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
9. (2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器．从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0.质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0R(r≥R0)．要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为( )
A. B.
C. D.
10. (2025·南通如皋第二次适应性考试)如图所示，Ⅰ为“北斗”卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角θ＝60°，其绕行周期为T1，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星(轨道半径近似等于地球半径)．求卫星Ⅱ的绕行周期T2.
11. (2025·南京二模)2024年6月25日，“嫦娥六号”返回器实现了世界首次月球背面采样并顺利返回，为后续载人探月工程打下了坚实基础．设想载人飞船先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ(可认为轨道半径等于月球半径)，最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，通过观测发现载人飞船在轨道Ⅱ的周期为轨道Ⅲ的周期的2倍．求：
(1) 载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω.
(2) 轨道Ⅰ的半径r.
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专题一
力与运动
微专题4 万有引力定律的应用
知能整合
1. 开普勒三定律
(1) 椭圆定律：太阳位于所有行星的椭圆轨道的公共焦点上．
(2) 面积定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
2. 万有引力定律及其应用
(2) 黄金代换式：Gm地＝gR2(R为地球半径)．
3. 人造卫星
(4) 同步卫星：T＝24 h，h＝5.6R＝36 000 km.
真题引领
考情一 万有引力定律及其应用
1. (2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A. 质量
B. 向心力大小
C. 向心加速度大小
D. 受到地球的万有引力大小
C
2. (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍．关于该小行星，下列说法中正确的是( )
A. 公转周期约为6年
B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D
考情二 人造卫星和宇宙速度
3. (2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹．“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步．该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角．该卫星( )
A. 运动速度大于第一宇宙速度
B. 运动速度小于第一宇宙速度
C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
B
考情三 卫星的变轨和对接
4. (2025·北京卷)2024年6月，“嫦娥六号”探测器首次实现月球背面采样返回．如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B点为远月点．关于“嫦娥六号”探测器，下列说法中正确的是( )
A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
A
能力融通
1
考向1 开普勒定律与万有引力定律的应用
(2025·苏州三模)如图所示为地球和哈雷彗星绕太阳运行的示意图，若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，下列说法中正确的是( )
A. v1D. 地球与太阳连线和哈雷彗星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等
C
对开普勒定律的理解
1. 根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2.
3. 运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
规律总结
(2025·南京、盐城期末调研)木星有四颗卫星是伽利略发现的．小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，除已知引力常量外，他利用下列哪一组数据就能实现( )
A. 木星的质量、半径及自转周期
B. 木卫二的质量及绕木星运动的半径
C. 木卫二的质量、木星的半径和质量
D. 木星的质量及木卫二绕木星运动的半径
1
D
2
考向2 人造卫星和宇宙速度
(2025·南京、盐城一模)如图所示，在空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，且微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线．忽略空间站和微型卫星的尺寸及它们之间的万有引力，则( )
A. 微型卫星的线速度比空间站的线速度小
B. 微型卫星的加速度比空间站的加速度小
C. 机械臂对微型卫星的作用力大小为0
D. 机械臂对微型卫星的作用力大小不为0，方向指向地心
D
【解析】微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线，所以微型卫星和空间站具有相同的角速度，根据v＝ωr，可知微型卫星的线速度比空间站的大，根据 a＝ω2r，可知微型卫星的加速度比空间站的大，故A、B错误；因为微型卫星的角速度与空间站的角速度相等，大于在该轨道上仅受万有引力时运动的角速度，所以地球对微型卫星的万有引力不足以提供微型卫星的向心力，则机械臂对微型卫星的作用力不为0，方向指向地心，故C错误，D正确．
卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
规律总结
(2025·南通统考)如图所示，a、b、c为三颗人造地球卫星，其中a为地球静止卫星，b、c在同一轨道上，三颗卫星的轨道均可视为圆轨道．下列说法中正确的是( )
A. 卫星a的运行周期大于卫星b的运行周期
B. 卫星b的运行速度可能大于7.9 km/s
C. 卫星b加速即可追上前面的卫星c
D. 卫星a在运行时有可能经过南通市的正上方
2
A
3
考向3 卫星的变轨和对接 双星和多星问题
(2025·镇江调研)2024年4月25日，“神舟十八号”
飞船与“天宫”空间站顺利对接，如图所示，飞船与空间站
对接前在各自预定的圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运动，Ⅱ为对接转移轨
道．下列说法中正确的是( )
A. 飞船在轨道Ⅰ上的运行速度小于在轨道Ⅲ上的运行速度
B. 飞船在三个轨道上的运行周期TⅠ>TⅡ>TⅢ
C. 飞船在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能
D. 飞船在三个轨道上运行时与地球连线在单位时间内扫过的面积相等
C
两类观点分析变轨问题
1. 力学的观点
2. 能量的观点
(1) 同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(2) 卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
规律总结
4
如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则( )
A. 恒星A、B运动的周期为T
B. 恒星A的质量小于B的质量
D. 恒星A的线速度大于B的线速度
C
常见的多星模型及其规律
规律总结
(2025·扬州高邮调研)“天舟”货运飞船
被人们称为太空快递，它定期向“天宫号”空间站
运送物资，其示意图如图所示．下列说法中正确的
是( )
A. “天舟”飞船与“天宫号”空间站在B点受到地球的引力大小相等
B. “天舟”飞船运动的周期比“天宫号”空间站运动的周期小
C. “天舟”与地球的连线和“天宫号”空间站与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
D. “天宫号”空间站所在轨道高，线速度小，所以“天舟”飞船在B点变轨时需减速
3
B
热练
1. (2025·苏锡常镇调研)我国太阳探测卫星“羲和号”在离地球表面高度517 km的圆轨道上运行，则该卫星与地球同步卫星相比，具有相同的( )
A. 发射速度 B. 向心加速度
C. 周期 D. 轨道圆心
D
2. (2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法中正确的是( )
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
A
3. (2025·南通第三次调研)山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前，陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙观测日月星辰，划分了节气．地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时( )
A. 加速度与立夏时的相同
B. 动能与立夏时的相同
C. 角速度与立夏时的相同
D. 与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同
D
4. (2025·南通四模)已知地球的质量约是月球的81倍，地球的半径约是月球的4倍，则“嫦娥六号”探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速率约为地球第一宇宙速度的( )
A
5. (2025·镇江质监)“天问一号”火星探测器成功实施制动捕获后，进入环绕火星的轨道，成为中国第一颗人造火星卫星．此任务中，探测器经历了如图所示变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，轨道Ⅱ、轨道Ⅲ为椭圆轨道，其周期分别为T1、T2、T3，机械能分别为E1、E2、E3.关于该探测器，下列说法中正确的是( )
A. T1＝T2＝T3 B. T1>T2>T3
C. E1＝E2＝E3 D. E1D
【解析】根据开普勒第三定律可知，轨道的半长轴越长，周期越大，故在轨道Ⅰ上的周期小于在轨道Ⅱ上的周期，在轨道Ⅱ上的周期小于在轨道Ⅲ上的周期，故A、B错误；根据卫星的发射规律知，同一卫星在高轨道的机械能大于在低轨道的机械能，故在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故C错误，D正确．
6. (2025·泰州四模)一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，若每天上午同一时刻经过南京市(东经118°，北纬32°)正上方，则该卫星( )
A. 运行周期可能是12 h
B. 一定是地球的静止轨道卫星
C. 运行的速度大于第一宇宙速度
D. 轨道平面与北纬32°平面共面
A
7. (2025·徐州调研)如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点L2上时，会和月球、地球两个大天体保持相对静止的状态．设地球的质量为M，“鹊桥”中继星的质量为m，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响．则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列说法中正确的是( )
C. “鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比为L∶(L＋d)
D. 地球对月球的引力和“鹊桥”中继星对月球的引力之比为1∶1
A
8. (2025·浙江1月)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星( )
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b运行到c的过程中动能先增大，后减小
C. 从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
C
B
10. (2025·南通如皋第二次适应性考试)如图所示，Ⅰ为“北斗”卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角θ＝60°，其绕行周期为T1，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星(轨道半径近似等于地球半径)．求卫星Ⅱ的绕行周期T2.
【解析】 设地球半径为R，由几何关系可得卫星Ⅰ的轨道半径
R′＝2R
(1) 载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω.
(2) 轨道Ⅰ的半径r.
解得r＝3R.
