4.3　解三角形--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
4.3　解三角形
五年高考
天津专练
1.(2025天津,16,14分,易)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A+2B)的值.
2.(2024天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,b=5,.
(1)求a的值;
(2)求sin A的值;
(3)求cos(B-2A)的值.
3.(2023天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
4.(2022天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
5.(2021天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶,b=.
(1)求a的值;
(2)求cos C的值;
(3)求sin的值.
6.(2020天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.
(1)求角C的大小;
(2)求sin A的值;
(3)求sin的值.
全真全练
考点一　正弦、余弦定理
1.(2025全国二卷,5,5分,易)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　)
A.45°　　　　B.60°
C.120°　　　　D.135°
2.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= (　　)
A.
3.(2023北京,7,4分,易)在△ABC中,(a+c)·(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C= (　　)
A.
4.(2024全国甲理,11,5分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C= (　　)
A.
5.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
6.(2023全国甲文,17,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若=1,求△ABC面积.
7.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
考点二　解三角形及其应用
1.(2021全国乙,文15,理15,5分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　.
2.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　.
3.(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
4.(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
8.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求a;若不存在,说明理由.
9.(2022全国乙理,17,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C·sin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
10.(2020课标Ⅱ理,17,12分,中)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
11.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
三年模拟
练基础
1.(2025南开二模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,a=3b.
(1)求C的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(A+3B)的值.
2.(2025河西一模,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos B=.
(1)求角A的大小.
(2)设b=2,c=3.
(i)求a的值.
(ii)求cos(2B-A)的值.
3.(2024和平一模,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=b+2,c=b,且sin A=sin C.
(1)求c的值;
(2)求tan A的值;
(3)求cos的值.
4.(2025河东一模,16)在钝角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,cos C=.
(1)求边长c和角A的大小;
(2)求sin的值.
5.(2025河西二模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=-3bcos B.
(1)求cos B的值.
(2)设b=a.
(i)求sin A的值;
(ii)求sin(3A+2B+C)的值.
6.(2024河西一模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(1+cos B)=bsin A.
(1)求角B的大小.
(2)设b=2,a-c=2.
(i)求a的值;
(ii)求sin(2A+B)的值.
7.(题型二)(2024天津十二区一模考前模拟,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.
(1)求a和sin C的值;
(2)求cos的值.
8.(2023南开一模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4a=c,b=11,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)求a的值;
(3)求cos(A-2C)的值.
9.(2023河西一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin A=acos.
(1)求角B的大小.
(2)设a=2,c=3.
(i)求b的值;
(ii)求sin(2A-B)的值.
10.(2023河东二模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b-c=1,cos A=,S△ABC=.
(1)求边a及sin B的值;
(2)求cos的值.
11.(2023河西二模,16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的值.
(2)若a=3,b=2.
(i)求sin B的值;
(ii)求cos(2B-A)的值.
练综合
1.(题型二)(2025天津十二区重点校联考,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ccos=asin C.
(1)求角A的大小;
(2)若b=1,cos B=,求a的值;
(3)若a=2,当△ABC的周长取最大值时,求△ABC的面积.
2.(题型二)(2025天津十二区重点学校二模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos A=(3b-a)cos C.
(1)求cos C的值;
(2)若a=1,c=2,求sin的值;
(3)若△ABC的面积为3,且a+b=c,求△ABC的周长L.
3.(题型二)(2025和平一模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,c-b=2,cos A=-.
(1)求a的值;
(2)求sin C的值;
(3)求cos的值.
4.(题型二)(2025河北一模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,sin A=3sin B.
(1)求sin C的值;
(2)求cos的值;
(3)若△ABC的面积为,求c的值.
5.(题型二)(2024河北一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2acos A.
(1)求角A;
(2)若cos C=,求cos的值;
(3)若a=2,D为AC的中点,且BD=,求△ABC的面积.
4.3　解三角形
五年高考
天津专练
1.(2025天津,16,14分,易)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A+2B)的值.
解析　(1)已知asin B=bcos A,由,
得sin Asin B=sin Bcos A,
显然sin B≠0,
则tan A=,又0(2)由(1)知cos A=,
由题意知c=2b+1,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得7=b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1,
即b2+b-2=0,解得b=1(b=-2舍去),
故c=3.
(3)由,且b=1,a=,sin A=,
得sin B=,
又a>b,则B为锐角,
故cos B=,
故sin 2B=2sin Bcos B=,
且cos 2B=1-2sin2B=1-2×,
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=.
2.(2024天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,b=5,.
(1)求a的值;
(2)求sin A的值;
(3)求cos(B-2A)的值.
解析　(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得25=4t2+9t2-2×2t×3t×,
解得t=2(舍负),则a=4,c=6.
解法一:
(2)因为B为三角形内角,所以sin B=,
由正弦定理,得,解得sin A=.
(3)因为cos B=>0,且B∈(0,π),
所以B∈,
由(2)知sin B=,
因为a所以cos A=,
则sin 2A=2sin Acos A=2×,cos 2A=2cos2A-1=2×,
所以cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=.
解法二:
(2)由余弦定理的推论得cos A=,因为A∈(0,π),所以sin A=.
(3)由(2)得sin 2A=2sin Acos A=2×,
cos 2A=2cos2A-1=2×,
因为B为三角形内角,所以sin B=,
所以cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=.
3.(2023天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
解析　因为A=120°,所以B,C都为锐角,且B+C=60°.
(1)由,得,
所以sin B=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得39=4+c2+2c,即c2+2c-35=0,
解得c=5或c=-7(舍去),所以c=5.
(3)解法一:因为sin B=,B为锐角,所以cos B=,
则sin(B-C)=sin[B-(60°-B)]=sin(2B-60°)=cos 2B
=sin Bcos B-(1-2sin2B)=-.
解法二:因为sin B=,B为锐角,所以cos B=.
由,得,
则sin C=.
又C为锐角,所以cos C=,
则sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=.
4.(2022天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
解析　(1)∵a2=b2+c2-2bc·cos A,
且a=,b=2c,cos A=-,
∴6=4c2+c2-2·2c·c·,
∴c2=1.∵c>0,∴c=1.
(2)∵b=2c=2,
∴cos B=.
∴sin B=.
(3)由cos A=-∴sin A=,
∴sin 2A=2sin Acos A=2×,
cos 2A=2cos2A-1=-.
∴sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B
=-.
易错警示　已知一个角的三角函数值,求它的其余三角函数值,需判断角的范围,确定函数值的符号.
5.(2021天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶,b=.
(1)求a的值;
(2)求cos C的值;
(3)求sin的值.
解析　(1)∵sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶,
∴由正弦定理可得a∶b∶c=2∶1∶,
又b=,∴c=b=2,a=2b=2.
(2)由余弦定理的推论可得cos C=.
(3)∵cos C=,0∴sin C=,
∴sin 2C=2sin Ccos C=2×,
cos 2C=2cos2C-1=2×,
∴sin.
6.(2020天津,16,14分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.
(1)求角C的大小;
(2)求sin A的值;
(3)求sin的值.
解析　(1)在△ABC中,由余弦定理的推论及a=2,b=5,c=,有cos C=.
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)在△ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sin A=.
(3)由a全真全练
考点一　正弦、余弦定理
1.(2025全国二卷,5,5分,易)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　A　)
A.45°　　　　B.60°
C.120°　　　　D.135°
2.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= (　C　)
A.
3.(2023北京,7,4分,易)在△ABC中,(a+c)·(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C= (　B　)
A.
4.(2024全国甲理,11,5分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C= (　C　)
A.
5.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析　(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos 120°=7,则BC=.
由正弦定理,得,
则sin∠ABC=.
(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=,且∠ABD为锐角,
所以tan∠ABD=.
在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×.
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,AD=,
∴△ADC的面积S=.
一题多解　(2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,
∴S△ABC=,
又,∴S△ACD=.
6.(2023全国甲文,17,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若=1,求△ABC面积.
解析　(1)由=2bc=2,得bc=1.
(2)由正弦定理得
=
==1,
即sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin C=sin(A+B),
得-sin B=2cos Asin B,
∵sin B≠0,∴cos A=-,
又∵A∈(0,π),∴sin A=,
∴S△ABC=.
7.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
解析　(1)证明:由题设得BD=,
在△ABC中,由正弦定理知,即,
代入BD=中,得BD=,
又b2=ac,∴BD=b.
(2)解法一:由AD=2DC得AD=b,DC=,
在△ABD中,cos A=,
在△ABC中,cos A=,
化简得3c2-11b2+6a2=0,
又b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,
即(c-3a)(3c-2a)=0,
所以c=3a或c=a.
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=a,此时a+b当c=a时,b2=ac=a2,所以b=a,
此时a,b,c可以构成三角形,
故c=a,b=a,所以在△ABC中,cos∠ABC=.
解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c.
当2a=3c时,a=c,b2=ac=c2,
由余弦定理的推论得cos∠ABC=;
当3a=c时,a=,b2=ac=,
由余弦定理的推论得cos∠ABC=(舍).
综上,cos∠ABC=.
考点二　解三角形及其应用
1.(2021全国乙,文15,理15,5分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　2　.
2.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　2　.
3.(2024新课标Ⅰ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
解析　(1)由余弦定理的推论得cos C=,
又0由sin C=,∴cos B=,由0(2)由.
令=t,t>0,则b=t,c=t,
∵A=π-B-C=,
∴sin A=sin,
∵S△ABC=,
∴t=2,因此c=2.
4.(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
解析　(1)由已知得=1,因为0(2)由,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以c=,即a+b+c=2+3,所以△ABC的周长为2+3.
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解析　(1)解法一:∵A+B+C=π,A+B=3C,
∴C=,B=-A,
又∵2sin(A-C)=sin B,
∴2sin,
即2sin A,整理得sin A=3cos A,
又∵sin2A+cos2A=1,A∈,
∴sin A=.
解法二:∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=.
又∵2sin(A-C)=sin B,
∴2sin(A-C)=sin(A+C),
即2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C,
化简得sin Acos C=3cos Asin C,
∴tan A=3tan C=3,∴=3,
又∵sin2A+cos2A=1,A∈,
∴sin A=.
(2)解法一:过C作CD⊥AB,垂足为D,如图.
在△ABC中,由正弦定理得,即,∴BC=3.
由(1)知cos A=,
∴sin B=sin.
在Rt△BCD中,CD=BC·sin B=3=6,
即AB边上的高为6.
解法二:由(1)知C=,sin A=,cos A=,则sin B=sin.
在△ABC中,由正弦定理得,∴,
∴AC=2,BC=3,
∴S△ABC==15.
设AB边上的高为h,则×5h=15,
∴h=6.
解法三:如图,作BG⊥AC,CH⊥AB,GM⊥AB,垂足分别为G,H,M.
设AG=x(x>0),由(1)可得BG=CG=3x,AB=x=5,则x=.
在Rt△AMG中,GM=AG·sin A=,
易知AC=4AG,△CHA∽△GMA,所以CH=4GM=6,即AB边上的高为6.
6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析　由题意知S△ABC=,BD=DC,∴S△ADC=.
(1)∵S△ADC=,DA=1,∠ADC=,∴,∴DC=2,
∴BD=2,易知∠ADB=.
解法一:在△ABD中,由正弦定理得,即5sin B=cos B,因此tan B=.
解法二:过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE=AD·sin∠ADC=,DE=AD·cos∠ADC=,所以BE=2+,所以tan B=.
解法三:在△ADB中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DBcos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×=7,
∴AB=,
∴cos B=,
∴sin B=,
∴tan B=.
(2)解法一:令∠ADB=α.
由余弦定理得c2=1+-acos α,
b2=1+×cos(π-α)=1++acos α.
所以b2+c2=2+=8,所以a=2.
又由题意知△ABD和△ACD的面积均为,则sin α=1,α=.
所以b=c=2.
解法二:如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,
易得四边形ABEC为平行四边形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2),即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,
又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=2,
∵S△ADC=,AD=1,DC=,
∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c,
又b2+c2=8,∴b=c=2.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
解析　(1)由题意得S1=a2,S2=b2,S3=c2,
∴S1-S2+S3=(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,
由cos B=得a2+c2-b2=2accos B,
故2accos B=2,∴accos B=1,
又∵sin B=,∴cos B=(舍),∴ac=,
∴S△ABC=.
(2)由正弦定理,
又知ac=,sin Asin C=,
∴,∴,
∴b=.
8.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析　(1)2sin C=3sin A 2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cos A=,∴sin A=,
∴S△ABC=.
(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
∴cos C=<0 a2+b20,∴a∈(0,3).
同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c a+(a+1)>a+2 a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数 a=2,使△ABC为钝角三角形.
9.(2022全国乙理,17,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C·sin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
解析　(1)证法一:∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin Ccos A-cos Csin A),(利用两角差的正弦公式化简)
由正弦定理得accos B-bccos A=bccos A-abcos C,
∴accos B=2bccos A-abcos C,
由余弦定理得ac·,
化简得2a2=b2+c2.
证法二:∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)
=sin B(sin Ccos A-cos Csin A),
∴sin Csin Acos B+sin Bsin Acos C=2sin Bsin Ccos A,
∴sin A(sin Ccos B+cos Csin B)=2sin Bsin Ccos A,
∴sin A·sin(B+C)=2sin Bsin Ccos A,
∴sin2A=2sin Bsin Ccos A,
由正弦定理得a2=2bccos A,
又由余弦定理得a2=b2+c2-a2,
∴2a2=b2+c2.
(2)由题意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccos A=bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周长为14.
10.(2020课标Ⅱ理,17,12分,中)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
解析　(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A.②
由①②得cos A=-.
因为0(2)解法一:(正弦化角)
由正弦定理及(1)得,从而AC=2sin B,AB=2sin(π-A-B)=2sin(A+B)=3cos B-sin B.
故BC+AC+AB=3+.
又0解法二:(余弦定理+基本不等式)
记△ABC的内角A,B,C的对边分为a,b,c.
∵a=3,A=,又a2=b2+c2-2bccos A,
∴9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-(b+c)2,
∴b+c≤2(当且仅当b=c时,“=”成立),
则△ABC周长的最大值为3+2.
名师点评　　　解法一:采用正弦定理边化角,利用三角函数的有界性求解最值,若三角形是锐角三角形或有限制条件的,则采用此法解决.
解法二:求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系.
11.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解析　(1)∵(采分点:出现二倍角公式,给1分),cos B≠0,
∴, (1分)
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
即cos(A+B)=sin B, (3分)
又C=,∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos, (4分)
∵0(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈,
∵-cos C=sin=sin B,
∴C-=B,∴A=-2B, (8分)
∵A>0,∴B∈,
∴
=, (10分)
令cos2B=t,t∈,
∴-5, (11分)
当且仅当4t=,即t=时,取“=”.(扣分点,不写扣1分)
∴-5. (12分)
三年模拟
练基础
1.(2025南开二模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,a=3b.
(1)求C的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(A+3B)的值.
解析　(1)因为,
则由正弦定理可得,整理得ab=a2+b2-c2,
由余弦定理的推论可得cos C=,又C∈(0,π),故C=.
(2)由(1)知c2=a2+b2-ab,又a=3b,则c=b,
由正弦定理可得sin C=sin B,
又C=,故sin B=.
(3)因为a>b,所以B∈,
故cos B=.
所以sin 2B=2sin Bcos B=,
cos 2B=1-2sin2B=.
所以sin(A+3B)=sin
=sin 2Bcos
=.
2.(2025河西一模,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos B=.
(1)求角A的大小.
(2)设b=2,c=3.
(i)求a的值.
(ii)求cos(2B-A)的值.
解析　(1)由正弦定理,
得2sin Acos B=sin B+2sin C=sin B+2sin(A+B),
sin B+2cos Asin B=0,∵sin B≠0,
∴cos A=-,∴A=.
(2)(i)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b=2,c=3,A=,解得a=.
(ii)由cos B=,b=2,c=3,得cos B=,∴sin B=,
于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=2cos2B-1=,
故cos(2B-A)=cos
=cos 2Bcos
=.
3.(2024和平一模,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=b+2,c=b,且sin A=sin C.
(1)求c的值;
(2)求tan A的值;
(3)求cos的值.
解析　(1)由sin A=sin C以及正弦定理,得a=c,
联立.
(2)由余弦定理的推论得cos A=,因为A∈(0,π),所以sin A=,
所以tan A=.
(3)cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin Acos A=-.
所以cos.
4.(2025河东一模,16)在钝角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,cos C=.
(1)求边长c和角A的大小;
(2)求sin的值.
解析　(1)在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=72+32-2×7×3×=25,解得c=5,
sin C=,由正弦定理得:sin A=.
由a>c>b得A>C>B,又△ABC是钝角三角形,则A为钝角,于是得A=,
所以c=5,A=.
(2)由(1)知,sin 2C=2sin Ccos C=2×,cos 2C=2cos2C-1=2×,
所以sin.
5.(2025河西二模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=-3bcos B.
(1)求cos B的值.
(2)设b=a.
(i)求sin A的值;
(ii)求sin(3A+2B+C)的值.
解析　(1)因为acos C+ccos A=-3bcos B,则由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=-3sin Bcos B,
即sin(A+C)=sin B=-3sin Bcos B,
又B∈(0,π),则sin B>0,
所以cos B=-.
(2)(i)由(1)得cos B=-,则sin B=,
又b=a,则由正弦定理sin A,即sin A,
所以sin A=.
(ii)因为sin A=,sin B=,cos B=-,所以B∈,A∈,
故cos A=,
所以sin 2A=2sin Acos A=2×,cos 2A=1-2sin2A=1-2×,
所以sin(3A+2B+C)=sin(3A+2B+π-A-B)=sin[π+(2A+B)]=-sin(2A+B)
=-sin 2Acos B-cos 2Asin B=-.
6.(2024河西一模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(1+cos B)=bsin A.
(1)求角B的大小.
(2)设b=2,a-c=2.
(i)求a的值;
(ii)求sin(2A+B)的值.
解析　(1)由正弦定理及a(1+cos B)=bsin A,
可得sin A(1+cos B)=sin Bsin A,
∵sin A≠0,∴1+cos B=sin B,
即=1,
∴sin,
∵0∴B-,故B=.
(2)(i)由余弦定理的推论cos B=,结合b=2,B=,a-c=2,
得(a-c)2+2ac-(2)2=2accos,
∴ac=24,∴a=6,c=4.故a的值为6.
(ii)由余弦定理的推论得cos A=,
∴sin A=,
∴sin 2A=2sin Acos A=,
cos 2A=2cos2A-1=-,
∴sin(2A+B)=sin
=sin 2Acos.
7.(题型二)(2024天津十二区一模考前模拟,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.
(1)求a和sin C的值;
(2)求cos的值.
解析　(1)在△ABC中,∵cos A=-<0,∴A为钝角,sin A=,
由△ABC的面积为3,
可得,
即,则bc=24,
又b-c=2,解得b=6,c=4,
由a2=b2+c2-2bccos A=36+16-2×6×4×=64,可得a=8.
由正弦定理,
解得sin C=.
(2)∵sin C=且C为锐角,
∴cos C=.
∴sin 2C=2sin Ccos C=,
∴cos 2C=1-2sin2C=.
∴cos.
8.(2023南开一模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4a=c,b=11,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)求a的值;
(3)求cos(A-2C)的值.
解析　(1)因为cos C=,0因为4a=c,所以由正弦定理知4sin A=sin C,
则sin A=.
(2)因为4a=c,b=11,所以由余弦定理的推论,得cos C=,即a2+6a-55=0,解得a=5(舍负).
(3)由(2)知a由(1)得cos A=.
又sin 2C=2sin Ccos C=,
cos 2C=2cos2C-1=-,
所以cos(A-2C)=cos Acos 2C+sin Asin 2C
=.
9.(2023河西一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin A=acos.
(1)求角B的大小.
(2)设a=2,c=3.
(i)求b的值;
(ii)求sin(2A-B)的值.
解析　(1)在△ABC中,由,可得bsin A=asin B,又bsin A=acos,所以asin B=acos,即sin B=cos,即sin B=cos Bcos,即sin B=cos B,可得tan B=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)(i)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.
(ii)由bsin A=acos,可得sin A=,因为a所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=.
10.(2023河东二模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b-c=1,cos A=,S△ABC=.
(1)求边a及sin B的值;
(2)求cos的值.
解析　(1)∵cos A=,A∈(0,π),∴sin A=.
∵S△ABC=,
∴bc=6, (3分)
又b-c=1,∴b=3,c=2. (5分)
由余弦定理的推论得cos A=,解得a=(负值舍去).
由,解得sin B=1. (7分)
(2)在△ABC中,B∈(0,π),结合(1)可知B=, (8分)
∴sin C=cos A=,cos C=sin A=,
∴sin 2C=2sin Ccos C=2×,
cos 2C=2cos2C-1=, (12分)
∴cos.(14分)
11.(2023河西二模,16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的值.
(2)若a=3,b=2.
(i)求sin B的值;
(ii)求cos(2B-A)的值.
解析　(1)由正弦定理及已知得,化简得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理的推论得cos A=.
又0(2)(i)由(1)知A=,又a=3,b=2,
所以sin B=. (8分)
(ii)因为b所以cos B=. (9分)
所以sin 2B=2sin Bcos B=,
cos 2B=1-2sin2B=-. (12分)
所以cos(2B-A)=cos. (14分)
练综合
1.(题型二)(2025天津十二区重点校联考,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ccos=asin C.
(1)求角A的大小;
(2)若b=1,cos B=,求a的值;
(3)若a=2,当△ABC的周长取最大值时,求△ABC的面积.
解析　(1)ccos=asin C,
由正弦定理得sin Ccos=sin Asin C,
因为sin C≠0,所以cos=sin A,
又因为sin A=2sin,且cos≠0,所以sin,
又因为A∈(0,π),则,
所以,即A=.
(2)因为在△ABC中,cos B=,
所以sin B=,
由正弦定理,可得a=.
(3)在△ABC中,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得4=(b+c)2-2bc-2bccos,
即(b+c)2-4=3bc≤3,
所以b+c≤4,当且仅当b=c时取等号,
所以△ABC的周长的最大值为6,此时b=c=2,所以S△ABC=.
2.(题型二)(2025天津十二区重点学校二模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos A=(3b-a)cos C.
(1)求cos C的值;
(2)若a=1,c=2,求sin的值;
(3)若△ABC的面积为3,且a+b=c,求△ABC的周长L.
解析　(1)解法一:因为ccos A=(3b-a)cos C,则由正弦定理得sin Ccos A=(3sin B-sin A)cos C,
即3sin Bcos C=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,
因为B∈(0,π),则sin B>0,
故cos C=.
解法二:因为ccos A=(3b-a)cos C,所以由余弦定理的推论得c·=(3b-a)·,整理得a2+b2-c2=ab,
所以cos C=.
(2)因为cos C=,且C∈(0,π),则sin C=,
∵,a=1,c=2,
∴,∴sin A=,
∵a∴sin 2A=2sin Acos A=2×,cos 2A=2cos2A-1=2×,
∴sin.
(3)∵S△ABC=,∴ab=9,
由余弦定理得2abcos C=a2+b2-c2,
于是(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2ab(cos C+1)=24,
因为a+b=c,则(a+b)2-c2=2c2=24,所以c=2,因此a+b=c=6,
于是△ABC的周长L=a+b+c=6+2.
3.(题型二)(2025和平一模,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,c-b=2,cos A=-.
(1)求a的值;
(2)求sin C的值;
(3)求cos的值.
解析　(1)△ABC中,由cos A=-,得sin A=, (1分)
由面积为,有S=,整理得bc=3,又c-b=2,解得b=1,c=3. (4分)
由余弦定理的推论cos A=,可得a=2. (6分)
(2)由正弦定理,得sin C=. (8分)
(3)sin 2A=2sin Acos A=-,cos 2A=cos2A-sin2A=-, (12分)
cos. (14分)
4.(题型二)(2025河北一模,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,sin A=3sin B.
(1)求sin C的值;
(2)求cos的值;
(3)若△ABC的面积为,求c的值.
解析　(1)∵sin A=3sin B,
∴a=3b,而c=2b,
∴cos C=,又0∴sin C=.
(2)结合(1)得sin 2C=2sin Ccos C=,cos 2C=2cos2C-1=-,
cos.
(3)S△ABC=,则ab=6,又a=3b,则b=2,
又c=2b,则c=4.
5.(题型二)(2024河北一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2acos A.
(1)求角A;
(2)若cos C=,求cos的值;
(3)若a=2,D为AC的中点,且BD=,求△ABC的面积.
解析　(1)∵bcos C+ccos B=2acos A,∴结合正弦定理得
sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,
即sin(B+C)=sin A=2sin Acos A,
∵A∈(0,π),∴sin A≠0,
∴cos A=,故A=.
(2)∵cos C=2cos2,
∴cos2,
∵C∈(0,π),∴,
∴cos,
则sin,
∴cos.
(3)在△ABD中,由余弦定理的推论得
cos A=,
∴b2+4c2-2bc=28,
在△ABC中,由余弦定理的推论得cos A=,∴b2+c2-bc=28,
联立得3c2=bc,b=3c,
代入b2+4c2-2bc=28,解得b=6,c=2.
∴△ABC的面积S=.
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