5.1 平面向量--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.1 平面向量--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 696.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-21 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026天津版高考数学第二轮专题
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
天津专练
1.(2025天津,14,5分,中)在△ABC中,D为AB中点,=a,=b,则用a,b表示 ;若||=5,且AE⊥CB,则= .
2.(2024天津,14,5分,中)已知正方形ABCD的边长为1,,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则 .
3.(2023天津,14,5分,中)在△ABC中,BC=1,∠A=60°,,=a,=b.用a和b表示 ;若,则 .
4.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足=a,=b,用a,b表示 ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
5.(2021天津,15,5分,难)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为 ;()· .
6.(2020天津,15,5分,难)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且,,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则 .
全真全练
考点一 平面向量的概念、表示及运算
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国甲理,14,5分,中)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
4.(2020江苏,13,5分,难)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 .
考点二 平面向量的数量积
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A.
C. D.1
3.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
4.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
5.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
7.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos= ( )
A.-
C.
8.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则= ( )
A. B.3
C.2 D.5
9.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
10.(2025全国二卷,12,5分,易)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a |= .
11.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
12.(2022全国甲理,13,5分,易)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
13.(2022全国甲文,13,5分,易)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= .
14.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2023天津耀华中学统练5,6)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则a在b上的投影向量为 ( )
A.b B.-b C.a D.-a
2.(题型二)(2025天津一中月考三,12)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-a,则|a+b|为 .
3.(题型一)(2025和平期末,13)在平行四边形ABCD中,,,CE与BF交于点O.设=a,=b,请用a,b表示= ;若=λa+μb,则λ+μ= .
4.(题型二)(2025红桥一模,14)如图,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且=xa+yb,则x+y= ;若AB=3,AC=4,∠BAC=,则 .
(题型二)(2025南开一模,14)在△ABC中,AB=2,AC=6,∠BAC=,若点M为BC的中点,点N满足,点P为AM与BN的交点,用 ;
则∠MPN的余弦值为 .
6.(题型二)(2025南开期末,14)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠A=60°,,P为线段CD上一点.,则x= ;若P在线段CD上运动,则 .
7.(题型二)(2025河东一模,15)如图,在△ABC中,∠BAC=,,P为CD上一点,且满足,则m= ;若△ABC的面积为,则| .
(题型二)(2025河西期末,14)在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,D为AB的中点,P,Q是以O为圆心,2为半径的圆上的两个动点,线段PQ过点O,则,
;的最小值为 .
9.(题型二)(2025天津部分区一模,14)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,且,,则λ+μ= ;若F为线段BE上的动点,则 .
10.(题型二)(2025天津南开中学月考四,14)平面四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=,AC⊥AB,E为BC的中点,用 ;若ED=2,则的最小值为 .
11.(题型二)(2024河西二模,15)在四边形ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,∠ABC=60°,AB=2,AD=,E、F分别为线段AB、CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为 a+b ; .
12.(题型二)(2024河西期末,14)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,,(λ>0),,且|,则λ= ; .
练综合
1.(题型一)(2024天津杨村一中第三次质检,9)在△ABC中,,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 ( )
A.10 B.4 C.7 D.13
2.(题型二)(2024河北一模,9)如图,点C在以AB为直径的圆O上,AB=2,过A作圆O经过点C的切线的垂线,垂足为P,则的最大值为 ( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
(题型二)(2025南开二模,14)在梯形ABCD中,AB=AD=2,,,记=a,=b,用a和b表示 ;若点E为BD上一动点,则的最大值为
.
4.(题型二)(2025天津部分区二模,14)在△ABC中,已知=4,且|,则||= ,若D为线段AB的中点,点E满足,且P为线段AC上的动点,则 .
5.(题型二)(2025河西二模,14)在平行四边形ABCD中,cos∠BAD=-,,,四边形ABCD的面积为6,则 ;当时, .
6.(题型二)(2025天津十二区二模,14)在△ABC中,=a,=b,∠BAC=,S△ABC=2.
(1)若|b|=1,则向量a在向量b上的投影向量的模为 ;
(2)边AB和AC的中点分别为D,E,点F为CD和BE的交点,G为线段CD上靠近C的三等分点,则 .
7.(题型二)(2025天津耀华中学月考三,15)已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为O,且O点满足2=0,则sin∠ABC= .
8.(题型一)(2025天津三校缓适性测试,15)已知O为△ABC的重心,直线MN过O,交线段AB于M,交线段AC于N,其中,,则12m+3n的最小值为 .
9.(题型一)(2025天津部分区期末,14)在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,线段AD与BE相交于G点,H,F分别为AB,AC边上一点,且G,H,F三点共线,若,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ; .
10.(题型二)(2025河西一模,14)如图所示,四边形ABCD内接于圆O,AB∥CD,AB=AD=6,则= 18 ;设,且2x+6y=3,则四边形ABCD的面积为 .
11.(题型二)(2025天津南开中学统练(14),14)已知在△ABC中,点O是△ABC的外心,若||=4,=4,,则△ABC的面积为 .
12.(题型二)(2025和平一模,14)已知平面四边形ABCD满足||=2,=1,M为AB的中点,则| ,若E,F分别为线段AD,BC上的动点,且满足,则||的最小值为 .
13.(题型二)(2024天津八校二模,14)在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AC=1,,M为AD中点.记=a,=b,用a,b表示a-b ;若,则 .
14.(题型二)(2024天津耀华中学开学考,14)在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点,设=a,=b,则a+b (用a,b表示);若∠BAC=,△ABC的面积为,则当||= 时,取得最小值.
练素养
1.(题型二)(2024河北二模,9)△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则上的投影向量的长度的取值范围是 ( )
A.
C.[1,] D.[,2]
2.(题型二)(2025和平二模,14)在△ABC中,E为AC中点,G为线段BE上一点,且满足(λ∈R),则λ= ,若AG⊥BG,则当∠ACB最大时, .
3.(题型二)(2025河北一模,14)如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上.若,,则用 ;若∠PAQ=45°,则的最小值为 .
4.(题型二)(2025天津十二校一模,14)平面四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CBD=30°,BC=,点O为线段BD的中点.
(1)若∠ABD=30°,则 ;
(2)||的取值范围是 .
5.(题型二)(2025河东二模,14)《哪吒2》中的玉虚宫,形态由九宫八卦阵演变而来,设计灵感来源于汉代,内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形,结合向量知识进行主题探究活动.如图,正八边形ABCDEFGH的边长为2,∠ABC=π,点P在线段CH上且,则 ;若点Q为线段CD上的动点,则的最小值为 .
6.(题型二)(2025天津一中月考四,14)已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD=,F是线段AD的中点,,AE与BF交于点N,,则x-y的值为 ;若λ∈[-1,1],则 .
7.(题型二)(2025天津塘沽一中月考三,14)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际,许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛,寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望,设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为4,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2).若点P位于半圆弧AD的中点,则的值为 ;若点P在四个半圆的圆弧上运动,则的取值范围是 .
8.(题型一)(2024红桥一模,14)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=,E为CD的中点,P为线段AE上一点,且满足,则m= ;若 ABCD的面积为2,则| .
9.(2024天津耀华中学一模,14)如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=,D是边BC上一点,且,记(λ,μ∈R),则λ+μ= ;若点P满足共线,,则 .
10.(题型二)(2023河西二模,15)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花隔断中抽象出的几何图形.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的取值范围是 .
图1 图2
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
天津专练
1.(2025天津,14,5分,中)在△ABC中,D为AB中点,=a,=b,则用a,b表示a+b ;若||=5,且AE⊥CB,则= -15 .
2.(2024天津,14,5分,中)已知正方形ABCD的边长为1,,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则 .
3.(2023天津,14,5分,中)在△ABC中,BC=1,∠A=60°,,=a,=b.用a和b表示a+b ;若,则 .
4.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足=a,=b,用a,b表示a+b ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
5.(2021天津,15,5分,难)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为 1 ;()· .
6.(2020天津,15,5分,难)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且,,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则 .
全真全练
考点一 平面向量的概念、表示及运算
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( D )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( B )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国甲理,14,5分,中)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= - .
4.(2020江苏,13,5分,难)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 或0 .
考点二 平面向量的数量积
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( B )
A.
C. D.1
3.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( B )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
4.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( D )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
5.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= ( C )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( C )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
7.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos= ( D )
A.-
C.
8.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则= ( B )
A. B.3
C.2 D.5
9.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 ( D )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
10.(2025全国二卷,12,5分,易)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a |= .
11.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
12.(2022全国甲理,13,5分,易)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= 11 .
13.(2022全国甲文,13,5分,易)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= - .
14.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2023天津耀华中学统练5,6)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则a在b上的投影向量为 ( B )
A.b B.-b C.a D.-a
2.(题型二)(2025天津一中月考三,12)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-a,则|a+b|为 .
3.(题型一)(2025和平期末,13)在平行四边形ABCD中,,,CE与BF交于点O.设=a,=b,请用a,b表示b-a ;若=λa+μb,则λ+μ= .
4.(题型二)(2025红桥一模,14)如图,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且=xa+yb,则x+y= - ;若AB=3,AC=4,∠BAC=,则 .
(题型二)(2025南开一模,14)在△ABC中,AB=2,AC=6,∠BAC=,若点M为BC的中点,点N满足,点P为AM与BN的交点,用 ;
则∠MPN的余弦值为 .
6.(题型二)(2025南开期末,14)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠A=60°,,P为线段CD上一点.,则x= ;若P在线段CD上运动,则 .
7.(题型二)(2025河东一模,15)如图,在△ABC中,∠BAC=,,P为CD上一点,且满足,则m= ;若△ABC的面积为,则| .
8.(题型二)(2025河西期末,14)在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,D为AB的中点,P,Q是以O为圆心,2为半径的圆上的两个动点,线段PQ过点O,则, ;的最小值为 -12 .
9.(题型二)(2025天津部分区一模,14)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,且,,则λ+μ= ;若F为线段BE上的动点,则 .
10.(题型二)(2025天津南开中学月考四,14)平面四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=,AC⊥AB,E为BC的中点,用 ;若ED=2,则的最小值为 -2 .
11.(题型二)(2024河西二模,15)在四边形ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,∠ABC=60°,AB=2,AD=,E、F分别为线段AB、CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为 a+b ; .
12.(题型二)(2024河西期末,14)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,,(λ>0),,且|,则λ= ; .
练综合
1.(题型一)(2024天津杨村一中第三次质检,9)在△ABC中,,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 ( D )
A.10 B.4 C.7 D.13
2.(题型二)(2024河北一模,9)如图,点C在以AB为直径的圆O上,AB=2,过A作圆O经过点C的切线的垂线,垂足为P,则的最大值为 ( B )
A.2 B.1
C.0 D.-1
(题型二)(2025南开二模,14)在梯形ABCD中,AB=AD=2,,,记=a,=b,用a和b表示b-a ;若点E为BD上一动点,则的最大值为
3 .
4.(题型二)(2025天津部分区二模,14)在△ABC中,已知=4,且|,则||= 3 ,若D为线段AB的中点,点E满足,且P为线段AC上的动点,则 .
5.(题型二)(2025河西二模,14)在平行四边形ABCD中,cos∠BAD=-,,,四边形ABCD的面积为6,则-20 ;当时, .
6.(题型二)(2025天津十二区二模,14)在△ABC中,=a,=b,∠BAC=,S△ABC=2.
(1)若|b|=1,则向量a在向量b上的投影向量的模为 4 ;
(2)边AB和AC的中点分别为D,E,点F为CD和BE的交点,G为线段CD上靠近C的三等分点,则 .
7.(题型二)(2025天津耀华中学月考三,15)已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为O,且O点满足2=0,则sin∠ABC= .
8.(题型一)(2025天津三校缓适性测试,15)已知O为△ABC的重心,直线MN过O,交线段AB于M,交线段AC于N,其中,,则12m+3n的最小值为 9 .
9.(题型一)(2025天津部分区期末,14)在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,线段AD与BE相交于G点,H,F分别为AB,AC边上一点,且G,H,F三点共线,若,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ; .
10.(题型二)(2025河西一模,14)如图所示,四边形ABCD内接于圆O,AB∥CD,AB=AD=6,则= 18 ;设,且2x+6y=3,则四边形ABCD的面积为 16 .
11.(题型二)(2025天津南开中学统练(14),14)已知在△ABC中,点O是△ABC的外心,若||=4,=4,,则△ABC的面积为 2 .
12.(题型二)(2025和平一模,14)已知平面四边形ABCD满足||=2,=1,M为AB的中点,则| ,若E,F分别为线段AD,BC上的动点,且满足,则||的最小值为 4 .
13.(题型二)(2024天津八校二模,14)在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AC=1,,M为AD中点.记=a,=b,用a,b表示a-b ;若,则 .
14.(题型二)(2024天津耀华中学开学考,14)在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点,设=a,=b,则a+b (用a,b表示);若∠BAC=,△ABC的面积为,则当||= 2 时,取得最小值.
练素养
1.(题型二)(2024河北二模,9)△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则上的投影向量的长度的取值范围是 ( B )
A.
C.[1,] D.[,2]
2.(题型二)(2025和平二模,14)在△ABC中,E为AC中点,G为线段BE上一点,且满足(λ∈R),则λ= ,若AG⊥BG,则当∠ACB最大时, .
3.(题型二)(2025河北一模,14)如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上.若,,则用 ;若∠PAQ=45°,则的最小值为 12(-1) .
4.(题型二)(2025天津十二校一模,14)平面四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CBD=30°,BC=,点O为线段BD的中点.
(1)若∠ABD=30°,则 ;
(2)||的取值范围是 [0,) .
5.(题型二)(2025河东二模,14)《哪吒2》中的玉虚宫,形态由九宫八卦阵演变而来,设计灵感来源于汉代,内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形,结合向量知识进行主题探究活动.如图,正八边形ABCDEFGH的边长为2,∠ABC=π,点P在线段CH上且,则 ;若点Q为线段CD上的动点,则的最小值为 0 .
6.(题型二)(2025天津一中月考四,14)已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD=,F是线段AD的中点,,AE与BF交于点N,,则x-y的值为 - ;若λ∈[-1,1],则 .
7.(题型二)(2025天津塘沽一中月考三,14)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际,许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛,寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望,设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为4,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2).若点P位于半圆弧AD的中点,则的值为 -8 ;若点P在四个半圆的圆弧上运动,则的取值范围是 [-8-8,8+8] .
8.(题型一)(2024红桥一模,14)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=,E为CD的中点,P为线段AE上一点,且满足,则m= ;若 ABCD的面积为2,则| .
9.(2024天津耀华中学一模,14)如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=,D是边BC上一点,且,记(λ,μ∈R),则λ+μ= - ;若点P满足共线,,则 .
10.(题型二)(2023河西二模,15)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花隔断中抽象出的几何图形.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的取值范围是 [0,4+4] .
图1 图2
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2026天津版高考数学第二轮专题
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
天津专练
1.(2025天津,14,5分,中)在△ABC中,D为AB中点,=a,=b,则用a,b表示 ;若||=5,且AE⊥CB,则= .
2.(2024天津,14,5分,中)已知正方形ABCD的边长为1,,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则 .
3.(2023天津,14,5分,中)在△ABC中,BC=1,∠A=60°,,=a,=b.用a和b表示 ;若,则 .
4.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足=a,=b,用a,b表示 ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
5.(2021天津,15,5分,难)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为 ;()· .
6.(2020天津,15,5分,难)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且,,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则 .
全真全练
考点一 平面向量的概念、表示及运算
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国甲理,14,5分,中)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
4.(2020江苏,13,5分,难)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 .
考点二 平面向量的数量积
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A.
C. D.1
3.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
4.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
5.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
7.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos
A.-
C.
8.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则= ( )
A. B.3
C.2 D.5
9.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
10.(2025全国二卷,12,5分,易)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a |= .
11.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
12.(2022全国甲理,13,5分,易)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
13.(2022全国甲文,13,5分,易)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= .
14.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2023天津耀华中学统练5,6)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则a在b上的投影向量为 ( )
A.b B.-b C.a D.-a
2.(题型二)(2025天津一中月考三,12)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-a,则|a+b|为 .
3.(题型一)(2025和平期末,13)在平行四边形ABCD中,,,CE与BF交于点O.设=a,=b,请用a,b表示= ;若=λa+μb,则λ+μ= .
4.(题型二)(2025红桥一模,14)如图,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且=xa+yb,则x+y= ;若AB=3,AC=4,∠BAC=,则 .
(题型二)(2025南开一模,14)在△ABC中,AB=2,AC=6,∠BAC=,若点M为BC的中点,点N满足,点P为AM与BN的交点,用 ;
则∠MPN的余弦值为 .
6.(题型二)(2025南开期末,14)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠A=60°,,P为线段CD上一点.,则x= ;若P在线段CD上运动,则 .
7.(题型二)(2025河东一模,15)如图,在△ABC中,∠BAC=,,P为CD上一点,且满足,则m= ;若△ABC的面积为,则| .
(题型二)(2025河西期末,14)在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,D为AB的中点,P,Q是以O为圆心,2为半径的圆上的两个动点,线段PQ过点O,则,
;的最小值为 .
9.(题型二)(2025天津部分区一模,14)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,且,,则λ+μ= ;若F为线段BE上的动点,则 .
10.(题型二)(2025天津南开中学月考四,14)平面四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=,AC⊥AB,E为BC的中点,用 ;若ED=2,则的最小值为 .
11.(题型二)(2024河西二模,15)在四边形ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,∠ABC=60°,AB=2,AD=,E、F分别为线段AB、CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为 a+b ; .
12.(题型二)(2024河西期末,14)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,,(λ>0),,且|,则λ= ; .
练综合
1.(题型一)(2024天津杨村一中第三次质检,9)在△ABC中,,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 ( )
A.10 B.4 C.7 D.13
2.(题型二)(2024河北一模,9)如图,点C在以AB为直径的圆O上,AB=2,过A作圆O经过点C的切线的垂线,垂足为P,则的最大值为 ( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
(题型二)(2025南开二模,14)在梯形ABCD中,AB=AD=2,,,记=a,=b,用a和b表示 ;若点E为BD上一动点,则的最大值为
.
4.(题型二)(2025天津部分区二模,14)在△ABC中,已知=4,且|,则||= ,若D为线段AB的中点,点E满足,且P为线段AC上的动点,则 .
5.(题型二)(2025河西二模,14)在平行四边形ABCD中,cos∠BAD=-,,,四边形ABCD的面积为6,则 ;当时, .
6.(题型二)(2025天津十二区二模,14)在△ABC中,=a,=b,∠BAC=,S△ABC=2.
(1)若|b|=1,则向量a在向量b上的投影向量的模为 ;
(2)边AB和AC的中点分别为D,E,点F为CD和BE的交点,G为线段CD上靠近C的三等分点,则 .
7.(题型二)(2025天津耀华中学月考三,15)已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为O,且O点满足2=0,则sin∠ABC= .
8.(题型一)(2025天津三校缓适性测试,15)已知O为△ABC的重心,直线MN过O,交线段AB于M,交线段AC于N,其中,,则12m+3n的最小值为 .
9.(题型一)(2025天津部分区期末,14)在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,线段AD与BE相交于G点,H,F分别为AB,AC边上一点,且G,H,F三点共线,若,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ; .
10.(题型二)(2025河西一模,14)如图所示,四边形ABCD内接于圆O,AB∥CD,AB=AD=6,则= 18 ;设,且2x+6y=3,则四边形ABCD的面积为 .
11.(题型二)(2025天津南开中学统练(14),14)已知在△ABC中,点O是△ABC的外心,若||=4,=4,,则△ABC的面积为 .
12.(题型二)(2025和平一模,14)已知平面四边形ABCD满足||=2,=1,M为AB的中点,则| ,若E,F分别为线段AD,BC上的动点,且满足,则||的最小值为 .
13.(题型二)(2024天津八校二模,14)在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AC=1,,M为AD中点.记=a,=b,用a,b表示a-b ;若,则 .
14.(题型二)(2024天津耀华中学开学考,14)在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点,设=a,=b,则a+b (用a,b表示);若∠BAC=,△ABC的面积为,则当||= 时,取得最小值.
练素养
1.(题型二)(2024河北二模,9)△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则上的投影向量的长度的取值范围是 ( )
A.
C.[1,] D.[,2]
2.(题型二)(2025和平二模,14)在△ABC中,E为AC中点,G为线段BE上一点,且满足(λ∈R),则λ= ,若AG⊥BG,则当∠ACB最大时, .
3.(题型二)(2025河北一模,14)如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上.若,,则用 ;若∠PAQ=45°,则的最小值为 .
4.(题型二)(2025天津十二校一模,14)平面四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CBD=30°,BC=,点O为线段BD的中点.
(1)若∠ABD=30°,则 ;
(2)||的取值范围是 .
5.(题型二)(2025河东二模,14)《哪吒2》中的玉虚宫,形态由九宫八卦阵演变而来,设计灵感来源于汉代,内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形,结合向量知识进行主题探究活动.如图,正八边形ABCDEFGH的边长为2,∠ABC=π,点P在线段CH上且,则 ;若点Q为线段CD上的动点,则的最小值为 .
6.(题型二)(2025天津一中月考四,14)已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD=,F是线段AD的中点,,AE与BF交于点N,,则x-y的值为 ;若λ∈[-1,1],则 .
7.(题型二)(2025天津塘沽一中月考三,14)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际,许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛,寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望,设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为4,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2).若点P位于半圆弧AD的中点,则的值为 ;若点P在四个半圆的圆弧上运动,则的取值范围是 .
8.(题型一)(2024红桥一模,14)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=,E为CD的中点,P为线段AE上一点,且满足,则m= ;若 ABCD的面积为2,则| .
9.(2024天津耀华中学一模,14)如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=,D是边BC上一点,且,记(λ,μ∈R),则λ+μ= ;若点P满足共线,,则 .
10.(题型二)(2023河西二模,15)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花隔断中抽象出的几何图形.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的取值范围是 .
图1 图2
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
天津专练
1.(2025天津,14,5分,中)在△ABC中,D为AB中点,=a,=b,则用a,b表示a+b ;若||=5,且AE⊥CB,则= -15 .
2.(2024天津,14,5分,中)已知正方形ABCD的边长为1,,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则 .
3.(2023天津,14,5分,中)在△ABC中,BC=1,∠A=60°,,=a,=b.用a和b表示a+b ;若,则 .
4.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足=a,=b,用a,b表示a+b ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
5.(2021天津,15,5分,难)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为 1 ;()· .
6.(2020天津,15,5分,难)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且,,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则 .
全真全练
考点一 平面向量的概念、表示及运算
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( D )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( B )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国甲理,14,5分,中)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= - .
4.(2020江苏,13,5分,难)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 或0 .
考点二 平面向量的数量积
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( B )
A.
C. D.1
3.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( B )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
4.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( D )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
5.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= ( C )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( C )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
7.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos
A.-
C.
8.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则= ( B )
A. B.3
C.2 D.5
9.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 ( D )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
10.(2025全国二卷,12,5分,易)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a |= .
11.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
12.(2022全国甲理,13,5分,易)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= 11 .
13.(2022全国甲文,13,5分,易)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= - .
14.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
三年模拟
练基础
1.(题型二)(2023天津耀华中学统练5,6)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则a在b上的投影向量为 ( B )
A.b B.-b C.a D.-a
2.(题型二)(2025天津一中月考三,12)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-a,则|a+b|为 .
3.(题型一)(2025和平期末,13)在平行四边形ABCD中,,,CE与BF交于点O.设=a,=b,请用a,b表示b-a ;若=λa+μb,则λ+μ= .
4.(题型二)(2025红桥一模,14)如图,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为BC,AC的中点,P为AD与BF的交点,且=xa+yb,则x+y= - ;若AB=3,AC=4,∠BAC=,则 .
(题型二)(2025南开一模,14)在△ABC中,AB=2,AC=6,∠BAC=,若点M为BC的中点,点N满足,点P为AM与BN的交点,用 ;
则∠MPN的余弦值为 .
6.(题型二)(2025南开期末,14)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠A=60°,,P为线段CD上一点.,则x= ;若P在线段CD上运动,则 .
7.(题型二)(2025河东一模,15)如图,在△ABC中,∠BAC=,,P为CD上一点,且满足,则m= ;若△ABC的面积为,则| .
8.(题型二)(2025河西期末,14)在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,D为AB的中点,P,Q是以O为圆心,2为半径的圆上的两个动点,线段PQ过点O,则, ;的最小值为 -12 .
9.(题型二)(2025天津部分区一模,14)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,且,,则λ+μ= ;若F为线段BE上的动点,则 .
10.(题型二)(2025天津南开中学月考四,14)平面四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=,AC⊥AB,E为BC的中点,用 ;若ED=2,则的最小值为 -2 .
11.(题型二)(2024河西二模,15)在四边形ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,∠ABC=60°,AB=2,AD=,E、F分别为线段AB、CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为 a+b ; .
12.(题型二)(2024河西期末,14)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,,(λ>0),,且|,则λ= ; .
练综合
1.(题型一)(2024天津杨村一中第三次质检,9)在△ABC中,,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 ( D )
A.10 B.4 C.7 D.13
2.(题型二)(2024河北一模,9)如图,点C在以AB为直径的圆O上,AB=2,过A作圆O经过点C的切线的垂线,垂足为P,则的最大值为 ( B )
A.2 B.1
C.0 D.-1
(题型二)(2025南开二模,14)在梯形ABCD中,AB=AD=2,,,记=a,=b,用a和b表示b-a ;若点E为BD上一动点,则的最大值为
3 .
4.(题型二)(2025天津部分区二模,14)在△ABC中,已知=4,且|,则||= 3 ,若D为线段AB的中点,点E满足,且P为线段AC上的动点,则 .
5.(题型二)(2025河西二模,14)在平行四边形ABCD中,cos∠BAD=-,,,四边形ABCD的面积为6,则-20 ;当时, .
6.(题型二)(2025天津十二区二模,14)在△ABC中,=a,=b,∠BAC=,S△ABC=2.
(1)若|b|=1,则向量a在向量b上的投影向量的模为 4 ;
(2)边AB和AC的中点分别为D,E,点F为CD和BE的交点,G为线段CD上靠近C的三等分点,则 .
7.(题型二)(2025天津耀华中学月考三,15)已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为O,且O点满足2=0,则sin∠ABC= .
8.(题型一)(2025天津三校缓适性测试,15)已知O为△ABC的重心,直线MN过O,交线段AB于M,交线段AC于N,其中,,则12m+3n的最小值为 9 .
9.(题型一)(2025天津部分区期末,14)在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,线段AD与BE相交于G点,H,F分别为AB,AC边上一点,且G,H,F三点共线,若,其中λ,μ为实数,则λ+μ= ; .
10.(题型二)(2025河西一模,14)如图所示,四边形ABCD内接于圆O,AB∥CD,AB=AD=6,则= 18 ;设,且2x+6y=3,则四边形ABCD的面积为 16 .
11.(题型二)(2025天津南开中学统练(14),14)已知在△ABC中,点O是△ABC的外心,若||=4,=4,,则△ABC的面积为 2 .
12.(题型二)(2025和平一模,14)已知平面四边形ABCD满足||=2,=1,M为AB的中点,则| ,若E,F分别为线段AD,BC上的动点,且满足,则||的最小值为 4 .
13.(题型二)(2024天津八校二模,14)在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AC=1,,M为AD中点.记=a,=b,用a,b表示a-b ;若,则 .
14.(题型二)(2024天津耀华中学开学考,14)在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点,设=a,=b,则a+b (用a,b表示);若∠BAC=,△ABC的面积为,则当||= 2 时,取得最小值.
练素养
1.(题型二)(2024河北二模,9)△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则上的投影向量的长度的取值范围是 ( B )
A.
C.[1,] D.[,2]
2.(题型二)(2025和平二模,14)在△ABC中,E为AC中点,G为线段BE上一点,且满足(λ∈R),则λ= ,若AG⊥BG,则当∠ACB最大时, .
3.(题型二)(2025河北一模,14)如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上.若,,则用 ;若∠PAQ=45°,则的最小值为 12(-1) .
4.(题型二)(2025天津十二校一模,14)平面四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CBD=30°,BC=,点O为线段BD的中点.
(1)若∠ABD=30°,则 ;
(2)||的取值范围是 [0,) .
5.(题型二)(2025河东二模,14)《哪吒2》中的玉虚宫,形态由九宫八卦阵演变而来,设计灵感来源于汉代,内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形,结合向量知识进行主题探究活动.如图,正八边形ABCDEFGH的边长为2,∠ABC=π,点P在线段CH上且,则 ;若点Q为线段CD上的动点,则的最小值为 0 .
6.(题型二)(2025天津一中月考四,14)已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD=,F是线段AD的中点,,AE与BF交于点N,,则x-y的值为 - ;若λ∈[-1,1],则 .
7.(题型二)(2025天津塘沽一中月考三,14)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际,许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛,寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望,设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为4,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2).若点P位于半圆弧AD的中点,则的值为 -8 ;若点P在四个半圆的圆弧上运动,则的取值范围是 [-8-8,8+8] .
8.(题型一)(2024红桥一模,14)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=,E为CD的中点,P为线段AE上一点,且满足,则m= ;若 ABCD的面积为2,则| .
9.(2024天津耀华中学一模,14)如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=,D是边BC上一点,且,记(λ,μ∈R),则λ+μ= - ;若点P满足共线,,则 .
10.(题型二)(2023河西二模,15)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花隔断中抽象出的几何图形.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的取值范围是 [0,4+4] .
图1 图2
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