6.1　数列的概念及表示--2026天津版高考数学第二轮专题强化练（含解析）

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2026天津版高考数学第二轮专题
专题六　数列
6.1　数列的概念及表示
五年高考
天津专练
(2023天津,6,5分,易)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4= (　　)
A.16　　　　B.32　　　　C.54　　　　D.162
全真全练
考点　数列的概念及表示
1.(2021北京,10,4分,中)设数列{an}是递增的整数数列,若a1≥3,a1+a2+a3+…+an=100,则n的最大值为 (　　)
A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.12
2.(2020浙江,11,4分,易)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(n∈N*)的前3项和是　　.
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分,易)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
4.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
三年模拟
练基础
1.(2025天津塘沽一中月考三,2)若数列{an}为等比数列,则“a3≥1”是“a1+a5≥2”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(题型二)(2025天津一中月考三,4)在数列{an}中,若a2=2,an=(n+2)(an+1-an),则a2 024= (　　)
A.1 012　　　　B.1 013
C.2 023　　　　D.2 024
3.(题型二)(2025河北二模,6)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10= (　　)
A.3 059　　　　B.2 056
C.1 033　　　　D.520
4.(题型二)(2025南开二模,7)若数列{an}满足a1=2,a2=1,且an+2=则{an}的前2 025项的和为　　 (　　)
A.1 350　　　　B.1 352
C.2 025　　　　D.2 026
5.(题型二)(2025和平一模,13)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+(n∈N*),则a5= 　.
练素养
1.(题型二)(2025南开中学滨海生态城学校月考三,7)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”,最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列{an},即a1=1,a2=3,a3=6,……,且满足an=an-1+n(n≥2),则第六层球的个数a6为 (　　)
A.28　　　　B.21
C.15　　　　D.10
2.(题型二)(2025南开期末,8)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,……,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a10= (　　)
A.10　　　　B.55
C.89　　　　D.99
专题六　数列
6.1　数列的概念及表示
五年高考
天津专练
(2023天津,6,5分,易)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4= (　C　)
A.16　　　　B.32　　　　C.54　　　　D.162
全真全练
考点　数列的概念及表示
1.(2021北京,10,4分,中)设数列{an}是递增的整数数列,若a1≥3,a1+a2+a3+…+an=100,则n的最大值为 (　C　)
A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.12
2.(2020浙江,11,4分,易)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(n∈N*)的前3项和是　10　.
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分,易)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
解析　(1)由题设可得a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2(k∈N*),故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3,即bn+1-bn=3,
又b1=a2=a1+1=2,b2=b1+3=5,
所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,
故bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)当n为奇数时,an=an+1-1.
设数列{an}的前n项和为Sn,
则S20=a1+a2+…+a20
=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=[(a2-1)+(a4-1)+…+(a20-1)]+(a2+a4+…+a20)
=2(a2+a4+…+a20)-10
=2(b1+b2+…+b10)-10
=2×-10=300,
即{an}的前20项和为300.
4.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析　(1)证明:第一步:利用bn与Sn的关系消去Sn,找到bn与bn-1的关系式.
由=2知,
当n=1时,=2,即=2,所以b1=S1=,
当n≥2时,bn=S1·S2·…·Sn,
bn-1=S1·S2·…·Sn-1,
所以Sn=,(注意理解“bn是{Sn}的前n项积”)
故=2,即2bn=2bn-1+1.
第二步:整理bn与bn-1的关系式,用定义法证明等差数列.
所以bn-bn-1=,n≥2,
故数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
(2)第一步:写出等差数列的通项公式bn,并利用Sn与bn的关系写出Sn.
由(1)知,bn=+(n-1)×,
故当n≥2时,Sn=,S1也符合该式,即Sn=(n∈N*).
第二步:利用前n项和Sn求通项an.
当n=1时,a1=S1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,a1不符合该式,
所以an=
名师点拨　　　本题考查学生对数列前n项和、前n项积与项的关系的理解.在第(2)问中,也可以将bn代入=2中求Sn.
三年模拟
练基础
1.(2025天津塘沽一中月考三,2)若数列{an}为等比数列,则“a3≥1”是“a1+a5≥2”的 (　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(题型二)(2025天津一中月考三,4)在数列{an}中,若a2=2,an=(n+2)(an+1-an),则a2 024= (　B　)
A.1 012　　　　B.1 013
C.2 023　　　　D.2 024
3.(题型二)(2025河北二模,6)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10= (　C　)
A.3 059　　　　B.2 056
C.1 033　　　　D.520
4.(题型二)(2025南开二模,7)若数列{an}满足a1=2,a2=1,且an+2=则{an}的前2 025项的和为　　 (　B　)
A.1 350　　　　B.1 352
C.2 025　　　　D.2 026
5.(题型二)(2025和平一模,13)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+(n∈N*),则a5= -2　.
练素养
1.(题型二)(2025南开中学滨海生态城学校月考三,7)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”,最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列{an},即a1=1,a2=3,a3=6,……,且满足an=an-1+n(n≥2),则第六层球的个数a6为 (　B　)
A.28　　　　B.21
C.15　　　　D.10
2.(题型二)(2025南开期末,8)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,……,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a10= (　C　)
A.10　　　　B.55
C.89　　　　D.99
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