广西省高三跨市联考2025-2026学年上学期1月月考数学试卷(含解析)

2026届高中毕业班1月份适应性测试
数学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合是不大于6的正奇数，，则
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
2.等比数列中，，，则
A.2　　　　　　 B.4　　　　　　 C.8　　　　　　 D.1
3.在复平面内，对应的点位于
A.第一象限　　　 B.第二象限　　　 C.第三象限　　　 D.第四象限
4.已知平面向量，，若，则
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
5.已知直线平分圆的面积，则
A.0　　　　　　 B. 　　　　　
C.2　　　　　　 D.1
6.已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为
A.1　　　　　　 B.2　　　　　　 C.3　　　　　　 D.4
7.将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
8. 半径为2的球 的球面上有四点 ，，，，其中 为球 直径， 是等边三角形，若 ，则四面体 的体积为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，其焦点分别为 ，，点 在 上，则
A.
B. 的离心率可以为
C. 当 时，点 到渐近线的距离为6
D. 当 时，
10. 记 为正项数列 的前 项和，且 ，则
A.
B. 是等差数列
C. 是递增数列
D. 是递增数列
11. 已知函数 ，， 是奇函数， 是偶函数。当 时，，则
A.
B. 对任意 ，
C. 当且仅当
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 椭圆 的四个顶点围成四边形的周长与面积的比值为 ______。
13. 已知函数 ，若曲线 关于点 中心对称，则 的最小值为 ______。
14. 若 ，，则 ______。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求C;
(2)若BC边上的高为，求c与的外接圆半径。
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当时，证明：.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱台中，，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）点M满足，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 。设 为正整数，点 为 上一点，直线 交 于另一点 。
（1） 求 ；
（2） 证明： 为定值，并求该定值；
（3） 分别作以点 与点 为切点的抛物线的两条切线相交于点 ，证明：。
19.（本小题满分17分）
设函数 ，集合 。，设 的图象与 轴有交点的概率为 。
（1） 求 的值；
（2） 求 关于 的表达式；
（3） 证明：。
参考公式：。
参考答案
2026届高中毕业班1月份适应性测试
数学参考答案及解析
一、选择题
1.B 【解析】显然，于是。故选B。
2.A 【解析】由等比数列的性质可得，故。故选A。
3.C 【解析】易得，由复数的几何意义可知其对应的点位于第三象限。故选C。
4.D 【解析】显然，由得，解得。故选D。
5.A 【解析】圆变形可得，圆心为，由题意可知直线经过圆心，所以。故选A。
6.B 【解析】不妨设圆心角为，半径为，，，得，即，得或（舍），其半径，故弧长。故选B。
7.D 【解析】记事件：抽到的两个字母相同，事件：抽到的字母均为，注意到重复情况仅可能为两个或两个，故，，于是。故选D。
8.D 【解析】记中点为，，延长交球于点。注意到，，，记外接圆圆心为，显然为中点，于是，对应可得，，。注意到，由得，于是，，故四面体的体积。故选D。
二、选择题
9.BD 【解析】对于，直接考虑得，即，由得，故错误；对于，，当时，，其半焦距为，实半轴长为，可得离
心率为，故B正确；对于C，此时，半焦距为，不妨设，其到渐近线的距离，故C错误；对于D，此时，由定义知，故D正确。故选BD。
10.ACD 【解析】对于A，注意到，，，，由得，故A正确；对于B，实际上，，，，显然，故B错误；对于C，显然，两式相减得，即，故C正确，对于D，注意到，可得是递增数列，故D正确。故选ACD。
11.ABD 【解析】对于A，显然，可知曲线关于对称，而其自身关于对称，可知对于任意整数，关于对称，于是，故A正确；对于B，显然成立，构造，显然是偶函数，是奇函数，而，，于是，同理，故B正确；对于C，此时取可得矛盾，故C错误；对于D，注意到，均为以4为周期的函数，易知与的图象均为由与于上的图象平移所得，故，故D正确。故选ABD。
三、填空题
12. 【解析】显然椭圆的长半轴，短半轴，其周长，面积，可得。故答案为。
13. 【解析】易知正切函数的对称中心为，故由条件知，即，由知，，由得，故答案为。
14.4 【解析】注意到，即，且，。显然函数在上单调递增，故由得，即。故答案为4。
四、解答题
15. 解：（1）由余弦定理得 。（2分）
得 ，（3分）
由 知 ，由 得 。（5分）
（2）作 ，垂足为 。
显然 ，故 。（8分）
于是 。（9分）
故由勾股定理得 。（11分）
于是 的外接圆半径 。（13分）
16. 解：（1） 。（1分）
当 时，， 单调递增；（3分）
当 时， 时，， 单调递增；（4分）
时，， 单调递减；（5分）
时，， 单调递增。（6分）
（2）此时 ，（7分）
设 ，。（8分）
当 时，， 单调递增； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增。（11分）
此时 ，（12分）
，（13分）
故 ，于是 。（15分）
17. 解：（1）由 平面 ， 平面 知 ，（1分）
由 ，， 平面 ， 平面 得 平面 ，
（2分）
由 平面 知 ，（3分）
由几何关系知 ，于是 ，（4分）
由 ， 平面 ， 平面 可得 平面 ，（5分）
由 平面 得平面 平面 。（6分）
（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 。（7分）
不妨设 ，则 ，，，，于是 ，
10， -1）。 （9分）
显然平面 的一个法向量 。 （11分）
设平面 的一个法向量为 。
，即 ，可取 。 （13分）
记平面 与平面 的夹角为 ，。 （15分）
18. 解：（1） 抛物线 等价于 ，由于焦点为 ，则有 。 （2分）
解得 。 （3分）
（2） 由（1），，设直线 方程为 。 （4分）
联立 ，得 。 （6分）
由于 ， 为直线与抛物线交点，故 ， 为上述方程的两根，故由韦达定理，，也即为定值。 （9分）
（3） 抛物线在 处的斜率 。
故切线方程为 。 （10分）
同理，在 处的切线方程为 。 （11分）
两式相减得 ，也即 ，解得 。 （13分）
代入切线方程得 。
故 。 （15分）
则由基本不等式，，当且仅当 时，等号成立。 （16分）
故 ，得证。 （17分）
19. 解：（1） 题目等价于 存在零点的概率。令 ，即 ，即 。 （2分）
当 时，任取2个可相等的数的总方式为 ，其中满足 的方式为 ，，，，，， 共七种，故 。 （5分）
（2） 由（1）可知等价于求 的概率。
①当 时，。又 为 中的元素，故 恒成立，此时仅需考虑 的总取法。此时 的总取法为 ， 的总取法为 ，故两者相乘可得总取法数为 。