(共60张PPT)
专题三
电场与磁场
微专题8 磁场性质及带电粒子在磁场中的运动
知能整合
1. 磁场的产生与叠加
2. 安培力与洛伦兹力
种类 力的大小 力的方向 作用效果 联系
安培力 通电导线与磁场垂直时，F安＝BIL 左手定则
(F安垂直于I与B决定的平面) 安培力对导体做功 导体中定向移动的电荷所受的洛伦兹力宏观表现为安培力
洛伦兹力 电荷运动方向与磁场方向垂直时，F洛＝Bqv 左手定则
(F洛垂直于q与v决定的平面) 洛伦兹力不做功，只改变速度的方向
3. 带电粒子在磁场中的圆周运动
运动电荷B⊥v时，运动电荷受洛伦兹力F洛＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
真题引领
考情一 磁场叠加 安培力
1. (2025·江苏卷)某“冰箱贴”背面的磁性材料磁感线如图所示，下列说法中正确的是( )
A. a点的磁感应强度大于b点
B. b点的磁感应强度大于c点
C. c点的磁感应强度大于a点
D. a、b、c点的磁感应强度一样大
【解析】磁感线越密集的地方磁感应强度越大，故可知Bb>Ba>Bc，故B正确．
B
2. (2023·江苏卷)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B.L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中．已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行．该导线受到的安培力为( )
A. 0
B. BIl
C. 2BIl
【解析】因bc段与磁场方向平行，则不受安培力；ab段与磁场方向垂直，则受安培力为Fab＝BI·2l＝2BIl，则该导线受到的安培力为2BIl，故C正确．
C
3. (2022·江苏卷)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
C
【解析】如图所示，根据安培定则，可判断出导线a左侧部分的空间磁场方向斜向右上方，右侧部分的磁场方向斜向右下方，根据左手定则可判断出左半部分的安培力垂直纸面向外，右半部分的安培力垂直纸面向里，故C正确．
考情二 带电粒子在匀强磁场中的运动
4. (2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积．如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B.液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0.下列说法中错误的是( )
A. N点电势比M点高
B. U0正比于流量Q
C. 在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小
D. 若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小
C
5. (2025·安徽卷)如图所示，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子．位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子．已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为.不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则( )
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
C
能力融通
1
考向1 磁场叠加 安培力
(2025·湖北卷)如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，放置一通电圆线圈，圆心为O点，线圈平面与磁场垂直．在圆线圈的轴线上有M和N两点，它们到O点的距离相等．已知M点的总磁感应强度大小为0，则N点的总磁感应强度大小为( )
A. 0 B. B
C. 2B D. 3B
【解析】由右手螺旋定则及对称性可知，环形电流在N点产生的磁场与M点等大同向．由于M点磁感应强度为0，由矢量合成法则可知题图中匀强磁场与M点磁场等大反向，即匀强磁场与N点的磁场等大反向，N点的磁感应强度为0，故A正确．
A
2
(2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)一根不可伸长的直导线垂直于匀强磁场B放置，通过电流I时导线受到的安培力为F，将该导线做成半圆环，圆环平面仍垂直于匀强磁场放置，如图所示，并保持安培力不变，则圆环中电流大小为( )
B
两个等效模型
(1) 变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流．
(2) 化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示．
规律总结
甲
乙
(2024·如皋调研)如图所示，粗细均匀的正方形导体框
边长为L，磁感应强度为B的匀强磁场与导体框平面垂直，从导体
框的对角流入、流出大小为I的电流，则导体框受到安培力的大小
为( )
A. 0 B. BIL
1
C
3
考向2 带电粒子在匀强磁场中的运动
(1) 粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径．
(2) 粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距．
(3) 粒子的运动周期．
(3) 由图可知粒子在左边磁场运动的时间
根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离
所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为
带电粒子在匀强磁场中运动的解题三步骤
规律总结
如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动轨迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列说法中正确的是( )
A. 沿轨迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B. 沿轨迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
D. 沿轨迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
2
C
4
考向3 临界极值问题
下列说法中错误的是( )
C
【解析】由题意，作出a粒子运动轨迹图，如图甲所示
甲
乙 丙
四类动态圆模型
规律总结
动态圆模型 示意图 适用条件 应用方法
放缩圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切
动态圆模型 示意图 适用条件 应用方法
磁聚焦与
磁发散
磁聚焦 磁发散 粒子速度大小相同，轨迹圆半径等于磁场区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦；从边缘某点以不同方向入射时平行出射——磁发散
(2025·苏锡常镇调研二)如图所示，xOy平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1和2，磁场方向垂直纸面向外，磁场1的磁感应强度大小为B.坐标轴上P、Q两点坐标分别为(0，L)、(L,0)．位于P处的离子源可以发射质量为m、电荷量为q、速度方向与＋y轴夹角为θ的不同速度的正离子．不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应．
(1) 当θ＝90°时， 发射的离子a恰好可以垂直穿过x轴，
求离子a的速度v.
(2) 当θ＝45°时，发射的离子b第一次经过x轴时经过Q
点且恰好不离开磁场区域，求磁场2的磁感应强度B2的大小．
(3) 在(2)情况中仅改变磁场2的强弱，可使发射的离子b
两次经过Q点，求离子b前后两次经过Q点的时间间隔t.
3
【解析】(1) 当θ＝90°时，离子a做圆周运动的半径
ra＝L
(2) 当θ＝45°时，离子b再次回到磁场1中时，运动
轨迹正好与y轴相切，如图所示．
由几何关系知OA＝r1(1－cos 45°)
AQ＝L－OA
(3) 设离子b在磁场2中的半径为rk
由几何关系可知，离子经过Q点后，再穿过k次磁场1后，可再次经过Q点，必须满足
热练
1. (2025·苏州调研)如图所示为三根平行直导线的截面图，若它们的电流大小都相同，方向垂直纸面向里，且如果AB＝AC＝AD，则A点的磁感应强度的方向为( )
A. 沿AB方向
B. 沿AD方向
C. 沿AC方向
D. 沿DA方向
【解析】根据右手螺旋定则可知，B处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿AC方向，C处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿AD方向，D处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿CA方向，且磁感应强度的大小均相等，所以A点合磁感应强度的方向沿AD方向，故B正确．
B
2. (2025·无锡期末调研)如图所示，金属杆ab长为l，通过的电流为I，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面成θ角斜向上，金属杆ab受到的安培力大小为( )
A. F＝IlB B. F＝IlBsin θ
C. F＝IlBcos θ D. F＝IlBtan θ
【解析】 电流与磁场垂直，安培力F＝IlB，A正确．
A
3. (2025·镇江质监)两根相同的弹性导线平行放置，分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1>I2.下列图像可能正确的是( )
【解析】由安培定则可知方向向下的电流I1在方向向上的电流I2处产生的磁场垂直向外，由左手定则可知I2受力向右．同理可知I1受力向左，即两导线相互排斥，由牛顿第三定律可知两力大小相等，两根相同的弹性导线形变量相同，故C正确．
A B C D
C
4. (2025·福建卷)如图所示，空间中存在两根无限长直导线L1与L2，通有大小相等，方向相反的电流．导线周围存在M、O、N三点，M与O关于L1对称，O与N关于L2对称，且OM＝ON，初始时，M处的磁感应强度大小为B1，O点磁感应强度大小为B2，现保持L1中电流不变，仅将L2撤去，此时N点的磁感应强度大小为( )
C. B2－B1 D. B1－B2
B
5. (2025·无锡期末调研)氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示，则在电子运动的过程中( )
A. 角速度越来越大
B. 角速度越来越小
C. 向心加速度越来越大
D. 向心加速度越来越小
D
A. 各离子飞出磁场的速度一定相同
B. 沿PQ方向射入的离子运动的轨道半径最长
C. 沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
D. 在Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D
7. (2025·南通第一次调研)如图甲所示，弧形磁铁固定在把手的表面，转动把手改变弧形磁铁与霍尔元件的相对位置．如图乙所示，霍尔元件通以向右的恒定电流，使垂直穿过霍尔元件的磁场增强，则霍尔元件( )
甲 把手截面图 乙 霍尔元件工作原理图
A. 上下表面间的电势差变大 B. 上下表面间的电势差变小
C. 前后表面间的电势差变大 D. 前后表面间的电势差变小
C
8. (2025·四川卷改编)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点．Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1.一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开．取 sin 37°＝0.6，则带电粒子( )
A. 在Ⅰ区的轨迹圆心一定在O点
B. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D. 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
D
【解析】由图可知
9. 如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子．粒子质量为m、电荷量大小为q.下列说法中正确的是( )
A. 从边界bc射出的粒子速度方向各不相同
B
10. (2025·扬州高邮调研)如图所示，宽为L的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、电阻为R0的导体棒ab水平放置在导轨上，与导轨接触良好，电源电动势为E，内阻为r.空间存在竖直向上的匀强磁场，当回路中的电流为I时导体棒恰好静止，求：
(1) 变阻箱的阻值R.
(2) 磁感应强度大小B.
【解析】(1) 根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R0＋R＋r)
(2) 利用左手定则确定安培力方向水平向右，对导体棒进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有F安cos α＝mgsin α
其中F安＝BIL
11. (2025·泰州开学调研)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中有一薄板平行磁场固定，一带正电的粒子从薄板下方附近以大小为v0的初速度垂直薄板向下发射．假设粒子每次穿过薄板前后瞬间速度方向相同，穿过后的速度大小变为原来的k倍(0(1) 粒子第n次穿过薄板后做圆周运动的半径rn.
(2) 粒子从出发到第n次刚穿过薄板之间的总时间tn.
(3) 粒子最终位置与出发位置间的距离d.
粒子每次做圆周运动时转过的圆心角相同，均为θ＝180°
故粒子从出发到第n次刚穿过薄板之间的总时间为
(3) 粒子最终位置与出发位置间的距离为微专题8 磁场性质及带电粒子在磁场中的运动
1. 磁场的产生与叠加
2. 安培力与洛伦兹力
种类 力的大小 力的方向 作用效果 联系
安培力 通电导线与磁场垂直时，F安＝BIL 左手定则(F安垂直于I与B决定的平面) 安培力对导体做功 导体中定向移动的电荷所受的洛伦兹力宏观表现为安培力
洛伦兹力 电荷运动方向与磁场方向垂直时，F洛＝Bqv 左手定则(F洛垂直于q与v决定的平面) 洛伦兹力不做功，只改变速度的方向
3. 带电粒子在磁场中的圆周运动
运动电荷B⊥v时，运动电荷受洛伦兹力F洛＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
考情一 磁场叠加 安培力
1. (2025·江苏卷)某“冰箱贴”背面的磁性材料磁感线如图所示，下列说法中正确的是( )
A. a点的磁感应强度大于b点
B. b点的磁感应强度大于c点
C. c点的磁感应强度大于a点
D. a、b、c点的磁感应强度一样大
2. (2023·江苏卷)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B.L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中．已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行．该导线受到的安培力为( )
A. 0
B. BIl
C. 2BIl
D. BIl
3. (2022·江苏卷)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向( )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
考情二 带电粒子在匀强磁场中的运动
4. (2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积．如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B.液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0.下列说法中错误的是( )
A. N点电势比M点高
B. U0正比于流量Q
C. 在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小
D. 若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小
5. (2025·安徽卷)如图所示，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子．位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子．已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为.不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则( )
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
考向1 磁场叠加 安培力
(2025·湖北卷)如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，放置一通电圆线圈，圆心为O点，线圈平面与磁场垂直．在圆线圈的轴线上有M和N两点，它们到O点的距离相等．已知M点的总磁感应强度大小为0，则N点的总磁感应强度大小为( )
A. 0 B. B
C. 2B D. 3B
(2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)一根不可伸长的直导线垂直于匀强磁场B放置，通过电流I时导线受到的安培力为F，将该导线做成半圆环，圆环平面仍垂直于匀强磁场放置，如图所示，并保持安培力不变，则圆环中电流大小为( )
A. I B. I
C. πI D. I
两个等效模型
(1) 变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流．
甲
(2) 化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示．
乙
(2024·如皋调研)如图所示，粗细均匀的正方形导体框边长为L，磁感应强度为B的匀强磁场与导体框平面垂直，从导体框的对角流入、流出大小为I的电流，则导体框受到安培力的大小为( )
A. 0 B. BIL
C. BIL D. 2BIL
考向2 带电粒子在匀强磁场中的运动
(2025·湖北卷)如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场．MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上．已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动．不计重力，求：
(1) 粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径．
(2) 粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距．
(3) 粒子的运动周期．
带电粒子在匀强磁场中运动的解题三步骤
如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动轨迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列说法中正确的是( )
A. 沿轨迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B. 沿轨迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C. 沿轨迹Oa、Ob运动的粒子速率比值为
D. 沿轨迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
考向3 临界极值问题
(2025·甘肃卷改编)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装．如图所示是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0.在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回．已知a、b、c带正电且比荷均为 ，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直．不考虑带电粒子所受的重力和相互作用．下列说法中错误的是( )
A. 外圆半径等于R0＋R0
B. a粒子返回A点所用的最短时间为
C. b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D. c粒子的速度大小为 va
四类动态圆模型
动态圆模型 示意图 适用条件 应用方法
放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切
旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R＝的圆以入射点为轴心进行旋转，从而探索出临界条件
平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R＝的圆进行平移
磁聚焦与磁发散 磁聚焦 磁发散 粒子速度大小相同，轨迹圆半径等于磁场区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦；从边缘某点以不同方向入射时平行出射——磁发散
(2025·苏锡常镇调研二)如图所示，xOy平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1和2，磁场方向垂直纸面向外，磁场1的磁感应强度大小为B.坐标轴上P、Q两点坐标分别为(0，L)、(L,0)．位于P处的离子源可以发射质量为m、电荷量为q、速度方向与＋y轴夹角为θ的不同速度的正离子．不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应．
(1) 当θ＝90°时， 发射的离子a恰好可以垂直穿过x轴，求离子a的速度v.
(2) 当θ＝45°时，发射的离子b第一次经过x轴时经过Q点且恰好不离开磁场区域，求磁场2的磁感应强度B2的大小．
(3) 在(2)情况中仅改变磁场2的强弱，可使发射的离子b两次经过Q点，求离子b前后两次经过Q点的时间间隔t.
配套热练
1. (2025·苏州调研)如图所示为三根平行直导线的截面图，若它们的电流大小都相同，方向垂直纸面向里，且如果AB＝AC＝AD，则A点的磁感应强度的方向为( )
A. 沿AB方向 B. 沿AD方向
C. 沿AC方向 D. 沿DA方向
2. (2025·无锡期末调研)如图所示，金属杆ab长为l，通过的电流为I，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面成θ角斜向上，金属杆ab受到的安培力大小为( )
A. F＝IlB B. F＝IlBsin θ
C. F＝IlBcos θ D. F＝IlBtan θ
3. (2025·镇江质监)两根相同的弹性导线平行放置，分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1>I2.下列图像可能正确的是( )
A B C D
4. (2025·福建卷)如图所示，空间中存在两根无限长直导线L1与L2，通有大小相等，方向相反的电流．导线周围存在M、O、N三点，M与O关于L1对称，O与N关于L2对称，且OM＝ON，初始时，M处的磁感应强度大小为B1，O点磁感应强度大小为B2，现保持L1中电流不变，仅将L2撤去，此时N点的磁感应强度大小为( )
A. B2－B1 B. －B1
C. B2－B1 D. B1－B2
5. (2025·无锡期末调研)氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示，则在电子运动的过程中( )
A. 角速度越来越大
B. 角速度越来越小
C. 向心加速度越来越大
D. 向心加速度越来越小
6. 如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面向里(未画出)．一群比荷为的负离子以相同速率v0(较大)，由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，则下列说法中正确的是( )
A. 各离子飞出磁场的速度一定相同
B. 沿PQ方向射入的离子运动的轨道半径最长
C. 沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
D. 在Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
7. (2025·南通第一次调研)如图甲所示，弧形磁铁固定在把手的表面，转动把手改变弧形磁铁与霍尔元件的相对位置．如图乙所示，霍尔元件通以向右的恒定电流，使垂直穿过霍尔元件的磁场增强，则霍尔元件( )
甲 把手截面图 乙 霍尔元件工作原理图
A. 上下表面间的电势差变大
B. 上下表面间的电势差变小
C. 前后表面间的电势差变大
D. 前后表面间的电势差变小
8. (2025·四川卷改编)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点．Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1.一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开．取 sin 37°＝0.6，则带电粒子( )
A. 在Ⅰ区的轨迹圆心一定在O点
B. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D. 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
9. 如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子．粒子质量为m、电荷量大小为q.下列说法中正确的是( )
A. 从边界bc射出的粒子速度方向各不相同
B. 粒子离开磁场时到b点的最短距离为
C. 垂直边界ab射出的粒子的速度大小为
D. 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为
10. (2025·扬州高邮调研)如图所示，宽为L的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、电阻为R0的导体棒ab水平放置在导轨上，与导轨接触良好，电源电动势为E，内阻为r.空间存在竖直向上的匀强磁场，当回路中的电流为I时导体棒恰好静止，求：
(1) 变阻箱的阻值R.
(2) 磁感应强度大小B.
11. (2025·泰州开学调研)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中有一薄板平行磁场固定，一带正电的粒子从薄板下方附近以大小为v0的初速度垂直薄板向下发射．假设粒子每次穿过薄板前后瞬间速度方向相同，穿过后的速度大小变为原来的k倍(0(1) 粒子第n次穿过薄板后做圆周运动的半径rn.
(2) 粒子从出发到第n次刚穿过薄板之间的总时间tn.
(3) 粒子最终位置与出发位置间的距离d.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题8 磁场性质及带电粒子在磁场中的运动
1. 磁场的产生与叠加
2. 安培力与洛伦兹力
种类 力的大小 力的方向 作用效果 联系
安培力 通电导线与磁场垂直时，F安＝BIL 左手定则(F安垂直于I与B决定的平面) 安培力对导体做功 导体中定向移动的电荷所受的洛伦兹力宏观表现为安培力
洛伦兹力 电荷运动方向与磁场方向垂直时，F洛＝Bqv 左手定则(F洛垂直于q与v决定的平面) 洛伦兹力不做功，只改变速度的方向
3. 带电粒子在磁场中的圆周运动
运动电荷B⊥v时，运动电荷受洛伦兹力F洛＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
考情一 磁场叠加 安培力
1. (2025·江苏卷)某“冰箱贴”背面的磁性材料磁感线如图所示，下列说法中正确的是(B)
A. a点的磁感应强度大于b点
B. b点的磁感应强度大于c点
C. c点的磁感应强度大于a点
D. a、b、c点的磁感应强度一样大
【解析】磁感线越密集的地方磁感应强度越大，故可知Bb>Ba>Bc，故B正确．
2. (2023·江苏卷)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B.L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中．已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行．该导线受到的安培力为(C)
A. 0
B. BIl
C. 2BIl
D. BIl
【解析】因bc段与磁场方向平行，则不受安培力；ab段与磁场方向垂直，则受安培力为Fab＝BI·2l＝2BIl，则该导线受到的安培力为2BIl，故C正确．
3. (2022·江苏卷)如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向(C)
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
【解析】如图所示，根据安培定则，可判断出导线a左侧部分的空间磁场方向斜向右上方，右侧部分的磁场方向斜向右下方，根据左手定则可判断出左半部分的安培力垂直纸面向外，右半部分的安培力垂直纸面向里，故C正确．
考情二 带电粒子在匀强磁场中的运动
4. (2025·北京卷)电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积．如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B.液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N两点连线为直径，且垂直于磁场方向，M、N两点的电势差为U0.下列说法中错误的是(C)
A. N点电势比M点高
B. U0正比于流量Q
C. 在流量Q一定时，管道半径越小，U0越小
D. 若直径MN与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小
【解析】根据左手定则可知正离子向下偏，负离子向上偏，故N点电势比M点高，故A正确；设管道半径为r，稳定时，离子受到的洛伦兹力与电场力平衡有q＝Bqv，同时有Q＝Sv＝πr2v，联立解得U0＝，故U0正比于流量Q且流量Q一定时，管道半径越小，U0越大，故B正确，C错误；若直径MN与磁场方向不垂直，根据U0＝可知此时式中B为磁感应强度的一个分量，即此时测量时代入的磁感应强度偏大，故测得的流量Q偏小，故D正确．
5. (2025·安徽卷)如图所示，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子．位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子．已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为.不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(C)
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【解析】根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得R＝＝d，故A错误．
当粒子沿x轴正方向射出时，薄板上表面接收到的粒子离y轴最近，如图中轨迹1，根据几何关系可知s上min＝d；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图中轨迹2，根据几何关系可知s上max＝d，故薄板上表面接收到粒子的区域长度为s上＝d－d，故B错误．根据图像可知，粒子可以打到下表面N点．当粒子沿y轴正方向射出时，下表面接收到的粒子离y轴最远，如图中轨迹3，根据几何关系，此时离y轴距离为d，故薄板下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有tmin＝·＝，故D错误．
考向1 磁场叠加 安培力
(2025·湖北卷)如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，放置一通电圆线圈，圆心为O点，线圈平面与磁场垂直．在圆线圈的轴线上有M和N两点，它们到O点的距离相等．已知M点的总磁感应强度大小为0，则N点的总磁感应强度大小为(A)
A. 0 B. B
C. 2B D. 3B
【解析】由右手螺旋定则及对称性可知，环形电流在N点产生的磁场与M点等大同向．由于M点磁感应强度为0，由矢量合成法则可知题图中匀强磁场与M点磁场等大反向，即匀强磁场与N点的磁场等大反向，N点的磁感应强度为0，故A正确．
(2025·苏州、海门、淮阴、姜堰四校联考)一根不可伸长的直导线垂直于匀强磁场B放置，通过电流I时导线受到的安培力为F，将该导线做成半圆环，圆环平面仍垂直于匀强磁场放置，如图所示，并保持安培力不变，则圆环中电流大小为(B)
A. I B. I
C. πI D. I
【解析】直导线在磁场中受力F＝BIL，半圆环导线在磁场中受力的有效长度是半圆环的直径长度，则F＝BI′，解得I′＝I，故B正确．
两个等效模型
(1) 变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流．
甲
(2) 化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示．
乙
(2024·如皋调研)如图所示，粗细均匀的正方形导体框边长为L，磁感应强度为B的匀强磁场与导体框平面垂直，从导体框的对角流入、流出大小为I的电流，则导体框受到安培力的大小为(C)
A. 0 B. BIL
C. BIL D. 2BIL
【解析】通过导体框的总电流为I，正方形线框的等效长度为对角线长度 L，所以安培力大小为F安＝BIL，故C正确．
考向2 带电粒子在匀强磁场中的运动
(2025·湖北卷)如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场．MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上．已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动．不计重力，求：
(1) 粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径．
(2) 粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距．
(3) 粒子的运动周期．
答案：(1) (2) (3) ＋
【解析】(1) 粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝
可得R＝
(2) 粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到MN的距离d＝，结合R＝，根据几何关系可知θ＝60°
粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角θ＝60°；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有qv0·2B＝
解得R′＝
根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距x＝R′＝
(3) 由图可知粒子在左边磁场运动的时间
t1＝T1＝×＝
粒子在右边磁场运动的时间t2＝T2＝×＝
根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离
x0＝R＝
所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为
l＝＝
粒子在MN和PQ之间运动的时间t3＝＝
综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为
T＝t1＋t2＋t3＝＋
带电粒子在匀强磁场中运动的解题三步骤
如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动轨迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列说法中正确的是(C)
A. 沿轨迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
B. 沿轨迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
C. 沿轨迹Oa、Ob运动的粒子速率比值为
D. 沿轨迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8
【解析】由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝m，T＝，解得T＝，可知四种粒子的周期相等，而沿轨迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝T可知沿轨迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，A错误；由左手定则可判断沿轨迹Oc、Od运动的粒子均带负电，B错误；设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿轨迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝r，根据qBv＝m，可得 ＝＝，C正确；由前述分析可知，运动时间之比为偏转角之比，所以＝＝＝，D错误．
考向3 临界极值问题
(2025·甘肃卷改编)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装．如图所示是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0.在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回．已知a、b、c带正电且比荷均为 ，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直．不考虑带电粒子所受的重力和相互作用．下列说法中错误的是(C)
A. 外圆半径等于R0＋R0
B. a粒子返回A点所用的最短时间为
C. b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D. c粒子的速度大小为 va
【解析】由题意，作出a粒子运动轨迹图，如图甲所示
甲
a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，根据a粒子的速度大小为va＝，可得Ra＝R0，设外圆半径等于R′，由几何关系得∠AO′O＝∠BO′O＝45°，则R′＝R0＋R0，A正确；由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝，在磁场中运动的时间t1＝·T＝，匀速直线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin＝t1＋t2＝，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹图，如图乙、丙所示
乙 丙
因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为 ，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，洛伦兹力提供向心力有qvcB＝，联立解得vc＝va，D正确．
四类动态圆模型
动态圆模型 示意图 适用条件 应用方法
放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切
旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R＝的圆以入射点为轴心进行旋转，从而探索出临界条件
平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R＝的圆进行平移
磁聚焦与磁发散 磁聚焦 磁发散 粒子速度大小相同，轨迹圆半径等于磁场区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦；从边缘某点以不同方向入射时平行出射——磁发散
(2025·苏锡常镇调研二)如图所示，xOy平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1和2，磁场方向垂直纸面向外，磁场1的磁感应强度大小为B.坐标轴上P、Q两点坐标分别为(0，L)、(L,0)．位于P处的离子源可以发射质量为m、电荷量为q、速度方向与＋y轴夹角为θ的不同速度的正离子．不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应．
(1) 当θ＝90°时， 发射的离子a恰好可以垂直穿过x轴，求离子a的速度v.
(2) 当θ＝45°时，发射的离子b第一次经过x轴时经过Q点且恰好不离开磁场区域，求磁场2的磁感应强度B2的大小．
(3) 在(2)情况中仅改变磁场2的强弱，可使发射的离子b两次经过Q点，求离子b前后两次经过Q点的时间间隔t.
答案：(1) (2) B (3) 见解析
【解析】(1) 当θ＝90°时，离子a做圆周运动的半径
ra＝L
由qvB＝m，得v＝
(2) 当θ＝45°时，离子b再次回到磁场1中时，运动轨迹正好与y轴相切，如图所示．
离子在磁场1中的运动半径为r1＝L
由几何关系知OA＝r1(1－cos 45°)
AQ＝L－OA
离子在磁场2中运动半径为r2＝AQ
两次运动满足qBv1＝m， qB2v1＝m
解得B2＝B
(3) 设离子b在磁场2中的半径为rk
由几何关系可知，离子经过Q点后，再穿过k次磁场1后，可再次经过Q点，必须满足
k(r1－rk)＝rk
为保证不出磁场，必须满足 (r1－rk)＋≥r1
可得rk＝r1，则k＜2＋1≈3.8，所以k的取值为1,2,3
离子的运动时间为
t＝＝(k＝1,2,3)
配套热练
1. (2025·苏州调研)如图所示为三根平行直导线的截面图，若它们的电流大小都相同，方向垂直纸面向里，且如果AB＝AC＝AD，则A点的磁感应强度的方向为(B)
A. 沿AB方向 B. 沿AD方向
C. 沿AC方向 D. 沿DA方向
【解析】根据右手螺旋定则可知，B处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿AC方向，C处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿AD方向，D处的通电直导线在A点所产生的磁场方向沿CA方向，且磁感应强度的大小均相等，所以A点合磁感应强度的方向沿AD方向，故B正确．
2. (2025·无锡期末调研)如图所示，金属杆ab长为l，通过的电流为I，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面成θ角斜向上，金属杆ab受到的安培力大小为(A)
A. F＝IlB B. F＝IlBsin θ
C. F＝IlBcos θ D. F＝IlBtan θ
【解析】 电流与磁场垂直，安培力F＝IlB，A正确．
3. (2025·镇江质监)两根相同的弹性导线平行放置，分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1>I2.下列图像可能正确的是(C)
A B C D
【解析】由安培定则可知方向向下的电流I1在方向向上的电流I2处产生的磁场垂直向外，由左手定则可知I2受力向右．同理可知I1受力向左，即两导线相互排斥，由牛顿第三定律可知两力大小相等，两根相同的弹性导线形变量相同，故C正确．
4. (2025·福建卷)如图所示，空间中存在两根无限长直导线L1与L2，通有大小相等，方向相反的电流．导线周围存在M、O、N三点，M与O关于L1对称，O与N关于L2对称，且OM＝ON，初始时，M处的磁感应强度大小为B1，O点磁感应强度大小为B2，现保持L1中电流不变，仅将L2撤去，此时N点的磁感应强度大小为(B)
A. B2－B1 B. －B1
C. B2－B1 D. B1－B2
【解析】根据安培定则，两导线在O点处产生的磁感应强度方向相同，大小相等，则单个导线在O点处产生的磁感应强度大小为B0＝，根据对称性，两导线在N处的磁感应强度大小应该与M点一样，为B1，且L2在N点处产生的磁感应强度为B0＝，由于L2在N点处产生的磁感应强度大于L1在N点处产生的磁感应强度，且方向相反，将L2撤去，N点的磁感应强度为 －B1，故B正确．
5. (2025·无锡期末调研)氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示，则在电子运动的过程中(D)
A. 角速度越来越大
B. 角速度越来越小
C. 向心加速度越来越大
D. 向心加速度越来越小
【解析】 洛伦兹力提供向心力，周期T＝，电子运动的过程中，周期不变，角速度不变，A、B错误；向心加速度 a＝2R，R减小，向心加速度越来越小，C错误，D正确．
6. 如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面向里(未画出)．一群比荷为的负离子以相同速率v0(较大)，由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，则下列说法中正确的是(D)
A. 各离子飞出磁场的速度一定相同
B. 沿PQ方向射入的离子运动的轨道半径最长
C. 沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
D. 在Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
【解析】各离子飞出磁场的速度大小相等，但方向不同，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m，解得r＝，由于所有离子的比荷相同，速度大小相等，则所有离子在磁场中运动的轨道半径相等，故B错误；由于所有离子在磁场中运动的轨道半径相等，则所有离子中，从Q点飞出的离子对应的运动轨迹弦长最大，对应的轨迹圆心角最大，即离子飞出时偏转角最大，故C错误；根据t＝T＝·＝，可知在Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长，故D正确．
7. (2025·南通第一次调研)如图甲所示，弧形磁铁固定在把手的表面，转动把手改变弧形磁铁与霍尔元件的相对位置．如图乙所示，霍尔元件通以向右的恒定电流，使垂直穿过霍尔元件的磁场增强，则霍尔元件(C)
甲 把手截面图 乙 霍尔元件工作原理图
A. 上下表面间的电势差变大
B. 上下表面间的电势差变小
C. 前后表面间的电势差变大
D. 前后表面间的电势差变小
【解析】 根据图乙结合左手定则可知，霍尔元件中通入向右的电流时，在前、后表面由于电荷的积累，形成电势差，当电荷受到的电场力与洛伦兹力平衡时，电荷不再向前、后表面移动，此时有q＝qvB，其中U为前后表面之间的电势差，d为前后表面之间的间距，v为电荷定向移动的速度，根据电流的微观表达式I＝neSv，可得U＝Bvd＝＝，其中h为霍尔元件的厚度，由表达式可知，磁场增强时，霍尔元件的前后表面间的电势差变大，C正确，A、B、D错误．
8. (2025·四川卷改编)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点．Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1.一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开．取 sin 37°＝0.6，则带电粒子(D)
A. 在Ⅰ区的轨迹圆心一定在O点
B. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C. 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D. 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
【解析】由图可知
在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，故A错误；由洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝，故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为 ＝＝，故B错误；设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系cos α＝＝，可得α＝37°，故粒子在Ⅰ区运动的时间为t1＝T＝×，粒子在Ⅱ区运动的时间为t2＝T＝×，联立可得在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为 ＝，故D正确；粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的速度大小相等，故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为＝＝，故C错误．
9. 如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子．粒子质量为m、电荷量大小为q.下列说法中正确的是(B)
A. 从边界bc射出的粒子速度方向各不相同
B. 粒子离开磁场时到b点的最短距离为
C. 垂直边界ab射出的粒子的速度大小为
D. 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为
【解析】粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定都竖直向下，A错误；当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得(L－R1)sin 30°＝R1，最短距离为Δs＝L－2R1＝，B正确；垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为R2＝L，由qvB＝m，解得v＝，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝，垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，D错误．
10. (2025·扬州高邮调研)如图所示，宽为L的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、电阻为R0的导体棒ab水平放置在导轨上，与导轨接触良好，电源电动势为E，内阻为r.空间存在竖直向上的匀强磁场，当回路中的电流为I时导体棒恰好静止，求：
(1) 变阻箱的阻值R.
(2) 磁感应强度大小B.
答案：(1) －R0－r (2)
【解析】(1) 根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R0＋R＋r)
解得R＝－R0－r
(2) 利用左手定则确定安培力方向水平向右，对导体棒进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有F安cos α＝mgsin α
其中F安＝BIL
解得B＝
11. (2025·泰州开学调研)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中有一薄板平行磁场固定，一带正电的粒子从薄板下方附近以大小为v0的初速度垂直薄板向下发射．假设粒子每次穿过薄板前后瞬间速度方向相同，穿过后的速度大小变为原来的k倍(0(1) 粒子第n次穿过薄板后做圆周运动的半径rn.
(2) 粒子从出发到第n次刚穿过薄板之间的总时间tn.
(3) 粒子最终位置与出发位置间的距离d.
答案：(1) (2) (3)
【解析】 (1) 粒子第n次穿过薄板后做圆周运动时，由牛顿第二定律得qvnB＝m，其中vn＝knv0
解得粒子做圆周运动的半径为rn＝
(2) 粒子每次做圆周运动的周期相同，均为T＝
粒子每次做圆周运动时转过的圆心角相同，均为θ＝180°
故粒子从出发到第n次刚穿过薄板之间的总时间为
tn＝nT＝
(3) 粒子最终位置与出发位置间的距离为
d＝2(r0＋r2＋r4＋…)－2(r1＋r3＋r5＋…)＝＝
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