期末临考冲刺卷（含解析）-数学九年级上册北师大版

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期末临考冲刺卷-数学九年级上册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一件经典款的六柱鲁班锁，它起源于中国古代建筑的榫卯结构，是用6根长短相同且有凸凹部分的长方体木条制作的一件可拼可拆的十字立方体．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
2．将分别标有“文”“明”“包”“头”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外无其他差别．先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的汉字后放回并搅匀，再随机摸出一小球记下小球上的汉字，则两次摸出的小球上的汉字能组成“包头”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
5．如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
6．如图，的中线与交于点G，连接，下列结论不正确的是（ ）
A．点G叫做的重心 B．
C． D．
7．2024年是中华人民共和国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英 雄铁军，燃不尽的奋勇志气，该电影上映第一天的当日票房约为1亿元，第三天的当日票房约为2亿元．若该电影每天的当日票房按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
二、填空题
9．已知，则 ．
10．已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于 ．
11．有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ．
12．如图，在锐角中，，点O为上一动点（点O与点B，C不重合），点P是射线上的一个动点，连接，，若，点O为的中点，且为直角三角形时，则 ．
13．如图，矩形的顶点在正比例函数的图像上，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图像与边相交于点K，与边交于N，且，则点N的坐标是 ．
14．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
15．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为 ．
16．如图，面积为12的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在上，若，则小正方形的边长为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，在中，，是的平分线．在边上取一点E，连接，使得．
(1)求证：；
(2)作，交于点F，连接．求证：．
19．某市政府为落实保障性住房政策，2022年已投入3亿元资金，并规划投入资金逐年增加，2024年该市投入12亿元资金用于保障性住房建设．
(1)求这两年中投入资金的年平均增长率；
(2)若2025年保持从2022年到2024年的平均增长率不变，请预计2025年该市将投入多少亿元用于保障建设性住房建设．
20．如图，为平行四边形的对角线，，E是的中点，F是的中点，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
21．深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：

(1)本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为 人；
(3)学校在竞赛成绩为A 等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
22．在中，，，，分别是边，上的点，连接，．
(1)如图，若，，且，求的度数；
(2)如图，若，，且，求的长；
(3)如图，若，当最大时，求的值．
23．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为．
①直接写出关于的函数关系式；
②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)过的另一条直线与轴，轴分别交于两点，若的面积与的面积比为，求点的坐标；
(3)点都在直线上，过分别作轴的平行线交双曲线与，设的横坐标分别为，且，，连接、，若，求点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B D C C
1．C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
【详解】解：这个六柱鲁班锁的三视图为：
这个六柱鲁班锁的左视图与俯视图相同，主视图与俯视图和左视图不相同．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“包头”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：将标有“文”“明”“包”“头”汉字的四个小球分别记作、、、，根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，两次摸出的小球上的汉字能组成“包头”的有2种结果，
∴两次摸出的小球上的汉字能组成“包头”的概率是：．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查位似图形的识别，注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得．
故选B．
6．D
【分析】根据三角形的重心的定义和性质对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，需要用到三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．
【详解】解：的中线与交于点，
是的重心，故A选项结论是正确；
的中线与交于点，
，，
，故B选项结论是正确；
的中线与交于点，
是的中位线，
，，
，
，故C选项结论是正确；
，
，
，
，故D选项结论错误；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设增长率为x，根据“第一天的当日票房约为1亿元，第三天的当日票房约为2亿元”得出关于的一元二次方程即可．
【详解】解：设增长率为x，可列方程为，
故选：C．
8．C
【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，过作于，由，得到，，设．则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】解：如图，过作于，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴，．
设．则，．
∵，
∴．
则．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴．即．
故选C．
9．/
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由可设，
∴；
故答案为：．
10．2025
【分析】本题主要考查根与系数的关系，、是一元二次方程的两根时，，．由，是方程的两个根知，，代入到原式逐步计算可得．
【详解】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：2025．
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66次，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
12．或或3
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，掌握以上知识点，正确分类三种情况讨论是解题的关键．由题意得，为直角三角形，分三种情况：①若点P在右侧，且；②若点P在右侧，且；③若点P在左侧，且，根据直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理，对每一种情况分别求解即可．
【详解】解：①如图1，若点P在右侧，且，
点O为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，；
②如图2，若点P在右侧，且，
点O为的中点，
，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，；
③如图3，若点P在左侧，且，
点O为的中点，
，
，
是等边三角形，
；
综上所述，的长为或或3．
故答案为：或或3．
13．
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用问题，本题需先根据题意求出的值，再求出点的坐标，再根据，得出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式，然后设点的坐标为，代入反比例函数的解析式即可求出点的坐标，熟练掌握反比例函数的性质求出反比例函数的解析式和点的坐标是解决此题的关键．
【详解】解：∵在正比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
∵、在反比例函数的图象上，
∴，即反比例函数的解析式为，
设点的坐标为，
∴
∴点的坐标为，
故答案为：．
14．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式．
根据新定义得到，由于有两个不相等的实数根，则，求解即可．
【详解】解：由题意得，，
化简得：，
∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
15．
【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，反比例函数解析式的求法，理解由平移方式确定点的坐标是解答关键．
根据由平移方式确定点的坐标求出点的坐标，再求出反比例函数解析式．
【详解】解：，将线段平移得到线段，点的对应点是，
向左平移了4个单位，向上平移了1个单位，
平移后对应的点,
设反比例函数解析式为，
将点代入得，
，
．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据正方形的性质和相似三角形的判定，可以得到和的关系，再根据正方形的面积为12，即可求得和的长，然后根据勾股定理即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴
∴
∵正方形的面积为12，
∴正方形的边长为
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
17．，
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键：包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等．
利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义，等腰三角形性质得，即得；
（2）根据三线合一性质可得，根据平行线的分线段性质得，，根据三角形中位线性质得，，即得．
【详解】（1）证明：（1）∵是的平分线，
∴，
∵，∴，
∴
∴.
（2）∵，是的平分线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，，为的中位线，
故，
∴.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线分线段性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定，是解题的关键．
19．(1)这两年中投入资金的年平均增长率为
(2)亿元
【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，解题的关键是熟练掌握增长后的量增长前的量（增长率）．
（1）这两年中投入资金的年平均增长率为，根据增长后的量增长前的量（增长率），列出方程，解方程即可得到答案；
（2）由的12亿元乘以即可得到答案．
【详解】（1）解：设这两年中投入资金的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：这两年中投入资金的年平均增长率为；
（2）解：2025年保持从2022年到2024年的平均增长率不变，
∴预计2025年该市将投入亿元用于保障建设性住房建设．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线、菱形的判定等知识；掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，由平行线的性质得，，由可判定，则，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得，即可得证．
（2）由三角形中位线可求出的长，由勾股定理求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，，
∵F是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，E是的中点，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵E是的中点，F是的中点，
，
∵四边形是菱形．
，
，，
，
，
，
．
21．(1)400，见解析
(2)800
(3)
【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，利用样本估计总体，树状图求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用C等级的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出D等级的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（名）；
D等级人数为：，补全条形图如图：

故答案为：400．
（2）（人）；
故答案为：800
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种
∴P（甲、乙两人同时被选中）．
22．(1)；
(2)的长为或；
(3)
【分析】（）根据等腰直角三角形的性质和已知条件推出判定的条件，然后根据相似三角形的性质推出，代入已知边长求出的长，在中根据的正切值即可求出其度数；
（）过作于，推出条件判定，得到，判定是等腰直角三角形，用含的式子分别表示出，，代入比例式后整理得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的长；
（）过作，截取，连接，推出判定和的条件，判定全等后得到，，取中点，连接，取中点，连接，设，则，，，当，，三点共线时，是的最大值，此时最大，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：如图，过作于，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
即的长为或；
（3）∵，，
∴，
即，
如图，过作，截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
取中点，连接，取中点，连接，
设，则，
∴，
当，，三点共线时，
∵，
∴的最大值为，此时最大，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
23．(1)
(2)①，②60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式；
②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：①依题意，得：
；
②依题意，得：
，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该品牌头盔的实际售价应定为60元．
24．(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（）把点代入即可求出，进而求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（）分两种情况：在轴的正半轴和负半轴，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可解答；
（）由题意可知，，，，，根据，点到的距离点到的距离，列方程可解答．
【详解】（1）解：∵反比例函数经过点、，
∴，
∴，，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数经过点、，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：分两种情况：
①如图，当直线经过第二、三、四象限时，过点作轴于，
∵的面积与的面积比为，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当直线经过第一、二、三象限时，过点作轴于，
∵的面积与的面积比为，
∴，
∴
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：如图，
由题意可知， ，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，点到的距离点到的距离，
∴，，
由②得，③，
把③代入①得，，
解得，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式，用方程的思想去思考问题．
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