2026年新高考数学各地名校好题汇总逐题练
(题目选取于 2025年 各地名校模拟卷)
目录：
逐题练单选题第 6题 2
逐题练单选题第 7题 47
逐题练单选题第 8题 83
逐题练多选题第 10题 106
逐题练多选题第 11题 170
逐题练填空题第 13题 224
逐题练填空题第 14题 251
逐题练解答题第 17题 270
逐题练解答题第 18题 322
逐题练解答题第 19题 (非新定义) 377
逐题练解答题第 19题 (新定义) 414
·1·
逐题练单选题第 6题
题型一：函数
1．已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x> 0时，f(x) = x2+ 2x- 3，则不等式 f(2x-
1)> 0的解集为 ( )
A. (-∞,0) ∪ (1, +∞) B. 0, 12 ∪ (1, +∞)
C. 0, 12 ∪
1
2 ,1 D. (-∞,0) ∪
1
2 ,1
【答案】B
【详解】因为 f(x) = x2+ 2x- 3= x+1 2 - 4，所以 f(x)在 (0, +∞)上单调递增，且 f(1) = 0
因为 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(x)在 (-∞,0)上单调递增，且 f(-1) = 0．
由 f(2x- 1)> 0得 2x- 1> 1或-1< 2x- 1< 0，解得 x> 1或 0< x< 12
即 f(2x- 1)> 0 1的解集为 0, 2 ∪ (1, +∞)，故选：B
x
2 2 +a．已知函数 f x = x a∈R ，命题 p：f x 是奇函数，命题 q：f x 在 0,+∞ 上是减函2 -1
数，则 p是 q的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
2-x+a 1+a 2x 2x+a
【详解】若 f x 的奇函数，则 f -x =-f(x)，即 -x = = 恒成立，所以 a= 1，2 -1 1-2x 1-2x
x
则 f x = 2 +1 = 1+ 2 ，y= 2xx - 1在 0,+∞ 单调递增，所以 f x 在 0,+∞ 是减函数，充分性成立；2 -1 2x-1
x
f x = 2 +a = 1+ 1+a若 x x 在 0,+∞ 上是减函数，y= 2
x- 1在
- -
0,+∞ 上单调递增，所以 1+ a> 0，
2 1 2 1
故 a>-1，此时不一定有 a= 1，必要性不成立；所以 p是 q的充分不必要条件，故选：A
= e
-x-1,x≤0,
3．已知函数 f x - x, > , 则 f 2x + f x-3 > 0的解集是 ( )1 e x 0
A. -∞,1 B. 1,+∞ C. -∞,-3 D. -3,+∞
【答案】A
【详解】当 x> 0时，f x = 1- ex，-x< 0，f -x = e- -x - 1= ex- 1=-f x ；
当 x< 0时，f x = e-x- 1，-x> 0，f -x = 1- e-x=-f x ；且当 x= 0时，f x = 0，所以 f x 为奇函数，
易知 f x 为R上的递减函数，则 f 2x + f x-3 > 0 f 2x >-f x-3 = f 3-x 2x< 3- x x< 1，
所以原不等式的解集为 -∞,1 ，故选：A
4．已知 a，b∈R，且 ab≠ 0，对于任意 x≥ 0均有 x-a x-b x-a-2b ≥ 0，则 ( )
A. a> 0 B. a< 0 C. b> 0 D. b< 0
【答案】B
【详解】因为 ab≠ 0，所以 a≠ 0且 b≠ 0，
设 f x = x-a x-b x-a-2b ，则 f(x)的零点为 x1= a,x2= b,x3= a+ 2b，
当 a> 0时，则 x2< x3，x1> 0，要使 f(x)≥ 0，必有 a+ 2b= a，则 b= 0，不合题意；
·2·
当 a< 0时，则 x2< 0,x3< 0或 x2= x3> 0，即 b< 0或 b=-a> 0;
综上一定有 a< 0，故选：B.
3
5 2x．函数 y= x -x 的图象大致为 ( )2 +2
A. B. C. D.
【答案】B
2x3 2(-x)3 2x3
【详解】函数 f(x) =
2x+2-x
的定义域为R，f(-x) =
2-x
=- =-f(x)，
+2x 2x+2-x
函数 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；
( ) = 2x
3
= 6x
2 (2x+2-x)-2x3 ln2 (2x-2-x)
f x x= 4 f(4) = 2 4
3 2048 15
x ，当 时，2 +2-x (2x+2-x)2 24+2-4
= 257 ∈ 2 ,8 ，
96 16+ 1 16 -128ln2 16-
1
f (4) = 16
= 1542-2040ln2且
(24+2-4)2
，
(24+2-4)2
1542 257 3
而 2040 = 340 > 4 = ln
4 e3> ln 4 16= ln2，即 1542- 2040ln2> 0，故 f (4)> 0，
所以 x= 4在 f(x)的单调递增区间上，AD不满足，B满足，故选：B
10
6．已知 f x 是定义在R的奇函数，且 f x+2 = f x-2 ，若 f 1 = 2，则 f k = ( )
k=1
A. - 2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】C
【详解】因为 f x+2 = f x-2 ，可得 f x+4 = f x ，可知函数 f x 的一个周期为 4，
又因为 f x 是定义在R的奇函数，则 f 0 = 0，则 f x+4 = f x =-f -x ，即 f x+4 + f -x = 0，
令 x=-1，可得 f 3 + f 1 = 0；令 x=-2，可得 f 2 + f 2 = 0，即 f 2 = 0，
10
则 f 0 + f 1 + f 2 + f 3 = 0，所以 f k = f 1 + f 2 + 2× 0= 2+ 0+ 0= 2，故选：C .
k=1
2
7．函数 f(x) = ln|1- x| +e x -2x ，若 a= f 23 ，b= f
3
2 ，c= f log23 ，则 a，b，c的大小关系
是 ( )
A. c> b> a B. b> c> a C. a> b> c D. b> a> c
【答案】A
2 2
【详解】f x = ln 1-x + e x -2x f x = ln x-1 + e(x-1) -1，∴ f x = f 2-x f x 关于 x= 1对称.
当 x> 21时：ln 1-x 为增函数，e x -2x 也为增函数，所以 f x 在 1,+∞ 上为增函数，
3
∵ f x 关于 x= 1对称 f x 2 4 3 在 x< 1为减函数，∴ f 3 = f 3 < f 2 ，log23= log 9> log 2 22 2 ，
∴ f 32 < f log23 ，故选：A.
8．已知定义在R上的函数 f x 的图象是一条连续不断的曲线，且 f x 满足 f x = f 4-x ,
f x
f x 在区间 -∞,2 上单调递减，f 4 + f 0 = 0，则关于 x的不等式 2-x < 0的解集为 ( )
·3·
A. 0,2 B. 0,2 ∪ 2,4 C. 2,4 D. 0,2 ∪ 4,+∞
【答案】D
【详解】由 f x = f 4-x 得 f x 的图象关于直线 x= 2对称，
又 f 0 = f 4 ，得 f 4 + f 0 = 2f 4 = 0，解得 f 4 = f 0 = 0，
由 f x 在 -∞,2 上单调递减，可知 f x 在 2,+∞ 上单调递增，
画出 f x 的大致图象如下所示，
f x < 2-x>0 2-x<0结合图象及 2-x 0得 < < 或 < > ，解得 0< x< 2或 x> 4，0 x 4 x 0或x 4
f x
不等式 2-x < 0的解集为 0,2 ∪ 4,+∞ ，故选：D.
9．已知函数 f x 是定义在R上的偶函数，函数 g x = x-2 f x 的图象关于点 2,0 中心对
称，若 g -1 = 3，则 f 3 = ( )
A. - 3 B. - 1 C. 0 D. 1
【答案】B
【详解】由函数 g x = x-2 f x 图象关于点 2,0 中心对称可知，g 2-x =-g 2+x ，
即 2-x-2 f 2-x =- 2+x-2 f 2+x ，可得 f 2-x = f 2+x ，因此函数 f x 具有对称轴 x= 2，
由 g -1 = -1-2 f -1 = 3，可得 f -1 =-1，
由 f x 为R上的偶函数且具有对称轴 x= 2，可得 f 3 = f 1 = f -1 =-1，故选：B
-x, 0≤x<110．已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，且 f x = ，则不等式 f x+1 < 0x-2, x≥1
在 -2,2 上的解集为 ( )
A. -1,1 B. -2,-1 ∪ 1,2 C. -1,0 ∪ 0,1 D. -1,0 ∪ 1,2
【答案】A
【详解】当 0≤ x+ 1< 1时，即-1≤ x< 0时，此时 f(x+ 1) =- (x+ 1)，
由 f x+1 < 0可得- x+1 < 0，即 x+ 1> 0，解得 x>-1，结合-1≤ x< 0，得到-1< x< 0.
当 x+ 1≥ 1时，即 x≥ 0时，此时 f(x+ 1) = (x+ 1) - 2= x- 1，由 f x+1 < 0，可得 x- 1< 0，解得 x< 1.
结合：x≥ 0，得到 0≤ x< 1，因为 f x 是奇函数，所以 f 0 = 0，f -x =-f x
当-2< x<-1时，0<-x- 1< 1时，f(x+ 1) =-f - x+1 =- - -x-1 =-x- 1，
由 f x+1 < 0，可得-x- 1< 0，即 x>-1，此时无解.
综合以上情况，不等式 f x+1 < 0在 -2,2 上的解集为 -1,1 ，故选：A
11．已知 f x 是偶函数，且 f x 在 -∞,0 上单调递增，则 ( )
A. f log 1 3
3
> f 2 > f 0.90.1 B. f log 1 3 > f 0.90.1
3
> f
2 2 2
C. f 0.90.1 > f log 1 3 > f
3
2 D. f 0.90.1 > f
3
2 > f log 1 32 2
【答案】D
【详解】因为函数 f x 是偶函数，且 f x 在 -∞,0 上单调递增，则该函数在 0,+∞ 上为减函数，
因为 log 1 3< log 1 1= 0，所以 log 1 3 = log2-13 = log23，且函数 y= log2x在 0,+∞ 上为增函数，2 2 2
log 3> log 2 2= 3所以 2 2 2 > 1，因为函数 y= 0.9
x在R上为减函数，则 0< 0.90.1< 0.90= 1，
·4·
故 0< 0.90.1< 32 < log23= log 1 3 ，且 f log 1 3 = f log 1 3 = f log23 ，2 2 2
所以 f 0.90.1 > f 32 > f log23 = f log 1 3 ，故选：D.2
12．已知函数 f(x) = lg(x2- ax+ 2)，则“a≥ 2”是“函数 f(x)在 (-∞,1]上单调递减”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】令 u= x2- ax+ 2，函数 y= lgu在 (0, +∞)上单调递增，
由函数 f(x)在 (-∞,1]上单调递减，得函数 u= x2- ax+ 2在 (-∞,1]上单调递减，且当 x= 1时，u> 0，
a ≥1
因此 2 ，解得 2≤ a< 3，所以“a≥ 2”是“函数 f(x)在 (-∞,1]上单调递减”的必要不充分条件.1-a+2>0
故选：C
13．已知 a= log32，b= log54，c= log98，则 ( )
A. c< b< a B. a< c< b C. b< a< c D. a< b< c
【答案】D
【详解】由题意可知 0< a< 1，0< b< 1，0< c< 1.
a = log32 = lg2 lg5 lg2 lg5 lg5 lg5则
b log54 lg3
× lg4 = lg3 × 2lg2 = 2lg3 = lg9 < 1，所以 a< b.
b
则 = log54 lg4 lg9c log 8 = lg5 × lg8 =
2lg2 × lg9 = 2lg9 = lg81lg5 3lg2 3lg5 lg125 < 1，所以 b< c，所以 a< b< c，故选：D.9
14．已知 a= log2678，b= 1.250.9，c= log918，则 a，b，c的大小关系为 ( )
A. a> b> c B. a> c> b C. c> b> a D. c> a> b
【答案】B
【详解】a= log26 3×26 = log
1
263+ 1> log273+ 1= 1+ 3 ，c= log9 2×9 = 1+ log92< 1+ log82= 1+
1
3 ，
且 c= 1+ log 2> 1+ log 2= 1+ 1 ，b= 1.250.9< 1.2519 16 4 = 1+
1
4 ，
综上 b< 1+ 14 < c< 1+
1
3 < a，即 a> c> b，故选：B.
15 x．已知曲线 y= ln 2+x - x+ a关于点 -1,0 中心对称，则 a= ( )
A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 2
【答案】C
【详解】因为 y= ln x2+x - x+ a关于点 -1,0 中心对称，所以 f -2-x + f x = 0，
ln-x-2所以 -x - -2-x
x
+ a+ ln x+2 - x+ a= 0，可得 a=-1，故选：C
ex +a, x≤016．已知 a∈R，函数 f x = ，在R上没有零点，则实数 a取值范围 ( )-ln x+1 +a, x>0
A. -∞,-1 B. -∞,-1 ∪ 0 C. 1,+∞ ∪ 0 D. 1,+∞ ∪ 0
【答案】B
【详解】当 x≤ 0时，0< ex≤ 1，若 ex=-a无解，则 a≥ 0或 a<-1；当 x> 0时，ln x+1 > 0，
若 ln x+1 = a无解，则 a≤ 0，综上，实数 a的取值范围是 -∞,-1 ∪ 0 ，故选：B.
·5·
17．某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性
mg
碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0(单位： L )，测得污水通过长度为 l(单位：
m)的净化装置后污染物的含量W如下表：
l 0 1 2 3
W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0
研究小组的同学根据表格数据建立了W关于 l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型
是 ( )
A. W=W0+ 0.5l B. W=W0 log0.5 l+1
C. W= 0.5W0l D. W=W0 (0.5)l
【答案】D
【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为 0,3 ；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；
第三，函数图象过 0,W0 ，函数W= 0.5W0l和W=W0 log0.5 l+1 图象不过 0,W0 不符合条件，BC错误；
函数W=W0+ 0.5l单调递增，故A错误；
D选项：W=W (0.5)l0 满足上述条件，故D正确，故选：D.
x -x
18．函数 f x = e -e2 的部分图象大致是 ( )x + x -2
A. B. C. D.
【答案】D
ex-e-x
【详解】f x = 有意义可得 x2+ x - 2≠ 0，故 x 22 + x - 2= x -1 x+ -
+2 ≠ 0，
x x 2
所以 x≠-1或 x≠ 1，所以函数 f x 的定义域为 -∞,-1 ∪ -1,1 ∪ 1,+∞ ，定义域关于原点对称，
-x x x -x
又 f -x e -e = 2 =
- e -e =-f x ，函数 f x
- + - - 2+ -
为奇函数，所以函数 f x 图象关于原点对称，
x x 2 x x 2
令 f x = 0可得，ex- e-x= 0，所以 e2x= 1，故 x= 0，所以函数 f x 有且仅有一个零点，零点为 0，
当 0< x< 1时，函数 y= ex在 0,1 上单调递增，函数 y= e-x在 0,1 上单调递减，
所以函数 y= ex- e-x 1在 0,1 上单调递增，所以当 0< x< 1时，0< ex- e-x< e- e ，
又当 0< x< 1时，x2+ x - 2= x -1 x +2 < 0，所以当 0< x< 1时，f x < 0，
选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在 0,1 内的函数值为负，选项C的图象对应的函数有 3三个
零点，故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求，故选：D.
题型二：导数
1 1 x．函数 f x = 2 lnx图象上一点P到直线 y= 2 的最短距离为 ( )
2 5 5 2-2ln2 A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
【答案】C
【详解】设与直线 y= x 1 12 平行且与曲线 f x = 2 lnx相切的直线的切点坐标为 x0, 2 lnx0 ．
·6·
因为 f x
1 1 1
= 2x ，所以 2x = 2 ，解得 x0= 1，则切点坐标为 1,0 ．0
x
1
2 5
最短距离为点 1,0 到直线 y= 2 的距离，即 d= = 5 ，故选：C2
1+ 12
2．已知函数 f x = ex ax-1 的大致图象如图所示，则不等式 f x f x < 0的解集为 ( )
A. -2,-1 B. 1,2
C. - 12 ,1 D. 2,+∞
【答案】B
【详解】观察图象知，x= 1是函数 f(x)的极小值点，求导得 f (x) = ex(ax- 1+ a)，
则 f (1) = e(2a- 1) = 0 1，解得 a= 2 ，
当 x< 1时，f (x)< 0；当 x> 1时，f (x)> 0，则 x= 1是函数 f(x)的极小值点，
f (x) = ex 1 x- 12 2 ，f(x) = ex
1
2 x-1 ，不等式 f(x)f
(x)< 0 14 e
2x(x- 1) (x- 2)< 0，解得 1< x< 2，
所以不等式 f(x)f (x)< 0的解集为 (1,2)，故选：B
3 a．已知 a∈R，若函数 f x = x+ x - lnx既有极大值又有极小值，则 a的取值范围是 ( )
A. 1 ,+∞ B. 0, 1 C. - 14 4 4 ,0 D. -
1
4 ,+∞
【答案】C
a 2
【详解】因为函数 f x = x+ x - lnx
a 1 x -x-a
的定义域为 0,+∞ ，所以 f x = 1- 2 - x =x x2
，
因为函数 f x 既有极大值，又有极小值，则关于 x的方程 x2- x- a= 0有两个不等的正根 x1、x2，
Δ=1+4a>0所以 x1+x2=1>0，解得-
1
4 < a< 0
1
，因此，实数 a的取值范围是 - 4 ,0 ，故选：C .
x1x2=-a>0
f x1 - f x4 2 ．已知函数 f x = xlnx，若任意两个不相等的正实数 x1，x2，都有 x2-x2
1 2
则实数m的取值范围为 ( )
A. 1 1 1 4 ,+∞ B. 3 ,+∞ C. 1,+∞ D. 2 ,+∞
【答案】D
f x - f x
【详解】不妨设 0< x1< x 1 2 2 22，则由 x2
- x2 1
- f x2 >m x1-x2
1 2
f x1 -mx21> f x2 -mx22，也就是说，函数 g x = f x -mx2= xlnx-mx2在 0,+∞ 上单调递减，
因为 g x = lnx+ 1- 2mx，由题意 lnx+ 1- 2mx≤ 0 lnx+1恒成立，即m≥ 2x ,x> 0恒成立，
h x = lnx+1 1- lnx+1 令 2x ,x> 0，求导得 h
x = = -lnx ,x> 0，
2x2 2x2
当 0< x< 1时，h x > 0，当 x> 1时，h x < 0，所以 h x 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
1
故 h x = h 1 = ，所以实数m的取值范围为 1max 2 2 ,+∞ ，故选：D.
5．已知曲线C：y= ex+ x在点P x0,y0 处的切线 l与直线 l ：y= 2x- 1平行，则 l与 l 之间的
距离为 ( )
·7·
A. 55 B.
2 5
5 C.
3 5
5 D.
4 5
5
【答案】B
【详解】由题意 y = ex+ 1，切线 l的斜率为 2，则 ex0+ 1= 2，得 x = 0，故 y = ex00 0 + x0= 1，
故切线 l的方程为：y- 1= 2x，即 2x- y+ 1= 0，直线 l :y= 2x- 1，即 2x- y- 1= 0，
= 1- -1 2 5故两直线的距离为 d = ，故选：B
22+ -1 2 5
x2( ) = -3x,x∈ 0,2 6．已知函数 f x ( - ), ∈( ,+∞)，则 f x 在点 7,f(7) 处的切线方程为 ( )2f x 2 x 2
A. 8x+ y- 40= 0 B. 4x+ y- 12= 0 C. 8x- y- 72= 0 D. x+ 4y- 22= 0
【答案】A
【详解】当 x∈ 0,2 时，f x = 2x- 3，当 x∈ 6,8 时，f x = 2f x-2 = 8f x-6 ，则 f x = 8f x-6 ，
所以 f 7 = 8f 1 =-16，f 7 = 8f 1 =-8，则所求切线方程为 y- -16 =-8 x-7 ，即 8x+ y- 40= 0.
故选：A
lnxx , x≥27．若函数 f x = 有最大值，则 k的最大值为 ( )kx, x<2
A. ln24 B.
ln2
2 C.
1
2e D.
1
e2
【答案】C
【详解】当 x≥ 2时，f x = lnxx ，则 f
1-lnx x = 2 ，当 2≤ x< e时，f x > 0，此时，函数 f x 单调递增，x
当 x> e时，f x < 0 1，此时，函数 f x 单调递减，则函数 f x 在 x= e处取得极大值，且极大值为 f e = e ，
lnx , x≥2 k≥0
因为函数函数 f x = x
1 1
有最大值，则
kx, x<2 2k≤ 1 ，解得 0≤ k≤ 2e ，因此，实数 k的最大值为e 2e
故选：C .
8 1．已知函数 f x = 24 x + xsinx+ cosx，若 a= f log 1 e ，b= f sin1 ，c= f
3
2 ，则 ( )2
A. b> a> c B. a> b> c C. a> c> b D. c> a> b
【答案】D
1 1
【详解】函数定义域为R，且 f -x = 4 (-x)
2+ (-x)sin(-x) + cos(-x) = 24 x + xsinx+ cosx= f(x)，
故函数 f(x)为偶函数，又在 0, 2 π 上 f 3 x = x
1
2 +cosx > 0，即 f(x)在 0,
2
3 π 上单调递增，
a= f log e = f(-log e) = f(log 3 2因为 1 2 2e)，且 0< sin1< 1< log2e< log2 8= <2 2 3 π，
所以 f(sin1)< f(log2e)< f 32 ，即 b< a< c，故选：D
9．已知函数 f x 是定义域为R的奇函数，当 x> 0时，f x = x3+ ax2+ 6-a x+ 2a，若
f x 是增函数，则实数 a的取值范围为 ( )
A. 0,+∞ B. 0,6 C. -6,3 D. 0,3
【答案】B
【详解】要使奇函数 f x 是增函数，则需要 f x 在 x> 0上单调递增，且 2a≥ 0，
·8·
当 x> 0时，f x = 3x2+ 2ax+ 6-a ≥ 0恒成立，因为 2a≥ 0，
此时 f x = 3x2+ 2ax+ 6-a a 的对称轴- 3 ≤ 0，所以只需 6- a≥ 0即可，即 0≤ a≤ 6，故选：B
10．已知函数 f(x) = x3+ a2x2+ 2b2-7 x+ 1(a> 0，b> 0)在 x= 1处取得极值，则 ( )
A. a2+ b2= 3 B. x= 1是 f(x)的极大值点
C. f(1) ∈ (-3, +∞) D. a+ b的最大值为 2
【答案】D
【详解】A：f (x) = 3x2+ 2a2x+ 2b2- 7，
因为函数 f(x)在 x= 1处取得极值，所以 f (1) = 3+ 2a2+ 2b2- 7= 0，即 a2+ b2= 2，故A错误；
2
B：f (x)的对称轴为 x=- a3 < 0，所以 x= 1是 f(x)的极小值点，故B错误；
a2+b2=2
C：因为 f(1) = a2+ 2b2- 5= b2- 3，由 a>0, 可得 0< b< 2，所以-3< f(1)<-1，故C错误；b>0
2
D a+b：因为 ≤ a +b
2
2 2 =
a=b
1(当且仅当 2+ 2= ，即 a= b= 1时取等)，即 a+ b≤ 2，故D正确，故选：Da b 2
题型三：三角函数
1．若 tanα= 2tanβ，sin α+β = 1 3 ，则 sin α-β = ( )
A. - 1 B. 1 C. 29 9 9 D. -
2
9
【答案】B
= sinα = 2sinβ【详解】由 tanα 2tanβ得 cosα ，即 sinαcosβ= 2cosαsinβ，cosβ
由 sin 1 1 2 1 α+β = 3 得 sinαcosβ+ cosαsinβ= 3 ，故 sinαcosβ= 9 ，cosαsinβ= 9 ，
则 sin α-β = sinαcosβ- cosαsinβ= 19 ，故选：B
2 π π．将函数 f x = sin ωx+ 12 ω>0 的图象向左平移 6 个单位后与函数 g x =
cos ωx+ π12 的图象重合，则ω的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
π π
【详解】将 f x = sin ωx+ 12 图象向左平移 6 个单位，
y= sin ω x+ π + π = sin ωx+ π + πω = cos ωx+ π πω π得到 6 12 12 6 12 ，则 6 = 2 + 2kπ,k∈ Z，
所以ω= 3+ 12k，k∈ Z，又ω> 0，所以ω的最小值为 3，故选：B
3．若 sinx+ cosx= 2sinα，sinxcosx= sin2β，则 ( )
A. 4cos22α= cos22β B. cos22α= 4cos22β C. 4cos2α= cos2β D. cos2α= 4cos2β
【答案】A
【详解】将 sinx+ cosx= 2sinα平方得 1+ 2sinxcosx= 4sin2α，
结合 sinxcosx= sin2β得 1+ 2sin2β= 4sin2α，即 1+ 2sin2β- 4sin2α= 0，
即 2cos2α- cos2β= 2 1-2sin2α - 1-2sin2β = 1+ 2sin2β- 4sin2α= 0，即 2cos2α= cos2β，故CD错误
·9·
又 4cos22α- cos22β= (2cos2α- cos2β) (2cos2α+ cos2β) = 1-4sin2α+2sin2β 2cos2α+cos2β = 0，故A
对，B错；故选：A
4 π π．已知函数 f x = sin ωx+ 3 ω>0 图象的一条对称轴是 x= 2 ，且在 0,π 上有且仅有两
个对称中心，则函数 f x 的解析式为 ( )
A. f x = sin 13 x+
π 7 π
3 B. f x = sin 3 x+ 3
C. f x = sin 2x+ π3 D. f x = sin
10
3 x+
π
3
【答案】B
【详解】因为函数 f x = sin ωx+ π π3 ω>0 图象的一条对称轴是 x= 2 ，
πω + π则 2 3 = kπ+
π
2 k∈Z
1 π π π
，解得ω= 2k+ 3 k∈Z ，当 0≤ x≤ π时，3 ≤ωx+ 3 ≤ πω+ 3 ，
因为函数 f x
π 5 8
在 0,π 上有且仅有两个对称中心，则 2π≤ πω+ 3 < 3，解得 3 ≤ω< 3 ，
ω= 7故 3 ，所以，f x = sin
7x π
3 + 3 ，故选：B.
5 f(x) = sin 3x+ π f(x) φ |φ|< π．已知函数 4 ，将 的图象向右平移 2 个单位后，得到函数 g(x)
的图象，若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 y轴对称，则 φ的值为 ( )
A. - π12 B. -
π
6 C.
π D. π4 3
【答案】B
【详解】依题意 g(x) = f(x- φ) = sin 3x-3φ+ π4 ，
由 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 y轴对称，得 g(x) = f(-x)对任意 x∈R恒成立，
即 sin 3x-3φ+ π4 = sin -3x+
π
4 = sin 3x+
3π
4 对任意 x∈R恒成立，
-3φ+ π = 3π + 2kπ,k∈ Z φ=- π - 2kπ因此 4 4 ，解得 6 3 ,k∈ Z，
而 |φ| < π2 ，则 k= 0,φ=-
π
6 ，故选：B
6．若 α∈ 0, π2 ,sin
π
6 -α =-
1
5 ，则 cos
π
6 +α 的值为 ( )
A. 2 3- 6 B. 2 3+ 6 C. 2 6- 310 10 10 D.
2 6+ 3
10
【答案】C
【详解】因为 sin π6 -α =-
1
5 ，所以 sin α-
π = 16 5 ，
α∈ 0, π π π π π 2 6因为 2 ，所以 α- 6 ∈ - 6 , 3 ，所以 cos α- 6 = 1-sin2 α-
π
6 = 5 ，
cos π +α = cos α- π + π所以 6 6 3 = cos α-
π π π
6 cos 3 - sin α- 6 sin
π = 2 6 × 1 - 1 × 33 5 2 5 2
= 2 6- 310 ，故选：C
7．将函数 y= sin2x的图象向左平移 φ个单位后得到函数 y= cos2x的图象，则 φ可以是 ( )
A. π4 B.
π
2 C.
3π
4 D. π
·10·
【答案】A
【详解】因为 y= cos2x= sin 2x+ π2 ，将函数 y= sin2x的图象向左平移 φ个单位后得到函数 y=
sin2 x+φ = sin 2x+2φ ，所以 sin 2x+ π2 = sin 2x+2φ
π
，则 2 + 2kπ= 2φ，k∈ Z，
∴ φ= π + kπ k∈ Z k= 0 φ= π k= 1 φ= 5π4 ， ，当 时， 4 ， 时， 4 ，故选：A.
8．已知函数 f x = 2sin ωx+φ ，如图，A,B是直线 y= 2与曲线 y=
f x 的两个交点，若 AB = π ,f 0 = 2 f π 4 ，则 2 = ( )
A. 0 B. - 2 C. 1 D. 2
【答案】B
【详解】根据 f 0 = 2得 sinφ= 1 π，故 φ= 2 + 2kπ,k∈ Z,故 f x = 2sin ωx+
π
2 +2kπ = 2cosωx，
令 f x = 2cosωx= 2，故ωx1= π4 + 2kπ或ωx =-
π
2 4 + 2kπ,k∈ Z，
结合图象知ωxA=-
π
4 + 2π
π
，ωxB= 4 + 2π，因此 AB = xB- xA=
π
2ω =
π
4 ，故ω= 2，
因此 f x = cos2x π，故 f 2 = 2cosπ=-2，故选：B
9．已知ω> 0，曲线 y= cosωx与 y= cos ωx- π3 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 ω
= ( )
A. 33 π B.
2
2 π C. 2π D. 3π
【答案】A
【详解】设曲线 y= cosωx与 y= cos ωx- π3 相邻的三个交点为A x1,y1 ，B x2,y2 ，C x3,y3 ，
cosωx= cos ωx- π = 13 2 cosωx+
3
2 sinωx sin ωx-
π
6 = 0 x=
kπ π
，解得 ω + 6ω ,k∈ Z，
k= 0 1 2 x = π 7π 13π 3 3 3不妨取 ，，，则 1 6ω ，x2= 6ω ，x3= 6ω ，所以 y1= 2 ，y2=- 2 ，y3= 2 ，
2 2
则AB2=BC2= πω + 3
2π
，AC2= ω ，由题意得△ABC为直角三角形，所以AB2+BC
2=AC2，
π 2 2
即 2 ω + 6=
2π 3ω ，解得ω= 3 π，故选：A．
-1, x<0
10．设符号函数 sgn x = 0, x=0，已知函数 f x = 2sgn cosx cosx，则 ( )
1, x>0
A. 2π为 f x 的最小正周期
B. f x 图象的对称轴方程为 x= kπ k∈Z
C. f x 2π 4π 在 3 , 3 上单调递增
D. 函数 g x = f x - 1在 -π,π 上有 4个零点
【答案】D
·11·
-2cosx, cosx<0
【详解】由题意 f(x) = 2sgn(cosx)cosx= 0, cosx=0，画出函数的部分图象，
2cosx, cosx>0
如图所示：根据图象可知 π为 f(x)的最小正周期，故A错误；
f(x) x= kπ由图象知 图象的对称轴方程为 2 (k∈ Z)，故B错误；
f(x) 2π 4π在 3 , 3 上先单调递增，再单调递减，故C错误；
函数 g(x) = f(x) - 1在 [-π,π]上的零点个数，转化为方程 f(x) = 1在 [-π,π]上的解的个数，
转化为函数 y= f(x)与 y= 1的交点个数，由图知，函数 y= f(x)与 y= 1有 6个交点，
所以函数 g(x) = f(x) - 1在 [-π,π]上有 4个零点，故D正确；故选：D
11．已知函数 f x = sinx+ cosx极值点与 g x = tan ωx+ π4 零点完全相同，则ω= ( )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
【答案】B
【详解】f x = sinx+ cosx= 2sin x+ π π π4 ，由 x+ 4 = kπ+ 2 ，得 x= kπ+
π
4 ,k∈ Z①，
g x = tan ωx+ π ωx+ π = kπ ωx= kπ- π对于 4 ，由 4 ，得 4 ,k∈ Z，
kπ- π
ω≠ 0 x= 4 = kπ π依题意 ，所以 ω ω - 4ω ,k∈ Z②，
π
由于函数 f x = sinx+ cosx极值点与 g x = tan ωx+ 4 零点完全相同，对比①②可得 ω=-1，故选：B
12 x∈ - π．已知 ,0 ，sin4x+ cos4x= 174 18 ，则 sinx+ cosx= ( )
A. - 2 3 2 3 6 63 B. 3 C. - 3 D. 3
【答案】D
【详解】因为 sin4x+ cos4x= sin2x+cos2x 2 - 2sin2xcos2x= 1- 2sin2xcos2x= 17 ，所以 sin218 xcos
2x= 136 ，
x∈ - π又 4 ,0 ，所以 cosx>-sinx> 0，则 sinxcosx=-
1
6 ，
sinx+ cosx= (sinx+cosx)2= 1+2sinxcosx= 63 ，故选：D
13．若函数 f(x) = 3sinx+ 2cosx在 [0,α]上单调递增，则当 α取得最大值时，cosα= ( )
A. - 3 13 B. - 2 13 C. 3 13 2 1313 13 13 D. 13
【答案】D
【详解】f(x) = 3sinx+ 2cosx= 13sin(x+ φ) sinφ= 2 13，其中 13 > 0，cosφ=
3 13
13 > 0,且 φ为锐角，
因为 f(x)在 [0,α]上单调递增，且 φ+ x∈ φ,α+φ ，所以 φ,φ+α 0,
π
2 ，则 α
π
的最大值为 2 - φ，
此时 cosα= cos π2 -φ = sinφ=
2 13
13 ，故选：D
14 π．设 tan 24 是关于 x的方程 x
4+ 4 3x3- 6x2+mx+ 1= 0的一个实根，其中m为常数，则
m= ( )
A. - 2 3 B. - 4 C. - 3 3 D. - 4 3
·12·
【答案】D
π π π 2tan
π
2x
【详解】设 tan 24 = x，则 tan 12 = tan 2× =
24
24 = 2 ，1-tan2 π 1-x24
2x
2tan π 2× 2 4x 1-x2
tan π = tan 2× π = 12 = 1-x6 12 = =
1
，
1-tan2 π 1- 2x
2 x4 -6x
2+1 3
12 1-x2
整理得 x4+ 4 3x3- 6x2- 4 3x+ 1= 0，故m=-4 3，故选：D
15．已知 cos 3- 2 2 α+β = 4 ，sinαsinβ= 4 ，则 cos 2α-2β = ( )
A. 1 B. 2 C. 6-3 D. 2 6-32 2 4 8
【答案】D
【详解】因为 cos α+β = cosαcosβ- sinαsinβ= 3- 24 ，sinαsinβ=
2
4 ，所以 cosαcosβ=
3
4 ，
所以 cos α-β = cosαcosβ+ sinαsinβ= 3+ 24 ，
2
所以 cos 2α-2β = 2cos2 α-β - 1= 2× 3+ 24 - 1=
2 6-3
8 ，故选：D.
16 tanθtan2θ．已知 - =
4 4 4
5 ，则 sin θ+ cos θ= ( )tanθ tan2θ
A. 9 3 17 2425 B. 5 C. 25 D. 25
【答案】C
sinθ sin2θ
tanθtan2θ 4 4 sinθsin2θ 4
【详解】因为 = ，所以 cosθ cos2θ = ，所以 = ，
tanθ-tan2θ 5 sinθ
cosθ -
sin2θ 5 sinθcos2θ-cosθsin2θ 5
cos2θ
sinθsin2θ = 4所以 5 ，所以 sin2θ=-
4 4
5 ，所以 2sinθcosθ=- 5 ，所以 sinθcosθ=-
2
，
sin θ-2θ 5
所以 sin4θ+ cos4θ= sin2θ+cos2θ 2 - 2sin2θcos2θ= 1- 2× 425 =
17
25 ，故选：C .
17．已知 sinαsinβ=- 1 14 ，cos α-β = 4 ，则 sin
2α- cos2β= ( )
A. 316 B.
1 1
8 C. 16 D. -
3
16
【答案】D
【详解】由 cos 1 α-β = 4 得 cosαcosβ+ sinαsinβ=
1 1
4 ，又 sinαsinβ=- 4 ，则 cosαcosβ=
1
2 ，
∴ cos α+β = cosαcosβ- sinαsinβ= 1 + 1 32 4 = 4 ，
∴ sin2α- cos2β= 1-cos2α - 1+cos2β2 2 =-
1
2 cos2α+cos2β
=- 12 cos α+β + α-β +cos α+β - α-β
1
=- 2 2cos α+β cos α-β =-
3
4 ×
1
4 =-
3
16 ，
故选：D.
18．已知 sin α+ π6 =
1 + cosα cos 2α- π2 ，则 3 = ( )
·13·
A. - 1 B. 12 2 C. -
3
4 D.
3
4
【答案】B
sin α+ π 1 3 1 1【详解】因为 6 = 2 + cosα，则 2 sinα+ 2 cosα= 2 + cosα
3 sinα- 1，即 2 2 cosα=
1
2 ，
2
所以 sin α- π 1 π π6 = 2 ，则 cos 2α- 3 = cos2 α- 26 = 1- 2sin α-
π
6 = 1- 2×
1 1
2 = 2 ，故选：B.
19．已知 sin α-β 1 1 = 6 ，sinαcosβ= 4 ，则 cos 2α+2β = ( )
A. 7 B. 1 C. - 1 D. - 79 9 9 9
【答案】A
【详解】由 sin α-β = 1 6 ，可得 sinαcosβ- cosαsinβ=
1
6 ，又 sinαcosβ=
1
4 ，所以 cosαsinβ=
1
12 ，
1 1 1
所以 sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= 4 + 12 = 3 ，
所以 cos 2α+2β = 1- 2sin2 α+β = 1- 2 79 = 9 ，故选：A
20．已知 α∈ (0,π)，若 sinα+ cosα=- 12 ，则 cos2α= ( )
A. - 38 B. -
3
4 C.
7 D. 554 8
【答案】C
1 1 1
【详解】∵ sinα+ cosα=- 2 ，∴ sinα+cosα
2 = 4 ，即 1+ 2sinαcosα= 4 ，
∴ 2sinαcosα=- 34 ,sinαcosα=-
3
8 < 0，∵ α∈ (0,π)，∴ sinα> 0，∴ cosα< 0，故 cosα- sinα< 0，
∵ cosα-sinα 2 = 1- 2sinαcosα= 1+ 3 = 74 4 ，∴ cosα- sinα=-
7
2 ，
∴ cos2α= cos2α- sin2α= sinα+cosα cosα-sinα = - 12 × -
7
2 =
7
4 ，故选：C .
题型四：解三角形
1 π sin2A．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为 a，b，c，若 b= 2acos C- 3 ，则 + = ( )1 cos2A
A. 23 B. 2 C. 3 D.
3
3
【答案】D
【详解】由 b= 2acos C- π3 得 sinB= 2sinAcos C-
π
3 = 2sinA
1
2 cosC+
3
2 sinC = sinAcosC+
3sinAsinC，由于 sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC，
故 sinAcosC+ cosAsinC= sinAcosC+ 3sinAsinC，故 cosAsinC= 3sinAsinC，
由于△ABC中，sinC≠ 0，故 cosA= 3sinA tanA= 33 ，
3
∵A∈ 0,π , ∴A= π sin2A 6 ，故 =
2 3
1+cos2A 1+ 1
= 3 ，故选：D
2
2．在△ABC中，∠CBA= 45°，D是BC边上的一点，AD= 5，AC= 7，DC= 3，则AB= ( )
A. 4 3 B. 5 2 C. 2 10 D. 5 62
·14·
【答案】D
AC2+CD2-AD2 49+9-25 11
【详解】在△ACD中，由余弦定理得 cosC= = = ，
2AC CD 2×7×3 14
2 5 3
又因为C∈ (0,π)，所以 sinC= 1- 1114 = 14 ，
AB AC AB 7 5 6
在△ABC中，由正弦定理得 =
sinC sinB
，即 = ，解得AB= ，故选：D
5 3 2 2
14 2
3．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC,AB= 4,BC=CD,∠ACD= 60°，则
AD的最小值为 ( )
A. 2 B. 6 C. 2 2 D. 2 3
【答案】C
【详解】设∠BAC= α∈ 0, π2 ，则AC= 4cosα，CD=BC= 4sinα，
则在△ACD中利用余弦定理得AD= AC2+CD2-2AC CDcos60° = 16-8sin2α，
当 sin2α= 1，即 α= π4 时，AD取得最小值 2 2，故选：C
4 2π．在△ABC中，已知∠BAC= 3 ,AB= 2,AC= 1,D
π
为BC上一点，且∠BAD= 2 ，则
△ACD的面积为 ( )
A. 2 35 B.
3
2 C.
3
10 D.
3
10
【答案】C
【详解】如图，由∠BAC= 2π3 ，∠BAD=
π
2 ，则∠DAC=
π
6 ，
∴S 1△BAD= 2 AB×AD=AD，S△ADC=
1 AD×AC× sin π = 12 6 4 AD，
S
∴ △ADC 1 1 1 1S = 4 ，则S△ADC= 5 S△ABC= 5 × 2 AB×AC× sin
2π 1 1
3 = 5 × 2 × 2× 1×
3
△BAD 2
= 310 ，故选：C
5 π．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若A= 3 ，a= 4，BC边上的高AD=
3，则 b+ c= ( )
A. 2 10 B. 4 3 C. 8 D. 4 2
【答案】A
【详解】已知BC边上的高AD= 3，a= 4 1 1，根据三角形面积公式S△ABC= 2 a AD= 2 bcsinA
π
将A= 3 ，a= 4，AD= 3
1
代入得 2 × 4× 3=
1
2 bcsin
π 1 3
3 ，2 3= 2 bc× 2 ，bc= 8.
a2= b2+ c2- 2bccosA 42= b2+ c2- 2bccos π由余弦定理 得 ，即 16= b2+ c23 - bc，
可得：16= (b+ c)2- 2bc- bc，即 16= (b+ c)2- 3bc，
把 bc= 8代入上式可得 16= (b+ c)2- 3× 8，即 (b+ c)2= 16+ 24= 40.
因为 b、c为三角形的边，可得：b+ c= 40= 2 10，故选：A.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b c B-C 1，，若 a= 3，sin2 2 + cosBcosC= 4 ，
·15·
sinB+ sinC= 62 ，则△ABC的面积为 ( )．
A. 3 B. 3 32 2 C. 3 D.
3
4
【答案】D
sin2B-C + = 1-cos(B-C)【详解】由 2 cosBcosC 2 + cosBcosC=
1
4 ，
1 + cosBcosC-sinBsinC 1 1所以 2 2 = 4 ，即 cos(B+C) = cos(π-A) =-cosA=- 2 ，
所以 cosA= 1 ，A∈ (0,π) π，则A= ，由 a2= b2+ c22 3 - 2bccosA= b
2+ c2- bc= (b+ c)2- 3bc= 3，
sinB+ sinC= bsinA + csinA = b+c 6又 a a 2 = 2 ，则 b+ c= 6，
所以 6- 3bc= 3 bc= 1，则S 1△ABC= 2 bcsinA=
3
4 ，故选：D
7．如图，已知∠CAB= 45°，∠ACB= 15°，AC= 6，CD= 7，则BD= ( )
A. -1+ 13 B. 1+ 132 2 C. 3或 1 D. 3
【答案】D
【详解】∵∠CAB= 45°，∠ACB= 15°，AC= 6，所以∠ABC= 120° ∴ AC， ∠ =
BC
，
sin ABC sin∠CAB
2
∴BC= AC×sin45°
6× 2
° = = 2，∴CD
2=BC2+BD2- 2 BC BD cos60°，
sin120 3
2
∴ 7= 4+BD2- 2BD，解得BD= 3或BD=-1(舍)，故选：D
题型五：平面向量
1．如图所示，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB= 6，点D是BC的中点，
点E在AD上，且DE= 2AE.若BE AD=- 293 ，则AC= ( )
A. 6 B. 8
C. 2 13 D. 6 5
【答案】B
【详解】由∠BAC= 90°，得AB AC = 0，由点D是BC的中点，DE= 2EA，
1 1 1 1 1
得AE= 3 AD= 3 2 (AB+AC) = 6 AB+ 6 AC，BE=AE-AB=
1
6 AC -
5
6 AB，
1 1 1
则BE AD= 6 (AC - 5AB) 2 (AB+AC) = (
2- 212 AC 4AB AC - 5AB ) =
1
12 (|AC|
2- 5× 62) =- 29 ，
3
解得 |AC| = 8，故选：B.
2．在△ABC中，向量AB= x,1 ，BC = -3,2-x ，若∠ABC为锐角，则实数 x的取值范围
为 ( )
A. 12 ,3 ∪ 3,+∞ B. -1,3 ∪ 3,+∞
C. 12 ,+∞ D. -∞,
1
2
【答案】A
·16·
【详解】因为∠ABC为锐角，则BA BC> 0且BA与BC不共线．
由AB= x,1 得BA= -x,-1 ，BC = -3,2-x ，
则BA BC = 1 -x × -3 + -1 × 2-x = 3x- 2+ x= 4x- 2> 0，解得 x> ．
2
若BA与BC共线，则-x 2-x = -1 × -3 ，即 x2- 2x- 3= 0，解得 x=-1或 x= 3，
所以 x> 1 12 且 x≠ 3，即 x的取值范围是 2 ,3 ∪ 3,+∞ ，故选：A
3 π
．已知两个非零向量 a,b的夹角为 3 ，且 a+b = ma
+2b ，则m的取值范围是 ( )
A. -1,1 B. -1-3 3 4 ,-1 ∪ 1,
-1+3 3
4
C. -1-3 3 ,1 D. -1-3 3 4 4 ,0 ∪
-1+3 3
4 ,+∞
【答案】C
【详解】a·b= a b cos π = 13 2 a
b .
2 2 2 2 2 2
由 a +b = ma +2b 得 a + b + a b =m2 a + 4 b + 2m a b ，即 m2-1 a + 2m-1 a b + 3 b = 0.
= a 设 x > 0，则关于 x的方程 m2-1 x2+ 2m-1 x+ 3= 0有正实根
b
当m= 1时，x=-3不符合条件；当m=-1时，x= 1符合条件；
Δ= 2m-1 2 -12 m
2-1 ≥0,
当m≠±1时， + = -2m+
3 -1-3 3
1 > 或 x x = < 0,，解得m∈
,-1 ∪ -1,1
x x 0 1 2 2- 4 1 2 m2-1 m 1
综上可得m∈ -1-3 3 4 ,1 ，故选：C
4 △ABC 1．已知 的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，AB在AC方向上的投影向量为- 2 AC，
则 ( )
A. cosA> 0 B. B= 30° C. a= c D. 2b2= a2- c2
【答案】D
【详解】过B作BD⊥AC，交直线CA于点D，则AB在AC方向上的投影向量AD.
1
结合已知得AD=- 2 AC，所以AD,AC方向相反，所以 cosA< 0，故A错误；
AB在AC方向上的投影向量为AD，如图所示：
1
由AD=- 2 AC，所以 |AD| =
1
2 |AC| =
b
2 ，无法确定角B的大小，故B错误；
因为 cosA< 0，角A为钝角，所以 a> c，故C错误；
2
在Rt△BDC中，BD2=BC2-CD2= a2- 3 b = a2- 9 b22 4 ，
2 2 2
在Rt△BDA中，BD2=AB2-AD2= c2- b2 = c2-
b 2 9 2 2 b
4 ，故 a - 4 b = c - 4 ，
故 2b2= a2- c2，故D正确，故选：D.
5 a
．已知向量 = b = 1 c = 3 ， 2 ，且 a+ b- 2c
= 0，则 cos< a ,c >= ( )
A. - 12 B. -
3
2 C.
1
2 D.
3
2
【答案】D
·17·
【详解】a+ b- 2c = 0，所以 a + b= 2c 3，两边平方得 a2+ 2a b+ b2= 4c2，又 a = b = 1, c = 2 ，
1 1
1+ 2a
a a+b 2 1+
所以 b+ 1= a c a +a b3 a b= 12 ，所以 cos a
,c =
2 2
= = = =
3
，
a c 3 3 3 2
2
故选：D
6．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示，若图中正
方形ABCD的边长为 4，圆O的半径为 4 2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心
重合，动点P在圆O上，且AP= λAB+ μAD，则 λ+ μ的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解一】建立如下图所示的平面直角坐标系，则A 0,0 、B 4,0 、D 0,4 ，
点P在圆 x-2 2 + y-2 2 = 32上，设点P 2+4 2cosθ,2+4 2sinθ ，
AP= 2+4 2cosθ,2+4 2sinθ ，AB= 4,0 ，AD= 0,4 ，
因为AP= λAB+ μAD，所以 2+4 2cosθ,2+4 2sinθ = λ 4,0 + μ 0,4 = 4λ,4μ ，
所以 4λ= 2+ 4 2cosθ，4μ= 2+ 4 2sinθ，
所以 λ+ μ= 2sinθ+ 2cosθ+ 1= 2sin θ+ π4 + 1≤ 3，即 λ+ μ的最大值为 3；
【详解二】过点P作平行于BD的直线分别交直线AB、AD于点M、N，
设直线AP交直线BD于点Q，取线段MN中点E，连接AE，
因为D、Q、B三点共线，则存在 p∈R，使得DQ= pDB，
所以，AQ-AD= p AB-AD ，则AQ= pAB+ 1-p AD，
因为A、Q、P三点共线，则存在 k∈R，使得AP= kAQ= kpAB+ k 1-p AD，
因为AP= λAB+ μAD，且AB、AD不共线，则 λ= kp，μ= k 1-p ，所以 λ+ μ= kp+ k 1-p = k，
因为AB=AD，且∠ABD= 45°，MN BD，则∠AMN= 45°，所以△AMN为等腰直角三角形，
所以AE⊥MN，易知AO⊥BD，即AO⊥MN，故A、O、E三点共线，
AP AE AO + OE
要使得 λ+ μ取最大值，则 k> 0，且 k= = ≤
= 2 2+4 2 = 3，
AQ AO AO 2 2
当且仅当E为射线AO与圆O的交点时，λ+ μ取最大值 3，故选：C .
7．在平行四边形ABCD中，AB= 4，AD= 2，∠A= 60°，DM = 3MC，则AM BM = ( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
【答案】D
【详解】如图：以 AB,AD
2 2
为基底，则AB = 16，AD = 4，AB AD= 4× 2cos60° = 4.
AM =AD+DM = 3
且 4 AB+AD，BM =BC +CM =-
1
4 AB+AD，
AM BM = 3
所以 4 AB+AD -
1
4 AB+AD
3 =- 2
16 AB +
1
2 AB +
2
AD AD =- 3 116 × 16+ 2 × 4+ 4= 3，故选：D
8．设 e1，e2为单位向量，且 e1⊥ e2，若向量 a满足 a-e1 a-e2 = 0，则 a e1取值范围为 ( )
A. 0,1 B. -1,1
·18·
C. 1- 2 , 1+ 2 D. - 1+ 2 , 1+ 2 2 2 2 2
【答案】C
【详解】由题意可设：e1= 1,0 ，e2= 0,1 ，a= x,y ，∴ a- e1= x-1,y ，a- e2= x,y-1 ，
2 2
∴ a -e1 a -e2 = x x-1 + y y-1 = x2- x+ y2- y= 0 x- 1，即 2 + y-
1
2 =
1
2 ，
∴ a = 1 + 2 cosθ, 1 + 2
可令 2 2 2 2 sinθ 0≤θ<2π
1 2
，∴ a e1= 2 + 2 sinθ，
∵ sinθ∈ -1,1 ，∴ a e1∈ 1- 2 , 1+ 2 2 2 ，故选：C .
9．已知平面向量 a，b，c 满足 a = 1，b c = 0 ，a b= 1 a ， c =-1，则 b+c 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】C
【详解】在平面直角坐标系 xOy中，不妨设 a= 1,0 ，b= x1,y1 ，c= x2,y2 ，
a
则 b= x1= 1
，a c = x2=-1，b c
= x1x2+ y1y2= y1y2- 1= 0，
1 1
所以 b+c = 1-1 2 + y +y 21 2 = y1+y2 = y 11+ y = y1 + y ≥ 2 y1 1 1 y1 = 2，
当且仅当 y1=±1时等号成立，因此， b+c 的最小值为 2，故选：C .
10．已知M，N是圆C: x-2 2 + y+3 2 = 5上的两个动点，且 MN = 2，P为直线 3x- 4y+
12= 0上的动点，则PM PN 的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 15 D. 16
【答案】C
【详解】若A为MN的中点，如下图示，PM =PA+AM，PN =PA+AN，
2
所以PM PN = PA+AM PA+AN =PA +PA AM+AN +AM AN
2 = 2PA +AM AN =PA - 1，
由C： x-2 2 + y+3 2 = 5，即圆心C(2, -3)，半径 r= 5，所以 |CA| = 2，
|6+12+12|
C到 3x- 4y+ 12= 0的距离 d= = 6> r，即直线与圆相离，
2 2
3 +4
结合图知，最小 |PA| = d- |CA| = 6- 2= 4，此时PM PN = 42- 1= 15，故选：C .
题型六：数列
1 1 4．在公差不为 0的等差数列 an 中，若 a3是 ax与 ay的等差中项，则 x + y 的最小值为 ( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 92 3 5 5
【答案】A
【详解】因为在公差不为 0的等差数列 an 中，a3是 ax与 ay的等差中项，所以 2a3= ax+ ay，所以 x+ y= 6，
1 4
所以 x + y =
1
6 x+
y y
y 1 + 4 1 4x 1 x y = 6 5+ x + y ≥ 6 5+2 4x = 3x y 2 ，
y
当且仅当 x =
4x
y ，即 x= 2，y= 4
1 4 3
时等号成立，所以 x + y 的最小值为 2 ，故选：A.
2．若数列 an 各项均为正数，则“ an 为等比数列”是“ lnan 为等差数列”的 ( )
·19·
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】数列 an 中，an> 0，数列 an 为等比数列，令其公比为 q(q> 0)，
则 a = a qn-1n 1 ，lnan= lna1+ (n- 1)lnq，lnan+1- lnan= lnq为常数，因此数列 lnan 为等差数列；
a
反之， lnan 为等差数列，令其公差为 d，则 lnan+1- lna = d，即 n+1 dn a = e 为常数，n
因此数列 an 为等比数列，所以“ an 为等比数列”是“ lnan 为等差数列”的充要条件，故选：C
3．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且S3= a5，若 a1，a2，am成等比数列，则m= ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【详解】根据题意，设等差数列 an 公差为 d，则S3= 3a2= 3 a1+d ，
又S3= a5，所以 3 a1+d = a1+ 4d，即 d= 2a1，若 a1，a2，am成等比数列，则 a1≠ 0，
则 a22= a a 21 1+ m-1 d ，即 9a1= a1 2ma1-a1 解得：m= 5，故选：C
4．某公司购置了一台价值为 220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减
少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为 10
年，超过 10年，它的价值将开始低于购进价值的 5%，设备将报废.则 d的取值范围为 ( )
A. 0,20.9 B. 19,20.9 C. 19,+∞ D. 20.9,+∞
【答案】B
【详解】设使用 n年后，这台设备的价值为 an万元，则可得数列 an ，由已知条件得 an= an-1- d n≥2 .
由于 d是与n无关的常数，∴数列 an 是一个公差为-d的等差数列.
∵购进设备的价值为 220万元，∴ a1= 220- d，于是 an= a1+ n-1 -d = 220-nd.
a10≥220×5%=11 220-10d≥11根据题意得 < ，即 ，解得 19< d≤ 20.9.a11 220×5%=11 220-11d<11
∴ d的取值范围为 19< d≤ 20.9，故选：B.
5．在△ABC中，角A，B，C 4所对的边分别为 a，b，c，已知A，B，C成等差数列，a，c， b成
3
等比数列，则 cosA= ( )
A. 14 B.
1
2 C.
3
3 D.
3
2
【答案】D
【详解】因为在△ABC中，A，B，C成等差数列，所以 2B=A+C，又A+B+C= π π，所以B= 3 ，
, , 4 = = 3q
2a
设 a c b所成等比数列得公比为 q，则 c qa，b
3 4
，
a 2= 3q a = qa由正弦定理得 π 2π ，整理得 sinA=
2
2 ，cosA=
2 2 1sinA 4sin sin -A q 3 q
-
q2 ，
3 3
2
又 sin2A+ cos2A= 1 4，即 4 +
4 23 q - 12 = 1，整理得 q-2 3q3+5q2+4+ q-2 2 = 0，解得 q= 2，q q
1 π
故 sinA= 2 ，于是A= 6 ，所以 cosA=
3
2 ，故选：D.
6．在数列 2n 的项 2i和 2i+1之间插入 i个 i i=1,2,3, ,i∈N * 构成新数列 an ，则 a100= ( )
·20·
A. 13 B. 213 C. 14 D. 214
【答案】A
【详解】在 2i和 2i+1之间插入 i个 i i=1,2,3, ,i∈N * 构成数列 an , an :2,1,22,2,2,23,3,3,3,24, ，
i(i-1) 1
则数列 2n 中不超过 2i的数的个数为 i+[1+ 2+ +(i- 1)]= i+ 2 = 2 (i
2+ i)，
当 i= 13 1时，2 (13
2+ 13) = 91 1，当 i= 14时，2 (14
2+ 14) = 105，所以 a100= 13，故选：A
7．已知数列 an 是首项和公比均大于 0的无穷等比数列，设甲： an 为递增数列；乙：存在正
整数N0，当n>N0时，an> 1，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【详解】若 an 为递增数列，则 an< an+1，即 a qn-11 < a1qn，即 a1 1-q < 0，
则公比 q> 1，a = a qn-1n 1 为指数型递增数列，易得存在正整数N0，当n>N0时，an> 1.充分性成立；
不妨设 an= 2，此时 an 不是递增数列，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A.
8．设 an 是公差不为 0的等差数列，其前 n项和为Sn，则“ n∈N *，Sn≥S9”是“a9≤ 0”的 ( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 n∈N *,Sn≥S9，这意味着S9是数列 {Sn}中的最小值，因为 an 是公差不为 0的等差数列，
所以该数列的前 n项和Sn是关于n的二次函数 (且二次项系数不为 0)，其图象是一条抛物线
当S9是最小值时，说明从第 10项开始数列的项变为正数，即 a9≤ 0，且 a10≥ 0.
所以由“ n∈N *,Sn≥S9”可以推出“a9≤ 0”，充分性成立.
若 a9≤ 0，仅知道第 9项是非正的，但无法确定S9就是Sn的最小值.
例如，an=n- 11,a9=-2< 0，S9就不是最小值，即不能推出 n∈N *,Sn≥S9，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以“ n∈N *,Sn≥S9”是“a9≤ 0”的充分不必要条件，故选：C
9 3 2．正项等差数列 an 中，a4= 1，则 a + 的最小值为 ( )2 a7
A. 92 B. 5 C. 5 2 D. 6
【答案】B
【详解】正项等差数列 an 中，设公差为 d d≥0 ，因为 a4= a1+ 3d= 1，所以 a1= 1- 3d，
因为 an> 0，所以 0≤ d< 1 3 23 ，所以 5 1-2d + 5 1+3d = 1，
3 + 2 = 3 2 3所以 a + = +
2 3 2
2 a7 1-2d 1+3d 1-2d 1+3d 5
1-2d + 5 1+3d
= 6 1+3d + 6 1-2d + 9 + 4 ≥ 6 1+3d 6 1-2d2 + 13 = 5，
5 1-2d 5 1+3d 5 5 5 1-2d 5 1+3d 5
6 1+3d = 6 1-2d 当且仅当 ，即 d= 0时取等，故选：B
5 1-2d 5 1+3d
·21·
S
10．记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 a3+ a7= 10，a5a9= 65，则 nn = ( )
A. 14-n B. n- 2 C. 12-n D. n- 4
【答案】D
【详解】已知 {an}是等差数列，根据等差数列的性质可得 a3+ a7= a5+ a5= 2a5= 10，则 a5= 5.
又因为 a5a9= 65，所以 5a9= 65，解得 a9= 13，设等差数列 {an}的公差为 d，
a =a +4d=5
根据等差数列通项公式 an= a1+ (n- 1)d，可得 5 1 = + = .解得 d= 2，a1=-3.a9 a1 8d 13
= × (- )+ n(n-1)根据等差数列的前 n项和公式得Sn n 3 2 × 2=-3n+n(n- 1) =n
2- 4n.
S S 2
S =n2- 4n n n = n -4n将 n 代入 n 得 n n =n- 4，故选：D
11．已知数列 an 的前n项和为Sn，a1= 1，且 an+1= a1+ a2+ +an n∈N * ，则 ( )
A. a2= 2 B. a4= 8 C. S2= 3 D. S5= 16
【答案】D
【详解】由 an+1= a1+ a2+ +an=Sn，当n= 1时，a2=S1= 1，
当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1= an+1- an，所以 an+1= 2an，
所以数列 an 从第二项开始是以 a2= 1为首项，2为公比的等比数列，
1, n=1 1, n=1所以 a = ，S = n-1 = 2n-1n n 1-2 ，所以 a2= 1，a4= 4，S2= 2，S5= 16，2n-2, n≥2 1+ n-11-2 =2 , n≥2
故ABC错误，D正确，故选：D.
12．记Sn为等比数列 an 的前n项和，若 a4+ a5+ a6=-3,a7+ a8+ a9= 9，则S15= ( )
A. 81 B. 71 C. 61 D. 51
【答案】C
【详解】由题可知S3,S6-S3,S9-S6，S12-S9，S15-S12成等比数列，
所以 S6-S 23 =S3 S9-S6 ，即 -3 2 =S3× 9，得S3= 1，
则此等比数列的首项是 1，公比是-3，那么S12-S9= a10+ a11+ a12= 9× -3 =-27，
S15-S12= a13+ a14+ a15=-27× -3 = 81，所以S15= 1+ -3 + 9+ -27 + 81= 61，故选：C
2S
13．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且S
n
5= 4a4- 1， an n∈N
* 是以 1为公差的等差
数列，则下列结论正确的是 ( )
A. a5= 10 B. S5= 15 C. a10= 20 D. S10= 30
【答案】B
【详解】设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，
= - + 5(5-1)因为S5 4a4 1，所以 5a1 2 d= 4(a1+ 3d) - 1，得到 5a1+ 10d= 4a1+ 12d- 1，即 a1= 2d- 1，
2S 2S 2S因为 n a 是以 1为公差的等差数列，所以
2 1
n a
- a = 1，2 1
+ 2(2-1)2 2a1 2 d
则 + - 2= 1，化简得 4a1+ 2d= 3a1+ 3d，即 a1= d，a1 d
因为 a1= 2d- 1，所以 d= 2d- 1，解得 a1= d= 1，则 an= 1+n- 1=n，下面我们开始分析各个选项，
·22·
= = + 5(5-1)对于A，a5 5，故A错误，对于B，S5 5 2 = 15，故B正确，
= = + 10(10-1)对于C，a10 10，故C错误，对于D，S10 10 2 = 55，故D错误，故选：B
14．已知公差不为 0的等差数列 an 的前n项和为Sn，若S15= 5 a5+a7+ak ，则正整数 k的值
为 ( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】B
【详解】设等差数列 an 公差为 d，
由S15= 5 a5+a7+ak 得 15a
15×14
1+ 2 d= 5 a1+4d+a1+6d+a1+ k-1 d ，所以 k-1 d= 11d，
又 d≠ 0，所以 k= 12，故选：B.
15 1 1 1．已知数列 an 满足 a1+ 2 a2+ 3 a + +
n+1
3 n an= 2 3 - 6 n∈N
* ，
a
若 b nn= ，则数列 bn 的前 15项和为 ( )
2n+1 2n+3
15 15 15 15
A. 3 3 3 311 - 1 B. 11 - 3 C. 31 - 1 D. 31 - 3
【答案】A
1 1 1
【详解】a + a + a + + a = 2 3n+11 2 2 3 3 n n - 6 n∈N
* ①，
当n= 1时，a1= 2× 32- 6= 12 n≥ 2 a + 1 1 1，当 时， n1 2 a2+ 3 a3+ + n-1 an-1= 2 3 - 6②，
- 1① ②得 n a
n+1
n= 2 3 - 6- 2 3n-6 = 4 3n，所以 an= 4n 3n，显然 a1也满足上式，所以 an= 4n 3n，
4n 3n 3n+1 n
所以 bn= = - 3
2n+1 2n+3 2n+3 2n+1
，记数列 bn 的前n项和为Sn，
32 3 33 32 34 33 316 315 16 15
则S15= 5 - 3 + 7 - 5 + 9 - 7 + + 33 - 31 =
3
33 - 1=
3
11 - 1，故选：A
16 {a } {b } a = 1 ,b = 1．已知数列 n ， n ，且 n 2n-1 n ，将 {a }与 {b }的公共项按从大到小 n+1 2 - n n1
的顺序排列组成一个新数列 {cn}，则 {cn}的前 10项和为 ( )
A. 9 18 10 2019 B. 19 C. 21 D. 21
【答案】C
【详解】因为数列 2n-1 是正奇数数列，对于数列 (n+1)2-1 ，
当n为奇数时，设 n= 2k- 1 k∈N * ，则 (n+ 1)2- 1= 4k2- 1，为奇数；
n n= 2k k∈N * (n+ 1)2- 1= (2k+ 1)2- 1= 4k(k+ 1) c = 1当 为偶数时，设 ，则 ，为偶数，所以 n 2 ，4n -1
1 1 1 1 1
由数列的函数特性知 cn 为递减数列，又 cn= =4n2-1 (2n- )(
=
1 2n+1) 2 2n-1 - 2n+1 ，
所以 c1+ c2+ +c10= 12 × 1-
1 + 1 - 1 + + 13 3 5 19 -
1 1
21 = 2 × 1-
1
21 =
10
21 ，故选：C
a1+a3+ +a17．已知正项等差数列 a 满足 2n-1n a +a + +a =
n a
n+2 n∈N
* ，则 4050
3 5 2n+1 a
= ( )
2
A. 4050 B. 2025 C. 4048 D. 2024
·23·
【答案】B
n(a +a )
【详解】在等差数列 an 中，a
1 2n-1
1+ a3+ +a2n-1= 2 =nan，a3+ a5+ +a2n+1=nan+2，
a1+a3+ +a2n-1 nan n an+2 an a2(n+1) a则 a +a + +a = na = n+2 ，即 n+2 = n ，因此 =
2n ，
3 5 2n+1 n+2 2(n+1) 2n
数列 a2n a是常数列，则 2n = a2 a 2n 2n 2n 2 ，即
2n
a = 2 =
a
n，所以 4050a = 2025，故选：B2 2
a
18 n．已知数列 an 满足 a1= 1， n+1a = n+2 ，则 an 的前 6项和为 ( )n
A. 7 B. 5 C. 126 3 7 D.
7
4
【答案】C
a
【详解】由 n+1 = nan n+2
，
当n≥ a a2时，a = n n-1 an-2 a3 a2 n-1 n-2 n-3 2 1 2n an-1 a
a1= ... 1= ，
n-2 an-3 a2 a1 n+1 n n-1 4 3 n(n+1)
显然，对于 n= 1 2 1 1时也成立，所以 an= n(n+ = 21) n - n+1 ，
1 1 1
则 an 的前 6项和为 2 1- 2 + 2 - 3 + +
1 1
6 - 7 = 2 1-
1 12
7 = 7 ，故选：C .
题型七：空间向量与立体几何
1．在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的 2倍，且点O2为该圆台外接球球心，则圆台的体
积与外接球的体积之比为 ()
A. 7 3 B. 7 3 C. 21 3 7 316 96 32 D. 32
【答案】D
【详解】过O1O2作圆台的轴截面，如图所示
∵O2为该圆台外接球球心，且圆O2的半径是圆O1半径的 2倍，
不妨设圆O1的半径 O1C =R，则圆O2的半径 O2B = 2R，依题意 O2C = 2R，
2 3
∴ O1O2 = O 22C - O1C = 4R2-R2= 3R，∴V = 1圆台 3 πR2+4πR2+2πR2 × 3R=
7 3πR
3 ，
7 3πR3
3 V
V = 4 π 2R 3= 32πR ∴ 圆台， = 3 7 3球 3 3 V = ，故选：D.球 32πR3 32
3
2．四棱锥S-ABCD中，AB= 4,-1,0 ，AD= 0,3,0 ，AS= -3,1,-4 ，则三棱锥S-
ABD的体积为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】C
AB m =4x-y=0
【详解】设平面ABD法向量为m= x,y,z ，则 ，则m= 0,0,1 ，AD m=3y=0
AS m -4
则点S到平面ABD的距离为 d= = 1 = 4， m
又AB AD=-3， AD = 3，
·24·
22 2
则点B到直线AD的距离为 AB - AB
A D = 17- -3 = 4 S 13 ，则 △ABD= 2 × 4× 3= 6， AD
1 1
故三棱锥S-ABD的体积为 3 S△ABD d= 3 × 6× 4= 8，故选：C
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示
的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为 150π，若该
圆台上、下底面半径分别为 5，10，则该圆台的体积为 ( )
A. 35 3π 175 3π3 B. 3 C.
875 3π
3 D. 875 3π
【答案】C
【详解】r1= 5,r2= 10，圆台的侧面积为 150π= π× r1+r2 l= π 5+10 l，母线长 l= 10.
圆台高 h= 102-52= 5 3，则圆台上下底面面积为S1= π× 52= 25π,S2= π× 102= 100π,
V= 1由圆台体积计算公式得： 3 (S1+ S1 S2+S2) × h=
1
3 × 175π× 5 3=
875 3π
3
故选：C
4．已知ABC-A1B1C1是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 bcosC+CcosB
= asinA，a= 2bc= 1，若三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，则AA1= ( )
A. 2 2- 1 B. 2- 1 C. 2 2+ 1 D. 2+ 1
【答案】B
【详解】由 bcosC+CcosB= asinA，
由正弦定理得 sinBcosC+ sinCcosB= sin2A，则 sin B+C = sinA= sin2A，
π
因为A∈ 0,π ，所以 sinA≠ 0，则 sinA= 1，即A= ，则 b2+ c22 = a
2，
又 a= 2bc= 1，所以 b2+ c2= a2= 2bc= 1，所以 b-c 2 = 0 b= c= 2，即 2 ，
2 × 2
设△ABC 1的内切圆半径为 r，则S△ABC= 2 bc=
1 a+b+c r r= bc = 2 2 = 2-12 ，即 ，a+b+c
1+ 2 + 2 22 2
2-1
要使三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，说明内切球半径刚好为 2 ，
所以三棱柱的高AA1为内切球的直径，即AA1= 2- 1，故选：B
5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC= 60°，则异面直
线AB与B1C所成角的余弦值为 ( )
A. 3 1 2 36 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】C
【详解】不妨设棱长为 2，由题意知 AB = AC = AA1 = 2,AB AC =AB AA1=AC AA1= 2，
因为B1C =B1B+BC =-AA1+AC -AB，
2 2 2
则 B1C = -AA1+AC-AB =AA1 +
2 2
AC +AB + 2AB AA1- 2AB AC - 2AC AA1
= 4+ 4+ 4+ 4- 4- 4= 8，即 B1C = 2 2，且B1C AB=-AB AA1+AB
2
AC -AB =-4+ 4- 4=-4，
可得 cos B1C,AB =
B1C A B = -4 =- 2 22 ，所以异面直线AB与B2 2×2 1
C所成角的余弦值为
B1C AB 2
·25·
故选：C .
6．如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为 6cm，上底面的直径
为 12cm，高为 6cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，
PC是该圆台的一条母线，O为上底面圆的圆心，当△ABP面积最大时，OP
与平面ABC所成夹角的正弦值为 ( )
A. 2 55 B.
5
5 C.
1
5 D.
1
2
【答案】A
【详解】设O′为下底面圆的圆心，连接OO ，CO 和CO，可知OO 为圆台的高，所以OO ⊥AB，
当△ABP面积最大时，P为弧AB的中点，则AP=BP，所以AB⊥OP，
又因为OO ∩OP=O，OO 平面OO P，OP 平面OO P，所以AB⊥平面OO P，
因为当C与P均在平面ABO的同一侧时，PC是该圆台的一条母线，
所以O，O ，C，P四点共面，且O C OP，
又AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面POC，
又因为平面ABC∩平面POC=OC，所以点P在平面ABC的射影在直线OC上，
则OP与平面ABC所成的角即为∠POC=∠OCO′，因为OP= 6cm，O C= 3cm，OO = 6cm，
所以在Rt△OCO 中，OC= OO 2+O C2= 3 5cm.sin∠OCO = 6 = 2 55 ，故选：A.3 5
7．如图是江西省博物馆中典藏的元青白釉印花双凤纹碗，高 5.7cm，口径
19cm，若将该碗内表面近似于一个球面一部分，则这个球的半径近似于 ( )
A. 9.6cm B. 9.8cm
C. 10.2cm D. 10.8cm
【答案】D
19cm r= 19【详解】已知碗的口径为 ，那么碗口所在截面圆的半径 2 = 9.5cm．
这是因为口径是截面圆的直径，根据半径是直径的一半得到，设球的半径为Rcm，碗高 h= 5.7cm．
由球的截面性质可知，球心到截面圆的距离 d与球的半径R、截面圆的半径 r构成直角三角形，
其中球的半径R为斜边．这里球心到碗口所在截面圆的距离 d=R- 5.7
根据勾股定理 r2+ d2=R2，将 r= 9.5，d=R- 5.7代入得 9.52+ (R- 5.7)2=R2
90.25+R2- 11.4R+ 32.49=R2 R= 122.74展开得 ，解得 11.4 ≈ 10.8，所以这个球的半径近似于 10.8cm，故选：D
8．已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为 3 3和 12 3，高为 6，则该正三棱台的外接球半
径为 ( )
A. 4 B. 2 5 C. 3 D. 2 6
【答案】B
【详解】如图所示，O1,O2分别为上下底面的外心，则外接球球心O在线段O1O2上，
连接C O1并延长交A B 于D1，连接CO2并延长交AB于D，
3
设等边三角形A B C 的边长为 a1，根据正三角形面积公式S= 4 a
2
1= 3 3，
∴ a1= 2 3，O 2 21C = 3 C D1= 3 × 3= 2，
设等边三角形A B C 3的边长为 a2，根据正三角形面积公式S= 4 a
2
2= 12 3，
·26·
∴ a2= 4 3 O 2 2， 2C= 3 CD= 3 × 6= 4，则O1O+O2O=O1O2= 6，
设正三棱台的外接球的半径R，得 R2-O 22C + R2-O1C 2= 6，解得R2= 20，即R= 2 5，故选：B
9．在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠CAB= π2 ,AP=AB,AB+AC= 6，且二面角P-AB-
C 2π的大小为 3 ，则当该三棱锥的外接球体积最小时，AB= ( )
A. 127 B. 3 C.
18
7 D.
24
7
【答案】A
∠PAB=∠CAB= π 2π【详解】由于 2 ,且二面角P-AB-C的大小为 3 ，
故∠PAC为二面角P-AB-C的平面角，故∠PAC= 2π3 ，
由于AB⊥PA,AB⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC，故AB⊥平面PAC，
设AB= x，则AC= 6- x，
在△PAC中，由余弦定理得PC2= x2+ 6-x 2 - 2× x× 6-x cos 2π 3 = x
2- 6x+ 36，
则△PAC 1 PC 1的外接圆直径 r= 2 = x
2-6x+36，
sin 2π 33
2 2 2
故外接球的半径R2=OA2= r2+ 12 AB =
1 2
3 x -6x+36 +
x
2 =
7
12 x-
12 + 727 7
12 12
当 x= 7 时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小，故AB= 7 ，故选：A
10．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD= 1，AA1= 2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1
= 60°，则直线DC1,B1C所成角的余弦值为 ( )
A. 21 B. 7 3 3 216 6 C. 14 D. 14
【答案】A
【详解】以AB，AD，AA1为基底，
则DC1=AB1=AB+AA1，B1C =A1D=AD-AA1，
2 = 2则 DC1 AB +2AB AA1+AA1 = 12+2×1×2×cos60°+22= 7，
2 2
B C = AD -2AD AA +AA = 121 1 1 -2×1×2×cos60°+22= 3，
DC1
2
B1C = AB+AA1 AD-AA1 =AB AD-AB AA1+AA1 AD-AA1
= 1× 1× cos60° -1× 2× cos60° +2× 1× cos60° -22=- 72 ，
- 7
, = D所以 cosDC B C C 1 B1C 2 211 1 = =- 6 ，则直线DC1，B1C
21
所成角的余弦值为 ，故选：A
DC1 B1C 7× 3 6
11．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 2，则球的体
积为 ( )
A. 9π B. 9 π C. 92 4 π D.
27
8 π
【答案】B
【详解】如图，作正四棱锥P-ABCD，连结AC，BD，交于点O，连结PO，
·27·
则PO⊥平面ABCD，则OP= 1，OA=OB=OC=OD= 12 AC= 2>OP，
根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高PO的延长线上，设为E，
连接EC，则球的半径 r=EP=EC，则OE= r- 1，
则在Rt△EOC内，由OC2+EO2=EC2可得 2+ r-1 2 = r2 3，解得 r= 2 ，
4 4 3 3 9π
故正四棱锥外接球的体积为V= 33 πr = 3 π 2 = 2 ，故选：B
12．如图是一个圆台的侧面展开图 (扇形的一部分)，若AD=BD= 3，∠ABC= 120°，则该圆台
的内切球的表面积为 ( )
A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
【答案】D
∠ABC= 120° = 2π【详解】 3 ，AB=AD+BD= 6，
故AC = 2π AB= 4π DE= 2π3 ， 3 BD= 2π，
DE AC
故圆台上底面半径：r1= 2π = 1，下底面半径：r2= 2π = 2,
如图，取圆台的轴截面，则圆台的高：h= AD2- r -r 22 1 = 2 2，
h
则该圆台的内切球的半径：r= 2 = 2 ,故内切球表面积：S= 4πr
2= 8π，故选：D
13．已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA= 6，圆
锥的侧面积为 12 2π，则PA与BD所成角的余弦值为 ( )
A. 26 B.
3 C. 5 D. 24 5 3
【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，因为PA= 6，所以 l=PA= 6，
所以S= πrl= 6πr= 12 2π，所以 r= 2 2，所以OA=OB=OC=OD= 2 2，
又正三角形ACD内接于⊙O 2r= 4 2= AC，所以 ，解得AC= 2 6，
sin60°
所以AC=CD=AD= 2 6，所以BD= AB2-AD2= 4 2 2 - 2 6 2 = 2 2，
过点A作AE BD交DO的延长线于点E，BD=AE= 2 2，
所以PA与BD所成角即为PA与AE所成角或其补角，
所以∠PAE为PA与BD所成角，PA=PE= 6,
PA2+AE 2-PE 2 62+ 2 2 2 -62 2
由余弦定理得 cos∠PAE= = = 6 ，故选：A.2PA AE 2 6 2 2
14 7 3．已知正三棱台上底面边长为 3，高为 1，体积为 4 ，则该正三棱台外接球表面积为 ( )
A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π
【答案】D
3 3
【详解】设正三棱台的下底面边长为 a，则其下底面积为 a2，上底面面积为 × 3 24 4 ，
所以该三棱台体积为V= 1 × 3 a2+ 3 3 + 3 a2× 3 3 × 1= 3 a23 4 4 4 4 12 + 3a+3 = 7 3 4 ，
整理可得 a2+ 3a- 18= 0，因为 a> 0，解得 a= 2 3，
·28·
如下图，设正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1、O，
由正三棱台的几何性质可知，外接球球心E在直线OO1上，
正△ABC的外接圆半径为OA= 2 3 ° = 2，2sin60
3
正△A1B1C1的外接圆半径为O1A1= = 1，2sin60°
设OE= d，若球心在线段OO1上，则 0< d< 1，O1E= 1- d，设球E的半径为
R，
则R2=OA2+ d2=O1A21+ 1-d 2 ，即 4+ d2= 1+ 1-d 2 ，解得 d=-1，不合乎题意；
所以，球心E在射线O1O上，则O1E= d+ 1，
R2=OA2+ d2=O A21 1+ 1-d 2 ，即 4+ d2= 1+ d+1 2 ，解得 d= 1，所以R2= 4+ 1= 5，
故该正三棱台的外接球表面积为 S= 4πR2= 20π，故选：D.
15 ABCD-A B C D 28．正四棱台 1 1 1 1的体积为 3 ，AB= 4，A1B1= 2，则直线AB1与直线BD所成
角的余弦值为 ( )
A. 6 2 B. 2 1111 11 C.
22 7
11 D. 11
【答案】C
28
【详解】设正四棱台的高为 h，已知体积 、下底面积S 2 23 1= 4 = 16、上底面积S2= 2 = 4,
1
代入正四棱台体积公式V= 3 h(S1+S2+ S1S2 ),
1
可得 3 (4+ 16+ 4×16 )h=
28
3 ，解得高 h= 1，
取AB中点F,连接OF,取AD中点E,连接OE，
如图，以OE,OF,OO1 所在的直线分别作 x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
而AB= 4，A1B1= 2，则顶点A(2,2,0)，B(-2,2,0)，D(2, -2,0)，顶点B1(-1,1,1)，
直线AB1的方向向量为AB1= (-3, -1,1)， AB = (-3)2+(-1)2+121 = 11，
直线BD的方向向量为BD= (4, -4,0)， BD = 42+(-4)2+02= 4 2，
则AB1 BD= (-3) 4+ (-1) (-4) + 1 0=-8，
, = -8 则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为：cos AB1 BD = 2 = 22 ，故选：C .11 4 2 22 11
16．已知三棱锥P-ABC四个顶点都在球O面上，PA=PB=PC= 2，∠APB= 90°，M为
AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于 ( )
A. 128 64 32 167 π B. 7 π C. 7 π D. 7 π
【答案】B
【详解】如图，点C在面APB内的射影为PM的中点，设PM的中点为N，则有CN⊥平面PAB，
PM 平面PAB，所以CN⊥PM，可知PC=CM= 2，
又∠APB= 90°，PA=PB= 2，则PM= 1 22 AB= 2，PN=NM= 2 ，
2
CN= 22- 2 = 142 2 ，∠APB= 90°，M为AB中点，则M为△APB的外心，
所以三棱锥P-ABC的外接球的球心O在过M且垂直平面PAB的垂线上，
则有OM CN，过O作MN的平行线，与CN相交于点Q，则有OQNM为矩形，
所以OQ⊥CN，OM=QN，
设球O到平面PAB的距离为 t，球O的半径为R，有OC=OB=R，OM=QN= t，
·29·
2 2
在Rt△OMB和Rt△OQC中，由勾股定理得 t2+ 2 2 =R2= 2 + 14 22 2 -t ，解得 t= ，14
所以R2= 2 + 2= 16 64π7 7 ，所以球O的表面积为 4πR
2= 7 ，故选：B
17．如图，在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC= 3，SB=
2，SA= 1，D为线段SC上靠近C的三等分点，点E为△ABC的重心，则
点E到直线BD的距离为 ( )
A. 3 B. 66 6
C. 3 D. 63 3
【答案】B
【详解】根据题意，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则S 0,0,0 ，B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，A 0,0,1 ，C 0,3,0 ，
E △ABC E 2 ,1, 1
又点 为 重心，所以 3 3 ，则EB=
4 ,-1,- 13 3 ，DB= 2,-2,0 ，
8 EB DB +2
则 cos EB,DB =
= 3 = 14 = 7 ，
EB DB 16 +1+ 1 ×2 2 26×2 2 529 9
则 sin= 1-cos2= 3 ，
52
所以点E到直线BD距离为 EB sin EB,DB = 169 +1+
1 3 26 3 6
9 × = 3 × = 6 ，故选：B52 52
18．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一
半，一个侧面的面积为 12 3，则该正四棱台的高为 ( )
A. 2 2 B. 2 C. 6 D. 3
【答案】A
【详解】设A1B1=BB1= a，则AB= 2a，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
如图 1，在四边形ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB于点E，
AE= 12 (2a- a) =
a 3
2 ，所以A1E= 2 a，
S a+2a 3 3 3所以 2ABB = 1A1 2 2 a= 4 a = 12 3，解得 a= 4，
在平面ACC1A1中，过点A1作A1F⊥AC于点F，则A1F为正四棱台的高，
则AF= 12 × (8 2- 4 2 ) = 2 2，所以A1F= A1A
2-AF 2= 16-8= 2 2，
即该正四棱台的高为 2 2，故选：A
题型八：直线与圆
1．已知圆C： x-1 2 + y-2 2 = 25，直线 l： 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 m∈R ，则直
线 l被圆C截得的弦长的最小值为 ( )
A. 4 5 B. 6 5 C. 8 5 D. 10 5
【答案】A
【详解】将直线方程 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 m∈R 变形 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0，
·30·
+ - + + - = ∈ 2x+y-7=0即 2x y 7 m x y 4 0 ，因为m R，所以联立方程组 ，解得 x= 3，y= 1x+y-4=0
所以直线恒过定点P(3,1)，已知圆C：(x- 1)2+ (y- 2)2= 25，则圆心C(1,2)，半径 r= 5.
可得圆心C(1,2)与定点P(3,1)的距离为 |PC| = (3-1)2+(1-2)2= 4+1= 5 .
因为 5< 5，所以点P在圆C内部，当圆心C与定点P的连线垂直于直线时，弦长最短.
此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边.
根据勾股定理，弦长的一半为 r2-|PC|2= 25- 5 2 = 20= 2 5，所以弦长的最小值为 2× 2 5= 4 5 .
直线被圆C截得的弦长的最小值为 4 5，故选：A.
2．已知直线 l1：mx+ y+m= 0和 l2：x-my- 3= 0相交于点P，则点P的轨迹方程为 ( )
A. x-1 2 + y2= 4 B. x+1 2 + y2= 4
C. x-1 2 + y2= 4 x≠-1 D. x+1 2 + y2= 4 x≠1
【答案】C
【详解】由m 1+ 1 -m = 0，则 l1⊥ l2，
由 l1： x+1 m+ y= 0，则直线 l1过定点A -1,0 ，由 l2：x- 3-my= 0，则直线 l2过定点B 3,0 ，
易知动点P的轨迹为AB为直径的圆，圆心 1,0 ，半径 r= 2，由题意易知直线 l1的斜率存在，
则交点P不能是 -1,0 ，则动点P的轨迹方程为 x-1 2 + y2= 4 x≠-1 ，故选：C .
2
3．已知直线 l：y=m x-4 与曲线C：y= 2- x4 有两个公共点，则m的取值范围是 ( )
A. - 1 , 14 4 B. -
1
2 ,
1
2 C. -
1 1
4 ,0 D. - 2 ,0
【答案】D
2 2
【详解一】由 y= 2- x x4 得 4 + y
2= 2 y≥0 ，所以C为椭圆的上半部分，直线 l：y=m x-4 过定点 4,0
①当m= 0，直线 l:y= 0与C有两个公共点；
2
②当m≠ 0，l:y=m x-4 x 1 8 与曲线 24 + y = 2联立得 2 +4 y2+ m y+ 8= 0，m
2
设直线 l:y=m x-4 与曲线C:y= 2- x4 交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，
Δ=
64 -32 1 +4 >0
m
2 m2
则由题意得 - 8 - 1 1 ，解得 2 0 2
,0
1 2 12 +4m
【详解二】数形结合法
①当m= 0，直线 l:y= 0与C有两个公共点；
x2
②当 l:y=m x-4 与 4 + y
2= 2 y≥0 相切时，两曲线方程联立方程组
x2
化简得 +m24 (x- 4)
2= 2，整理得 (4m2+ 1)x2- 32m2x+ 64m2- 8= 0，
由Δ= 322m4- 4(64m2- 8) (4m2+ 1) = 0，得 4m2- 1= 0，解得m=- 12 或m=
1
2 ，
1 1 1
由图得m= 2 舍去，所以由图得- 2 1 x2
【详解三】将半圆 x2+ y2= 8 y≥0 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 2 ，得到半椭圆 4 + y
2= 2 y≥0 .
当 l：y=m x-4 与 x2+ y2= 8 y≥0 相切时，
·31·
由点 0,0 到 l：y= -
-4m
m x 4 的距离等于圆的半径得 = 2 2，
m2+1
解得：m= 1(舍)或m=-1 1，经过伸缩变换后，m=- 2 ，
1
综上，m的取值范围是 - ,0 2 ，故选：D.
4．画法几何学的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭
圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆
x2 y2
的蒙日圆，已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的蒙日圆是 x
2+ y2= a2+ b2，若圆 (x+ 3)2+ (y-
a b
2 2
4)2= y4 x与椭圆 m + 2 = 1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为 ( )
A. 7或 47 B. 7或 47 C. 47 D. 47
【答案】B
x2 2
【详解】由椭圆方程 m +
y
2 = 1，可得m> 0且m≠ 2，且蒙日圆方程为 x
2+ y2=m+ 2，
可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为 r= m+2，
又由圆 (x+ 3)2+ (y- 4)2= 4的圆心为A(-3,4)，半径为 2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，可得 OA = 2+ m+2或 OA = |2- m+2 |，
又因为 |OA| = (-3)2+42= 5，所以 2+ m+2= 5或 |2- m+2 | = 5，解得m= 7或m= 47，故选：B
5．“m≥ 0”是“圆C:x2+ y2- 4x- 6y+m= 0不经过第三象限”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】圆C:x2+ y2- 4x- 6y+m= 0整理得C: x-2 2 + y-3 2 = 13-m，
可知圆心为C 2,3 ，半径 r= 13-m，且m< 13，
若圆C：x2+ y2- 4x- 6y+m= 0不经过第三象限，等价于原点O 0,0 不在圆C内，
则m≥ 0，可得 0≤m< 13，且 m|0≤m<13 是 m|m≥0 的真子集，
所以“m≥ 0”是“圆C:x2+ y2- 4x- 6y+m= 0不经过第三象限”的必要不充分条件，故选：B
6．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C:(x- 1)2+ (y- 2)2= r2 r>0 ，点A 4,0 ，若圆C上存
在点M，满足 |MA|2+ |MO|2= 10，则 r的取值范围是 ( )
A. 0, 5+1 B. 5-1, 5+1 C. 0, 5-1 D. 5+1,+∞
【答案】B
【详解】设M x,y ，则 MA = (x-4)2+y2， MO = x2+y2 .
2 2
因为 MA|2+ MO|2= 10，所以 (x-4)2+y2 + x2+y2 = 10，即 (x- 2)2+ y2= 1，
所以点M的轨迹是以N 2,0 为圆心，以 1为半径的圆N，又因为点M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，
所以 r-1 ≤ CN ≤ r+ 1，即 r-1 ≤ 5≤ r+ 1，解得 5- 1≤ r≤ 5+ 1，故选：B
7．已知点M、N在圆 x2+ y2- 2y- 3= 0上，点P在直线 3x- y- 3= 0上，点Q为MN中
点，若 MN = 2 2，则 PQ 的最小值为 ( )
A. 2 B. 2- 3 C. 2- 2 D. 3
【答案】C
·32·
【详解】圆 x2+ y2- 2y- 3= 0的标准方程为 x2+ y-1 2 = 4，
所以，圆心为C 0,1 ，半径为 r= 2，
MN 2
由中垂线的性质可得CQ⊥MN，则 CQ = r2- 2 = 4-2= 2，
所以，点Q在以点C为圆心，半径为 2的圆上，
点C到直线 3x- - = 0-1-3 y 3 0的距离为 d= = 2，
3+1
所以 PQ min= d- CQ = 2- 2，故选：C .
8．已知圆M：x2+ y2- 4x- 4y+ 4= 0与 y轴相切于A点，过A点的直线 l交圆M于另一点
AO BO
B，点F 0,3 ，O为坐标原点，若 = ，则直线 l的方程为 ( )
AF BF
A. x- 2y+ 4= 0 B. 2x- y+ 2= 0 C. x- y+ 2= 0 D. 3x- 2y+ 4= 0
【答案】C
【详解】圆M：x2+ y2- 4x- 4y+ 4= 0，即 x-2 2 + y-2 2 = 4，且圆M与 y轴相切于A点，故A 0,2 ，
AO = 2 = BO PO 所以 1 ，设动点P x,y ，满足 = 2，则 PO
2= 4 PF 2，
AF BF PF
则 x2+ y2= 4 x2+ y-3 2 ，即 x2+ y2- + =
AO BO
8y 12 0，故P点的轨迹是圆，且 = = 2，
AF BF
故A,B两点均在圆 x2+ y2- 8y+ 12= 0上，且A,B两点均在圆M上，
故直线 l的方程为两个圆的公共弦方程，两个圆的方程相减得：4x- 4y+ 8= 0，即 x- y+ 2= 0，故选：C
9．已知圆C:(x- 4)2+ (y- 3)2= 1和两点A(-m,0)，B(m,0) (m> 0).若圆C上存点P，使得
∠APB= 90°，则m的最大值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【详解】以AB为直径的圆O的方程为 x2+ y2=m2，圆心为原点，半径为 r1=m.
圆C：(x- 4)2+ (y- 3)2= 1的圆心为 4,3 ，半径为 r2= 1
要使圆C上存在点P，使得∠APB= 90°，则圆O与圆C有公共点，所以 r1-r2 ≤ OC ≤ r1+r2 ，
m-1 ≤5
即 m-1 ≤ 42+32≤ m+1 ，所以 m+1 ≥5，解得 4≤m≤ 6，所以m的最大值为 6，故选：Cm>0
10．若直线 l:y= x+m与曲线C:x= 3- 4y-y2有公共点，则实数m的取值范围为 ( )
A. -3,2 2-1 B. -2 2-1,-3 C. -3,2 2-1 D. -2 2-1,2 2-1
【答案】C
【详解】由 x= 3- 4y-y2得 (x- 3)2+ (y- 2)2= 4(x≤ 3)，
因此曲线C是圆 (x- 3)2+ (y- 2)2= 4的左半部分 (直线 x= 3左侧)，
当直线 l：y= x+m过点A(3,0)时，m=-3，
当直线 l：y= + 3-2+m x m与圆相切时， = 2，m=±2 2- 1，
2
由图知当直线 l:y= x+m与曲线C相切时，m= 2 2- 1，
所以m的范围是 [-3,2 2- 1]，故选：C
题型九：圆锥曲线
·33·
1．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数 y
= 1 1x ，“对勾”函数 y= x+ x ，“飘带”函数 y= x-
1
x 等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原
x2 y2
点旋转而得.现将双曲线C1: 2 - 2 = 1绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数 y=a b
x - 1x 的图象C2，则双曲线C1的离心率为 ( )4 3
A. 2 33 B.
21
3 C.
21
4 D. 2 3
【答案】B
x 1 1
【详解】“飘带”函数 y= - x 的渐近线为 y= x与 y轴，4 3 4 3
π
设两渐近线夹角为 α 0<α< 2 ，则 tan
π
2 -α =
1
，整理得 tanα= 4 3，
4 3
2tan α 2tan α
又 tanα= 2 α αα ，所以
2
α = 4 3，整理得 2 3tan
2
1-tan2 1-tan2 2
+ tan 2 - 2 3= 0，
2 2
由 0< α< π α2 ，解得 tan 2 =
3
2 .
π α π α 1 2
所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为 k= tan 2 -α+ 2 = tan 2 - 2 = α = ，tan 32
2
所以双曲线的离心率为 e= 1+ ba = 1+k2= 1+
4 = 213 3 ，故选：B
2．已知抛物线 y2= 2px的焦点为F，点A,B,C在抛物线上，F为△ABC的重心，且尚 FA +
FB + FC = 12，则 p的值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
p
【详解】由题F 2 ,0 ，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
由抛物线定义知： FA + FB + FC = x1+
p
2 +
p
x2+ 2 + +
p 3p
x3 2 = x1+ x2+ x3+ 2 = 12，
p
又F为△ABC的重心，所以 x1+ x2+ x3= 3× 2 ，所以 3p= 12,p= 4，故选：B
, : 2- y
2
3．设F1 F2是双曲线C x 3 = 1的两个焦点，O为坐标原点，点P m,n 在C上且PF1 PF2
≤ 0，则m的取值范围是 ( )
A. - 7 , 7 B. - 7 ,-1 ∪ 1, 7 2 2 2 2
C. -2,2 D. -2,-1 ∪ 1,2
【答案】B
2
【详解】点P m,n 在C上，则m2- n3 = 1，且m≤-1或m≥ 1，
因F1 -2,0 ,F2 2,0 ，则PF1= -2-m,-n ，PF2= 2-m,-n ，
则PF1 PF2= -2-m 2-m +n2=m2+n2- 4= 4m2- 7≤ 0 7 7，解得- 2 ≤m≤ 2 ，
·34·
故- 72 ≤m≤-1或 1≤m≤
7
2 ，故选：B
2 y2
4 x．已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，连接PF1并延长a b
交椭圆C于点N .若PF1⊥PF2，且PF1= 4F1N，则椭圆C的离心率为 ( )
A. 35 B.
7
5 C.
13
5 D.
17
5
【答案】C
【详解】设 |F1N | =m，由PF1= 4F1N，得 |PF1| = 4m，|PN | = 5m，
由椭圆定义得 |PF2| = 2a- 4m,|NF2| = 2a-m，
由PF1⊥PF2，得 |PN |2+ |PF |22 = |NF 22| ，则 25m2+ (2a- 4m)2= (2a-m)2，
3
解得m= 10 a，|PF1| =
6
5 a,|PF | =
4
2 5 a，令椭圆C的半焦距为 c，
2 2
由 |PF 21| + |PF2|2= |F 2 6 41F2| 得 4c2= 5 a + 5 a
c = 13，解得 a 5 ，
13
所以椭圆C的离心率为 5 ，故选：C
2 y2
5．已知F1,F x2分别为椭圆 2 + 2 = 1 a>b>0 的左、右焦点，过点F
2
a b 1
向圆C:(x- a) + (y-
b)2= b2 1引切线交椭圆于点P(在 x轴上方)，若△PFF 21 2的面积为 2 b ，则椭圆的离心率 e= ( )
A. 13 B.
2
2 C.
5 3
5 D. 2
【答案】C
【详解】设圆C与 x轴切于点A，与F1P切于点B，设椭圆与 y轴正半轴交于点Q，
b
下面证明P，Q重合，设∠CF1A= α，∴ tanα= a+c ，
b
∠ = = 2tanα
2
= a+c = 2b(a+c) 2b(a+c)tan BF1A tan2α = =1-tan2α b 21- a
2+c2+2ac-b2 2c2+2ac
a+c
2b(a+c) b
2c( = ，a+c) c
而 tan∠QF1A= bc ，∴QF1与PF1重合，即点P是短轴的端点，
∴S 1 1 2 2 2 c 5△PF = b 2c= b ，∴ b= 2c，则 a= b +c = 5c，所以 e=1F2 2 2 a = 5 ，故选：C .
x2 y26．已知双曲线C： 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左顶点为A，右焦点为F(c,0)，过点A且斜率为a b
k的直线 l与圆 (x- c)2+ y2= (c- a)2 3相切，与C交于第一象限的一点B，若 3 ≤ k≤ 1，则C
的离心率的取值范围是 ( )
A. [3,3+ 2 2] B. [3,3+ 4 3]
C. [3+ 2 2 ,7+ 4 3] D. [3+ 4 3 ,7+ 4 3]
【答案】A
【详解】依题意，点A(-a,0)，直线 l方程为 y= k(x+ a)，
圆 (x- c)2+ y2= (c- a)2的圆心为 (c,0)，半径为 c- a，
·35·
由直线 l与圆 (x- c)2+ y2= ( - )2 |k(c+a)|c a 相切，得 = c- a，令双曲线离心率为 e，
k2+1
3 2
又 3 ≤ k≤ 1
e+1
，则 e-1 =
c+a = k +1 = 1+ 1 2c-a 2 ，因此 1+
1
e-1 = 1+ 2 ∈ [ 2 ,2]，k k k
2
即 2- 1≤ e-1 ≤ 1，解得 3≤ e≤ 3+ 2 2，所以C的离心率的取值范围是 [3,3+ 2 2]，故选：A
x2 y27．若P为双曲线C： 2 - 2 = 1 a>0,b>0 上异于A -a,0 ，B a,0 的动点，且直线PA与a b
PB的斜率之积为 5，则C的渐近线方程为 ( )
A. y=± 5 55 x B. y=± 2 x C. y=± 5x D. y=±5x
【答案】C
x2, , ≠± 0 - y
2 2 2
0 = 2 2 x0-a y
2
P x b
2 b
【详解】设 0 y0 x0 a，则 1，即 y
0
a2 b2 0
= b 2 ，则 kPA kPB=a x2 2
= 2 = 5，则 = 5，
0-a a a
故C的渐近线方程为 y=± 5x，故选：C
y2
8．已知双曲线Γ:x2- 3 = 1的左焦点为F，点A,B在Γ的右支上，且 AB = 6，则 FA + FB
的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 10 D. 14
【答案】C
y2
【详解】对于双曲线 x2- 3 = 1，
x2 - y
2
由双曲线标准方程 = 1(a> 0,b> 0)，可得 a2 22 2 = 1，b = 3，则 a= 1a b
设双曲线的右焦2026年新高考数学各地名校好题汇总逐题练
(题目选取于 2025年各地名校模拟卷)
目录：
逐题练单选题第 6题 2
逐题练单选题第 7题 46
逐题练单选题第 8题 82
逐题练多选题第 10题 105
逐题练多选题第 11题 169
逐题练填空题第 13题 223
逐题练填空题第 14题 250
逐题练解答题第 17题 269
逐题练解答题第 18题 321
逐题练解答题第 19题 (非新定义) 376
逐题练解答题第 19题 (新定义) 413
·1·
逐题练单选题第 6题
题型一：函数
1．已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x> 0时，f(x) = x2+ 2x- 3，则不等式 f(2x-
1)> 0的解集为 ( )
A. (-∞,0) ∪ (1, +∞) B. 0, 12 ∪ (1, +∞)
C. 0, 12 ∪
1
2 ,1 D. (-∞,0) ∪
1
2 ,1
x
2．已知函数 f x = 2 +a a∈R ，命题 p：f x 是奇函数，命题 q：f x 在 0,+∞ 上是减函
2x-1
数，则 p是 q的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
e-x-1,x≤0,
3．已知函数 f x = - x, > , 则 f 2x + f x-3 > 0的解集是 ( )1 e x 0
A. -∞,1 B. 1,+∞ C. -∞,-3 D. -3,+∞
4．已知 a，b∈R，且 ab≠ 0，对于任意 x≥ 0均有 x-a x-b x-a-2b ≥ 0，则 ( )
A. a> 0 B. a< 0 C. b> 0 D. b< 0
2x35．函数 y= x -x 的图象大致为 ( )2 +2
A. B. C. D.
10
6．已知 f x 是定义在R的奇函数，且 f x+2 = f x-2 ，若 f 1 = 2，则 f k = ( )
k=1
A. - 2 B. 0 C. 2 D. 4
2
7．函数 f(x) = ln|1- x| +e x -2x ，若 a= f 2 b= f 33 ， 2 ，c= f log23 ，则 a，b，c的大小关系
是 ( )
A. c> b> a B. b> c> a C. a> b> c D. b> a> c
·2·
8．已知定义在R上的函数 f x 的图象是一条连续不断的曲线，且 f x 满足 f x = f 4-x ,
f x 在区间 -∞,
f x
2 上单调递减，f 4 + f 0 = 0，则关于 x的不等式 2-x < 0的解集为 ( )
A. 0,2 B. 0,2 ∪ 2,4 C. 2,4 D. 0,2 ∪ 4,+∞
9．已知函数 f x 是定义在R上的偶函数，函数 g x = x-2 f x 的图象关于点 2,0 中心对
称，若 g -1 = 3，则 f 3 = ( )
A. - 3 B. - 1 C. 0 D. 1
-x, 0≤x<1
10．已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，且 f x = ，则不等式 f x+1 < 0x-2, x≥1
在 -2,2 上的解集为 ( )
A. -1,1 B. -2,-1 ∪ 1,2 C. -1,0 ∪ 0,1 D. -1,0 ∪ 1,2
11．已知 f x 是偶函数，且 f x 在 -∞,0 上单调递增，则 ( )
A. f log 1 3 > f
3
2 > f 0.90.1 B. f log 1 3 > f 0.90.1 > f
3
2 2 2
C. f 0.90.1
3
> f log 1 3 > f 2 D. f 0.90.1
3
> f 2 > f2 log 1 32
12．已知函数 f(x) = lg(x2- ax+ 2)，则“a≥ 2”是“函数 f(x)在 (-∞,1]上单调递减”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
13．已知 a= log32，b= log54，c= log98，则 ( )
A. c< b< a B. a< c< b C. b< a< c D. a< b< c
14．已知 a= log2678，b= 1.250.9，c= log918，则 a，b，c的大小关系为 ( )
A. a> b> c B. a> c> b C. c> b> a D. c> a> b
15 x．已知曲线 y= ln 2+x - x+ a关于点 -1,0 中心对称，则 a= ( )
A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 2
ex +a, x≤016．已知 a∈R，函数 f x = ，在R上没有零点，则实数 a取值范围 ( )-ln x+1 +a, x>0
A. -∞,-1 B. -∞,-1 ∪ 0 C. 1,+∞ ∪ 0 D. 1,+∞ ∪ 0
·3·
17 f e
x-e-x
．函数 x =
x2
的部分图象大致是 ( )
+ x -2
A. B. C. D.
题型二：导数
1．函数 f x 1 x = 2 lnx图象上一点P到直线 y= 2 的最短距离为 ( )
5 2-2ln2
A. 2 B. 22 C.
5
5 D. 5
2．已知函数 f x = ex ax-1 的大致图象如图所示，则不等式 f x f x < 0的解集为 ( )
A. -2,-1 B. 1,2
C. - 12 ,1 D. 2,+∞
3 a∈R f x = x+ a．已知 ，若函数 x - lnx既有极大值又有极小值，则 a的取值范围是 ( )
A. 1 ,+∞ B. 0, 1 C. - 1 ,0 D. - 14 4 4 4 ,+∞
f x - f x
4．已知函数 f x = xlnx 1 2，若任意两个不相等的正实数 x1，x2，都有 2 则实数m的取值范围为 ( )
A. 1 ,+∞ B. 1 4 3 ,+∞ C. 1,+∞ D.
1
2 ,+∞
lnx , x≥2
5．若函数 f x = x 有最大值，则 k的最大值为 ( )kx, x<2
A. ln24 B.
ln2 C. 12 2e D.
1
e2
6．已知函数 f x = 1 x24 + xsinx+ cosx，若 a= f log 1 e ，b= f sin1 c= f
3
， ，则 ( )
2 2
A. b> a> c B. a> b> c C. a> c> b D. c> a> b
7．已知函数 f x 是定义域为R的奇函数，当 x> 0时，f x = x3+ ax2+ 6-a x+ 2a，若
·4·
f x 是增函数，则实数 a的取值范围为 ( )
A. 0,+∞ B. 0,6 C. -6,3 D. 0,3
8．已知函数 f(x) = x3+ a2x2+ 2b2-7 x+ 1(a> 0，b> 0)在 x= 1处取得极值，则 ( )
A. a2+ b2= 3 B. x= 1是 f(x)的极大值点
C. f(1) ∈ (-3, +∞) D. a+ b的最大值为 2
题型三：三角函数
1．将函数 f x = sin ωx+ π π12 ω>0 的图象向左平移 6 个单位后与函数 g x =
cos ωx+ π12 的图象重合，则ω的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
2．若 sinx+ cosx= 2sinα，sinxcosx= sin2β，则 ( )
A. 4cos22α= cos22β B. cos22α= 4cos22β C. 4cos2α= cos2β D. cos2α= 4cos2β
3 π π．已知函数 f x = sin ωx+ 3 ω>0 图象的一条对称轴是 x= 2 ，且在 0,π 上有且仅有两
个对称中心，则函数 f x 的解析式为 ( )
A. f x = sin 1 x+ π 3 3 B. f x = sin
7 π
3 x+ 3
C. f π x = sin 2x+ 3 D. f x = sin
10
3 x+
π
3
4 π π．已知函数 f(x) = sin 3x+ 4 ，将 f(x)的图象向右平移 φ |φ|< 2 个单位后，得到函数 g(x)
的图象，若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 y轴对称，则 φ的值为 ( )
A. - π12 B. -
π
6 C.
π
4 D.
π
3
6．若 α∈ 0, π2 ,sin
π -α =- 1 cos π6 5 ，则 6 +α 的值为 ( )
A. 2 3- 6 B. 2 3+ 6 C. 2 6- 310 10 10 D.
2 6+ 3
10
7．将函数 y= sin2x的图象向左平移 φ个单位后得到函数 y= cos2x的图象，则 φ可以是 ( )
A. π B. π 3π4 2 C. 4 D. π
8．已知函数 f x = 2sin ωx+φ ，如图，A,B是直线 y= 2与曲线 y= f x 的两个交点，若
·5·
AB = π4 ,f 0 = 2，则 f
π
2 = ( )
A. 0 B. - 2 C. 1 D. 2
9 π．已知ω> 0，曲线 y= cosωx与 y= cos ωx- 3 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 ω
= ( )
A. 33 π B.
2
2 π C. 2π D. 3π
-1, x<0
10．设符号函数 sgn x = 0, x=0，已知函数 f x = 2sgn cosx cosx，则 ( )
1, x>0
A. 2π为 f x 的最小正周期
B. f x 图象的对称轴方程为 x= kπ k∈Z
C. f x 2π , 4π 在 3 3 上单调递增
D. 函数 g x = f x - 1在 -π,π 上有 4个零点
11．已知函数 f x = sinx+ cosx π极值点与 g x = tan ωx+ 4 零点完全相同，则ω= ( )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
12．已知 x∈ - π4 ,0 ，sin4x+ cos4x=
17
18 ，则 sinx+ cosx= ( )
A. - 2 33 B.
2 3
3 C. -
6
3 D.
6
3
13．若函数 f(x) = 3sinx+ 2cosx在 [0,α]上单调递增，则当 α取得最大值时，cosα= ( )
A. - 3 13 2 1313 B. - 13 C.
3 13
13 D.
2 13
13
14．设 tan π 4 3 224 是关于 x的方程 x + 4 3x - 6x +mx+ 1= 0的一个实根，其中m为常数，则
m= ( )
A. - 2 3 B. - 4 C. - 3 3 D. - 4 3
15 3- 2 2．已知 cos α+β = 4 ，sinαsinβ= 4 ，则 cos 2α-2β = ( )
A. 12 B.
2
2 C.
6-3
4 D.
2 6-3
8
·6·
16 tanθtan2θ = 4．已知 ，则 sin4θ+ cos4- 5 θ= ( )tanθ tan2θ
A. 925 B.
3 C. 17 D. 245 25 25
17．已知 sinαsinβ=- 14 ，cos α-β
1
= 2 24 ，则 sin α- cos β= ( )
A. 3 116 B. 8 C.
1
16 D. -
3
16
18．已知 sin α+ π6 =
1
2 + cosα，则 cos 2α-
π
3 = ( )
A. - 12 B.
1
2 C. -
3
4 D.
3
4
19．已知 sin α-β 1 = 6 ，sinαcosβ=
1
4 ，则 cos 2α+2β = ( )
A. 79 B.
1
9 C. -
1
9 D. -
7
9
20．已知 α∈ (0,π)，若 sinα+ cosα=- 12 ，则 cos2α= ( )
A. - 3 3 7 558 B. - 4 C. 4 D. 8
题型四：解三角形
1 π sin2A．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为 a，b，c，若 b= 2acos C- 3 ，则 + = ( )1 cos2A
A. 23 B. 2 C. 3 D.
3
3
2．在△ABC中，∠CBA= 45°，D是BC边上的一点，AD= 5，AC= 7，DC= 3，则AB= ( )
A. 4 3 B. 5 2 C. 2 10 D. 5 62
3．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC,AB= 4,BC=CD,∠ACD= 60°，则
AD的最小值为 ( )
A. 2 B. 6 C. 2 2 D. 2 3
4 2π．在△ABC中，已知∠BAC= 3 ,AB= 2,AC= 1,D为BC
π
上一点，且∠BAD= 2 ，则
△ACD的面积为 ( )
·7·
A. 2 35 B.
3
2 C.
3 D. 310 10
5 π．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若A= 3 ，a= 4，BC边上的高AD=
3，则 b+ c= ( )
A. 2 10 B. 4 3 C. 8 D. 4 2
6．在△ABC中，角A B-C 1，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a= 3，sin2 2 + cosBcosC= 4 ，
sinB+ sinC= 62 ，则△ABC的面积为 ( )．
A. 3 B. 3 32 2 C. 3 D.
3
4
7．如图，已知∠CAB= 45°，∠ACB= 15°，AC= 6，CD= 7，则BD= ( )
A. -1+ 13 B. 1+ 132 2 C. 3或 1 D. 3
题型五：平面向量
1．如图所示，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB= 6，点D是BC的中点，
点E在AD上，且DE= 2AE.若BE AD=- 293 ，则AC= ( )
A. 6 B. 8
C. 2 13 D. 6 5
2．在△ABC中，向量AB= x,1 ，BC = -3,2-x ，若∠ABC为锐角，则实数 x的取值范围
为 ( )
A. 12 ,3 ∪ 3,+∞ B. -1,3 ∪ 3,+∞
C. 12 ,+∞ D. -∞,
1
2
3 π
．已知两个非零向量 a,b的夹角为 3 ，且 a+b = ma
+2b ，则m的取值范围是 ( )
A. -1,1 B. -1-3 3 -1+3 3 4 ,-1 ∪ 1, 4
C. -1-3 3 ,1 D. -1-3 3 ,0 ∪ -1+3 3 4 4 4 ,+∞
4 1
．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，AB在AC方向上的投影向量为- 2 AC，
·8·
则 ( )
A. cosA> 0 B. B= 30° C. a= c D. 2b2= a2- c2
5．已知向量 a = b = 1 c = 3 a ， 2 ，且 + b- 2c
= 0 ，则 cos< a,c>=( )
A. - 1 3 1 32 B. - 2 C. 2 D. 2
6．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示，若图中正
方形ABCD的边长为 4，圆O的半径为 4 2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心
重合，动点P在圆O上，且AP= λAB+ μAD，则 λ+ μ的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．在平行四边形ABCD中，AB= 4，AD= 2，∠A= 60°，DM = 3MC，则AM BM = ( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
8．设 e1，e2为单位向量，且 e1⊥ e2，若向量 a满足 a-e1 a-e2 = 0，则 a e1取值范围为 ( )
A. 0,1 B. -1,1
C. 1- 2 , 1+ 2 D. - 1+ 2 , 1+ 2 2 2 2 2
9．已知平面向量 a，b，c 满足 a = 1 ，b c= 0，a b= 1，a c=-1 b+c ，则 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
10．已知M，N是圆C: x-2 2 + y+3 2 = 5上的两个动点，且 MN = 2，P为直线 3x- 4y+
12= 0上的动点，则PM PN 的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 15 D. 16
题型六：数列
1 1 4．在公差不为 0的等差数列 an 中，若 a3是 ax与 ay的等差中项，则 x + y 的最小值为 ( )
A. 32 B.
5
3 C.
6
5 D.
9
5
2．若数列 an 各项均为正数，则“ an 为等比数列”是“ lnan 为等差数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
·9·
3．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且S3= a5，若 a1，a2，am成等比数列，则m= ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4．某公司购置了一台价值为 220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减
少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为 10
年，超过 10年，它的价值将开始低于购进价值的 5%，设备将报废.则 d的取值范围为 ( )
A. 0,20.9 B. 19,20.9 C. 19,+∞ D. 20.9,+∞
5．在△ABC中，角A，B，C 4所对的边分别为 a，b，c，已知A，B，C成等差数列，a，c， b成
3
等比数列，则 cosA= ( )
A. 14 B.
1 C. 32 3 D.
3
2
6．在数列 2n 的项 2i和 2i+1之间插入 i个 i i=1,2,3, ,i∈N * 构成新数列 an ，则 a100= ( )
A. 13 B. 213 C. 14 D. 214
7．已知数列 an 是首项和公比均大于 0的无穷等比数列，设甲： an 为递增数列；乙：存在正
整数N0，当n>N0时，an> 1，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．设 an 是公差不为 0的等差数列，其前 n项和为Sn，则“ n∈N *，Sn≥S9”是“a9≤ 0”的 ( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9．正项等差数列 a a = 1 3 2n 中， 4 ，则 a + a 的最小值为 ( )2 7
A. 92 B. 5 C. 5 2 D. 6
S
10．记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 a3+ a7= 10，a a = 65，则 n5 9 n = ( )
A. 14-n B. n- 2 C. 12-n D. n- 4
·10·
11．已知数列 an 的前n项和为Sn，a1= 1，且 an+1= a1+ a2+ +an n∈N * ，则 ( )
A. a2= 2 B. a4= 8 C. S2= 3 D. S5= 16
12．记Sn为等比数列 an 的前n项和，若 a4+ a5+ a6=-3,a7+ a8+ a9= 9，则S15= ( )
A. 81 B. 71 C. 61 D. 51
2S
13．已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且S5= 4a4- 1， n a n∈N
* 是以 1为公差的等差
n
数列，则下列结论正确的是 ( )
A. a5= 10 B. S5= 15 C. a10= 20 D. S10= 30
14．已知公差不为 0的等差数列 an 的前n项和为Sn，若S15= 5 a5+a7+ak ，则正整数 k的值
为 ( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
15．已知数列 an 满足 a + 11 2 a +
1 1 n+1 *
2 3 a3+ + n an= 2 3 - 6 n∈N ，
若 bn=
an ，则数列 b 的前 15项和为 ( )
2n+1 2n+3 n
315 315 315 15A. 11 - 1 B. 11 - 3 C. 31 - 1 D.
3
31 - 3
16．已知数列 {an} {b } a = 1 ,b = 1， n ，且 n 2n-1 n ，将 {a }与 {b }的公共项按从大到小 n+ n n1 2 -1
的顺序排列组成一个新数列 {cn}，则 {cn}的前 10项和为 ( )
A. 9 B. 18 C. 10 2019 19 21 D. 21
a +a + +a a
17 n．已知正项等差数列 a 满足 1 3 2n-1 * 4050n a3+a + +a
= n+2 n∈N ，则 a = ( )5 2n+1 2
A. 4050 B. 2025 C. 4048 D. 2024
a
18．已知数列 an 满足 a = 1 n+1 = n1 ， a n+2 ，则 an 的前 6项和为 ( )n
A. 7 B. 5 12 76 3 C. 7 D. 4
题型七：空间向量与立体几何
1．在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的 2倍，且点O2为该圆台外接球球心，则圆台的体
·11·
积与外接球的体积之比为 ()
A. 7 316 B.
7 3
96 C.
21 3 7 3
32 D. 32
2．四棱锥S-ABCD中，AB= 4,-1,0 ，AD= 0,3,0 ，AS= -3,1,-4 ，则三棱锥S-
ABD的体积为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示
的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为 150π，若该
圆台上、下底面半径分别为 5，10，则该圆台的体积为 ( )
A. 35 3π B. 175 3π C. 875 3π3 3 3 D. 875 3π
4．已知ABC-A1B1C1是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 bcosC+CcosB
= asinA，a= 2bc= 1，若三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，则AA1= ( )
A. 2 2- 1 B. 2- 1 C. 2 2+ 1 D. 2+ 1
5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC= 60°，则异面直
线AB与B1C所成角的余弦值为 ( )
A. 3 B. 16 2 C.
2 3
2 D. 2
6．如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为 6cm，上底面的直径
为 12cm，高为 6cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，
PC是该圆台的一条母线，O为上底面圆的圆心，当△ABP面积最大时，OP
与平面ABC所成夹角的正弦值为 ( )
A. 2 55 B.
5
5 C.
1 D. 15 2
7．如图是江西省博物馆中典藏的元青白釉印花双凤纹碗，高 5.7cm，口径
19cm，若将该碗内表面近似于一个球面一部分，则这个球的半径近似于 ( )
A. 9.6cm B. 9.8cm
C. 10.2cm D. 10.8cm
8．已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为 3 3和 12 3，高为 6，则该正三棱台的外接球半
径为 ( )
·12·
A. 4 B. 2 5 C. 3 D. 2 6
9．在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠CAB= π2 ,AP=AB,AB+AC= 6，且二面角P-AB-
C 2π的大小为 3 ，则当该三棱锥的外接球体积最小时，AB= ( )
A. 127 B. 3 C.
18 24
7 D. 7
10．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD= 1，AA1= 2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1
= 60°，则直线DC1,B1C所成角的余弦值为 ( )
A. 21 76 B. 6 C.
3
14 D.
3 21
14
11．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 2，则球的体
积为 ( )
A. 9π B. 9 π C. 9 π D. 272 4 8 π
12．如图是一个圆台的侧面展开图 (扇形的一部分)，若AD=BD= 3，∠ABC= 120°，则该圆台
的内切球的表面积为 ( )
A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
13．已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA= 6，圆
锥的侧面积为 12 2π，则PA与BD所成角的余弦值为 ( )
A. 2 3 56 B. 4 C. 5 D.
2
3
14 7 3．已知正三棱台上底面边长为 3，高为 1，体积为 4 ，则该正三棱台外接球表面积为 ( )
A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π
15 28．正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为 3 ，AB= 4，A1B1= 2，则直线AB1与直线BD所成
角的余弦值为 ( )
A. 6 2 B. 2 11 22 711 11 C. 11 D. 11
16．已知三棱锥P-ABC四个顶点都在球O面上，PA=PB=PC= 2，∠APB= 90°，M为
·13·
AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于 ( )
A. 128 π B. 64 32 167 7 π C. 7 π D. 7 π
17．如图，在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC= 3，SB=
2，SA= 1，D为线段SC上靠近C的三等分点，点E为△ABC的重心，则
点E到直线BD的距离为 ( )
A. 36 B.
6
6
C. 33 D.
6
3
18．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一
半，一个侧面的面积为 12 3，则该正四棱台的高为 ( )
A. 2 2 B. 2 C. 6 D. 3
题型八：直线与圆
1．已知圆C： x-1 2 + y-2 2 = 25，直线 l： 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 m∈R ，则直
线 l被圆C截得的弦长的最小值为 ( )
A. 4 5 B. 6 5 C. 8 5 D. 10 5
2．已知直线 l1：mx+ y+m= 0和 l2：x-my- 3= 0相交于点P，则点P的轨迹方程为 ( )
A. x-1 2 + y2= 4 B. x+1 2 + y2= 4
C. x-1 2 + y2= 4 x≠-1 D. x+1 2 + y2= 4 x≠1
2
3．已知直线 l：y=m x-4 与曲线C：y= 2- x4 有两个公共点，则m的取值范围是 ( )
A. - 1 , 14 4 B. -
1 , 12 2 C. -
1
4 ,0
D. - 12 ,0
4．画法几何学的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交
x2
点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆 2 +a
y2 x2 2
2 = 1(a> b> 0)的蒙日圆是 x2+ y2= a2+ b
2，若圆 (x+ y3)2+ (y- 4)2= 4与椭圆
b m
+ 2 = 1
的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为 ( )
A. 7或 47 B. 7或 47 C. 47 D. 47
5．“m≥ 0”是“圆C:x2+ y2- 4x- 6y+m= 0不经过第三象限”的 ( )
·14·
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C:(x- 1)2+ (y- 2)2= r2 r>0 ，点A 4,0 ，若圆C上存
在点M，满足 |MA|2+ |MO|2= 10，则 r的取值范围是 ( )
A. 0, 5+1 B. 5-1, 5+1 C. 0, 5-1 D. 5+1,+∞
7．已知点M、N在圆 x2+ y2- 2y- 3= 0上，点P在直线 3x- y- 3= 0上，点Q为MN中
点，若 MN = 2 2，则 PQ 的最小值为 ( )
A. 2 B. 2- 3 C. 2- 2 D. 3
8．已知圆M：x2+ y2- 4x- 4y+ 4= 0与 y轴相切于A点，过A点的直线 l交圆M于另一点
AO BO
B，点F 0,3 ，O为坐标原点，若 = ，则直线 l的方程为 ( )
AF BF
A. x- 2y+ 4= 0 B. 2x- y+ 2= 0 C. x- y+ 2= 0 D. 3x- 2y+ 4= 0
9．已知圆C:(x- 4)2+ (y- 3)2= 1和两点A(-m,0)，B(m,0) (m> 0).若圆C上存点P，使得
∠APB= 90°，则m的最大值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10．若直线 l:y= x+m与曲线C:x= 3- 4y-y2有公共点，则实数m的取值范围为 ( )
A. -3,2 2-1 B. -2 2-1,-3 C. -3,2 2-1 D. -2 2-1,2 2-1
题型九：圆锥曲线
1．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数 y
= 1x ，“对勾”函数 y= x+
1
x ，“飘带”
1
函数 y= x- x 等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原
x2 y2
点旋转而得.现将双曲线C1: 2 - 2 = 1绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数 y=a b
x - 1x 的图象C2，则双曲线C1的离心率为 ( )4 3
A. 2 33 B.
21
3 C.
21
4 D. 2 3
2．已知抛物线 y2= 2px的焦点为F，点A,B,C在抛物线上，F为△ABC的重心，且尚 FA +
FB + FC = 12，则 p的值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
·15·
, y
2
3．设F1 F2是双曲线C:x2- 3 = 1的两个焦点，O为坐标原点，点P m,n 在C上且PF1 PF2
≤ 0，则m的取值范围是 ( )
A. - 7 , 7 B. - 7 2 2 2 ,-1 ∪
7
1, 2
C. -2,2 D. -2,-1 ∪ 1,2
2 y2
4 x．已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，连接PF1并延长a b
交椭圆C于点N .若PF1⊥PF2，且PF1= 4F1N，则椭圆C的离心率为 ( )
A. 3 B. 7 C. 13 D. 175 5 5 5
2 y2
5．已知F ,F x1 2分别为椭圆 2 + 2 = 1 a>b>0 的左、右焦点，过点F1向圆C:(x- a)
2+ (y-
a b
b)2= b2 1引切线交椭圆于点P(在 x轴上方)，若△PF1F2的面积为 2 b
2，则椭圆的离心率 e= ( )
A. 13 B.
2
2 C.
5
5 D.
3
2
x2 y26．已知双曲线C： 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左顶点为A，右焦点为F(c,0)，过点A且斜率为a b
k的直线 l 3与圆 (x- c)2+ y2= (c- a)2相切，与C交于第一象限的一点B，若 3 ≤ k≤ 1，则C
的离心率的取值范围是 ( )
A. [3,3+ 2 2] B. [3,3+ 4 3]
C. [3+ 2 2 ,7+ 4 3] D. [3+ 4 3 ,7+ 4 3]
x2 y27．若P为双曲线C： 2 - 2 = 1 a>0,b>0 上异于A -a,0 ，B a,0 的动点，且直线PA与a b
PB的斜率之积为 5，则C的渐近线方程为 ( )
A. y=± 55 x B. y=±
5
2 x C. y=± 5x D. y=±5x
y2
8．已知双曲线Γ:x2- 3 = 1的左焦点为F，点A,B在Γ的右支上，且 AB = 6，则 FA + FB
的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 10 D. 14
·16·
2 2
9．已知双曲线C: x - y2 2 = 1 a>0,b>0 .若直线 3x+ 2y= 0与C没有公共点，则C的离心a b
率的范围为 ( )
A. 1, 132 B. 0,
13
2 C. 1,
13
2 D.
13
2 ,+∞
10．已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，O原点，则 tan∠MOF
的最大值为 ( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
11．已知过抛物线C:y2= 4x的焦点F的直线 l与C交于M ,N两点，若MF = 4FN，则点M的
横坐标为 ( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
12．已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 120°, PF1 = 3 PF2 ，则C的离
心率为 ( )
A. 134 B.
13
8 C.
7 D. 74 8
x2 y213．若双曲线 2 - 2 = 1(b> a> 0)的焦距为m，过右顶点的直线 l与双曲线的一条渐近线a b
3
平行.已知原点到直线 l的距离为 8 m，则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 2 3或 3 B. 3 C. 2 D. 2 3
14．设抛物线C:y2= 2px p>0 的焦点为F，准线为 l，过F的直线与C交于A、B两点，记点A
到直线 l的距离为 d，且 AB = pd.若点A的横坐标为 2，则 p= ( )
A. 23 B. 1 C.
4
3 D. 2
2 2
15．已知圆C :x2+ y2= b2 x y1 与椭圆C2: + = 1 a>b>0 ，若在椭圆C 上存在一点P，过Pa2 b2 2
点能作圆C π1的两条切线，切点为A,B，且∠APB= 2 ，则椭圆C2离心率的取值范围为 ( )
A. 0, 2 2 B.
2
2 ,1 C. 0,
1
2 D.
1
2 ,1
题型十：计数原理
·17·
1．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、
短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的
方法数为 ( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 32
2．甲、乙等 5名志愿者参加 2025年文化和旅游发展大会的A、B、C、D四项服务工作，要求每
名志愿者只能参加 1项工作，每项工作至少安排 1人，且甲不参加B项工作，乙必须参加D项工
作，则不同的安排方法数有 ( )
A. 36种 B. 42种 C. 54种 D. 72种
3．将 1,2,3, ,9这 9个数字填在 3× 3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的
数字依次变小.若将 4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为 ( )
4
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
4．如图，用 6种不同的颜色把图中 A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂
同一种颜色，则不同的涂法共有 ( )
A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种
5．在 x2+x+y 6 的展开式中，x7y的系数为 ( )
A. 3 B. 6 C. 60 D. 30
6．在三棱锥的顶点和各棱中点中取 4个不共面的点，不同的取法共有 ( )
A. 141种 B. 144种 C. 147种 D. 149种
7．现有数字 1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字 2，2恰好相邻的概率为 ( )
A. 112 B.
1
4 C.
2 1
9 D. 3
8．关于二项式 x2- a 6x (1+ x) ，若展开式中含 x3的项的系数为 21，则 a= ( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. - 1
9．某年级有 10个班，每个班有 50名学生，现要从该年级中选取 10名学生参加知识竞赛，要求
·18·
3班和 5班共至少有 1名学生入选，且 3班和 5班共入选的学生人数不能为 2人，不同选法有 ( )
A. C10 10 8500-C400-C400C2 种 B. C10 - 2C9 C1 -C8 C2100 500 400 100 400 100种
C. C10 - 2C9 C1 8 2 10 9 1 8 2500 400 100- 2C400C100种 D. C500-C400C100-C400C100种
10．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进
一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159= 2×
82+ 3× 8+ 7，用八进制表示 159这个数就是 237.现用八进制表示十进制的 719，则这个八进制
数的最后一位为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
11． 2+ 1x (2x- 1)
11的展开式中的常数项为 ()
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
12． 2024年 4月 26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民
的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的 6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李
聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设 6人
站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼
此不相邻，则不同的站法共有 ( )
A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种
13． 1+2x+3x2 5 展开式中 x3的系数为 ( )
A. 200 B. 230 C. 120 D. 180
14．高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一
个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人
数相等的可能情况有 ( )
A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种
15．在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢 (H)、氧 (O)、钠 (N )、镁 (Mg)、铝 (Al)、硅 (Si)、
磷 (P)、硫 (S)、氯 (C1)、钾 (K)这 10种，现从这 10种元素中随机选取 3种，若选取的 3种元素中
至少包含 1种金属元素，则不同选取方法种数是 ( )
A. 60 B. 85 C. 100 D. 120
题型十一：概率与统计
1 1．甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为 2 ，目标被一人击中不
·19·
1 1
会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为 6 ，目标被三人击中而摧毁的概率为 2 ，若四人都击
中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为 ( )
A. 1 1 1 116 B. 8 C. 4 D. 2
2．已知互不相等的数据 x1，x2，x3，x4，x5，x6，t的平均数为 t，方差为 s21，数据 x1，x2，x3，x4，
x5，x6的方差为 s22，则 ( )
A. s2> s2 B. s2= s21 2 1 2
C. s21< s22 D. s2与 s21 2的大小关系无法判断
3．已知甲箱中有 3个白乒乓球和 4个黄色乒乓球，乙箱中有 4个白乒乓球和 3个黄色乒乓球.
先从甲箱中随机取出 1球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从
乙箱中随机取出 1球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是 ( )
A. A1，A2互斥 B. P
5 1 31
B|A1 = 8 C. P A2B = 7 D. P(B) = 56
4．某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己 6名教师到 4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至
少安排 1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为 ( )
A. 213 B.
2 1 1
11 C. 13 D. 11
5．已知一组数据 1，4，5，x，3，4，5，1，y，7，4的平均数为 4，其中 x，y 1均为正整数，则当 x +
16
y 取得最小值时，这组数据的方差为 ( )
A. 34 40 45 5011 B. 11 C. 11 D. 11
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用 3局 2胜制，如果每局比赛甲获胜概率为 0.7，乙获胜
概率为 0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了 3局的概率为 ( )
A. 3 3 3 316 B. 13 C. 8 D. 4
7 1
．已知P B =P AB = 4 ，则P A B = ( )
A. 23 B.
1
3 C.
1 1
4 D. 2
8．若一组样本数据 x1、x2、x3、x4的平均数为 2，方差为 4，则数据 x1、x2、x3、x4、2x1+ 2、2x2+
2、2x3+ 2、2x4+ 2的平均数和方差分别为 ( )
·20·
A. 4、14 B. 4、6 C. 3、14 D. 3、6
9．已知样本数据 x1,x2, ,x15的平均数为 6，方差为 16；样本数据 y1,y2, ,y10的平均数为 11，
方差为 21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据 x1,x2, ,x15,y1,y2， ,y10的方差为 ( )
A. 18 B. 24 C. 26 D. 28
10．一组数据 1，3，7，9，m m>0 的中位数不小于平均数，则m的取值范围为 ( )
A. 5,7 B. 5,15 C. 7,15 D. 5,20
9
11．已知变量 x,y线性相关，其一组样本数据 xi,yi i=1,2, ,9 ，满足 xi= 33，用最小二乘
i=1
法得到的经验回归方程为 y= 2x- 1.若增加一个数据 -3,3 后，得到修正后的回归直线的斜
率为 2.1，则数据 4,8 的残差的绝对值为 ( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
12．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是
相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结
. 3 3束 已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为 5 , 10 ，若两人有资格挑战第二关，则在第一关
中，甲通过的概率为 ( )
A. 712 B.
7
9 C.
2 5
3 D. 6
13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位:克)与心率 f(单位:次 /分钟)的
对应数据 Wi，fi i=1，2， ，8 .根据生物学常识和散点图得出 f与W近似满足 f= cW k( c,k
为参数)，令 xi= lnWi,yi= lnf
i ，计算得到 x= 7，y
= 4. 由最小二乘法得到经验回归方程为 y=
bx+ 6.8 ，则 k的值为 ( )
A. - 0.4 B. 0.4 C. - 0.2 D. 0.2
14．为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间 (单位：小
时)的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年
级及以下学生 40人，其平均数和方差分别为 2.5和 1.65，抽取了四年级及以上学生 60人，其平
均数和方差分别为 1.5和 3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
·21·
逐题练单选题第 7题
题型一：函数与导数
1．若不等式 x(x+ a)ln(x+ a)≥ 0恒成立，则 a的取值集合为 ( )
A. 1 B. 0,1 C. 1 e ,1 D. 1,+∞
log2x , 0A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2
-0.6
3．设 a= 50.4，b= 15 ，c= log32，则 a，b，c的大小关系为 ( )
A. a< b< c B. c< a< b C. b< c< a D. b< a< c
4．已知函数 f x 为R上的奇函数，f 2 = 0，当 x> 0时，f x + f x > 0，不等式 x-1 f x
< 0的解集为 ( )
A. -∞,-2 ∪ 0,1 B. -∞,-2 ∪ 1,2
C. -2,0 ∪ 0,1 D. -2,0 ∪ 1,2
5．下列不等式成立的是 ( )
A. 0.40.3< 0.40.9 B. log2.33< log2.32 C. log 0.2> 0.50.20.5 D. log52> 0.50.2
6．已知函数 f(x) = x2+ ln ex+e-x - 2，则不等式 f(x+ 2)≤ f(2x- 3)的解集为 ( )
A. -5,-
1 13 B. (-∞,-5]∪ - 3 ,+∞
C. 1 3 ,5
D. -∞, 1 3 ∪ [5, +∞)
7．设 a= ln0.9，b=- 19 ，c= e
0.9，则 ( )
A. c> a> b B. c> b> a C. b> c> a D. a> c> b
8．若 a= log914，b= lg15，c= 2log114，则 ( )
A. a> c> b B. c> a> b C. a> b> c D. c> b> a
9．已知函数 f(x) = e|x+1-m|满足 f(1- x) = f(x- 1)，则 ( )
A. f(x)≥ f(m) B. f(x- 1)≥ f(m)
·22·
C. 函数 f(x) - x有 1个零点 D. 函数 f(x) -m有 1个零点
10．已知函数 f x = 3x3- sinx+ x，则满足 f x + f 4-3x < 0的 x的取值范围是 ( )
A. 1,+∞ B. -∞,1 C. 2,+∞ D. -∞,2
11．若 a= log32，b= 0.3-0.2
2
，c= 3 ，则 a，b，c的大小关系是 ( )
A. a< b< c B. a< c< b C. c< a< b D. b< a< c
12．若 a=-log0.220，b= log624，c= log312，则 ( )
A. c> a> b B. b> a> c C. a> b> c D. c> b> a
13．设函数 f(x)的导函数为 f′ (x)，当 x≠ 0时满足 xf ′ (x) + f(x) = 1，且 f(1) = 2，则 f(-ln2)，
f 12 ，f sin
1
2 的大小关系为 ( )
A. f(-ln2)< f 12 < f sin
1
2 B. f(-ln2)< f sin
1
2 < f
1
2
C. f 12 < f(-ln2)< f sin
1
2 D. f sin
1
2 < f
1
2 < f(-ln2)
14．已知 f x 是定义在R上周期为 2的偶函数，且当 x∈ 1 0,1 时，f x = x+1 - sinx，设 a=
f 12 ，b= f
π
2 ，c= f -
11
4 ，则 a,b,c的大小关系是 ( )
A. b< a< c B. c< a< b C. c< b< a D. a< c< b
15．已知 a= 2log20.4，b= log 2 c= 10.4 ， log0.30.4
，则 ( )
A. a> b> c B. b> a> c C. c> a> b D. a> c> b
16．已知 137< 216，346< 217，设 a= log3421，b= log2113，c= log138，则 ( )
A. a< b< c B. b< a< c C. c< a< b D. c< b< a
17 1．设函数 f x = - ax32x ,a> 1，则关于 x的不等式 f x
2 + f 5x-6 > 1的解集是 ( )
a +1
A. -6,1 B. 2,3 C. -∞,1 D. 2,+∞
18 1．设 x 表示不大于 x的最大整数，如 [2.5] = 2，[1] = 1，若正数 a满足 lna+ 20 +
lna+ 2 + lna+ 3 20 20 + +
lna+
19
20 = 4，则 10a = ( )
·23·
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
19．已知函数 f x = xex- 2+ a，g x = x+ lnx，若 f x 与 g x 的图象有两个交点，则实数 a
的取值范围是 ( )
A． -∞,1 B． -∞,0 C． -∞,0 D． -∞,1
20 1 3．已知 f x ，g x 分别为R上的奇函数和偶函数，且 g x+ 2 = g 2 -x ，当 x∈ 0,1 时，
f x + g x = ex- cosx，若 a= 20252 ，b= log
1 -1
3 2 ，c= e ，则 g a ，g b ，g c 大小关系为 ( )
A． g c < g a < g b B． g a < g b < g c
C． g a < g c < g b D． g b < g a < g c
题型二：三角函数
1 f x = sinωx ω>0 π．将函数 的图象向左平移 12 个单位长度，得到函数 g x 的图象，且
g π x 的图象关于点 6 ,0 对称，则ω的最小值为 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2 1 1．某美妙音乐的模型函数为 f x = sinx+ 2 sin2x+ 3 sin3x，则关于该函数下列说法正确的
是 ( )
A. 最小正周期为 3π B. 是偶函数
C. π π 11在区间 - 6 , 6 上单调递增 D. 最大值为 6
3 3 1 1 1 π 19π．已知函数 f x = 2 sinxcosx- 2 sin
2x+ 4 ，记方程 f x = 6 在 x∈
6 ,
8 上的根从
小到大依次为 x1,x2 ,xn，则 x1+ 2x2+ 2x3+ +2xn-1+ xn的值为 ( )
A. 29π B. 32π 34π3 3 C. 3 D.
37π
3
4．若函数 f x = sinωx ω>0 在区间 π,2π 内没有最小值，则ω的取值范围为 ( )
A. 0, 1 2 ∪
3
2 ,
5 2 4
3 B. 0, 3 ∪ 3 ,2
C. 0, 1 4 ∪
1 3
2 , 4 D. 0,
3
4 ∪
3 7
2 , 4
5．已知函数 f x = sin 2x+φ π 在 x∈ 0, 3 时满足 f x >
1 3π
2 恒成立，且在区间 0, 2 内，
x x
仅存在三个数 x1，x2，x3 x1·24·
A. 7π6 B.
3π
2 C.
11π
6 D.
13π
6
6．已知ω> 0，函数 f(x) = cos ωx+ π4 - 3
2π
的最小正周期为T，若 3 x= 3π f - π图象关于直线 2 对称，则 2 = ( )
A. - 4 B. 52 C. - 2 D.
7
2
7．已知函数 f x = 2sin ωx+φ ω>0, π π 5π π φ < 2 在区间 6 , 12 上单调递减，且 x= 6 和
5π12 ,0
π
分别是函数 y= f x 图象的对称轴和对称中心，则 f 4 = ( )
A. 1 B. 3 C. 12 D.
3
2
8．函数 f x = sin x+ 1 1x 在 10 ,10 上的零点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
9．已知函数 f x = 2sin ωx+φ 在区间 - 5π12 ,
π
12
5π π
上单调递减，直线 x=- 12 和 x= 12 为
5π
函数 f x 的图象的两条对称轴，则 f 2 = ( )
A. 1 B. - 1 C. 3 D. - 3
10．若函数 f(x) = 2sinx+ cosx- 3 ,x∈ (0,π)两个零点分别为 x1和 x2，则 cos(x1- x2) = ( )
A. - 2 1 15 B. - 5 C. 5 D.
2
5
11．已知 f(x) = sin 12 x+
π
3
π
，若 f(x)在区间 a,a+ 6 (0< a< 2π)上不单调，则 a的取值范
围是 ( )
A. π π π π π π π 5π6 , 4 B. 6 , 3 C. 4 , 3 D. 6 , 3
12．下列选项中，曲线 y=msinx(m∈R)与 y= 2sin3x在 x∈ [0,2π]上的交点个数不一样的
是 ( )
A. m=-1 B. m=-2 C. m= 1 D. m= 2
13．如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H
恰好可以围成一个正八边形，设∠ACG= α,∠EBH= β，则 tan α+β = ( )
·25·
A. - 3 B. - 2 2 C. - 2 2+ 1 D. - 2- 1
cos2α = sin2β14．若 1+sin2α + ，则 ( )1 cos2β
A. tan α-β = 1 B. tan α+β = 1 C. tan α-β =-1 D. tan α+β =-1
2
15．已知 a= 2cos73° 2sin 28°-1，则 = ( )
a 4-a2
A. - 2 B. - 1 C. - 12 D. -
1
4
tan2α-tan2β
16．若 tan α-β = 3， 2 = 18，则 tan2α= ( )1-tan αtan2β
A. - 12 B. - 2 C. -
3 9
19 D. - 17
17 5．已知 cos2α= 2sin2β- 6 ,cos
1
α-β = 4 ，则 tanαtanβ= ( )
A. 1 17 B. 7 C. - 7 D. - 7
18．已知函数 f x = 3sinωx+ cosωx(ω> 0) 5π π的图象关于点 18 ,0 对称，且在区间 0, 2
内有且只有两条对称轴，则 ( )
A. f π 2π π π x 在区间 - 3 ,- 9 上单调递增 B. f x 在区间 - 9 , 9 上单调递增
C. f π π π x 在区间 - 6 , 6 上单调递减 D. f x 在区间 0, 4 上单调递减
题型定位三：平面向量与解三角形
1．如图 1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，
N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图 2所示，已知∠ABM= 30°，∠BAN= 45°，∠MAN=
60°，∠MBN= 90°，AB= 2 5，则MN= ( )
A. 5 3-1 B. 5 2 C. 5 3+1 D. 10
2．已知△ABC中，BC= 1 π π，AB= 2， 3sin B+ 6 = sin B- 3 ，若∠B的平分线交AC于
·26·
点D，则BD的长为 ( )
A. 2 4 B. 1 2 C. 2 D. 13 或 3 3 或 3 3 3
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ccosB= 2acosA- bcosC，BC边上
一点D满足BD= 2DC，且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为 2 3，则 b= ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
4．在△ABC 2π中，已知∠BAC= 3 ，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD= 2S△ACD，则
tanB= ( )
A. 35 B.
3 21 21
15 C. 5 D. 15
5．已知△ABC的三个角A B C a b c cosC = cosA， ， 的对边分别为 ，，，且 c 3b- ，则 tanC= ( )a
A. 1 23 B. 3 C. 4 D. 2 2
1 6．已知 AD = 2 AB = 2，向量AP= λAD+ 1-
1
2 λ AB，且 AP 最小值为 2 3，
则PA PB的最小值为 ( )
A. 12 B. -
1
2 C. - 1 D. 3
7．已知梯形ABCD中，AB CD,AB= 2BC= 2CD= 2AD= 4，点M为边CD上的动点，若
∠AMB= α，则 cosα的范围是 ( )
A. 1 0, 7 B.
1
- 7 ,1 C.
1 1
2 , 7 D.
1 - 7 ,0
8．在平面直角坐标系中，A(-1,0)，B(1,0)，C x0,y0 ，点F,H分别是△ABC的外心和垂心，若
FH = 1+m2-2m AB，则m的取值范围是 ( )
A. (-∞,0) B. (-1,0) C. -∞, 1 2 D. (0, +∞)
题型四：数列
1．已知数列 an 满足 a1= 3，an+1= an+ 4 an+1+ 4，则 an= ( )
A. an= 2n+ 1 B. an= 2n C. an= 4n2- 1 D. an= 4n+1
2．设数列 an 的前n项和为Sn，且Sn= 2an- 2n，则 ( )
·27·
A. 9a7> 8a8 B. 9a7< 8a8 C. 9S7> 7a8 D. 9S7< 7a8
3．已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn= 2an- 1 n∈N * ，若数列 bn 满足 b1= 2，bn+1= an+
bn，则数列 bn 的通项公式为 ( )
A. b = 2n-1n + 1 B. b = 2nn + 1 C. b = 2n-1n - 1 D. b nn= 2 - 1
4．数列 an 满足 a1= a2= 1，an= an-1+ an-2 n≥3,n∈N * ，给出下列四个结论：
①存在正整数 i1,i2, ,im，且 i1< i2< < im，使得 ai + a + +a = 985；1 i2 im
②存在m∈N ，使得 am，am+1，am+2成等比数列；
③存在常数 t，使得对任意 n∈N *，都有 an，tan+2，an+4成等差数列；
④ a21+ a22+ a2 23+ +a2023= a2023a2024
其中所有证确结论的是 ( )
A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④
5．记数列 an 的前n项和为Sn，已知 a1= 2，Sn+1- 2Sn=n，则 a10= ( )
A. 1024 B. 1023 C. 513 D. 256
6．已知数列 an 满足：①任意相邻两项的积不等于 1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这
三项相加之和；③ a1= 2，a2= 3.记数列 an 的前项和为Sn，则S2025-S2012的值为 ( )
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
7．设数列 an 的前n项和为Sn，且Sn+nan= 1，则满足Sn> 0.99时，n的最小值为 ( )
A. 49 B. 50 C. 99 D. 100
n
8．设等比数列 an 各项均为正数，其前 n项和为Sn，且 a3= 4，S3= 7，设 bn= log2ak，则
k=1
2025
1 =( )
k=2 bk
A. 2023 B. 2024 4048 20251012 2025 C. 2025 D. 1013
9．已知 i，j∈N *，记Sn为等比数列 an 的前n项和，设命题 p:a2i+1< 0；命题 q:S2j+1< 0，则命
题 p是命题 q的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
·28·
10．已知等差数列 an 的首项为 1，且 a3,a n5+ 1,2a6成等比数列，则数列 (-1) an 的前 2025项
和为 ( )
A. - 1013 B. - 505 C. 505 D. 1013
题型五：空间向量与立体几何
1．已知球O的表面积为 12π，球面上有A，B，C，D四点，DA，DB，DC与平面ABC所成的角
π
均为 4 ，若△ABC是正三角形，则AB= ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2．三棱锥P-ABC各个顶点均在球O表面上，AB⊥AC，△ABC外接圆的半径为 3，点P
在平面ABC π的射影为BC中点，且PA与平面ABC所成的角为 3 ，则球O的表面积为 ( )
A. 8π B. 16π C. 32π D. 24π
3．已知三棱锥A-BCD中，CD⊥平面ABD，AB=AD= 2 3，BD= 6，CD= 2，则三棱锥
A-BCD的外接球表面积 ( )
A. 12π B. 24π C. 40π D. 52π
4 2π．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 3，圆心角为 3 的扇形，在该圆锥内有一个体积为V
的球，则该球的体积V的最大值是 ( )．
A. 2π B. 23 π C.
2 2
3 π D.
2
3 π
5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，若P为
侧面ADD1A1内 (含边界)的动点，且B1P 平面BEF，则B1P的最小值为 ( )
A. 8 25 B.
2 30
5 C. 5 D. 2 2
6．已知第一个正四棱台的上底面边长为 2 2cm，下底面边长为 4 2cm，侧棱长为 4cm，第二
个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的 3倍，则第二个正四
棱台的体积为 ( )
A. 56 3cm3 B. 56 14cm3 C. 112 3cm3 D. 60 14cm3
7．棱长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BC的中点为E，棱DD1的中点为F，则三棱锥
A-D1EF的外接球的表面积为 ( )
·29·
A. 7π2 B. 7π C. 14π D. 28π
8．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 4，侧棱长为 2，点M在平面B1BCC1上 (不含三
棱柱的顶点)，若MA1⊥MB，则CM的最小值为 ( )
A. 3- 2 B. 2 3- 2 C. 2 D. 10- 2
9．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,△PAB为等腰三角形，且∠APB= 120°，AB
= 2 3 ,AC= 4,∠BAC= 90°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 ( )
A. 32π B. 64π C. 80π D. 128π
10．三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2，且∠A1AC= 60°，D、E、F分别
为A1C1、A1B1、BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为 ( )
A. 3 B. 3 C. 7 D. 213 2 7 7
11．已知一几何体上半部分为圆台PO，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为 r，高
21
为 h．圆台PO的两底面的半径分别为 r和 7 r，高为 2h．该几何体内接于表面积为 100π的
球，则圆台PO的体积为 ( )
A. 10+ 21 π B. 2 10+ 21 π C. 4 10+ 21 π D. 6 10+ 21 π
12．已知圆柱的轴截面是边长为 2的正方形，AB与CD分别为该圆柱的上、下底面的一条直
2
径，若从点A出发绕圆柱的侧面到点C的最小距离为 4+ π9 ，则直线AB与直线CD所成的
角为 ( )
A. π B. π6 4 C.
π π
3 D. 2
13．在三棱锥A-BCD中，AE=EB,AF = 2FC,AG= 3GD，设三棱锥A-EFG的体积为
V1，三棱锥A-BCD的体积为V2，则V1:V2= ( )
A. 1 B. 13 4 C.
1
6 D.
1
8
14．已知边长为 1的正方形ABCD绕边CD所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点
M和N分别是圆柱上底面和下底面的动点，点P是线段MN的中点，则三棱锥A-PBC体积的
最大值为 ( )
A. 18 B.
1 1 1
6 C. 4 D. 2
·30·
15．已知正四棱锥O-ABCD的底面边长为 2 3，侧棱长为 2 6，点O′在该棱锥的高上，分别
以O，O 为球心作球，使得点A，B，C，D都在球O′的表面上，两球面的公共点的集合是以线
段OO′ 26上一点E为圆心，半径为 2的圆，则当球O′的半径为 2 时，球O的表面积为 ( )
A. 16π B. 8π C. 4π D. 2π
16．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1= 2，点P为侧面
ABB1A1上的任意一点，则PC PC1的取值范围是 ( )
A. 0,2 B. 1,3 C. 2,4 D. 3,5
17．如图，水平桌面上放置一个棱长为 4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面
CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕CD倾斜 (CD始终在桌面
上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的锐二面角的正切值为 ( )
A. 55 B.
1
2 C. 2 D. 5
18．一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA1= 4，若母线AA1放置在水平地
面上时，水面恰好过OA的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为 ( )
A. 23 -
3 4
π B. 3 -
3
π
C. 2 + 3 D. 4 33 π 3 + π
题型六：平面解析几何
1 x
2 y2 3
．设椭圆C: 4 + 3 = 1的左右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，cos∠F1PF2= 5 ,∠F1PF2的
平分线与 x轴交于点A，则 |PA| = ( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 10 D. 3 54 4
2．已知抛物线C:y2= x的焦点为F，准线与 x轴交于点P，直线 l过焦点F且与C交于A，B两
1
点，若直线AP的斜率为 2 ，则 AB = ( )
·31·
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3．在平面直角坐标系Oxy中，点A 0,-1 ，B -2,3 ，向量OP= sOA+ tOB，且 s- t+ 3=
0 s,t∈R ，若Q为抛物线 x2=-2y上一点，则 PQ 的最小值为 ( )
A. 5 24 B. 2 C.
3 2 2
4 D. 2
4．已知点F为抛物线C:y2= 2px p>0 焦点，点A在C的准线 l上，点B在C上，若∠AFB=
90°，且 BF = 2 AF = 10，则 p= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．过抛物线C:y2= 4x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，过点A作C的切线 l，交 x轴于
点M，过点B作直线 l的平行线交 x轴于点N，则 FM + 4 FN 的最小值是 ( )
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
x2: - y
2
6．设O为坐标原点，F为双曲线C 2 2 = 1(a> 0,b> 0)的左焦点，圆O:x
2+ y2= a2与C
a b
π
的渐近线在第一象限的交点为M，若∠FMO= 6 ，则C的离心率为 ( )
A. 2 33 B.
21 C. 303 3 D.
33
3
7 2．函数 f x = 2 x+ x
2-8x+25 (0≤ x≤ 4)的最小值 ( )
A. 4 B. 7 2 C. 5 D. 7 32 3
8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲
线，如图 1，设圆锥轴截面的顶角为 2α，用一个平面Γ去截该圆锥面，随
着圆锥的轴和Γ所成角 β的变化，截得的曲线的形状也不同，据研究，曲
cosβ
线的离心率为 e= cosα ，比如，当 α= β时，e= 1，此时截得的曲线是抛
物线，如图 2，在底面半径为 1，高为 2 2的圆锥SO中，AB,CD是底面圆O上互相垂直的直
径，E是母线SC上一点，SE= 2EC，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为 ( )
A. 12 B.
3
3 C.
3
2 D.
2 3
3
2 y2
9 x．已知双曲线E: 2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1,F2，直线 l与E的两条渐近线a b
分别交于A,B两点，O为坐标原点，若 2F2A=AB,OA⊥AB，则E的离心率为 ( )
·32·
A. 2 B. 3 C. 5 D. 102
10．已知抛物线C:y2= 4x，其准线为 l，焦点为F，过M (3,0)的直线PQ与 l和C从左到右依次
相交于A，P，Q三点，且 |FQ| = 10，则△FAP和△FAQ的面积之比为 ( )
A. 1 1 1 14 B. 5 C. 6 D. 7
x2: - y
2
11．已知双曲线C 2 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，且a b
PF1 > PF2 ，若△PF1F2的内心为Q xQ,a ，且PQ+ 3OQ与F1F2共线，则双曲线C的渐近线方
程为 ( )
A. y=±x B. y=± 2x C. y=± 3x D. y=±2x
2 y2
12．已知椭圆C x： 2 + 2 = 1 a>b>0 的左、右焦点分别为F1，F2，A为右顶点，P为C上一a b
点，若 PF1 = F1F2 ，且∠F1PA= 90°，则C的离心率为 ( )
A. 36 B.
3
3 C.
2
2 D.
3
2
13．过抛物线 x= 2y2的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于点C．若AB
= 3AF，则 BC = ( )
A. 34 B. 1 C.
9
8 D.
9
2
x2 y214 π．将椭圆C1： 2 + 2 = 1 a>b>0 上所有的点绕原点旋转 θ 0<θ< 2 角，得到椭圆Ca b 2
的方程：x2+ y2- xy= 9，则下列说法中不正确的是 ( )
A. θ= π4 B. a= 3 2
C. 椭圆C 22的离心率为 3 D. - 6,- 6 是椭圆C2的一个焦点
2 y2
15 x．过椭圆 22 + 2 = 1 a>b>0 上的点M作圆 x + y
2= b2的两条切线，切点分别为P，Q.
a b
a2 b2
若直线PQ在 x轴，y轴上的截距分别为m，n，若 2 + 2 = 2，则椭圆离心率为 ( )n m
A. 1 B. 3 C. 2 D. 62 3 2 3
·33·
16．已知圆C过点M1 -3,-2 ,M2 -2,-1 ,M3 -2,-3 ，点A在圆C上，过点N1 2,0 的直线
l1与过点N2 0,2 的直线 l2互相垂直，且垂足为B，则 AB 的最大值为 ( )
A. 3 2+ 1 B. 3 2+ 2 C. 4 2+ 1 D. 4 2+ 2
x2 y217．已知椭圆C：4 + 2 = 1 01
2 ,0 ，B(1,0)，若椭圆C上存在 3个不同的点b
P满足 PB = 2 PA ，则椭圆C离心率的取值范围是 ( )
A. 0, 22 B. 0,
3
3 C.
2
2 ,1 D.
3
3 ,1
18．已知直线 l1:3x- y= 0，l2：3x+ y= 0，点M到 l1，l 92的距离之积为 10 ，记点M的轨迹为曲
线Γ，若Γ与曲线 y= a-x2有四个交点，则 a的取值范围为 ( )
A. 3,+∞ B. 9,+∞ C. 1,3 D. 1,9
x2 y219．已知双曲线C： 2 - 2 = 1 a>0,b>0 左、右顶点分别为A
2 2 2
1，A2，圆 x + y = a 与C的a b
渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若∠PA2M的角平分线与 y轴平
行，则C的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
20．已知双曲线C的焦点为F1(- 7 ,0),F2( 7 ,0)，过点F2的直线与双曲线C交于A，B两点．
若 BF2 = 2 F2A ， AB = AF1 ，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. y=± 2 33 x B. y=±
6 10
2 x C. y=± 5 x D. y=±
30
10 x
21．已知点D(-2,0)，直线 l：x- ay- 2= 0(a> 0)与抛物线C：y2= 8x交于A x1,y1 ，
B x2,y2 y1>0 两点，且 AB = 24，则直线AB,DA,DB的斜率之和为 ( )
A. 2 B. 22 C.
2 2
2 - 1 D. 2 + 1
2
22．已知双曲线C:x2- y24 = 1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C第一象限上一点，
∠F1PF2的角平分线为 l，过点O作PF2的平行线，分别与PF1，l交于M，N两点，若 MN =
2
3 PF2 ，则△PF1F2的面积为 ( )
A. 20 B. 12 C. 24 D. 10
题型七：计数原理与概率统计
·34·
1．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第
一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为 ( )
A. 18 B.
1
4 C.
3
8 D.
5
8
2．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的 1000名顾客进行了随机调查．调查
发现，有 600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品 (称为“计划型顾客”)，其余 400名
顾客则没有特定的购买计划 (称为“随机型顾客”)．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市
的平均消费金额为 200元，而“随机型顾客”中，有 30%的人平均消费金额为 100元，另外 70%的
人平均消费金额为 300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取 1名，则这名顾客的平均消
费金额不低于 200元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为 ( )．
A. 概率为 0.72，平均消费金额为 210元 B. 概率为 0.88，平均消费金额为 216元
C. 概率为 0.88，平均消费金额为 240元 D. 概率为 0.82，平均消费金额为 230元
3．张某经营A、B两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第 1个月去A公司的概率是
2
3 .
1
如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为 3 ；如果本月去B公司，那么下个
1
月去A公司的概率为 2 ，如此往复.设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10= ( )
9 9
A. 37 +
5 1 4 7
21 × - 6 B. 7 + 21 × -
1
6
C. 3 + 5 × 1
10 10
7 21 6 D.
5 5 1
7 + 21 × - 6
2 2025
4 4 4 4．已知 3x+1 2 025= a0+ a x+ a 2 20251 2x + +a2025x ，则 3 a1+ 3 a2+ + 3 a2025被 4除
的余数为 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5．从 1，2，3，4，5，6，7这 7个数任选 3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概
率为 ( )
A. 335 B.
3
70 C.
9 18
35 D. 35
6．为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组
织了 2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌
曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为 ( )
A. 1 B. 36 20 C.
1 D. 710 60
·35·
7 x,y,z π π π．同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 ，则 x , y , z 是直角三角形的
三个内角的概率为 ( )
A. 1 B. 118 24 C.
1 1
36 D. 108
8．设A，B是两个随机事件，且 0 0，则下列说法正确的是 ( )
A. P AB >P B|A B. 1-P AB = 1-P A P B|A
C. 若A与B互斥，则P A∪B = 1 D. 若P AB ≠ 0，则A与B相互独立
9．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组 6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上
有一道满分为 12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为 4,5,6,m,10,12，若该组
数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第 60百分位数是 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10．将编号为 1,2,3,4的 4个小球随机放入编号为 1,2,3,4的 4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，
则至少有 1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是 ( )
A. 1 B. 7 C. 5 D. 174 24 8 24
11．下列说法正确的个数为 ( )
① 180的正因数有 16个②以正方体为顶点的三棱锥有 70个③ 5555+ 9能被 7整除
④投一枚质地均匀的硬币十次，正面朝上频率在 0.4,0.6 21 的概率为 32
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
·36·
逐题练单选题第 8题
题型一：函数与导数
1．已知函数 f x = x3+ ax2+ bx- 4 a,b∈R ，若不等式 f x < 0的解集为 x xx≠1 ，则函数 f x 的单调递减区间为 ( )
A. -3,-1 B. -1,1 C. 1,3 D. -∞,4
2．关于 x的不等式 lnx- ax2+ ax> 0(a> 0)的整数解个数为 n n∈N * 时，a∈ pn,qn ，设Sn
p为数列 n 的前n项和，则Sln n+2 100= ( )
A. 12 B.
100
101 C.
25 101
51 D. 102
3．已知函数 f x = ex-a- ax a∈R ，f x ≥ 0，则 a的取值范围是 ( )
A. -∞,1 B. 0,1 C. 0,e D. 1,e
4．已知实数 x，y满足 ln 4x+y-4 + 4- e2x-3y-2- 2x- 4y≥ 0，则 2x+ 3y的值为 ( )
A. 20 B. 25 C. 13 D. 147 7 5 5
5．已知函数 f x 满足 f x-y f y = 2f x ，f x ≠ 0且 f 1 = 4，则 f 2-x + f x 的最小值
为 ( )
A. 4 B. 2 2 C. 8 D. 4 2
6．设函数 f x 满足 f x-1 = 1 ，且当 x∈ -1,0 时，f x = x，若在区间 -1,1 上，
f x -1
g x = f x -mx+m有两个零点，则实数m的取值范围是 ( )
A. 1 0, 2 B. 0,
1
2 C.
1
3 ,1
D.
1
3 ,1
7 x．已知正实数 x，y满足 2 + 2y- 2= lnx+ lny，则 y
x= ( )
A. 2 B. 2 C. 1 24 D. 2
1
8．已知 a= 3ln1.5，b= e 3，c= 53 ，则 ( )
A. b> a> c B. b> c> a C. c> a> b D. c> b> a
·37·
9．对于 x∈ 0,1 ，f x x + f 1-x = 2，且 f x = 2f 6 ，当 0≤ x1≤ x2≤ 1时，f x1 ≤
f x 1 2 ，则 f 4050 = ( )
A. 14 B.
1
8 C.
1 1
16 D. 32
10．已知正实数 x,y,z满足 x+ lnx= y+ ey= ez+ lnz= 5，则 ( )
A. x< y B. y> z C. lnx+ y> 5 D. ey+ z> 5
11．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学
知识，探究函数 f x = xx，x∈ 0,+∞ ，下列说法正确的是 ( )
A. f x B. f x 0, 1 有且只有一个极大值点 在 e 上单调递增
C. 存在实数 a∈ 0,+∞ ，使得 f a = 1e D. f
1
x 有最小值，最小值为 1
e e
12．已知 f x 是定义在R上的奇函数且满足 f x+2 + f x = 0，当 0< x≤ 1时，f(x) =
log2 x+1 ，若 f a+1 > f a ，则实数 a的取值范围是 ( )
A. - 52 +4k,-
3
2 +4k ，k∈ Z B. -1+4k,4k ，k∈ Z
C. - 12 +4k,
1
2 +4k ，k∈ Z D. -
3
2 +4k,
1
2 +4k ，k∈ Z
13． x 表示不小于 x的最小整数，如 2.1 = 3, -1.2 =-1，已知定义在R上的函数 f(x)满
足 x,y∈R,f(x+ f(y)) = f( f(x)) + y，且 f(0) = 12 ，则 { f(2024)}= ( )
A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022
14．已知定义在R上的函数 f x 满足：f x+4 + f x = 0,f x+2 为奇函数，且 f 1 = 1，若
n
k f(2k- 1)≤-20，则正整数 n的最小值为 ( )
k=1
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
15．罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称
微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为R的函数 f x 的导函数记为 f x ，且函数
f x 满足条件①在闭区间 a,b 上连续；②在开区间 a,b 内可导；③ f a = f b .那么至少存
在一个 ξ∈ a,b 使得 f ξ = 0.已知函数 f x = ex- ax2- e-a-1 x- 1，a∈R在区间
0,1 内有零点，其中，e= 2.718 是自然对数的底数，则实数 a的取值范围为 ( )
·38·
A. 12 ,1 B.
1
2 ,
e
2 C.
1
2 ,e-2 D. e-2,1
16．已知可导函数 f x 的定义域为R，f x 是 f x 的导函数，且 f 2x-1 为偶函数 f 2x+1
为奇函数，f 0 = 1，则 f 2024 + f 2025 + f 2026 = ( )
A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1
17．已知max{m,n}表示m，n中最大的数，设函数 f(x) =max x2-2ax+1,lnx ，若 f(x)≥
0，则 a的最大值为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
18．已知对于任意非零实数 x，函数 f(x)均满足 f(x) = f 2x ，f(x) = 2- f
1
x ，下列说法：
① f(1) = 1； ②若数列 an 是公比为 4等比数列，则 f an = f a1 ；
③点 (1,1)是曲线 y= f 2x 对称中心： ④ f(2) + f 22 + f 23 + +f 210 = 10．
其中正确说法的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
x
19 2 -b．已知 f x = x b∈R 是奇函数，实数m、n均小于 1，e= 2.71828 为自然对数底数，2 +1
且 log2 m-b + 4e- 1= 4e2，log2 n-b + 2e- 1= e2，则 ( )
A． 0C． 020．已知函数 f x = ex+ x，g(x) = lnx+ x，若 f(a) = g(b) = 2，则下列各式成立的是 ( )
A． ab≥ 1 B． a3+ b3> 2 C． ea+ lnb< 2 D． ea+ eb≥ 2e2
题型二：三角函数与解三角形
1．已知 β为锐角，且 tanβ> 2，2sinα= cos 2β-α ，则 tanα的最小值为 ( )
A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 33 3 3 3
2．已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) ω>0,|φ|≤ π ,x=- π2 4 为 f(x)的零点，x=
π
4 为 y= f(x)图
π
象的对称轴，且 f(x)在 18 ,
5π
36 单调，则ω的最大值为 ( )
·39·
A. 13 B. 11 C. 9 D. 7
3．已知△ABC中，∠C= 90°,D为边AC上的一点，E为BD上的一点，且∠ABC=∠EAD=
∠AED则有 ( )
A. BE=DC B. BE= 32 DC C. BE= 2DC D. BE= 3DC
4．下列选项，曲线 y=msinx(m∈R)与 y= 2sin3x在 x∈ [0,2π]上的交点个数不一样的 ( )
A. m=-1 B. m=-2 C. m= 1 D. m= 2
sin 2x+α , x<0
5．已知函数 f x = 是定义在 -∞,0 ∪ 0,+∞ 上的奇函数，则 α，β的cos 2x+β , x>0
值可能是 ( )
A. α= π β= π B. α= π β= 3π C. α= 2π β= π3 ， 6 4 ， 4 3 ， 6 D. α=
3π
4 ，β=
3π
4
6．某美妙音乐的模型函数为 f x = sinx+ 1 sin2x+ 12 3 sin3x，则关于该函数下列说法正确的
是 ( )
A. 最小正周期为 3π B. 是偶函数
C. π π 11在区间 - 6 , 6 上单调递增 D. 最大值为 6
7．已知 α,β∈ 0, π2 ，若 sin α+β = 2sin α-β ，当 tan α-β 取得最大值时，tanα= ( )
A. 3 B. 33 C.
2
2 D. 2
题型三：平面解析几何
x21．若椭圆 4 + y
2= 1的左右焦点分别为F1，F2，直线 l：y=-x+ 1与椭圆交于A，B两点，若
点P为线段AB上的动点，则S△AFP+S△BFP的最小值为 ( )1 2
4 3+1 4 3-1 4 3-1 4 3+1 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
x2 y22．已知双曲线C: 2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为F1,F2，M是C的右支上一点，a b
M在 y轴上的射影为H，O为坐标原点.若HN = 3NF2,F2H MN = 0,ON F1M，则C的离心率
为 ( )
·40·
A. 2 B. 3 C. 52 D.
6
2
x2 y23．已知双曲线C： 2 - 2 = 1 a>0,b>0 左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程为 y=± 3x，a b
过F1且斜率为 1的直线 l与C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与线段PF2交于点
Q，若PQ= λQF2，则 λ的值是 ( )
A. 4 2-4 B. 2+13 2 C. 2 2- 2 D.
3 2+3
4
4．已知直线 l：xcosθ+ ysinθ+ 1= 0 θ∈R ，圆C:(x- 3)2+ (y- 4)2= 4，过 l上一点P作C的
两条切线，切点分别为M ,N，使四边形PMCN的面积为 8 2的点P有且仅有一个，则此时直线
MN的方程为 ( )
A. 3x+ 4y- 20= 0 B. 9x+ 12y- 65= 0
C. 11x+ 17y- 81= 0 D. 19x+ 23y- 129= 0
5．如图，圆O:x2+ y2= 4与 x轴交于A、B两点，l1、l2是分别过A、B
的圆O的切线，过圆O上任意一点P作圆O的切线，分别交 l1、l2于点
C、D两点，记直线AD与BC交于点M，则点M的轨迹方程为 ( )
2
A. x2+ y2= 1 y≠0 B. x4 + y
2= 1 y≠0
2 2
C. x2+ y2= 2 y≠0 x D. 4 +
y
2 = 1 y≠0
x2 y26．已知△AF1F2顶点F1,F2分别为双曲线C： 2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点，点A在Ca b
的右支上，且AF1与C
3
的一条渐近线垂直，记C的离心率为 e，若 tan∠F1AF2= 3 ，则 e
2= ( )
A. 4+ 2 3 B. 3+ 2 2 C. 14- 6 2 D. 13- 6 3
7．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线： x|n+ y|n= 1(n> 0)，当n= 2时，是我们熟知的
2 2
圆；当n= 23 时，曲线E:|x
3+ y| 3 = 1是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料
的设计．则下列关于曲线E说法错误的是 ( )
A. 曲线E关于 x轴对称
B. 曲线E 1上的点到 x轴，y轴的距离之积不超过 8
C. 曲线E与 x + y = 1有 8个交点
D. 曲线E所围成图形的面积小于 2
·41·
8 C: x
2 y2
．已知双曲线 2 - 2 = 1的两焦点分别为F1、F2，过右焦点F2作直线 l交a b
右支于A、B点，且AB= 3AF2，若∠F1AB= π3 ，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 75 B.
3
2 C.
5 7
3 D. 3
题型四：空间向量与立体几何
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3，以顶点A为球心， 7为半径的球的球面与正
方体的表面的交线总长为 ( )
A. 3π B. π C. π π2 D. 3
2．如图，在棱长为 6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内的
一个动点，当PB1+PD= 2+ 10时，点P的轨迹长度是 ( )
A. 6π B. 4π C. 2 3π D. 2 2π
3．在三棱锥P-ABC中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且BC= 2 2，PA=PB
= 5，点P在底面ABC内的射影E在△ABC的外部，且PE= 3，则该三棱锥外接球的表面
积为 ( )
A. 49π B. 49π9 3 C.
50π
3 D.
50π
9
4．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC= 90°且SA=AB
=AC= 2，若在△SBC内 (包括边界)有一动点P，使得AP与平面SBC所成
6
角的正切值为 2 ，则点P的轨迹长为 ( )
A. 4π3 B. π C.
2π
3 D. 6
5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1= 6，E为线段CC1上的动点，D为BC边上靠近
B的三等分点，则三棱锥A-BDE的外接球体积的最小值为 ( )
A. 32 3π B. 4000 3π27 C.
500 3
27 D. 108 3π
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足
·42·
D1P 平面A1BC1，则AP的最小值为 ( )
A. 6 B. 3 C. 36 6 2 D.
6
2
7．在四棱锥P-ABCD中，AD BC，E、N分别为PA、CD的中点，经过
E、B、C三点的平面交PN于点F，M为AD上一点，且PM⊥平面ABCD，
△MCD为等边三角形，CD= 6，∠PDM= 45°，则经过F、M、C、D四点的球
的表面积为 ( )
A. 32π B. 48π C. 64π D. 96π
8．在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，PA= 2，BC= 3，则三棱锥P-ABC的体积
的最大值为 ( )
A. 73 21 23 135 B. 4 C. 3 D. 2
9．如图，已知Rt△SAB是圆锥SO的轴截面，C,D分别为SA,SB的中
点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线 Γ是抛物线的一部
DP
分，若P在Γ上，则 的最大值为 ( )
DC
A. 22 B. 1 C.
6
2 D.
26
4
10．已知一个圆台的上、下底面半径分别为 1和 4，高为 3 3．若该圆台内有一个球，则该球的
表面积的最大值为 ( )
A. 9π B. 64π3 C. 27π D.
27 3π
2
题型五：计数原理与概率统计
1．为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的
抽奖活动.如图，在一个 5× 5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格
中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上
没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放 1本图书.则所有可能的图
书排列方式总数为 ( )
A. 160 B. 192 C. 224 D. 256
2．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一
人，若第一次由甲传出，则经过 6次传球后，球恰在乙手中的概率为 ( )
A. 31 11 21 2396 B. 32 C. 64 D. 64
·43·
3．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子 (骰子为均匀的正六面体)
正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投
掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.
在一次游戏中，飞机距终点只剩 3步 (如图所示)，设该玩家到达终点时投掷骰子
的次数为X，则E X = ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4．张某经营A、B两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第 1个月去A公司的概率是
2
3 .
1
如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为 3 ；如果本月去B公司，那么下个
月去A 1公司的概率为 2 ，如此往复.设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10= ( )
A. 3 + 5
9 9
7 21 × -
1
6 B.
4
7 +
7
21 × -
1
6
3 5 1 10 10C. 7 + 21 × 6 D.
5
7 +
5 × - 121 6
·44·
逐题练多选题第 10题
题型一：函数与导数
1．若函数 f(x)与函数 g(x)图象关于直线 x- y+ 1= 0对称，则函数 f(x)解析式可能是 ( )
x
A. f(x) = 3x+ 2 B. f(x) = e -e
-x
2
C. f(x) = ex- 2x D. f(x) = ln(x+ 1+x2 ) - x
2．已知不等式 lnx≤ x- 1在 x∈ 0,+∞ 上恒成立 (当且仅当 x= 1时取等)，下列不等式正确
的是 ( )
A. lnx≥ 1- 1 3x x>0 B. 7 < ln7- ln4<
3
4
C. 12 +
1
3 +
1 + + 14 2025 > ln2025 D.
1 + 1 + 3 5 5 3
77 5
+
7 74 73
+ 2 + 7 + 2< e7
3．已知函数 f x = x3+ ax2+ bx+ c满足 f 0 = 0，f 1 = 1，则 ( )
A. a+ b= c
B. 对于任意 a> 0，f x 有三个零点
C. 对于任意 a< 0，f x 有两个极值点
D. 存在 a> 0，使得点 1,f 1 为曲线 y= f x 对称中心
4 1．已知函数 f x = 3 x
3- x2+ 1，其导函数为 f x ，则 ( )
A. 直线 y=-2x是曲线 y= f x 的切线
B. f x 有三个零点
C. f 2-x = f x
D. 若 f x 在区间 a,a+4 上有最大值，则 a的取值范围为 -4,0
5．已知函数 f(x)的定义域为R，若满足 f(1- x) + f(x) =-1，且函数 f(x+ 1)是奇函数，则下列
结论正确的是 ( )
A. f(0) =-1 B. f(2025) = 2023
2025
C. f(x+ 2024) = f(x) D. f(i) =-2025
i=-2024
6．设 a∈R，函数 f x = x3- 3ax+ a3，则 ( )
A. f x 有两个极值点
B. 若 a> 0，则当 x> 0时，f x ≥-1
C. 若 f x 有 3个零点，则 a的取值范围是 0, 3 4
·45·
D. 若存在 s,t∈R，满足 f s-t + f s+t = 2f s ，则 st= 0
7．已知 f x = x3+ ax2+ bx- 2.不等式 f x < 2的解集为 {x ∣ x< 1且 x≠-2}，则下列说法
中正确的是 ( )
A. 函数 f x 的极大值点为 1
B. 函数 f x 的对称中心为 -1,0
C. 过点 -1,0 可作一条直线与曲线 y= f x 相切
D. 当-2< x<- 12 时，f 2x+1 >-2
8 f x = e
x+e-x x -x
．已知函数 2 ，g x
e -e
= 2 ，则 ( )
A. f2 x - g2 x = 1
B. 对任意实数 x,y,g x+y g x-y = g2 x + g2 y
C. f 2x = f2 x + g2 x
D. 若直线 y= t与函数 y= f x 和 y= g x 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别
为 x1,x2,x3，则 x1+ x2+ x3> ln 1+ 2
9．已知函数 f x 的定义域为R，f f x+y = f x + f y ，f 1 = 1，则 ( )
A. f 0 = 0 B. f x 的图象关于点 0,0 对称
C. f x
1
的图象关于直线 x= 2 对称 D. f 2025 = 2025
10．已知函数 f x 的定义域是R,f 1 = 2，且满足 f 5+ x2 = f -5-x ,f x-3 = f 5-2x ，
作 f x
1
的图象关于 y轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的 2 得到函数
g x 的图象，下列说法正确的有 ( )
A. g x = f 1-2x B. g x 与 f x 有相同的值域
C. f x 的最小正周期是 6 D. g 1012 = 2
x +x f x1 + f x11 2 ．定义在 0,+∞ 上的函数 f x ，对任意 x1，x2∈ 0,+∞ ，都有 f 1 22 ≥ 2 ，
且等号仅在 x1= x2时成立，则称函数 f x 为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是 ( )
1
A. f x = x 2 B. f x = x2 C. f x = lnx D. f x = ex
12．已知函数 f(x)满足：对任意 x> 0，都有 f(x)> 0,f(x+ 2) = f(x+ 1)f(x)，且当 0< x< 3
时，f(x) = x，设 g(x) = log2 f(x)，则下列结论正确的是 ( )
·46·
A. g(x+ 2) = g(x+ 1) + g(x)
B. g(12) = g(1) + g(2) + g(3) + g(5) + g(7) + g(9) + g(11)
C. g(5) = 3
D. g(10) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5) + g(6) + g(7) + g(8)
13．函数 f(x) = (x+ 1) x2-x+a (a∈R)，则下列说法正确的是 ( )
A. 当 a=-2时，f(x)的极小值为 0
B. 若 f(x)有 3个零点 x1，x2，x3，则 x1+ x2+ x3= 0
C. 若 g(x) = f(x) + a，则 g(x)为奇函数
D. 当-2< a< 0时，f(x)在区间 (-∞,-1)上单调递增
14．已知函数 f x 定义在R上，且 f 1+x 为偶函数，f 2+x3 为奇函数，当 0< x≤ 1时，f x
= 2- x，则 ( )
A. f 3 = 1 B. f 11 < f -20
2025
C. - 32 < f x ≤-1
5
的解集为 x 2 +4k7
2 +4k,k∈Z D. f k = 1k=1
15 f x =- 1．若函数 x3+ 13 2 x
2+ 2x+ 1是区间 m-1,m+4 上的单调函数，则实数m的值
可以是 ( )
A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 4
16．已知函数 f(x) = 1000x+ 100和 g(x) = x1.0001，以下判断正确的是 ( )
A. 函数 y= f(x) - g(x)在区间 100010000,100110000 内有唯一的零点
B. x∈ 100010000,+∞ 时，f(x)> g(x)
C. x∈ 200010000,+∞ 时，g(x)≥ 2f(x)
D. 存在正实数 a，当 x∈ (a, +∞)时，对于任意大于 1的正实数N，g(x)≥Nf(x)
17．设 a≠ 0，若 x= a为函数 f(x) = a(x- a)2(x- b)的极大值点，则下列说法正确的是 ( )
A. 当 a> 0时， x0> 0，使得函数 f(x)在区间 (x0, +∞)上单调递增
B. 当 a< 0时，有 b< a< 0
C. 当 a< 0时， x0< 0，使得函数 f(x)在区间 (-∞,x0)上单调递增
D. 当 a> 0时，有 a> b> 0
18．若函数 y= f x 满足：对 x1,x2∈R，x1+ ≠
f x1 + f x2 x2 0都有 x +x > 0，则称该函数具有1 2
性质M，下列函数具有性质M的是 ( )
·47·
A. f x = ex B. f(x) = x3+ x
2
-x , x≥0C. f x = D. f x = x+ sinxx2, x<0
f x + f x
19．若函数 y= f x 满足：对 x1,x2∈R，x1+ x
1 2
2≠ 0都有 x > 0，则称该函数具有1+x2
性质M，下列函数具有性质M的是 ( )
A. f x = ex B. f x = x3+ x
-x2, x≥0
C. f x = D. f x = x+ sinxx2, x<0
20．已知函数 f x = ln x2-x + x-1
3 ，若 0< x1< x2< 2，且 x1+ x2< 2，则下列结论正确的
是 ( )
x +x
A. f x1 < f x2 B. f x1 < f 2-x2 C. f x2 > f 2-x1 D. f 1 22 > 0
21．已知函数 f(x) = xex，则 ( )
A. f(x)有两个零点 B. f(x)在 (0, +∞)上是增函数
C. f(x) - 1有极小值 e D. 若 x> 0，f(x)> x
2+ x
22．已知函数 f x 与 g x 定义域均为R，f x ≥ g x (当且仅当 x= 0时取等)，则下列结论可
能正确的是 ( )
A. x∈R，f x ≥ f 0 ，且 g x ≤ g 0
B. x∈R，f x ≥ f 0 ，且 g x ≥ g 0
C. x1∈R，f x1 ≤ f 0 ，且 x2∈R，g x2 > g 0
D. x1∈R，f x1 < f 0 ，且 x2∈R，g x2 > g 0
23．已知函数 f x = sinx- lnx,f x 是其导函数.若存在 x1,x2∈ 0,π 且 x1< x2，满足 f x1
= f x2 ，则 ( )
A. f x1 > f x2 B. x1x2> 1 C. f x1 f x2 > 1 D. f x1 + f x2 < 2
24．已知函数 f x = x3- 3x2- 10x，下列说法正确的是 ( )
A. f x 有 3个零点
B. f x 的图象关于点 1,-24 对称
C. f x 既有极大值又有极小值
D. 经过点 -2,0 且与 f x 的图象相切的直线有 2条
·48·
25．已知函数 f x 的定义域为R，值域为 0,+∞ ，且 f x+y = f x-y f2 y ，则 ( )
A. f 0 = 1 B. f 2x = f2 x
C. f x + f -x ≥ 2 D. f x 是增函数
题型二：三角函数与解三角形
1 2sinx．已知函数 f x = 3+cos2x ，则 f x ( )
A. 最小正周期为 π B. 是奇函数
C. 在 0,π 上单调递增 D. 最大值为 1
2 π．下列关于函数 f x = 2sin 2x- 3 的说法正确的是 ( )
A. π要得到函数 f x 的图象，只需将函数 y= 2sin2x的图象向右平移 3 个单位
B. 5π函数 f x 的图象关于 x= 12 对称
C. 函数 f x 在区间 - 5π18 ,
π
18 上单调递减
D. 若 x1≠ x2，且 f x1 = f x2 =-2，则 x1-x2 min= π
3 π．已知直线 x= 3 为函数 f x = sin2x+ acos2x图象的一条对称轴，则 ( )
A. f 3 x 的最小正周期为 2π B. a=- 3
C. f 2 3 π x ≤ 3 D. f x 的图象关于点 - 12 ,0 对称
4．函数 f x = sinx + cosx ，则 ( )
A. π函数最小正周期为 2 B. x= π是函数的一条对称轴
C. 函数图象有对称中心 D. 若 f x =m,x∈ 0,2π 有四个解，则m= 1
5．已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a，b，c，外接圆半径为 5，且满足 4sinA+
3cos B+C + 3cos B-C = 8，则下列结论正确的是 ( )
A. sinA= 45 B. △ABC是锐角三角形
C. b= 2 5 D. △ABC的面积为 10
6．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足 a2+ b2- c2= 4 33 S△ABC，则下列条
件能使△ABC成为锐角三角形的是 ( )
·49·
A. A= π6 B. a= 2，b= 3 C. a= 2，c= 3 D. b= 3，c= 2
7．已知函数 f x = cos4x- sin4x，则 ( )
A. f x 的最小正周期为 π B. x= π4 是 f x 的对称轴
C. f x 在区间 -
π
2 ,0
上单调递增 D. λ≥-1是 f x = λ有实根的充要条件
8．已知函数 f x =-2sinx+ cosx，若 x0∈ -π,π ，且 f x ≤ f x0 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 f x-x0 为偶函数 B. 函数 f x+x0 为偶函数
C. f x ≥ f x0-π D. f x 在区间 0,x0+π 上单调递减
9．对于函数 f x = sin x ，g x = sin2x，则 ( )
A. f x 与 g x 有相同的奇偶性 B. f x 与 g x 有相同的最小正周期
C. f x 与 g x 有相同的最大值 D. f x 与 g x 的图象有相同的对称轴
10．已知 f(x) = sin 2x+ π3 ，则下列说法正确的是 ( )
A. f(x) 5π在区间 kπ- 12 ,kπ+
π
12 (k∈ Z)上单调递增
B. 将函数 f(x) π的图象向右平移 3 个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于原点对称
C. 若 f(x+ φ) kπ π是偶函数，则 φ= 2 + 12 (k∈ Z)
D. 若 f(ωx) (ω> 0)在区间 [0,π]上恰有 3个零点，则ω∈ 4 11 3 , 6
11．已知函数 f x = cos ωx+φ ω>0, π φ < 2 的部分图象如图所示，则 ( )
A. φ= 3π10
B. 41点 5 ,0 是 f x 图象的一个对称中心
C. 方程 f x = 12 在区间 0,2025 上有 2026个实数解
D. 若 g x
3 7
= log 1 f x ，则 g x 的单调递增区间为 -
2 10
+k, 10 +k k∈Z
12．将函数 f x = sin 2x- π π6 的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则 ( )
A. f x 7π 与 g x 的图象关于直线 x=- 4 对称
·50·
B. f 4π x 与 g x 的图象关于点 3 ,0 对称
C. x∈ 7π , 8π当 3 3 时，f x > g x
D. 当 x∈ 2π,4π 时，f x 与 g x 的图象恰有 4个交点
13．在△ABC中，若内角A，B，C满足 sin2A:sin2B:sin2C= 4:9:10，则 ( )
A. cosB= 108 B. 60° C. tan(A+C) =- 3 155 D. tanB+ tan3A= 0
14．已知函数 f x = sinx cosx + cosx sinx ，则下列说法正确的是 ( )
A. f x 的周期为 2π
B. f x
π
的图象关于 x= 4 对称
C. f x 在 0,π 上恰有 3个零点
D. 若 f ωx ω>0 π 1 在 0, 2 上单调递增，则ω的最大值为 2
15 1．已知函数 f x = sinx ，则下列命题正确的是 ( )
A. f x 的定义域为R B. f x 的值域为 -∞,-1 ∪ 1,+∞
C. f x 是奇函数 D. f x 在 0, π2 上单调递减
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，a= 3，且 2c- b= 2acosB，则下列结论
正确的是 ( )
A. A= π6 B. △ABC外接圆的面积为 π
C. △ABC 3 3面积的最大值为 4 D. △ABC周长的最大值为 3 3
17．已知函数 f x = sin2x- 2sinx，则 ( )
A. f x 的最小正周期为 2π B. 曲线 y= f π x 关于直线 x= 2 对称
C. f x 在区间 -2π,2π 上有 4个零点 D. f x π 2π 在区间 3 , 3 内单调递减
18．已知函数 f x = sinωx + cosωx - ω>0 的定义域为A= 0,α ， α>0 ，集合B=
x1,x2 f x1 f x2 =2 ，则 ( )
A. 若 α= π 1，且 f x 在A上单调，则ω的取值范围是 0, 4
·51·
B. 若ω= 12 ，且 f x =
6 A 5π 7π2 在 上恰有 2个不等的实根，则 α的取值范围是
6 , 6
C. 若ω= 1 π，且B= ，则 α的取值范围是 0, 2
D. 若 α= π 3 52 ，且B中恰有 4个不同元素，则ω的取值范围是
2 , 2
19．已知函数 f(x) = sinx+ sin2x，g(x) = cosx+ cos2x，h(x) = λf(x) + μg(x)，其中 λ2+ μ2≠
0，则 ( )
A. 函数 h(x)是周期函数
B. 9当 λ= 0,μ= 1时，函数 h(x)的值域为 - 8 ,2
C. 当 λ=
