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课题：求解二元一次方程组
教学目标：
知识与技能目标：
会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组
初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。
通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成由未知向已知转化，培养学生观察能力和体会化归思想：
通过用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的训练，及选用合理、简捷的方法解方程组，培养学生的运算能力。21教育网
过程与方法目标：
了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”。21·世纪*教育网
情感态度与价值观目标：
利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想.
经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力
重点：
用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元
难点：
用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉。
教学流程：
课前回顾
1.复习上节课所学二元一次方程的基本概念
问题1：什么是二元一次方程？
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
问题2：什么是二元一次方程组？
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组。
问题3：什么是二元一次方程组的解
使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相 等的两个未知数的值（即两个方程的公解）。
2.复习如何将二元一次方程化为x或y的代数式
已知二元一次方程 2x+4y=8
用含ｘ的式子表示ｙ
用含ｙ的式子表示ｘ为 x=4-2y
情境引入
探究1：还记得下面这一问题吗
昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？www-2-1-cnjy-com
设他们中有x个成年人，有y个儿童
我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程
x+y=8
5x+3y=34
我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢
想想以前学习过的一元一次方程，能不能解决这一问题
用一元一次方程求解
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5
将x=5代入
8－x
=8－5
=3.
去了5个成人， 3个儿童.
用二元一次方程组求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童， 根据题意，得：
观察:列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？两者又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？21cnjy.com
用二元一次方程组求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，得：
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34 （二元化为一元啦！）
解得：x = 5
把x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为： （将解代入原方程组，就知道你解得对不对啦！）
归纳：前面解方程组的方法取个什么名字好
得出结论：
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.www.21-cn-jy.com
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
解方程组的基本思路是什么？
用“代入消元法”解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.21世纪教育网版权所有
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
三、合作探究
探究2：根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c= b±c
<2>若a=b,那么ac= bc
思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗
提问：怎样解下面的二元一次方程组呢？
引导学生逐步得出更简单的方法：
方法一：把②变形得代入①不就消去x了（代入消元法）
方法二：把②变形得5y=2x+1，可以直接代入①呀！
方法三：5y与-5y互为相反数（提示学生：相反数相加为0）
分析：（3x ＋ 5y）+（2x － 5y）= 21 + (－11)
左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3X+5y +2x－5y=10
5x+0y =10
5x=10
解:由①+②得: 5x=10
x=2
把x＝2代入①，得
y=3
所以原方程组的解是
想一想：参考以上思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．21·cn·jy·com
解：把 ②－①得:8y＝－8
y＝－1
把 y ＝－1代入①，得
2x－5 ╳（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
归纳：前面解方程组的方法取个什么名字好
得出结论：
对某些二元一次方程组可通过方程两边分相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法。2·1·c·n·j·y
用“加减消元法”解二元一次方程组的步骤：
观察求未知数的系数的绝对值是否相同，
(1)若互为相反数就用加，
(2)若相同，就用减，达到消元目的。
四、自主思考
解法比较：解方程组
解法一：
由①得y=4-2x．③
将③代入②得x+2(4-2x)=4
解这个方程得x=1．
将x=1代入③得y=2．
所以原方程组的解为
解法二：
②×2，得2x+4y=10．③
③-①，得3y=6．
解这个方程得y=2．
将y=2代入①，得x=1．
所以原方程组的解为
想一想：比较以上两种解法
第一种解法是代入消元法，第二种解法是加减消元法，其目的都是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程．【来源：21·世纪·教育·网】
▲ 解二元一次方程组的基本思想是“消元”
▲ 解二元一次方程组的方法：
①代人消元法; ②加减消元法.
▲ 解二元一次方程组时,观察方程的结构特征,符合特定条件时,可采用整体代人或整体加减消元.
五、达标测评
1.用代入消元法解下列方程组
2.用加减消元法解下列方程组
六、应用提高
在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ,乙看错了方程中的b，而得解为 . 求正确方程的解2-1-c-n-j-y
解：由题意得
是 4x-by = -2的一个解
12+b=-2.
b=10.
是 ax+5y=15 的一个解
5a+20=15
a=-1.
解方程组 ，得
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
什么是代入消元法
什么是加减消元法
代入消元法和加减消元法的区别
解二元一次方程
七、布置作业
教材114页习题第2、3题。
y=2-
21世纪教育网www.21cnjy.com精品试卷·第2页(共2页)
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求解二元一次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．解下列方程组（每小题8分，80分）
（1） （2）
（3） （4）．
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
二、解答题（每小题10分，20分）
1．求适合的x，y的值．
2．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．
（1）求k，b的值．
（2）当x=2时，y的值．
（3）当x为何值时，y=3？
参考答案
一．解下列方程组
（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为． （4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．
【解析】利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．
（5）解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．
（6）解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．
(7) 解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．
（8）原方程组可化为，
①×2﹣②得：
y=﹣1，
将y=﹣1代入①得：
x=1．
∴方程组的解为；
(9) 解：原方程组可化为，
①+②，得10x=30，
x=3，
代入①，得15+3y=15，
y=0．
则原方程组的解为．
(10) 解：原方程变形为：，
两个方程相加，得
4x=12，
x=3．
把x=3代入第一个方程，得
4y=11，
y=．
解之得．
二．解答题
1．求适合的x，y的值．
考点： 解二元一次方程组．809625
分析： 先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．
解答： 解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．
2．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．
（1）求k，b的值．
（2）当x=2时，y的值．
（3）当x为何值时，y=3？
考点： 解二元一次方程组．809625
专题： 计算题．
分析： （1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．
解答： 解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．
点评： 本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．
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求解二元一次方程组
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
问题1：什么是二元一次方程？
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数 都是1的方程叫做二元一次方程。
问题3：什么是二元一次方程组的解
问题2：什么是二元一次方程组？
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组。
使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公解）。
用含ｘ的式子表示ｙ为
用含ｙ的式子表示ｘ为
已知二元一次方程 2x+4y=8
课前回顾
x=4-2y
y=2-
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有x个成人，y个儿童.
我们列出的二元一次方程组为:
探究1
我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢
想想以前学习过的一元一次方程，能不能解决这一问题
探究1
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8－x
=8－5
=3.
去了5个成人， 3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
观察:列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？两者又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
解：设去了x个成人，去了y个儿童，得：
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为：
用二元一次方程组求解
二元化为一元啦！
将解代入原方程组，就知道你解得对不对啦！
归纳
前面解方程组的方法取个什么名字好
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
归纳
解方程组的基本思路是什么？
用“代入消元法”解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
归纳
二
元
一
次
方
程
组
x +y=7
3x+y=17
y=2
X=5
解得x
变形
解得y
代入
消y
上面步骤可以用下面的框图表示，以 为例
用 y＝7－x 代替y,消未知数y
3x+(7-x)=17
y＝7－x
代入
归纳
x+y=7
3x+y=17
y克
.
.
x克
200克
y克
x克
10克
x + y = 200
y = x + 10
解二元一次方程组
用代入法
x克
10克
(x+10)
x +( x +10) = 200
①
②
x = 95
代入①
y = 105
∴方程组 的解是
y = x + 10
x + y = 200
x = 95，
y =105，
练习1
2、用代入法解方程的关键是什么？
1、根据等式性质填空:
思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗
b±c
bc
(等式性质1)
(等式性质2)
<2>若a=b,那么ac= .
<1>若a=b,那么a±c= .
一元
代入
转化
二元
探究2
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究2
把②变形得
代入①不就消去
了！
小明
①
②
探究2
把②变形得5y=2x+1
可以直接代入①呀！
小亮
探究2
和
互为相反数……
按照小花的思路，你能消去一个未知数吗？
小丽
（3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21 + (－11)
分析：
①
②
3X+5y +2x－5y＝10
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
5x+0y ＝10
5x=10
探究2
所以原方程组的解是
①
②
解:由①+②得: 5x=10
把x＝2代入①，得
x=2
y=3
x=2
y=3
探究2
参考小花的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
观察方程组中的两个方程，未知数x的系数
相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，
就可以消去未知数x，同样得到一个一元一
次方程．
①
②
分析：
①
②
想一想
所以原方程组的解是
解：把 ②－①得:8y＝－8
y＝－1
把 y ＝－1代入①，得
2x－5 ╳（－1）＝7
解得:x＝1
①
②
归纳
前面解方程组的方法取个什么名字好
对某些二元一次方程组可通过方程两边分相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法。
用“加减消元法”解二元一次方程组的步骤：
观察求未知数的系数的绝对值是否相同，
(1)若互为相反数就用加，
(2)若相同，就用减，达到消元目的。
归纳
分别相加
y
1.已知方程组
x+3y=12
2x-3y=6
两个方程
就可以消去未知数
分别相减
2.已知方程组
25x-7y=16
25x+6y=10
两个方程
就可以消去未知数
x
只要两边
只要两边
练习2
解方程组
解法一：
由①得y=4-2x．③
将③代入②得x+2(4-2x)=4
解这个方程得x=1．
将x=1代入③得y=2．
所以原方程组的解为
解法二：
②×2，得2x+4y=10．③
③-①，得3y=6．
解这个方程得y=2．
将y=2代入①，得x=1．
所以原方程组的解为
．
①
②
解法比较
第一种解法是代入消元法，第二种解法是加减消元法，其目的都是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程．
请比较以上两种解法
归纳
▲ 解二元一次方程组的基本思想是“消元”
二元
一元
消元
▲ 解二元一次方程组的方法：
①代人消元法; ②加减消元法.
▲ 解二元一次方程组时,观察方程的结构特征,符合特定条件时,可采用整体代人或整体加减消元.
归纳
1.用代入消元法解下列方程组
达标测试
2.用加减消元法解下列方程组
5x+y=7,
3x-y=1.
x=1,
y=2.
1.
2.
x=2,
y=1.
4x-3y= 5,
4x+6y=14.
3.
4.
x+5y=3
6x-7y=19.
0.5x-3y= -1,
6x+7y=5,
y=1.
y=-1.
x=2,
x=4,
3.已知 与 都是方程
y=kx+b 的解，求k、b的值。
解：将 和 代入方程y=kx+b中，得二元一次方程组：
4k+b=-2
-2k+b=-5
解得：
k=
b=
.
在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ,乙看错了方程中的b，而得解为 . 求正确方程的解
应用提高
是 ax+5y=15 的一个解
5a+20=15
a=-1.
解：由题意得
是 4x-by = -2的一个解
12+b=-2.
b=10.
解方程组 ，得
1.什么是代入消元法
2.什么是加减消元法
3.代入消元法和加减消元法的区别
4.解二元一次方程
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
布置作业
教材114页习题第2、3题。
